河北省保定市莲池区河北保定师范附属学校2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷

河北省保定师范附属学校2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，共36分，各小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）如图，在边长相等的小正方形组成的图形中，（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）利用一块含角的透明直角三角板过点作△的边的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，这是小刚同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题15分，满分60分，那么他的成绩是（　　） （1）； （2）； （3）； （4）． A．60分 B．45分 C．30分 D．15分 7．（3分）如图，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△的是（　　） A．， B．，， C．，， D．，， 10．（3分）如图，图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，则图2中的度数为　　 A． B． C． D． 11．（3分）嘉淇设计了磁性飞镖游戏的靶盘如图所示，其中，若随机投1次飞镖，并且击中靶盘，则下列说法正确的是（　　） A．投中①区的可能性最大 B．投中②区的可能性最大 C．投中③区的可能性最大 D．投中三个区的可能性一样大 12．（3分）题目：“如图，与相交于点，且△△，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 二、填空题（本大题共4个小题，共12分，每题3分） 13．（3分）如图，是的中线，点在上，且，连接、若，则阴影部分的面积为 　　． 14．（3分）用科学记数法表示 　　． 15．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出1个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有 　　 个． 16．（3分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，，当，且点在直线的上方时，满足三角尺有一条边与斜边平行，那么此时　　 ． 三.解答题（本大题共7个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（16分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18．（5分）先化简，再求值：，其中，． 19．（8分）如图，，，，求的度数．请将解题过程填写完整． 解：（已知）， 　　　　， 又（已知）， 　　， 　　　　， 　　　　， （已知）， 　　． 20．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 56 96 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）表中的　　 ，　　 ； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是　　 （精确到； （3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 21．（8分）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， 　　，　　， 又． 　　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点，，求的度数． （3）如图3，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 22．（8分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式，利用这个等式可以帮助我们解决许多问题． （1）如图1，写出一个我们熟悉的数学公式：　　； （2）利用（1）中得到的公式求值：若，，求的值； （3）解决问题：如图2，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 23．（9分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”， 为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角” ，． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 24．（12分）（1）如图①，已知：△中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是12，求△与△的面积之和． 河北省保定师范附属学校2024-2025学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B A D C B B C D C 题号 12 答案 C 一、选择题（本大题共12个小题，共36分，各小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据三角形两边之和大于第三边判断即可． 【解答】解：、，不能摆成三角形，本选项不符合题意； 、，不能摆成三角形，本选项不符合题意； 、，不能摆成三角形，本选项不符合题意； 、，能摆成三角形，本选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 2．（3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可． 【解答】解：、，故原选项计算正确，符合题意； 、，故原选项计算错误，不符合题意； 、，故原选项计算错误，不符合题意； 、，故原选项计算错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂相乘、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（3分）如图，在边长相等的小正方形组成的图形中，（　　） A． B． C． D． 【分析】依题意得，，，，，由此可依据“”判定△和△全等，则，进而得，再根据，得△是等腰直角三角形，则，据此可得的度数． 【解答】解：如图所示： 依题意得：，，，四边形是正方形， 在△和△中， ， △△， ， ， ， △是等腰直角三角形， ， ， 即． 故选：． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 4．（3分）下列各式中不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式逐项判断即可． 【解答】解：、，不能用平方差公式计算，该选项符合题意； 、，能用平方差公式计算，该选项不符合题意； 、，能用平方差公式计算，该选项不符合题意； 、，能用平方差公式计算，该选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是关键． 5．（3分）利用一块含角的透明直角三角板过点作△的边的垂线，下列三角板摆放的位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点作边上的高，根据当含角的透明直角三角板一条直角边和高重合时，即为位置摆放正确，由此可得出答案． 【解答】解：过点作边上的高， 当含角的透明直角三角板一条直角边和高重合时，即为位置摆放正确， 选项，，中的摆放均不正确，不符合题意，选项中的摆放正确，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了画三角形的高，熟练掌握掌握三角形高的定义是解题的关键． 6．（3分）如图，这是小刚同学在课堂小测中做的四道题，如果每道题15分，满分60分，那么他的成绩是（　　） （1）； （2）； （3）； （4）． A．60分 B．45分 C．30分 D．15分 【分析】根据单项式乘多项式、同底数幂的除法、平方差公式、单项式除以单项式计算，判断即可． 【解答】解：（1），故本小题计算错误； （2），本小题计算正确； （3），故本小题计算错误； （4），本小题计算正确； 则他的成绩是：15分分， 故选：． 【点评】本题考查的是单项式乘多项式、同底数幂的除法、平方差公式、单项式除以单项式，掌握它们的运算法则是解题的关键． 7．（3分）如图，下列条件中能判断的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可． 【解答】解：、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； 、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到得到，符合题意； 、由，可以根据内错角相等，两直线平行得到，不能得到，不符合题意； 、由，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，不能得到，不符合题意， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 8．（3分）已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据同底数指数幂的除法和幂的乘方可得，将，代入即可求解． 【解答】解： ， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除，掌握相应的运算法则是关键． 9．（3分）根据下列已知条件，能画出唯一的△的是（　　） A．， B．，， C．，， D．，， 【分析】根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可． 【解答】解：．如图△和△的斜边都是，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； ．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； ．，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； ．，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 10．（3分）如图，图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，则图2中的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质求出，，即可解答． 【解答】解：，将纸带沿折叠成图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 11．（3分）嘉淇设计了磁性飞镖游戏的靶盘如图所示，其中，若随机投1次飞镖，并且击中靶盘，则下列说法正确的是（　　） A．投中①区的可能性最大 B．投中②区的可能性最大 C．投中③区的可能性最大 D．投中三个区的可能性一样大 【分析】分别计算各部分的面积，比较即可得解． 【解答】解：设， ，，， ， 投中③区的可能性最大， 故选：． 【点评】本题主要考查了随机事件发生的可能性问题的应用，计算各部分的面积是解题的关键． 12．（3分）题目：“如图，与相交于点，且△△，，点从点出发，沿方向以的速度运动，点从点出发，沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为．连接，当线段经过点时，求的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，则正确的是（　　） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整 【分析】利用全等三角形的性质得到，，，再证明△△得到，讨论：当点由点运动到点时，；当点由点运动到点时，，然后分别解方程即可． 【解答】解：△△， ，，， 在△和△中， ， △△， ， 当点由点运动到点时，， 解得； 当点由点运动到点时，， 解得； 综上所述，的值为1.2或． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．也考查了全等三角形的判定． 二、填空题（本大题共4个小题，共12分，每题3分） 13．（3分）如图，是的中线，点在上，且，连接、若，则阴影部分的面积为 　6　． 【分析】由三角形的中线得，再由得，，即可得出结论． 【解答】解：是的中线，， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：6． 【点评】本题考查了三角形面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形是解题的关键． 14．（3分）用科学记数法表示 　　． 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 15．（3分）在一个不透明的袋中装有若干个材质、大小完全相同的红球，小明在袋中放入3个黑球（每个黑球除颜色外其余都与红球相同），摇匀后每次随机从袋中摸出1个球，记录颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，估计袋中红球有 　9　 个． 【分析】设袋中有红球个，再由概率公式求解即可． 【解答】解：设袋中有红球个， 小明在袋中放入3个黑球，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右， ， 解得． 故答案为：9． 【点评】本题考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 16．（3分）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起（其中，，，当，且点在直线的上方时，满足三角尺有一条边与斜边平行，那么此时　或或　 ． 【分析】分类讨论、、，画出对应的图形，理由平行线的性质即可求解． 【解答】解：如图1：当时： 则， ， ， 如图2：当时： ， 此时：， 如图3：当时：延长交于点， 则， ， ， 综上所述：或或． 故答案为：或或． 【点评】本题考查利用平行线的性质求角的度数，画出对应的图形是解题的关键． 三.解答题（本大题共7个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（16分）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）根据单项式除以单项式法则计算即可； （2）先变形为，再利用平方差公式计算即可； （3）先根据负整数指数幂、零指数幂、幂的乘方与积的乘方法则计算，再根据有理数的混合运算法则计算即可； （4）先变形为，再利用平方差公式计算，最后展开即可． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） ； （4） ． 【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18．（5分）先化简，再求值：，其中，． 【分析】先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 当，时，原式． 【点评】本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19．（8分）如图，，，，求的度数．请将解题过程填写完整． 解：（已知）， 　　　　， 又（已知）， 　　， 　　　　， 　　　　， （已知）， 　　． 【分析】由与平行，利用两直线平行，同位角相等得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到两个角互补，即可求出所求角的度数． 【解答】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， ． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；，内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 20．（6分）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 56 96 295 480 601 摸到白球的频率 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 （1）表中的　0.56　 ，　　 ； （2）“摸到白球的”的概率的估计值是　　 （精确到； （3）如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【分析】（1）利用频率频数总数直接求解即可； （2）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【解答】解：（1）依题意得：， ； 故答案为：0.56，116； （2）根据题意，“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； （3）口袋中球的总数为（个， （个， 答：袋中除了白球外，还有8个其它颜色的球． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，解答本题的关键要明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 21．（8分）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． 解：过点作， 　　，　　， 又． 　　． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点，，求的度数． （3）如图3，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【分析】（1）过点作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点作， ，， 又， ， 故答案为：；；； （2）过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 22．（8分）对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式，利用这个等式可以帮助我们解决许多问题． （1）如图1，写出一个我们熟悉的数学公式：　　； （2）利用（1）中得到的公式求值：若，，求的值； （3）解决问题：如图2，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形和，设，两正方形的面积和为20，求的面积． 【分析】（1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示大正方形的面积即可； （2）根据进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，得到，，由求出的值，再求出的面积为的值即可． 【解答】解：（1）图1，从“整体”上看，是边长为的正方形，因此面积为，组成“整体”的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2），， ； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， ，两正方形的面积和为20， ，， ， 的面积为． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 23．（9分）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”， 为“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角” ，． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【分析】（1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【解答】解：（1）①是“友爱三角形”，且与互为“友爱角” ， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形”； （2）是“友爱三角形”， 是边上一点（不与点，重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． 24．（12分）（1）如图①，已知：△中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，△的面积是12，求△与△的面积之和． 【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得△△，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得△△即可得出答案； （3）由，，，得出，由证得△△，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【解答】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在△和△中，， △△， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在△和△中，， △△， ，， ； （3）解：，， ， 在△和△中，， △△， ， 设△的底边上的高为，则△的底边上的高为， ，， ， ， ， △与△的面积之和为6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $