精品解析：四川省乐山市市中区部分学校2024-2025学年下学期数学半期试题

2024—2025学年度下期期中学情分析 八年级数学半期试题 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，下列各点属于第三象限的是（　　） A. （﹣1，5） B. （1，﹣5） C. （﹣1，﹣5） D. （1，5） 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变 5. 若分式是最简分式，则△表示的是（ ） A. B. C. D. 6. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，长方形 的顶点坐标分别为，，，，动点在边上（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线 分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题： ①在题目条件下，的取值范围是 ； ②在题目条件下，直线 随着的变化而作平行移动． ③若时， 的面积为； ④若时， 其中正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分（非选择题 共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 草履虫是单细胞动物的典型代表，某只草履虫的身长仅米，将数据用科学记数法可表示为__________． 12. 如图，一定质量的氧气，其体积是密度的反比例函数，其图象如图，当时的氧气的体积________． 13. 已知，则______________． 14. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为__________________． 15. 周长为 的等腰三角形，腰长与底边长的函数关系为______，自变量范围为______． 16. 如图，已知双曲线经过的斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则 _____，的面积为_____． 三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 18. 解分式方程：． 19. 先化简：再从中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 20. 已知直线的图象如图所示．化简：． 21. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集为 ． 22. 2025年春节，随着《哪吒2》电彩的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元． （1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？ （2）由于电影角色深受大家喜爱，所以玩具公司决定对两款手办进行降价促销，若降价后每个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的倍，且用800元购买“哪吒”手办的数量比用520元购买“敖丙”手办的数量多5个，求降价后每个“哪吒”手办的售价为多少元？ 23. 某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： （1）该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； （2）求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； （3）若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 24. 八年级下数学教材17页，你知道吗？The symbol 5! is called five factorial（5的阶乘），and meansThus，正整数的阶乘记作，即 ，利用阶乘的意义，我们可以得到 如： ， 闯关问题 （1） ； （2）化简：（结果用含阶乘的式子表示）． （3）求除以 的余数； 25. 启智增慧数学学习小组在课外学习时，发现了下列条件和结论： 如图1，在四边形中，连结 ．有： 如图2，在四边形中，有： 四边形为平行四边形； 如图2，在四边形中，有：四边形为平行四边形 利用以上知识，解决下列问题： 如图3，已知一次函数 的图象与反比例函数的图象交于 两点，点坐标为，直线与坐标轴交于，过点作 轴于 过点作 轴于，连结． （1）求的值； （2）求证：； （3）求的面积． 26. 已知直线： 与 分别相交于 两点，直线：与 分别相交于 两点，与相交于点． （1）求点的坐标； （2）求证：； （3）已知点，点分别是直线和轴上的动点，请直接写出 周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下期期中学情分析 八年级数学半期试题 本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共30分） 注意事项： 1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上． 2．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，一般地，形如（，均为整式，且中含有字母）的式子叫做分式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、是分式，符合题意； B、不是分式，不合题意； C、不是分式，不合题意； D、不是分式，不合题意． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，下列各点属于第三象限的是（　　） A. （﹣1，5） B. （1，﹣5） C. （﹣1，﹣5） D. （1，5） 【答案】C 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A．（-1，5）在第二象限，故本选项不符合题意； B．（1，-5）在第四象限，故本选项不符合题意； C．（-1，-5）在第三象限，故本选项符合题意； D．（1，5）在第一象限，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于A选项，同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ，A错误； 对于B选项，同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，B错误； 对于C选项，幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，C错误； 对于D选项，幂的乘方，底数不变，指数相乘， ，运算符合法则，D正确． 4. 如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大3倍 B. 缩小3倍 C. 缩小6倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】按照题意将原式中的字母都扩大3倍，再化简，即可得出结论． 【详解】解：扩大3倍后，原式变为， ∵， ∴分式的值不变， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是掌握将分式的分子与分母同时乘以或除以同一个整式（除数或除式不为0），分式的值不变． 5. 若分式是最简分式，则△表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可． 先将各选项因式分解，利用最简分式的意义（一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式）进行分析解答． 【详解】解：因为，且分式是最简分式， ∴ 中不含或， A．，不符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 6. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象所在象限的性质，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】对于一次函数，若其图象经过第二、三、四象限，则 且． ∵一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴可得不等式组， 解得． 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天， 由题意得：． 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 8. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接将各点横坐标代入函数解析式求出对应纵坐标，再比较大小即可 【详解】解：∵ 点都在反比例函数的图象上 ∴ 将各点横坐标代入解析式，得 ∵ ∴ 9. 一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选项错误，不符合题意；B选项正确，符合题意； ∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限，故C选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答． 10. 如图，长方形 的顶点坐标分别为，，，，动点在边上（不与重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线 分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题： ①在题目条件下，的取值范围是 ； ②在题目条件下，直线 随着的变化而作平行移动． ③若时， 的面积为； ④若时， 其中正确命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①根据点、分别在矩形边、上，利用坐标范围确定的取值范围；②计算直线 的斜率，判断其是否为定值；③当时，求出、坐标，利用割补法计算 的面积；④当时，求出直线 解析式及、坐标，利用勾股定理计算线段 、的长度及乘积. 【详解】①根据题意，点D与点 不重合， 所以 ， ，故①正确； ②∵，，，， ∴设点 ， ∵过点的反比例函数的图象与边交于点， ∴， 设直线的函数解析式为 ， ∴， 解得：， ∴， ∴直线 随着的变化而作平行移动； ③ ， ∴ ， ， ， ． ，故③正确； ， ∴ ， ， 设直线 的解析式为， 则有， 解得， ． 令，得， ； 令，得， ． ∴； ， ∴ 故④正确； ∴正确的有4个． 第二部分（非选择题 共120分） 注意事项： 1．考生使用0.5mm黑色墨汁签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，答在试题卷上无效． 2．作图时，可先用铅笔画线，确认后再用0.5mm黑色墨汁签字笔描清楚． 3．解答题应写出文字说明、证明过程或推演步骤． 4．本部分共16个小题，共120分． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11. 草履虫是单细胞动物的典型代表，某只草履虫的身长仅米，将数据用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中 ，为整数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，一定质量的氧气，其体积是密度的反比例函数，其图象如图，当时的氧气的体积________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设，利用待定系数法求出，再求出当时的值，即可得解，正确求出反比例函数解析式是解此题的关键． 【详解】解：设， 将代入解析式， 解得：， ， 当时，， 故答案为：． 13. 已知，则______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．根据题意，可得，整理即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 14. 已知关于x的分式方程的解为非负数，则k的取值范围为__________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时， ， 因此k的取值范围为且， 故答案为：且． 15. 周长为 的等腰三角形，腰长与底边长的函数关系为______，自变量范围为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了列函数解析式，求自变量的取值范围，根据底边长两腰长周长，建立等量关系，变形即可列出函数关系式，再根据三角形三边的关系即可求出自变量的范围，正确列出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为 ， ∴， ∴， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， 即， 解得 ， 又∵， ∴自变量范围为 ， 故答案为：， ． 16. 如图，已知双曲线经过的斜边的中点，且与直角边相交于点．若点的坐标为，则 _____，的面积为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】因为C是的中点，已知点A坐标，所以可根据中点坐标公式求出点C的坐标．因为双曲线经过点C，所以将点C坐标代入反比例函数解析式即可求出k值．因为垂直于x轴，所以D点横坐标与A点横坐标相同，将横坐标代入反比例函数解析式可求出D点纵坐标，得到的长度，利用三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：为原点，，是的中点， 的坐标为，即． 在双曲线上，代入得． 在 中，垂直轴于， 点坐标为，在上， 的横坐标为． 把代入，得，即． ，  ． 三、本大题共10个小题，共102分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】先分别计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再合并计算结果； 将原式通分，转化为同分母分式的减法，化简分子后得到最终结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解分式方程：． 【答案】 是原分式方程的解. 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验分母是否不为零，即可得到原方程的解 【详解】 解：方程两边同乘以得：  展开整理得：  合并同类项得： 解得：  检验：当时，， 是原分式方程的解 19. 先化简：再从中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】 ，当时，原式 【解析】 【分析】先对原式通分化简，再根据分式有意义的条件，排除使分母为0的x的取值，选择合适的x代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 要使分式有意义，则各分母不能为0， 可得，， 即，， 所以只能选取， 原式． 20. 已知直线的图象如图所示．化简：． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象的特点确定的符号，代入原式计算即可． 【详解】解：根据图象得：，即； 且当时，，即， ∴， ． 21. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）方程的解为 ； （3）不等式的解集为 ． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数与反比例函数的交点即可得出结果； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 ∵、是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． ∴的解为； 【小问3详解】 解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 22. 2025年春节，随着《哪吒2》电彩的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元． （1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是多少元？ （2）由于电影角色深受大家喜爱，所以玩具公司决定对两款手办进行降价促销，若降价后每个“敖丙”手办的售价是每个“哪吒”手办售价的倍，且用800元购买“哪吒”手办的数量比用520元购买“敖丙”手办的数量多5个，求降价后每个“哪吒”手办的售价为多少元？ 【答案】（1）每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元 （2）降价后每个“哪吒”手办的售价为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用； （1）等量关系式：每个“敖丙”手办的售价每个“哪吒”手办的售价按售价便宜20元，购买3个“哪吒”手办的费用2个“敖丙”手办的费用540元，列方程组，即可求解； （2）等量关系式：用800元购买“哪吒”手办的数量用520元购买“敖丙”手办的数量5个，列方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元，由题意得 ， 解得：， 答：每个“哪吒”和“敖丙”手办的售价分别是元、元； 【小问2详解】 解：降价后每个“哪吒”手办的售价为元，由题意得 ， 解得： ， 经检验： 是所列方程的根，且符合题意； 答：降价后每个“哪吒”手办的售价为元． 23. 某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答： （1）该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元； （2）求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式； （3）若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？ 【答案】（1），； （2）； （3）吨． 【解析】 【分析】（）分两种情况，用水费除以用水量即可得每吨收费； （）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可； （）把代入法（）所得对应的函数解析式计算即可求解； 本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函数关系式． 【小问1详解】 解：∵(元 吨)， ∴不超过吨时，每吨收费元， ∵(元 吨)， ∴超过吨时，每吨收费元， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，设， 把， 代入得，， 解得， ∴； 当 时，设， 把，代入得， ， 解得， ∴； 综上所述，与之间的关系式为； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴用水量超过吨， 把代入得， ， 解得， 答：该户居民用水吨． 24. 八年级下数学教材17页，你知道吗？The symbol 5! is called five factorial（5的阶乘），and meansThus，正整数的阶乘记作，即 ，利用阶乘的意义，我们可以得到 如： ， 闯关问题 （1） ； （2）化简：（结果用含阶乘的式子表示）． （3）求除以 的余数； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）按阶乘定义直接计算乘积即可； （2）仿照题目给出的拆分方法，对每一项裂项后中间项抵消，得到化简结果； （3）先得出大于等于5的阶乘都是40的倍数，只需计算低于5阶的部分即可求出余数． 【小问1详解】 解：根据阶乘定义得： ； 【小问2详解】 根据题意：对任意正整数，有：      【小问3详解】 当 时，  ∴所有 的都是40的倍数，除以40余数为0， 将原式分组得：   所有含的项的和都是40的倍数，除以40余数为0， ∴计算剩余部分：   ∴原式除以40的余数为 ． 25. 启智增慧数学学习小组在课外学习时，发现了下列条件和结论： 如图1，在四边形中，连结 ．有： 如图2，在四边形中，有： 四边形为平行四边形； 如图2，在四边形中，有：四边形为平行四边形 利用以上知识，解决下列问题： 如图3，已知一次函数 的图象与反比例函数的图象交于 两点，点坐标为，直线与坐标轴交于，过点作 轴于 过点作 轴于，连结． （1）求的值； （2）求证：； （3）求的面积． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，一次函数与相交于两点， 联立得到，，解得或， ∴点坐标为， ∵ 轴， 轴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出点坐标为，再代入一次函数解析式即可求出答案； （2）证明，即可得到； （3）求出，利用即可求出答案． 【小问1详解】 解；把代入得到， ∴点坐标为， 把代入 得到 ，解得， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴． 26. 已知直线： 与 分别相交于 两点，直线：与 分别相交于 两点，与相交于点． （1）求点的坐标； （2）求证：； （3）已知点，点分别是直线和轴上的动点，请直接写出 周长的最小值． 【答案】（1） （2）证明：∵ ， ∴当时，， ∴ ， ∵， ∴当时，， ∴ ， ∴ ， 由（1）得 ， ∴，， ∴， ∴ ， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）联立两个一次函数即可求出点的坐标； （2）根据题意得出 ， ， ，然后利用勾股定理及其逆定理得出 ，即可证明； （3）作点P关于直线的对称点，作点P关于x轴的对称点，得出当且仅当四点共线时， 的周长最小为，结合一次函数的性质得出所在直线的函数解析式为： ，设点 ，得出 即 ，然后代入函数解析式求解即可． 【小问1详解】 解：联立两个函数解析式：， 解得：， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作点P关于直线的对称点，作点P关于x轴的对称点， ∴ ，， ∴ 的周长为： ， 当且仅当四点共线时， 的周长最小为， 由（2）得， ∴， ∴所在直线的函数解析式为： ， 设点 ， ∴ 即 ， ∵ 在直线上， ∴ ， 解得：， ∴ ， ∵ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $