精品解析：黑龙江绥化市望奎县三中联考2025-2026学年九年级下学期6月期末数学模拟测试题

2025－2026九年级下学期期末数学模拟测试题 考生注意：1．考试时间120分钟． 2.本试题共三道大题，28个小题，总分120分． 3.所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列数中，属于负数的是（ ） A. 2023 B. C. D. 0 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（） A. B. C. D. 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外； B. 如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点； C. 边数相同的正多边形都是相似图形； D. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 6. 将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠BOE的度数是（ ） A. 48° B. 54° C. 60° D. 72° 7. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. ﹣＝5 B. ﹣＝5 C. ﹣＝5 D. ﹣＝5 8. 已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（ ） A. －3 B. C. 1 D. 9. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 10. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论： ①快车途中停留了0.5h； ②快车速度比慢车速度多20km/h； ③图中a＝340； ④快车先到达目的地． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 11. 如图，中，，，，点D是边上一动点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，点P在边上，连接，若，的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 14. 年月日，盐城市家长小课堂五月正式开讲，直播点击量达人次．数据用科学记数法表示为______． 15. 因式分解：_____________． 16. 计算：＝_______． 17. 在一个不透明的盒子中装有3张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，搅匀，再随机抽出一张卡片，则两次抽取的数字之和为偶数的概率是________________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为______． 19. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，交对角线于点，则的值为_________． 20. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________． 21. 如图， 中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 __________________． 22. 如图，在平行四边形中，，．过点作直线交所在的直线于点，交所在的直线于点，若，则的长为______． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 七城会运动中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C 的距离相等． （1）若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（保留作图痕迹） （2）若，则 度. 24. 如图，建筑物AB的高为6cm，在其正东方向有个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A、塔顶C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，=1.73，精确到0.1m） 25. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于，，，两点，与轴交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，与轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时，的取值范围； （3）连接，，若的面积为，则的值为 ． 26. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 27. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 28. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026九年级下学期期末数学模拟测试题 考生注意：1．考试时间120分钟． 2.本试题共三道大题，28个小题，总分120分． 3.所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内． 一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列数中，属于负数的是（ ） A. 2023 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据小于0的数即为负数解答可得． 【详解】是负数，和是正数，0既不是正数也不是负数 故选：B． 【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A选项既是轴对称图形也是中心对称图形； B选项是轴对称图形而不是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项是轴对称图形而不是中心对称图形． 3. 下图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层最右边有一个正方形， 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 4. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，选出结果为的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不是，A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，，结果不是，B错误； 选项C：根据同底数幂乘法法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不是，D错误； 故选：C． 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外； B. 如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点； C. 边数相同的正多边形都是相似图形； D. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】D 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、相似图形的定义、轴对称与中心对称图形的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 如果一个点到圆心的距离大于这个圆的半径，那么这个点在圆外，该命题是真命题； B. 如果一个圆的圆心到一条直线的距离小于它的半径，那么这条直线与这个圆有两个交点，该命题是真命题； C. 边数相同的正多边形都是相似图形，该命题是真命题； D. 正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，该命题是假命题． 【点睛】本题考查命题，掌握点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、相似图形的定义、轴对称与中心对称图形的定义是解题的关键． 6. 将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠BOE的度数是（ ） A. 48° B. 54° C. 60° D. 72° 【答案】A 【解析】 【分析】根据正多边形的性质，求出、的度数，再利用三角形内角和定理计算∠BOE即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了正多边形的性质和三角形内角和定理的等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用． 7. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，根据题意，所列方程正确的是（　　） A. ﹣＝5 B. ﹣＝5 C. ﹣＝5 D. ﹣＝5 【答案】C 【解析】 【分析】根据实际每天生产零件的数量是原计划的2倍，可以提前5天完成任务可以列出相应的分式方程，本题得以解决． 【详解】由题意可得， ， 故选C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 8. 已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（ ） A. －3 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可． 【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ∴ ， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 9. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差可进行求解． 【详解】解：由题意得：； ∴成绩最稳定的是丁； 故选D． 【点睛】本题主要考查方差，熟练掌握方差是解题的关键． 10. 快车从甲地驶往乙地，慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶．图中折线表示快、慢两车之间的距离y（km）与它们的行驶时间x（h）之间的函数关系．小欣同学结合图象得出如下结论： ①快车途中停留了0.5h； ②快车速度比慢车速度多20km/h； ③图中a＝340； ④快车先到达目的地． 其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知两车出发时相遇，此时可知他们的速度和，相遇后慢车停留了，快车停留了，此时两车的距离为，由此可得慢车的速度，进而可得快车的速度，根据：路程和=速度和时间，即可求得，则可判定结论． 【详解】解：根据题意得， 两车的速度和为：， 相遇后快车停留了，故 ①结论错误； 慢车的速度为：， 则快车的速度为：， 所以快车的速度比慢车多，故②结论正确； ，所以图中，故③结论正确； 快车到达终点的时间为：， 慢车到达终点的时间为：， 因为，所以慢车先到达目的地，故④结论错误， 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、行程问题中的数量关系的运用，函数图象的意义，根据图象中获取信息解决问题是解题的关键． 11. 如图，中，，，，点D是边上一动点（不与点A，B重合），过点D作交于点E，点P在边上，连接，若，的面积为y，则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于M，过点B作于N，交于F，得到四边形是矩形，即，证明，列得，求出，即可得出函数关系式，由此判断图象． 【详解】过点D作于M，过点B作于N，交于F， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，又， ∴函数图象是以直线为对称轴的抛物线，位于x轴上方的部分， 故选C． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，求函数关系式，判断函数图象，正确掌握相似三角形的判定求出是解题的关键． 12. 如图，、分别是正方形的边、上的点，且，、相交于点，下列结论：①；②；③．其中正确的结论有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得，然后求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而判定出①正确；再根据全等三角形对应角相等可得，然后证明，再得到，从而得出，判断②正确；根据全等三角形的面积相等可得，然后都减去的面积，即可得解，从而判断③正确． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ， ∴，，故①正确； ， ， 在中，， ∴，故②正确； ， ， ， 即，故③正确； 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 13. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，熟知被开方式为非负数是解题的关键． 14. 年月日，盐城市家长小课堂五月正式开讲，直播点击量达人次．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． 故答案为：． 15. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用提公因式法、十字相乘法分解因式，熟练掌握提公因式法、十字相乘法是解题的关键． 16. 计算：＝_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，先算乘法，再算加减法，即可． 【详解】解：原式= = = =4． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法法则，是解题的关键． 17. 在一个不透明的盒子中装有3张卡片，分别标有数字1，2，3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从中随机抽出一张卡片，记下数字后放回，搅匀，再随机抽出一张卡片，则两次抽取的数字之和为偶数的概率是________________． 【答案】． 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的卡片上数字之和是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之和是偶数的有5种情况， ∴两次两次抽取的卡片上数字之和是奇数的概率为； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 18. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，点A的坐标为， 第2次旋转结束时，点A的坐标为， 第3次旋转结束时，点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 19. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，交对角线于点，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，由是边的中点，得出==，证，即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵是边的中点， ∴==， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质． 20. 扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意得：该扇形的面积为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 21. 如图， 中，，，，为上一动点，垂直平分分别交于、交于，则的最大值为 __________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 【详解】解：连接， ∵中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 过点F作于H，若要使最大，则需要最小， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴最小值为，的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将的最大值转化为最小是解决本题的关键，属于压轴题． 22. 如图，在平行四边形中，，．过点作直线交所在的直线于点，交所在的直线于点，若，则的长为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】如图1，由，得到，列比例式解出的长度，即可求出；当点E在的延长线上时，如图2，还是通过，得到比例式求出的长度，即可求出． 【详解】解：在中，，，， 当点E在边上时，如图1， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为5或． 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23. 七城会运动中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓A、B、C 的距离相等． （1）若三所运动员公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（保留作图痕迹） （2）若，则 度. 【答案】（1）见解析 （2）132 【解析】 【分析】此题考查应用与设计作图．本题用到的知识点为：到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．等边对等角． （1）到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上，所以应作出任意两条线段的垂直平分线，它们的交点即为所求； （2）连接点和各顶点，以及．根据线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求解． 【小问1详解】 如图： ； 【小问2详解】 连接点和各顶点，延长到交于， 由作图知， ， 同理， ， ， ，， ． 故答案为：132． 24. 如图，建筑物AB的高为6cm，在其正东方向有个通信塔CD，在它们之间的地面点M（B，M，D三点在一条直线上）处测得建筑物顶端A、塔顶C的仰角分别为37°和60°，在A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高度．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，=1.73，精确到0.1m） 【答案】通信塔CD的高度约为15.9cm． 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CD于E，设CE=xm，解直角三角形求出AE，解直角三角形求出BM、DM，即可得出关于x的方程，求出方程的解即可． 【详解】过点A作AE⊥CD于E， 则四边形ABDE是矩形， 设CE=xcm， 在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠CAE=30°， 所以AE=xcm， 在Rt△CDM中，CD=CE+DE=CE+AB=（x+6）cm， DM=cm， 在Rt△ABM中，BM=cm， ∵AE=BD， ∴， 解得：x=+3， ∴CD=CE+ED=+9≈15.9（cm）， 答：通信塔CD的高度约为15.9cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形，能通过解直角三角形求出AE、BM的长度是解此题的关键． 25. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于，，，两点，与轴交于点，将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，与轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时，的取值范围； （3）连接，，若的面积为，则的值为 ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将两函数、的坐标值分别代入两个函数解析式求出未知系数即可； （2）由图象可知当在、两点之间时，所以取值在、两点横坐标之间； （3）根据平移性质可知，，求出两直线之间的距离即为的高，通过、坐标求出线段长，列出面积的代数式求解即可． 【小问1详解】 一次函数的图象与函数 的图象交于，两点， ，， 解得：，， 与的解析式为：，； 【小问2详解】 从图象上可以看出，当在两点之间时，， 的取值范围为：； 【小问3详解】 作于，如图， 直线是直线沿轴向上平移个单位长度得到， ，， 直线的解析式为， 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 即直线与、坐标轴的交点到原点的距离相等， ， ， ， ，等于平行线、之间的距离， ， ， 、两点坐标为：，， 线段， ， 的面积为， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题综合考查了一次函数、反比例函数，熟练掌握通过已知函数图象上的点的坐标求函数解析式，通过图象查看自变量取值范围，灵活运用平移的性质是解题关键． 26. 【特例感知】 （1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：． 【变式求异】 （2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），求的值（用含m，n的代数式表示）． 【答案】 （1）证明：在正方形中， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出； （3），作于点N，证明，得出．证明，得出，求出． 【详解】（1）略 （2）如图1，作于点N，如图所示： ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴， 如图2，作于点N， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 27. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论； （3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 28. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． （1）直接写出点的坐标； （2）在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； （3）第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点，的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； 【小问2详解】 当时，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； 【小问3详解】 过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示， ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 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