精品解析：四川渠县第二中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

四川省达州市渠县第二中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D 3. 的三边分别为，下列条件不能使 为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴ 是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴ ， ∴ 是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴ 是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴ 不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 4. 三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【详解】∵(a+b)2-c2=2ab， ∴a2+2ab+b2-c2=2ab. ∴a2+b2=c2. ∴此三角形是直角三角形. 故选A. 点睛: 解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a ²＋b ²＝c ²，则三角形ABC是直角三角形． 5. 如图所示，在 中，，在同一平面内，将 绕点 逆时针旋转到的位置，使，则度数为（ ） A. 70° B. 40° C. 50° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角、平行线的性质．旋转中心为点 ， 与， 与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角，，再利用平行线的性质得，把问题转化到等腰中，根据内角和定理求，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是由 旋转得到的， ∴， ∴，， ∴， 在中， ， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． 故选：B． 6. 不等式组的解集为，则a满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组解集，先解不等式组，根据不等式组的解集为，以及“同小取较小”的原则，求得a取值范围即可． 【详解】解不等式组得， ． 故选：D． 7. 如图， 中 ，将 沿 折叠，使得点 落在边 上的点 处，若，且为等腰三角形，则 的度数为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分三种情况讨论：①当 时，②当 时，③当时，根据等边对等角的性质，结合平角的定义求解即可． 【详解】解： 中， ， ， 由折叠的性质可知，， 分三种情况讨论： ①当 时，， ，， ， ； ②当 时，， ， ， ； ③当时，， ， 此种情况不成立； 综上可知， 的度数为或 ， 故选：B． 8. 如图，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与x轴交于点与，则不等式组的解集为（ ） A. 无解 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，观察函数图象得到在x轴上的左边，对应于每一个x的值，函数值 都落在x轴的下方，即不等式的解集为；在x轴上5的左边，对应于每一个x的值，函数值 都落在x轴的上方，即不等式的解集为；再根据“同小取较小”即可得出不等式组的解集． 【详解】解：观察函数图象得到 不等式的解集为， 不等式的解集为； 所以不等式组的解集为． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：=_________________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：==． 故答案为． 10. 已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ____________． 【答案】10或11 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系，由于未说明两边哪个是腰，故分情况讨论，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：等腰三角形的腰长为3，底为4时，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 等腰三角形的腰长为4时，底为3时，能构成三角形， ∴等腰三角形的周长为：， 故答案为：10或11． 11. 已知点与点关于原点对称，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称点的性质，若两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都互为相反数，据此求出 、 的值，代入代数式计算即可． 【详解】解： 点与点关于原点对称， ， ， ， ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，将线段 平移至的位置，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段 向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴ ， 故答案为：2． 13. 不等式组的解集为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集即可． 【详解】解： 由①得， ， 由②得， ， 不等式组的解集为：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 因式分解． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提出公因式，即可求解； （2）先提出公因式，再利用完全平方公式解答，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法是解题的关键． 15. 解不等式（组）： （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知几个不等式的解集的公共部分的找法是解题关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解不等式，得 ， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 16. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位． （1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1． （2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的A2B2C2． （3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）y＝x﹣4，(，0) 【解析】 【分析】（1）由中心对称的定义，作出点A、B关于点C的对称点A1、B1，点C的对称点与点C重合，再依次连接得到的各点即可求得△A1B1C1． （2）根据平移的特征：图形上的对应点都沿平移方向平移了相同的距离，作出点A1、B1、C1的对应点A2、B2、C2，连结A2、B2、C2，求得△A2B2C2． （3）作点A1关于x轴的对称点D，连结C2D交x轴于点P，则点P就是所求的点，由中心对称、平移和轴对称的特征求出点C2、D的坐标，再用待定系数法求出直线PC2的一次函数关系式及点P的坐标． 【详解】解：（1）如图，点A（﹣2，3）、B（﹣1，1）、C（0，2）关于点C的对称点坐标分别为A1（2，1）、B1（1，3）、C1（0，2）， 依次连结A1、B1、C1． △A1B1C1就是所求的图形． （2）点A1（2，1）、B1（1，3）、C1（0，2）向右平移4个单位得到的对应点分别为A2（6，1）、B2（5，3）、C2（4，2）， 依次连结A2、B2、C2， △A2B2C2就是所求的图形. （3）作点A1（2，1）关于x轴的对称点D（2，﹣1）， 连结C2D，交x轴于点P， 连结A1P，则A1P=PD， 由“两点之间，线段最短”可知， 此时PA1+PC2＝DC2的值最小， ∴点P就是所求的点． 设直线PC2的一次函数关系式为y＝kx+b， 由作图可得，点D在直线PC2上， 把D（2，﹣1）、C2（4，2）代入y＝kx+b， 得 ， 解得， ∴y＝x﹣4． 当y＝0时，由x﹣4＝0， 得x＝， ∴P（，0）． 综上所述，经过点P、C2的一次函数关系式为y＝x﹣4，点P的坐标为(，0)． 【点睛】本题考查中心对称、轴对称、平移的特征和作图、最短路径问题的作图以及图形与坐标、用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是正确得出对应点的坐标． 17. 如图，在 中， 垂直平分 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F，的延长线与 边的延长线交于点E， ． （1）求证： 是等边三角形； （2） 与 有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据 垂直平分 得 ，再根据 ， 得 ，由此即可得出结论； （2）先根据 垂直平分 得出 ．再证明 ，然后根据等边三角形与直角 三角形的性质即可得出结论． 【小问1详解】 证明： 垂直平分 ， ， ， ， ， 为等边三角形； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵ 垂直平分 ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴， 又∵， ∴，， 又∵ ， ∴ ， ∴在直角 中， ∴ 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键． 18. 如图，C是线段 上的一点，以 为斜边在线段 同侧作等腰直角三角形 和 ，过D作 于点D，且，连接 交 于点G，连接． （1）求证：； （2）请判断的形状，并说明理由； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）△AEF是等腰直角三角形，理由见解析 （3）∠CAG+∠DEF =45°，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠EDC=45°，由垂直的定义得∠EDF=90°，由此∠FDB=45°，再由AAS证和全等即可； （2）△AEF是等腰直角三角形，理由：由等腰直角三角形的性质得，AB=AC，EC=ED，∠ACB=∠ECD=45°，∠CED=90°，故∠ECA=90°，等量代换得CA=DF，由SAS证得和全等，可得EA=EF，∠AEC=∠FED，进而∠AEF=90°，由此可证△AEF是等腰直角三角形； （3）如图，由等边对等角可得，∠1=45°，由全等三角形对应角相等得∠2=∠DEF，由直角三角形两锐角互余得∠CAG+∠3=90°，由三角形外角的性质可得∠1+∠2=∠3，等量代换即可得到∠CAG+∠DEF =45°. 【小问1详解】 证明：∵ 和 都是等腰直角三角形， ∴∠ABC=∠EDC=45°， ∵DF⊥DE于点D， ∴∠EDF=90°， ∴∠FDB=45°， 在和中， ， ∴≌（AAS） 【小问2详解】 解：△AEF是等腰直角三角形， 理由：∵ 和 都是等腰直角三角形， ∴AB=AC，EC=ED，∠ACB=∠ECD=45°，∠CED=90°， ∴∠ECA=90°， ∵AB=DF， ∴CA=DF， 在和中， ， ∴≌（SAS）， ∴EA=EF，∠AEC=∠FED， ∵∠CEF+∠FED=90°， ∴∠CEF+∠AEC=90°，即∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形. 【小问3详解】 解：如图： 由（2）知：△AEF是等腰直角三角形， ∴∠1=45°， ∵≌， ∴∠2=∠DEF， ∵∠ECA=90°， ∴∠CAG+∠3=90°， ∵∠1+∠2=∠3， ∴∠CAG+∠1+∠2=90°， ∴∠CAG+∠45°+∠DEF =90°， ∴∠CAG+∠DEF =45°. 【点睛】此题考查三角形外角的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，掌握相应的性质和判定是解答此题的关键. B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，将直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形 ，已知 ，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可得， ，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，， ， ， ∴阴影部分的面积， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为 ． 20. 若将分解成，则 的值是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．解题时连续利用平方差公式计算，即可求出 的值． 【详解】解： ， 所以． 故答案为：4． 21. 如图， 中，，E是 内一点且 平分 ，若 的面积为 ，则 的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积及勾股定理，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作，利用角平分线的性质求得，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为D和F， ∵ 平分 ， ∴， ∵， ∴ ∵ 的面积为1.5， ∴，即， ∴ ， ∴， ∴ 的面积为， 故答案为： ． 22. 若关于 、 的二元一次方程组的解满足，则 的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】首先解关于 和 的方程组，利用 表示出，代入即可得到关于 的不等式，求得 的范围． 【详解】解：， ①+②得， 则， 根据题意得， 解得． 故答案是：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把 当作已知数表示出的值，再得到关于 的不等式． 23. 如图，在 中， ， ，点 是在直角边 上一动点，且为等边三角形，则 的最小值是__________________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理得到点 在以 为直径的圆上，设 的中点为 ，连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到 的最小值是． 【详解】解：在 中， ， ， ， ， 点 在以 为直径的圆上， 设 的中点为 ，连接 ，当点 在线段 上时， 的值最小，连接 ， ， ， ， 点 为 的中点， ， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． （1）求每辆A、B型车的车载座位数； （2）若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． 【答案】（1）每辆 型车坐满后载客50人， 型车坐满后载客30人； （2）租 型车10辆，则租 型车5辆，租金最少，最少租金是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组． （1）设每辆 型车坐满后载客 人， 型车坐满后载客 人，可得，即可解得每辆 型车坐满后载客50人， 型车坐满后载客30人； （2）设租 型车 辆，则租B型车辆，根据“要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍”， ，设租金为 ，则，结合一次函数的性质，即可作答． 【小问1详解】 解：设每辆 型车坐满后载客 人， 型车坐满后载客 人， 根据题意得， 解得， 每辆 型车坐满后载客50人， 型车坐满后载客30人； 【小问2详解】 解：设租 型车 辆，则租 型车辆， ∵要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍， ∴ ， 解得， 设租金为 ，则， ∵， ∴ 随 的增大而增大， 当 ，则 有最小值，且为， 即租 型车10辆，则租 型车5辆，租金最少，最少租金是元． 25. 图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请利用上述方法解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ，求 边上的高； （2）如图3，在 中，是 边上的高，求 的值； （3）如图4，在长方形 中，在数轴上，若以点 为圆心，对角线 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______． 【答案】（1） （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴： （1）勾股定理求出 的长，设 边上的高为 ，等积法求出 即可； （2）设 ，则，利用双求法，列出方程进行求解即可； （3）连接 ，勾股定理求出 的长，进而得到 的长，再利用两点间的距离公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得，， 设 边上的高为 ， ， ， ， ； 【小问2详解】 设 ，则， 是 边上的高， ， 在中，， 在 中，， ，解得，， ； 【小问3详解】 如图所示，连接 ， 四边形 是长方形， ， 在 中，， ， 以点 为圆心，对角线 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点， ， 数轴上点 表示的数是， 点表示的数为． 26. 探究性试题 （1）【发现问题】如图1， 为等边三角形，点 D 、E在 边上，，将线段绕点 C 顺时针旋转得到线段 ，连接． ① 求的度数； ② 求证：； （2）【解决问题】如图 2， 是一个三角形的余料．小张同学量得， 他在边 上取了 D、E 两点，并量得，求这三个三角形的面积之比． 【答案】（1）①；②见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）①由等边三角形的性质可得，再证明可得到；②先说明，由SAS证明, 然后运用全等三角形的性质即可解答； (2)把 绕点C顺时针旋转得到 ，则可得，得到 、，是含角的直角三角形即可解答． 【小问1详解】 解:①∵ 是等边三角形， .∴ ∵线段绕点 C 顺时针旋转得到线段 ， ∴， ∴ .在 和 中，， ∴.， .∴； 故答案为：； ②证明：∵， ∴，. ∴， 在 和中，， ∴, ∴． 【小问2详解】 解：如图：把 绕点C顺时针旋转得到 ，则 ∵， ∴.， .∴. ∵，. ∴，.∴. ∵， ∴， ∴,， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市渠县第二中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 的三边分别为，下列条件不能使 为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 如图所示，在 中，，在同一平面内，将 绕点 逆时针旋转到的位置，使，则度数为（ ） A. 70° B. 40° C. 50° D. 80° 6. 不等式组的解集为，则a满足的条件是（　　） A. B. C. D. 7. 如图， 中 ，将 沿 折叠，使得点 落在边 上的点 处，若，且为等腰三角形，则 的度数为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，在同一平面直角坐标系内，直线与直线分别与x轴交于点与，则不等式组的解集为（ ） A. 无解 B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 分解因式：=_________________________． 10. 已知一个等腰三角形的两边边长为3和4，则这个等腰三角形的周长为 ____________． 11. 已知点与点关于原点对称，则的值是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，，，将线段 平移至的位置，则的值为______． 13. 不等式组的解集为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 因式分解． （1） （2） 15. 解不等式（组）： （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 16. ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示，小正方形的边长为1个单位． （1）作ABC关于点C成中心对称的A1B1C1． （2）将A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的A2B2C2． （3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，求经过点P和点C2的一次函数关系式，并求出点P的坐标． 17. 如图，在 中， 垂直平分 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F，的延长线与 边的延长线交于点E， ． （1）求证： 是等边三角形； （2） 与 有怎样的数量关系？请说明理由． 18. 如图，C是线段 上的一点，以 为斜边在线段 同侧作等腰直角三角形 和 ，过D作 于点D，且，连接 交 于点G，连接． （1）求证：； （2）请判断的形状，并说明理由； （3）请写出与的数量关系，并说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，将直角三角形 沿 方向平移得到直角三角形 ，已知 ，则图中阴影部分的面积为______． 20. 若将分解成，则 的值是 _____． 21. 如图， 中，，E是 内一点且 平分 ，若 的面积为 ，则 的面积为___________． 22. 若关于、 的二元一次方程组的解满足，则 的取值范围是____． 23. 如图，在 中， ， ，点 是在直角边 上一动点，且为等边三角形，则 的最小值是__________________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． （1）求每辆A、B型车的车载座位数； （2）若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． 25. 图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 请利用上述方法解决下面的问题： （1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得 ，求 边上的高； （2）如图3，在 中，是 边上的高，求 的值； （3）如图4，在长方形中，在数轴上，若以点 为圆心，对角线 的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，请写出点表示的数______． 26. 探究性试题 （1）【发现问题】如图1， 为等边三角形，点 D 、E在 边上，，将线段绕点 C 顺时针旋转得到线段 ，连接． ① 求的度数； ② 求证：； （2）【解决问题】如图 2， 是一个三角形的余料．小张同学量得， 他在边 上取了 D、E 两点，并量得，求这三个三角形的面积之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $