25.3 第2课时 传播问题、平均变化率问题教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦传播问题与平均变化率问题，通过电脑病毒传播案例和增长率新闻导入，衔接一元二次方程知识，搭建从实际问题到方程建模的学习支架。 以新课标核心素养为导向，通过“一传十”谚语抽象传播模型，用成绩增长实例推导平均变化率公式，培养模型观念与应用意识，检验解的合理性提升推理能力，助力学生掌握解题方法，为教师提供清晰教学流程与典型例题。

25.3　实际问题与一元二次方程 第2课时 传播问题、平均变化率问题 教学设计 课题 25.3　第2课时 传播问题、平均变化率问题 授课人 教学目标 1.（2022新课标）能针对具体问题（传播问题、平均变化率问题）中的数量关系列出一元二次方程并求解. 2.体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型. 3.（2022新课标）能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 4.能较熟练地运用一元二次方程解决实际问题.通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准. 教学重点 通过传播问题、平均变化率问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决问题的能力. 教学难点 在探究传播问题、平均变化率问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程. 授课类型 新授课 课时 1 教学步骤 师生活动 设计意图 情境导入 1.一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，经过三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 2.我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如今年我市人均收入Q元，比去年同期增长x%；空气污染指数比去年降低y%；某厂预计两年后使生产总值翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题. 学生带着问题去学习，并由此引出本节课的学习探究. 探究新知 1.用一元二次方程解决传播问题 （1）问题：谚语“一传十、十传百、百传千千万”的意思是什么？ 学生自主思考，讨论交流，形成思维上的模型. （2）问题：①若一人患了流感，每轮传染中平均一个人能够传染6个人，经过几轮传染后，班级内的56名同学都患上流感？ ②若一人患了流感，每轮传染中平均一个人能传染x个人，则第一轮传染过后共有多少人患了流感？第二轮传染过后共有多少人患了流感？按照这样的传染速度，n轮传染过后共有多少人患了流感？ 师生活动：学生独立思考，小组内交流答案，教师给予点拨和辅导，最后总结出规律． 被传染数＝传染源数×传染倍数． （3）问题：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 师生活动：教师指导学生进行审题，并进行解答． 设每轮传染中平均一个人传染了x个人． 教师出示问题： ①第一轮后被传染的人数有多少？传染的倍数是多少？ ②第二轮传染的传染源数是多少？传染的倍数是多少？ 教师指导学生列出方程，并进行求解. 第一轮的传染源有1人，第二轮的传染源有(x＋1)人． 1＋x＋x(1＋x)＝121， 解得x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去)． 教师总结：解一元二次方程很多时候有两个解，可能其中一个解不符合问题的实际意义需要舍去． 传染源数×传染倍数＝被传染数(传染倍数为x). 2.用一元二次方程解决平均变化率问题 问题：（1）若小明第一次月考数学成绩是50分，第二次月考成绩增长了x，第三次月考成绩又增长了x，他的第三次月考数学成绩是多少？若小明的第三次月考数学成绩是80分，你能列方程求出x吗？ （2）若小明最初数学成绩为a分，以后每个月数学成绩的增长率都为x，经过n个月，他的数学成绩b是多少？ 师生活动：教师给予学生充足的时间考虑问题并解答问题，使学生能够真正理解问题的解答方法，教师做好个别指导. 归纳：平均增长率（或下降率）问题：若基数为a，增长（或下降）率为x，n为增长（或下降）次数，b为变化后的结果，其基本关系式是a（1±x）n＝b. 师生活动：学生相互讨论.指名回答，其他学生相互补充，师生一起总结. 通过问题引发学生思考，引导学生探究. 典例精析 【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干和小分支的总数是133，则每个支干长出多少小分支? 【解】设每个枝干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝133， 即x2＋x－132＝0. 解得x1＝11，x2＝－12(舍去)． 答：每个枝干长出11个小分支． 【方法总结】 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤 (1)审——审清题目的各量之间的关系； (2)设——恰当地设出未知数，可直接设也可间接设； (3)列——根据问题中的等量关系，列出方程； (4)解——求出未知数的值； (5)验——检验方程的解的正确性及是否符合实际情况； (6)答——写出应用题的答案. 【例2】某市教育局推出“中小学网络课堂”，为学生提供线上学习，据统计，第一批公益课受益学生20万人次，第三批公益课受益学生24.2万人次．如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率． 【解】设增长率为x， 根据题意，得20(1＋x)2＝24.2． 解得x1＝－2.1（舍去），x2＝0.1＝10%． 答：增长率为10%． 【方法总结】求平均增长率(降低率)问题：一般列方程a(1±x)n=b.其中a为原始数据，b为增长(降低)后的数据，n为变化次数，x为增长率(降低率). 师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答． 通过例题，加强一元二次方程解决实际问题的能力，发展模型观念和应用意识. 随堂检测 1．某厂今年一月的总产量为500吨，三月的总产量为720吨，平均每月增长率是x，列方程为（　　） A．500(1＋2x)＝720 　　B．500(1＋x)2＝720 C．500(1＋x2)＝720　　　 D．720(1＋x)2＝500 答案：B. 2．某年某家电商城的销售额由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为（　　） A．10%　　　B．20%　　　C．19%　　　D．25% 答案：A. 3．在园林化城市建设期间，某市2023年绿化面积约为1 000万平方米，2025年绿化面积约为1 210万平方米．如果近几年绿化面积的年增长率相同，则2026年绿化面积约为（　　） A．1 221万平方米　　　　　　B．1 331万平方米 C．1 231万平方米　　　　　D．1 323万平方米 答案：B. 4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人． 依题意1＋x＋(1＋x)x＝64，即(x＋1)2＝64， 解得x1＝7，x2＝－9（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人． 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况. 课堂小结 【课堂小结】 引导学生从下面三方面进行小结：从方法上学到了什么方法？从知识内容上学到了什么内容？分清楚概念的区别和联系？ 1. 方法层面：学习了用一元二次方程解决传播、平均变化率实际问题，核心体会建模归纳与递推分析思想，通过梳理数量变化规律，提炼通用等量关系建立方程模型；严格遵循“审题抓规律→设元列方程→求解验根→规范作答”流程，重点强化实际意义检验，摒弃不符合场景的增根。 2. 知识内容层面：针对性拆解两类典型应用题，理清核心公式、等量关系和解题套路，突破建模难点： （1）传播问题：核心场景：病毒传播、消息扩散、树枝分叉、细胞分裂等成倍增长类问题； 解题步骤：定传播轮数→设单轮传播量→列平方型方程→求解验根. （2）平均变化率问题：核心场景：产量/销量/产值增长、成本/价格/人数下降、利率复利等匀速变化问题 解题关键：找准基数、变化率、终值三个量，区分增长与下降符号，明确期数. 通用解题步骤 审题：圈画关键词，找准等量关系； 设元：选合适未知量，用含未知量的式子表示相关量； 列方程：根据几何/数字规律建立一元二次方程； 解方程：选用合适解法（因式分解、公式法为主）； 检验：判别式验证、舍去负根、超范围根； 作答：规范书写答案，贴合实际题意. 【知识网络】 教学说明：教师提问并引导学生总结归纳配方法的概念及解题步骤． 巩固所学知识，加深对一元二次方程解决实际问题的应用能力. 作业布置 板书设计 传播问题、平均变化率问题 1.传播问题 2.平均变化率问题 解题步骤 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $