精品解析：黑龙江望奎县先锋镇富饶中学等校2025-2026学年初四下学期期末数学模拟试卷

2026初四期末数学模拟试卷 考生注意：1．考试时间120分钟． 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分． 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 如果零上记作，那么零下记作（ ） A. B. C. D. 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 有三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 6. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ） A. 最高成绩是9.4环 B. 平均成绩是9环 C. 这组成绩的众数是9环 D. 这组成绩的方差是8.7 7. 数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 8. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 30 10. 在如图，中，，，的面积为6，与轴负半轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 12. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为．则下面的四个结论： ①； ②； ③； ④当时，或． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 14. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为______． 15. 因式分解：________． 16. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，，0，1.把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽一张，则两次抽取卡片上的数字之和为负数的概率是______． 17. 化简：________． 18. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是___． 19. 如图，轮船在码头的正东方向，与码头的距离为100海里，轮船向北航行40海里到达处时，换到处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西方向航行到处．解救渔船后轮船沿南偏西返回到码头，那么码头与的距离为___________海里．（结果保留整数，参考数据：，，．） 20. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，P是AD边上的动点，于点E，于点F，则的值为_________． 21. 如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为______． 22. 已知正方形的边长为6，点是直线上一点，且，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，则线段的长为__________． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 24. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 25. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程与时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲的骑行速度 ，点M的坐标 ． （2）求甲返回时距A地的距离y与时间x之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）． （3）两人出发后，求经过多长时间两人相遇． 26. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD=3，求△ABC的面积． 27. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 28. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； （3）如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026初四期末数学模拟试卷 考生注意：1．考试时间120分钟． 2．本试题共三道大题，28个小题，总分120分． 3．所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 如果零上记作，那么零下记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了正负数的意义．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作． 故选：A． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 3. 用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A. ①号位置 B. ②号位置 C. ③号位置 D. ④号位置 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论． 【详解】据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置． 故选：B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了积的乘方的运算法则，合并同类项的方法，有理数的减法的运算方法，以及负整数指数幂的运算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 5. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 有三个角都是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、有三个角都是直角的四边形是矩形，是真命题； B、对角线相等的平行四边形是矩形，是矩形的判定定理，是真命题； C、对角线互相平分可得四边形是平行四边形，结合对角线相等，可判定该四边形是矩形，是真命题； D、等腰梯形的对角线相等，但它不是矩形，因此对角线相等的四边形不一定是矩形，原命题是假命题，故选项D符合题意． 6. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是（ ） A. 最高成绩是9.4环 B. 平均成绩是9环 C. 这组成绩的众数是9环 D. 这组成绩的方差是8.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据统计图即可判断选项A，根据统计图可求出平均成绩，即可判断选项B，根据统计图即可判断选项C，根据所给数据进行计算即可判断选项D． 【详解】解：A、由统计图得，最高成绩是9.4环，选项说法正确，不符合题意； B、平均成绩：，选项说法正确，符合题意； C、由统计图得，9出现了3次，出现的次数最多，选项说法正确，不符合题意； D、方差：，选项说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了平均数，众数，方差，解题的关键是理解题意掌握平均数，众数和方差的计算方法． 7. 数学活动课上，甲，乙两位同学制作长方体盒子．已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍．设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设乙每小时做个盒子，根据“甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍”，则甲每小时做个盒子，根据“甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟”，列出方程即可． 【详解】解：设乙每小时做个盒子，则甲每小时做个盒子， 由题意得：， 故选：C． 8. 已知、是一元二次方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两根，，，， ，， ． 9. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则，再根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， ∵周长为8， ∴的周长为20， 故选C． 10. 在如图，中，，，的面积为6，与轴负半轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数系数的几何意义，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方求出是解题关键．过点作轴于点，易得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，易证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 在中，，， ， 设，则，， 由题意可知，， ，， ， ，即， ， ， ． 故选：B． 11. 如图，点是菱形边上的一动点，它从点出发沿在路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设菱形的高为h，即是一个定值，再分点P在AB上，在BC上和在CD上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：设菱形的高为h，有三种情况： ①当P在AB边上时，如图1， y=AP•h， ∵AP随x的增大而增大，h不变， ∴y随x的增大而增大， 故选项C不正确； ②当P在边BC上时，如图2， y=AD•h， AD和h都不变， ∴在这个过程中，y不变， 故选项A不正确； ③当P在边CD上时，如图3， y=PD•h， ∵PD随x的增大而减小，h不变， ∴y随x的增大而减小， ∵P点从点A出发沿A→B→C→D路径匀速运动到点D， ∴P在三条线段上运动的时间相同， 故选项D不正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，解题的关键是根据点P的位置的不同，运用分类讨论思想，分三段求出△PAD的面积的表达式． 12. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为．则下面的四个结论： ①； ②； ③； ④当时，或． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定a、b、c的符号，再根据函数图象反映的信息逐一分析即可． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为， ∴，即， ∵图象与y轴交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ②∵点坐标为， ∴，， ∵， ∴故②错误； ③当时，， 由图象可知函数经过点， ∴当时，， 故， 即，故③错误； ④∵对称轴为，点， ∴， ∴当时，或，故④正确； 综上所述，正确的结论只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，此类问题通常先将二次函数的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等信息分析出来是解题的关键． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义可得： ， 解得： ； 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 14. 2024年5月，财政部下达1582亿元资金，支持地方进一步巩固和完善城乡统一、重在农村的义务教育经费保障机制．将“1582亿”用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数． 【详解】解：1582亿． 故答案为：． 15. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式，即可求解． 【详解】解：． 16. 在桌面上放有四张背面完全一样的卡片，卡片正面分别标有数字，，0，1.把四张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽一张，则两次抽取卡片上的数字之和为负数的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，画出树状图，由树状图求得所有的可能结果与抽到的两张卡片上标有的数字之和为负数的结果，再由概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图如下： 共有16个可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之和为负数的结果有10个， ∴两次抽取的卡片上的数字之和为负数的概率． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列举法求概率的知识，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 17. 化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】先将括号里面的通分，化除为乘，根据平方差公式对分式进行化简，即可． 【详解】解： ． 18. 一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是___． 【答案】180° 【解析】 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度． 由题意得S底面面积=πr2， l底面周长=2πr， S扇形=2S底面面积=2πr2， l扇形弧长=l底面周长=2πr． 由S扇形=l扇形弧长×R得2πr2=×2πr×R， 故R=2r． 由l扇形弧长=得： 2πr= 解得n=180°． 故答案为：180° 【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式以及圆锥侧面积的计算，掌握相关公式正确计算是解题关键． 19. 如图，轮船在码头的正东方向，与码头的距离为100海里，轮船向北航行40海里到达处时，换到处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西方向航行到处．解救渔船后轮船沿南偏西返回到码头，那么码头与的距离为___________海里．（结果保留整数，参考数据：，，．） 【答案】 【解析】 【分析】通过作垂线构造直角三角形，在直角三角形和矩形中，设未知数，表示出，再根据锐角三角函数列出方程解答即可． 【详解】过点作于点，过点作于点， 由题意可知， 在中，由于， 设海里，则海里， 四边形是矩形 海里，海里， 海里， 海里， 海里， 在中，， ， ， ， 海里， 在中， 海里 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 20. 如图，在正方形ABCD中，AB=2，P是AD边上的动点，于点E，于点F，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝AE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可． 【详解】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD＝45°，AD＝CD＝2，OA＝AC， ∵PE⊥AC，PF⊥BD， ∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形， ∴PF＝OE，PE＝AE， ∴PE+PF＝AE+OE＝OA， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴OAAC． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质． 21. 如图所示，长方形的两边、分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A的对应点记为；经过第二次翻滚，点A的对应点记为；……依次类推，经过第2024次翻滚，点A的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给变换方式发现每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现是解题的关键． 根据所给运动方式，依次求出点A的对应点坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：根据所给翻滚方式可知， 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； 点的坐标为； …， 由此可见，每翻滚四次，点的横坐标增加10，且其纵坐标按0，0，2，3循环出现， 又因为， 所以， 所以点的坐标为． 故答案为：． 22. 已知正方形的边长为6，点是直线上一点，且，连接，作线段的垂直平分线交直线于点，则线段的长为__________． 【答案】4或16 【解析】 【分析】分为两种情况：P在DA的延长线上时，P在AD的延长线上时，连接BE，根据线段垂直平分线求出PE=BE，根据勾股定理求出BE，根据全等求出BQ=PE，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC=AB=6， ∵3AP=AD， ∴AP=2， 分为两种情况： ①如图1所示：P在DA的延长线上时，QE交直线AD于E，与BP交于O， 连接BE， ∵QE是BP的垂直平分线， ∴PE=BE，， 设PE=BE=x，则AE=x-2， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+AB2=BE2， (x-2)2+62=x2， 解得：x=10， 即PE=BE=10， ∵AD∥BC， ∴∠P=∠QBO， 在△PEO和△BQO中， ， ∴△PEO≌△BQO（ASA）， ∴BQ=PE=10， ∵CD=6， ∴CQ=6+10=16； ②如图2所示：P在AD的延长线上时， 同理：BQ=10， 此时CQ=10-6=4； 故答案为：4或16． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 如图，四边形中，ABDC，，于点． （1）用尺规作的角平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图所示． （2） 证明：是的角平分线， ， ∵ABCD， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）由角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，求出，可得四边形ABCE为平行四边形，再结合AB＝BC，可证得四边形ABCE为菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握尺规作角平分线的步骤以及菱形的判定定理是解答本题的关键． 24. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次被抽取的学生人数为 人； （2）补全条形统计图： （3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ； （4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数． 【答案】（1）100 （2） 补全统计图如下： （3）36 （4）300人 【解析】 【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键． （1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果； （2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可； （3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可； （4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：人， 故答案为：100； 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 故答案为：36； 【小问4详解】 人． 25. 在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程与时间之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）请写出甲的骑行速度 ，点M的坐标 ． （2）求甲返回时距A地的距离y与时间x之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）． （3）两人出发后，求经过多长时间两人相遇． 【答案】（1）240， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）根据“速度=路程÷时间”求出甲的骑行速度；根据“路程=速度×时间”求出A、B两地的距离，即点M的纵坐标；根据“甲往返的总时间为，途中休息”求出点M的横坐标； （2）利用待定系数法求解即可； （3）分别求出线段DE对应的函数关系式和甲从A地到C地过程中y与x之间的函数关系式，再列方程求出图象交点的横坐标即可． 【小问1详解】 解：甲的骑行速度为； A、B两地的距离为（米）， ∵甲往返的总时间为，途中休息， ∴点M的横坐标是， ∴点M的坐标为． 故答案为：240，． 【小问2详解】 解：设线段对应的函数关系式为（k、b为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴甲返回时距A地的程y与时间x之间的函数解析式为． 【小问3详解】 解：由（1）可知，点D的坐标是． 设线段对应的函数关系式为（为常数，且）． 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴线段对应的函数关系式为； 甲从A地到C地过程中y与x之间的函数关系式为． 当甲从A地到C地的过程中与乙相遇时，得，解得； 当甲从B地返回A地的过程中与乙相遇时，得，解得； 综上，或8． ∴两人出发后，经过或两人相遇． 26. 如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2． （1）求证：AC平分∠BAD； （2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD=3，求△ABC的面积． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB=3PB，理由见试题解析；（3）5． 【解析】 【分析】（1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD； （2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB=∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案； （3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的长，继而求得答案． 【详解】解：（1）连接OC，∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA， ∵OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠DAC=∠OAC， ∴AC平分∠BAD； （2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB．理由： ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∴∠BAC+∠ABC=90°， ∵OB=OC， ∴∠OCB=∠ABC， ∵∠PCB+∠OCB=90°，∴∠PCB=∠PAC， ∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC， ∴，∴=PB•PA， ∵PB：PC=1：2， ∴PC=2PB，∴PA=4PB， ∴AB=3PB； （3）过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形， ∴OC=HE，∴AE=+OC， ∵OC∥AE，∴△PCO∽△PEA， ∴， ∵AB=3PB，AB=2OB，∴OB=PB， ∴==， ∴OC=，∴AB=5， ∵△PBC∽△PCA， ∴， ∴AC=2BC， 在Rt△ABC中，， ∴， ∴BC=，∴AC=， ∴S△ABC=AC•BC=5． 考点：圆的综合题． 27. 【探究】 （）已知和都是等边三角形． ①如图，当点在上时，连接．请探究和之间的数量关系，并说明理由； ②如图，当点在线段的延长线上时，连接．请再次探究和之间的数量关系，并说明理由． 【运用】 （）如图，等边三角形中，，点在上，．点是直线上的动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（）， 理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ，理由如下： ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； （）或． 【解析】 【分析】（）．证明可得，即得，进而可得；．同理即可求解； （）分点在上，和点在的延长线上，两种情况，画出图形，结合四点共圆及圆周角定理解答即可求解； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，等角对等边，应用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：（）略 ②略 （）解：分两种情况：如图，当点在上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在的延长线上，时， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴为该圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 28. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； （3）如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得出抛物线的解析式； （2）令，可得，令，可得，则，利用待定系数法可求得的解析式为，根据题意可知点的坐标为，，把分别代入抛物线和直线的解析式，可得，，进而可得，，由轴可得轴，据此可证得，于是可得，即，则，由已知条件可得，由此可建立关于m的方程，解之即可； （3）由C、F的坐标可求得直线的解析式为，进而可得，当时，，解方程即可求得点的坐标为或，然后分情况讨论：当时，；当时，；分别求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得：，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ，， ， 根据题意得，点的坐标为，则， 把代入，得： ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， ， ， 又轴， ∴轴， ， ， ， ， 又， ， 解得：，（不合题意，故舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或或， 理由如下： 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， 又点是轴上方抛物线上的一点， 当时，， 解得：，， 点的坐标为或， 分情况讨论： 当点的坐标为时， ， 点的坐标为或； 当点的坐标为时， ， 点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数与坐标轴的交点坐标，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，因式分解法解一元二次方程，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $