精品解析：宁夏回族自治区银川市第二十六中学教育集团2025～2026学年度第二学期期中考试 初二数学试卷

银川市第二十六中学教育集团2025～2026学年度第二学期期中考试 初二数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；  B选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；  C选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；  D选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 若x＞y，则下列式子错误的是（ ） A. x﹣3＞y﹣3 B. ﹣3x＞﹣3y C. x+3＞y+3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案． 【详解】解：A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确，故本选项不符合题意； B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误，故本选项符合题意； C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确，故本选项不符合题意； D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（ ） A. 三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据到角的两边距离相等的点在角平分线上，且某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，即可作答． 【详解】解：设便民服务站所在的位置是点， 点到、的距离相等， 点在的平分线上， 同理，点也在、的平分线上， 点是三个角的平分线的交点， 这个便民服务站应该修在三个角的平分线的交点， 故选：B． 4. 下列命题的逆命题正确的是( ) A. 对顶角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 全等三角形的对应角相等 D. 全等三角形的面积相等 【答案】B 【解析】 【分析】先分别写出第个选项的逆命题，再判断其是否正确． 【详解】解：A的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； B的逆命题是：两锐角互余的三角形是直角三角形，真命题； C的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题； D的逆命题是：面积相等的三角形是全等三角形，假命题； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了学生对逆命题以及真假命题的定义的理解，要求学生对常用的基础知识牢固掌握，比较简单． 5. 中，，最短边，最长边的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据角度比例和三角形内角和定理求出三个角的度数，确定三角形为直角三角形，再利用直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质计算最长边的长度． 【详解】解： 设，则， 三角形内角和为， ， 解得， ，，即是直角三角形，最长边为斜边， ，它所对的边为最短边， ． 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，使点恰好落在边上，连结，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键． 7. 如图，在长为，宽为的长方形土地上，有纵横交错的几条小路（小路均与长方形的边平行），每条小路的宽均为．除小路外，其他部分均种植花草．种植花草部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将小路平移后可得到如下图形： 则种植花草的面积为． 8. 如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由线段的垂直平分线的性质得，转化为，当B，M，D共线时，由等腰三角形三线合一得，根据面积求出即可． 【详解】解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ， ，当B，M，D共线时等号成立， D为的中点，， ， ，面积为20， ， ， 的最小值为8． 二、填空题（每小题3分，共24分 9. “的3倍与2的和是负数”用不等式表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合负数的定义列出不等式即可． 【详解】解：的倍是，的倍与的和为， 负数是小于的数， 因此用不等式表示为． 10. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰三角形所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错. 等腰三角形的一个角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行讨论． 【详解】解：当为顶角时，其他两底角为． 当为底角时， ∵等腰三角形的两底角相等， ∴两底角的和为， ∴底角不能为． 综上，底角度数为． 故答案为：40． 11. 一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是______． 【答案】5##五 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角，掌握好正多边形内角和外角的计算公式是解题关键． 由内角为，推出其外角为，由多边形外角和为，计算出边数． 【详解】解：∵正多边形的每个内角等于， ∴该正多边形的一个外角为， ∵多边形外角和为， ∴该正多边形的边数为． 故答案为：5． 12. 如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：是由通过平移得到， ∴， ∴， ∵，， ∴． 13. 如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作于点，由角平分线上的点到角的两边距离相等，得，再根据三角形面积公式进行计算，即可得出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 是角平分线，，， ， 的面积． 14. 如图，在中，，，把绕着原点逆时针旋转，得到，则点的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，从而确定点的坐标，利用旋转的性质得出对应线段相等，结合点所在象限确定坐标符号． 【详解】解：在中，，，． 由勾股定理得． 点的坐标为． ∵绕着原点逆时针旋转90°，得到， ，． 旋转角为，且点在第一象限． 点在第二象限．点的横坐标为，纵坐标为． 点的坐标为． 15. 如图，直线和与轴分别交于点，点．则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】不等式表示直线的函数图象位于轴上方，不等式表示直线的函数图象位于轴下方，再根据函数图象分别确定不等式和的解集，再求其公共部分即可． 【详解】解： 由图象可知，直线与轴交于点，且随的增大而增大， 则不等式的解为， 不等式表示直线的函数图象位于轴下方， 由图象可知，直线与轴交于点 且随的增大而减小， 则不等式的解为 ， ∴不等式组的解集为 16. 若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组有4个整数解，得到关于的不等式组，进行求解即可. 【详解】解：解不等式组，得， ∵关于的不等式组有4个整数解， ∴不等式组的解集为，整数解为， ∴， ∴. 三、解答题（每小题6分，共36分） 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【解析】 【分析】先分别算出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集为，最后将解集在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：∵ ∴由得， 由得， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示略． 18. 如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定定理“”以及平行线的判定，“”即为在直角三角形中，一组直角边和一组斜边对应相等的两个三角形全等，根据题意确定全等条件是解题的关键． （1）由，可得出，即可证明； （2）由（1）可得，即可得，从而求证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴和， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 19. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？ 【答案】七折 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润进价利润率，是解题的关键．利润率不低于，即利润要大于或等于元，设打折，则售价是元．根据利润率不低于就可以列出不等式，求出的范围． 【详解】解：设打折，则， 解得， 即最多可打七折． 故选B． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 【答案】 （1）如图所示，△A1B1C1即为所求； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求； （3）三角形的形状为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1为所作； （2）利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2， （3）根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）三角形的形状为等腰直角三角形，OB=OA1=，A1B==， 即OB2+OA12=A1B2， 所以三角形的形状为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 21. 如图，在中，，，D为中点，E为延长线上一点，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的判定与性质，关键是根据等边三角形的判定得出是等边三角形解答． 根据等边三角形的判定得出是等边三角形，进而利用等边三角形的性质和三角形外角性质解答即可． 【详解】证明：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N． （1）若△ADE的周长为6，求BC的长； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）6； （2）20°． 【解析】 【分析】（1）由DM和EN分别垂直平分AB和AC，推出AD＝BD，EA＝EC，可得AD+DE+EA＝6，由此得到答案； （2）根据AD＝BD，EA＝EC，求出∠B+∠C=80°，即∠BAD+∠EAC＝80°，再由∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠EAC）计算可得度数． 【小问1详解】 解：∵DM和EN分别垂直平分AB和AC， ∴AD＝BD，EA＝EC， ∵△ADE的周长为6， ∴AD+DE+EA＝6． ∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6； 【小问2详解】 解：∵DM和EN分别垂直平分AB和AC， ∴AD＝BD，EA＝EC， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC． ∵∠BAC＝100°， ∴∠B+∠C＝180°-∠BAC=180°-100°=80°， 即∠BAD+∠EAC＝80°． ∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠EAC）=100°-80°=20°． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角求角的度数，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 四、解答题（23，24每题8分，25，26每题10分，共36分） 23. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，五一期间，为了吸引顾客，各自推出了不同的优惠方案，在甲超市累计购买商品超出了400元后，超过部分按原价七折优惠；在乙超市购买商品只按原价的八折优惠；设顾客累计购物x元（x＞400）在甲，乙两个超市所支付的费用分别为y1元，y2元． （1）写出y1，y2与x之间的关系式． （2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 【答案】（1）y1=0.7x+120；y2=0.8x；（2）当x=1200时，甲乙两家超市购买一样优惠；当400<x<1200时，乙超市购买更优惠；当x>1200时，甲超市购买更优惠．理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出y1，y2与x之间的关系式； （2）分y1=y2，y1＞y2，y1＜y2三种情况列出方程或不等式，解方程或不等式即可． 【详解】解：（1）y1=400+（x-400）×0.7=0.7x+120， y2=0.8x； （2）由y1=y2，即0.7x+120=0.8x，解得x=1200， 由y1＞y2，即0.7x+120＞0.8x，解得x＜1200， 由y1＜y2得，0.7x+120＜0.8x，解得x＞1200， 因为x＞400，所以，当x=1200时，甲，乙哪个超市购买所支付的费用相同， 当400＜x＜1200时，乙超市购买更合算， 当x＞1200时，甲超市购买购买更合算． 【点睛】本题考查的是一次函数的应用，根据题意正确列出一次函数关系式是解题的关键． 24. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 【答案】（1）；（2）证明见试题解析． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由角平分线的性质可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°，故∠B=∠BDE=45°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值； （2）由（1）可知：△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD． 试题解析：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm，又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=4cm． 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm，∴AC=BC=CD+BD=（cm）． （2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ADC，∴AC=AE，又∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD． 考点：1．勾股定理；2．直角三角形全等的判定；3．角平分线的性质． 25. 阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解” 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：______（直接填写序号）； ①；②；③ （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围． 【答案】（1）②③ （2） 【解析】 【分析】（1）根据所给“理想解”的定义依次进行判断即可； （2）根据所给“理想解”的定义进行计算即可． 【小问1详解】 解：由得，． ①将代入，得， ∴该不等式不成立， 所以①不符合题意； ②将代入，得 ∴该不等式成立， 所以②符合题意； ③将代入得， 所以，两个不等式组成立， 所以③符合题意． 【小问2详解】 解：由得，， 则， 因为， 所以， 解得． 26. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的解答过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）解：由旋转可知：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：， 理由：如图，把绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知：， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质易得是等边三角形，进而证明是直角三角形，利用勾股定理即可得解； （2）通过旋转易得等腰直角和直角，利用勾股定理即可说明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市第二十六中学教育集团2025～2026学年度第二学期期中考试 初二数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若x＞y，则下列式子错误的是（ ） A. x﹣3＞y﹣3 B. ﹣3x＞﹣3y C. x+3＞y+3 D. 3. 如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（ ） A. 三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点 C. 三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4. 下列命题的逆命题正确的是( ) A. 对顶角相等 B. 直角三角形两锐角互余 C. 全等三角形的对应角相等 D. 全等三角形的面积相等 5. 中，，最短边，最长边的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，使点恰好落在边上，连结，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长为，宽为的长方形土地上，有纵横交错的几条小路（小路均与长方形的边平行），每条小路的宽均为．除小路外，其他部分均种植花草．种植花草部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（每小题3分，共24分 9. “的3倍与2的和是负数”用不等式表示为_____． 10. 等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是_______． 11. 一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是______． 12. 如图，是由通过平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上．若，，则的长度是______． 13. 如图，在中，是角平分线，，，，则的面积为______． 14. 如图，在中，，，把绕着原点逆时针旋转，得到，则点的坐标______． 15. 如图，直线和与轴分别交于点，点．则的解集为______． 16. 若关于的不等式组有4个整数解，则a的取值范围为______． 三、解答题（每小题6分，共36分） 17. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 18. 如图，已知点在同一条直线上，，垂足分别为、． （1）求证：； （2）若时，求的度数． 19. 某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）． （1）将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2； （3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由） 21. 如图，在中，，，D为中点，E为延长线上一点，．求证：． 22. 如图所示，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N． （1）若△ADE的周长为6，求BC的长； （2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数． 四、解答题（23，24每题8分，25，26每题10分，共36分） 23. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，五一期间，为了吸引顾客，各自推出了不同的优惠方案，在甲超市累计购买商品超出了400元后，超过部分按原价七折优惠；在乙超市购买商品只按原价的八折优惠；设顾客累计购物x元（x＞400）在甲，乙两个超市所支付的费用分别为y1元，y2元． （1）写出y1，y2与x之间的关系式． （2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 24. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 25. 阅读理解：定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”．例如，已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称“”是方程与不等式的“理想解” 问题解决： （1）请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解”：______（直接填写序号）； ①；②；③ （2）若是方程组与不等式的“理想解”，求的取值范围． 26. 在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：如图①，点在等边内部，且，，，求的长． （1）【思考探究】经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按顺时针方向旋转，得到，连接，寻找，，三边之间的数量关系，即可求得的长，请写出详细的解答过程； （2）【理解应用】如图②，在等腰直角中，，为内一点，，判断，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $