精品解析：宁夏银川市唐徕中学西校区2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

银川市唐徕中学西校区2025~2026学年第二学期期中考试 初二数学试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列不等式的变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可． 【详解】解：A、若，则，故原变形错误，故此选项不符合题意； B、若，且，则，故原变形错误，故此选项不符合题意； C、若，当时，则，故原变形错误，故此选项不符合题意； D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：∵ 结论是， ∴ 反证法第一步应假设结论不成立，即， 故选：D． 3. 满足下列条件时，不是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴设，则， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴不是直角三角形， 故C符合题意； D、∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故D不符合题意； 故选：C． 4. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质．由平移得，进而可得，据此即可求解． 【详解】解：由平移得，， ∴， ∴， 故选：． 5. 如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是O，旋转角是 B. 旋转中心是O，旋转角是 C. 旋转中心是C，旋转角是 D. 旋转中心是C，旋转角是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的旋转，解题的关键是掌握网格的特征和旋转的性质．观察图形，根据网格的特征可得答案． 【详解】解：由图可知，点B绕点O逆时针旋转90°可得点C，点A绕点O逆时针旋转可得点D， ∴旋转中心是点O，旋转角是； 故选：A． 6. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 7. 如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，直线位于x轴上方部分对应的自变量取值即为不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：不等式的解集是， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，注意从数与形两方面来理解一元一次不等式与一次函数的关系． 8. 如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定A选项；再说明可得垂直平分线段可判定B选项；根据直角三角形的性质可得可判定C选项；，根据三角形的面积公式即可判定D选项；． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故B选项不符合题意， ∵， ∴，故C选项符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意， 故选：C． 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. “的5倍与4的差不小于7”用不等式表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，找准不等量关系是解题关键．根据倍、差、不小于的定义列出不等式即可得． 【详解】解：“的5倍与4的差不小于7”用不等式表示为， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，之后又向下平移4个单位，得到点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减的规则，计算即可得解． 【详解】解：∵点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点N， ∴点N的横坐标为，纵坐标为， ∴点N的坐标为． 11. 等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为7进行求解即可． 【详解】解：当腰长为3时，，不能构成三角形， ∴腰长为， ∴三角形的周长为； 故答案为：17． 12. 在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图， 由三角尺可知，，则． 13. 如果一个正多边形的每一个内角度数都是，则该正多边形的边数为___________． 【答案】 6 【解析】 【分析】先根据内角与相邻外角互补求出正多边形的一个外角的度数，再根据多边形外角和定理计算得到正多边形的边数． 【详解】∵ 多边形的内角与相邻外角互为邻补角， ∴ 该正多边形的一个外角为 ． ∵ 任意多边形的外角和为 , ∴ 该正多边形的边数为 ． 14. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的判定，过两把直尺的交点作，，则有，然后通过角平分线的判定即可求解，掌握角平分线的判定是解题的关键． 【详解】解：如图所示：过两把直尺的交点作，， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴点在平分线上， ∴射线就是的平分线（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上． 15. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．解第一个不等式得出其解集，再根据“大大小小无解了”可得答案． 【详解】解：由，得：， 又且不等式组无解， ， 故答案为： 16. 如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出…进而得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 又∵， ， ∵， ， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 以此类推：． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17. 下面是小阳同学解一元一次不等式的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得． 第四步 两边都除以，得． 第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步的依据是_______； ②第_______步开始出现错误，错误的原因是_______． 任务二： 该不等式的正确解集为_______． 任务三： 除纠正上述错误外，请你根据平时的学习方法和经验，就解一元一次不等式的过程写出两条注意事项． 【答案】任务一：①不等式的基本性质2；②五；不等式两边都除以，不等号的方向未改变；任务二：；任务三：见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据不等式的性质和解一元一次不等式的步骤解答任务一和任务二；结合不等式的性质写出注意事项即可． 【详解】解：任务一：①不等式的基本性质2[或不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向不变]； ②第五步开始出现错误，错误的原因是不等式两边都除以，不等号的方向未改变； 任务二：该不等式的正确解集为， 任务三：在进行去分母时，不要漏乘常数项；在移项时，注意符号的改变；系数化为1时，需要正确运用不等式的基本性质等（答案不唯一，合理即可）． 18. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】，图形见解析 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式，得 ． 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集是． 19. 如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． （1）请在图中画出平移后的； （2）将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； （3）如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 【答案】（1）见解析 （2），向下平移个单位长度 （3），（或，或） 【解析】 【分析】本题主要考查用坐标表示平移： （1）点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，所以可得点的坐标为，即，可得点的坐标为，即； （2）由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度； （3）可由沿射线的方向，经过一次平移得到，平移的距离为线段的长度． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求． 【小问2详解】 解：由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． 【小问3详解】 解：可由沿射线的方向，经过一次平移得到． 因为， 所以平移的距离为个单位长度，平移方向是射线（或，或）的方向． 20. 我们知道，被狗咬伤后应该立刻到医院注射狂犬病疫苗，狂犬病疫苗是一种免疫球蛋白，它的保存温度为．某医院准备购进一批该种疫苗，冷藏室的温度为，设每小时可使温度下降，那么最快需要几个小时后冷藏室的温度就达到了存放该种疫苗的温度？ 【答案】小时 【解析】 【分析】设需要x个小时后冷藏室的温度就达到了存放该种疫苗的温度，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设需要x个小时后冷藏室的温度就达到了存放该种疫苗的温度，由题意得： ， 解得：， 答：最快需要小时后冷藏室的温度就达到了存放该种疫苗的温度． 21. 如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，容易证得，得到，结合，根据“到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可证明结论． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ，， ∴． ∴． ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分． 22. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理的逆定理求出为直角三角形，分割法求出绿地的面积即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴绿地的面积； 答：这片绿地的面积是． 23. 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲､乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 【答案】当时，甲､乙两家旅行社的收费相同；当时，选择甲旅行社费用较少；当时，选择乙旅行社费用较少． 【解析】 【分析】设该单位参加这次旅游的人数是人，选择甲旅行社时，所需的费用为元，选择乙旅行社时，所需的费用为元，根据题意求得、的函数关系式，分三种情况求得相应的的取值范围：，，． 【详解】解：设该单位参加这次旅游的人数是人，选择甲旅行社时，所需的费用为元，选择乙旅行社时，所需的费用为元，则 ， 即； ， 即． 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． 因为参加旅游的人数为10至25人，所以，当时，甲､乙两家旅行社的收费相同；当时，选择甲旅行社费用较少；当时，选择乙旅行社费用较少． 【点睛】此题考查一次函数应用问题的方案问题，利用建立一元一次不等式和一元一次方程，找到方案选择的临界数值是解题的关键． 24. 问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． 已知：如图2，是直角三角形，，． 求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，先求出，再根据判定是等边三角形，进而得，，再求出得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接，如图所示： ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 已知：在中，，，为边上一点，为边中点． （1）尺规作图：过点作直线的垂线，交于点；（只保留作图痕迹） （2）请猜想与的数量关系，并给出证明过程． （3）小明在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则___________． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3）两条射线与两腰的交点与斜边的中点连线长度相同 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作图、等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质等： （1）延长，以点为圆心，以任意长为半径作弧，交于点，，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线，交于点； （2）容易求得，结合，可求得，结合，可得，进而可证得； （3）结合（2）的证明过程即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，直线和点即为所求． 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵，， ∴． ∵，为边中点， ∴平分，． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． 在和中 ，，， ∴． ∴． 【小问3详解】 在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则两条射线与两腰的交点与斜边的中点连线长度相同． 26. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式、一次函数与不等式、等腰三角形的性质等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点代入可确定点B的坐标，再运用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）根据交点坐标的意义，结合函数图象确定不等式的解集即可； （3）先求得、、，然后分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入可得：，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：根据题意，得图象交点为， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：根据题意，得， ∴，即， 同理可得，； ∴； 如图：当时，得到，此时； 当时， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴； 当时，设，则，， 根据勾股定理，得，解得：， ∴． 综上所述：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学西校区2025~2026学年第二学期期中考试 初二数学试卷 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1. 下列不等式的变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 用反证法证明：中，，，则，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 3. 满足下列条件时，不是直角三角形的是( ) A. B. C. D. 4. 如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 5. 如图，点A、B、C、D、O都在网格的格点上，三角形绕某点逆时针旋转到三角形的位置，下列说法正确的是（ ） A. 旋转中心是O，旋转角是 B. 旋转中心是O，旋转角是 C. 旋转中心是C，旋转角是 D. 旋转中心是C，旋转角是 6. 在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边上高的交点 D. 三条垂直平分线的交点 7. 如图，直线交坐标轴于A，B两点，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线分别与，交于点E和点F；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，若射线恰好经过点E．下列结论不正确的是（ ） A. B. 垂直平分线段 C. D. 二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 9. “的5倍与4的差不小于7”用不等式表示为_______． 10. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移3个单位，之后又向下平移4个单位，得到点，则点的坐标为___________． 11. 等腰三角形两边长分别为3，7，则它的周长为______． 12. 在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为______． 13. 如果一个正多边形的每一个内角度数都是，则该正多边形的边数为___________． 14. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是__________． 15. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ___________． 16. 如图，已知：，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形，若，则的边长为___________． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17. 下面是小阳同学解一元一次不等式的过程，请仔细阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得． 第一步 去括号，得． 第二步 移项，得 第三步 合并同类项，得． 第四步 两边都除以，得． 第五步 任务一： ①以上解题过程中，第一步的依据是_______； ②第_______步开始出现错误，错误的原因是_______． 任务二： 该不等式的正确解集为_______． 任务三： 除纠正上述错误外，请你根据平时的学习方法和经验，就解一元一次不等式的过程写出两条注意事项． 18. 解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 19. 如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． （1）请在图中画出平移后的； （2）将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； （3）如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 20. 我们知道，被狗咬伤后应该立刻到医院注射狂犬病疫苗，狂犬病疫苗是一种免疫球蛋白，它的保存温度为．某医院准备购进一批该种疫苗，冷藏室的温度为，设每小时可使温度下降，那么最快需要几个小时后冷藏室的温度就达到了存放该种疫苗的温度？ 21. 如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．求证：垂直平分； 22. 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积． 23. 某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲､乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 24. 问题的解决策略：反思 【课本再现】 如图1，在北师大版八年级下册第一章《三角形的证明》中，通过将两个完全相同的含角的三角尺拼成一个等边三角形，发现“角的对边等于三角尺斜边的一半”，并对此猜想进行了证明． 【方法探究】 针对这一定理，小明尝试运用多种方法进行证明．以下是小明的证明思路，请你根据他的思路继续完成证明． 已知：如图2，是直角三角形，，． 求证：． 证明：以点B为圆心，以为半径作弧交于点E，连接． 25. 已知：在中，，，为边上一点，为边中点． （1）尺规作图：过点作直线的垂线，交于点；（只保留作图痕迹） （2）请猜想与的数量关系，并给出证明过程． （3）小明在进一步研究中发现，只要等腰直角三角形满足此特征均有此结论，请你根据题意完成下面命题：在等腰直角三角形中，如果由斜边的中点向两腰分别引出一条射线，与等腰直角三角形两腰各相交于一点，若两条射线互相垂直，则___________． 26. 如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，直接写出x的取值范围； （3）直线与y轴交于点M，在x轴上是否存在点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $