25.3 第3课时 循环问题、销售问题教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦循环问题、销售问题与一元二次方程的应用，通过复习列一元一次方程解应用题步骤导入，以旧知为支架，衔接用一元二次方程解决实际问题的新内容。 亮点在于问题驱动探究，如握手问题引导抽象数量关系（数学眼光），双循环比赛和利润问题通过方程建模与逻辑推理（数学思维），课堂小结强调模型归类与等量拆解（数学语言）。具体实例助学生掌握解题方法，提升应用能力，为教师提供清晰教学流程与检测工具。

25.3　实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题、销售问题 教学设计 课题 25.3　第3课时 循环问题、销售问题 授课人 教学目标 1.（2022新课标）能针对具体问题（循环问题、销售问题）中的数量关系列出一元二次方程并求解. 2.体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 3.（2022新课标）能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 4.能较熟练地运用一元二次方程解决实际问题.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 教学重点 通过循环问题、销售问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决问题的能力. 教学难点 在探究循环问题、销售问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 列一元一次方程解应用题的步骤？ ①审题，②设出未知数， ③找等量关系，④列方程， ⑤解方程，⑥解答． 学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究. 探究新知 1.循环问题与一元二次方程 在李老师所教的班级中，两个学生握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？ 分析：设李老师所教班共有x名学生， 每个人都要和其他(x－1)个人握手一次，共握手(x－1)x次， 但每两个人重复握手一次，则全班学生一共握手x(x－1)次， 再根据全班学生一共握手780次列出方程，求出方程的解即可得到结果． 解：设李老师所教班共有x名学生． 依题意，有x(x－1)＝780， 即(x－40)(x＋39)＝0． 解得x＝40或x＝－39（舍去）． 故李老师所教班共有40名学生． 师生活动：学生独立思考，小组内交流答案，教师给予点拨和辅导，最后总结出规律． 教师总结：握手问题及球赛单循环问题要注意重复，需要在总数的基础上除以2． 2.用一元二次方程解决销售问题 某商店将进价为每件8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价的办法增加利润.如果这种商品每件的销售价每提高0.5元，其每天的销售量就减少10件. 问题：（1）利润与进价、售价、销量之间有何关系？ （2）若每件商品的售价定为12元，则每件商品的利润是多少元？每天的销售量是多少件？每天的销售利润是多少元？ （3）如果将每件商品的售价定为x元，则每件商品的利润是多少元？每天的销售量是多少件？每天的销售利润是多少元？若设每件涨价x元呢？ （4）若已知该商品每天的销售利润是640元，你能列方程求出每件商品的进价吗？ 师生活动：教师引导，学生思考讨论，一步一步地深入探究，师生共同解决问题. 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 典例精析 【例1】若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n-1). 【解】假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300,那么n(n-1)=300. 解方程，得n=. 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数，因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 【方法总结】 （1）单循环赛类似于相互握手，x支球队的单循环赛场数为 x(x－1)； （2）主客场赛类似于相互寄送贺卡，x支球队的主客场赛场数为x(x－1). 【例2】假设某种糖的成本为8元/千克，售价为12元时，可卖100千克．若售价涨了1元，则少卖5千克，要想售卖这种糖果获取利润640元，且售价不高于成本价的2.5倍，则每千克糖应涨价多少元？ 【解】设每千克糖应涨价x元． 依题意得(4＋x)(100－5x)＝640， 解得x1＝4，x2＝12． ∵售价不高于成本价的2.5倍， 即x＋12≤2.5×8， ∴x≤8， ∴x＝4． 即每千克糖应涨价4元． 【方法总结】 列一元二次方程解决销售问题的“一二三” （1）一个相等关系：单件利润×销售量＝销售利润． （2）两个变量：单件利润、销售量是较难表示的两个量． （3）三个检验：列方程后检验每项的意义、检验方程根的求解是否正确、作答前验根是否符合实际． 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强一元二次方程解决实际问题的能力，发展模型观念和应用意识. 随堂检测 1．生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出的方程是（　　） A．x(x＋1)＝182　　　　　B．x(x－1)＝182 C．2x(x＋1)＝182　　　　D．x(1－x)＝182×2 答案：B. 2．将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价多少元？（　　） A．10　　　　　 B．22　　　　　 C．2或22　　　　　 D．10或22 答案：C. 3．参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？ 解：设共有x个队参加了比赛． 依题意x(x－1)＝90． 解得x1＝10，x2＝－9（舍去）． 答：共有10个队参加了比赛． 4. 某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？ 解：设共有x个班级参赛，则每个班级要进行(x－1)场比赛，共要进行x(x－1)场比赛， 但每两班之间只比赛一场， 故根据题意得x(x－1)＝15， 解得x1＝6，x2＝－5（舍去）．∴x＝6． 答：共有6个班级参赛． 5．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 解：设商品的销售单价应降低x元，则商品的销售单价为(60－x)元，销售量为(300＋20x)件． 列方程，得(60－x－40)(300＋20x)＝6 080， 整理，得x2－5x＋4＝0，解方程，得x1＝1，x2＝4， 要使顾客得实惠，取x＝4，所以销售单价定为56元． 答：应将销售单价定为56元． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面：学习了用一元二次方程解决循环、销售实际问题，核心体会建模归类与等量拆解思想，把生活中的比赛、握手等循环场景，以及利润、销量、单价联动的销售场景，转化为标准一元二次方程模型；严格遵循“审题定题型→抓等量关系→设元列方程→求解验根→规范作答”的完整流程，重点结合实际场景筛选有效根，杜绝不符合题意的增根。 2. 知识内容层面：针对性拆解两类高频应用题，理清核心模型、等量关系和解题套路，突破易错建模难点： （1）循环问题：核心场景：单循环比赛、两两握手、互送礼物、线路联通等两两互动类问题. 解题关键：区分单、双循环，找准参与总数与总场次/次数的等量关系，避免重复计数 （2）销售利润问题：核心公式：单件利润 = 售价 - 进价，总利润 = 单件利润 × 销售量. 核心逻辑：单价每涨价/降价一定金额，销量对应减少/增加固定数量，二者呈反向联动关系. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对一元二次方程解决实际问题的应用能力. 作业布置 板书设计 循环问题、销售问题 1.循环问题 2.销售问题 解题步骤 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $