精品解析：广东广州天省实验学校2025—2026学年下学期八年级期中学情监测数学试题

广州天省实验学校2025-2026学年（下）期中学情监测 初二学部 数学试题 注意：1．考试时间为120分钟．满分为150分． 2．试卷分为第I卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 3．选择题答案必须用2B铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在答卷指定位置作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题只有一个是符合题目要求） 1. 若是最简二次根式，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，李伯伯家有一块等边三角形的空地，已知点，分别是边，的中点，量得米．他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的总长为（ ） A. 10米 B. 13米 C. 23米 D. 25米 6. 已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴 8. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 9. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________． 12. 在平行四边形中，如果，则______． 13. 一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为______海里． 14. 小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 15. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 16. 在矩形中，，O是的中点，点E在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. 如图，在中，是的一条对角线，于点，于点，求证：． 19. 如图，某中学七年级生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线，观察曲线，回答下列问题： （1）在光合作用活动强度随时间的变化过程中，自变量是___________； （2）该植物的光合作用发生在哪个时间段内？ （3）曲线I、Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是___________． 20. 已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架cm，cm，两轮轮轴的距离cm（购物车车轮半径忽略不计），、、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由； （2）若的长度为，，求点到所在直线的距离． 21. 如图，点E是矩形的边上一点，且． 【操作与验证】（1）尺规作图：在的延长线上找到一点F，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明； 【推理与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求矩形的面积． 22. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 23. 问题情境：学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画出的的三边长分别是________，________，________；的面积为________． 实践探究 （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并写出的面积． 继续探究： （3）若在中有两边的长分别为，（），且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上________． 24. 如图，在中，． （1）如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，直接写出此时的面积为 ； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点F恰好在边上，过C作交于G，连接． ①依题意将图2补全； ②试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，以为边作，且，．若，则的值为 ． 25. 在学习特殊的平行四边形后，兴趣小组开展了动点问题的探究活动． 【问题情境】： 在中，，E是边上一动点，连接． 【发现问题】： （1）如图1，若交于点M，猜想线段与的数量关系，并证明； 【类比探究】： （2）如图2，若且，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数． 【拓展迁移】： （3）如图3，当为正方形时，延长线上有一点P，，在直线的右侧作，且，点R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州天省实验学校2025-2026学年（下）期中学情监测 初二学部 数学试题 注意：1．考试时间为120分钟．满分为150分． 2．试卷分为第I卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 3．选择题答案必须用2B铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在答卷指定位置作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题只有一个是符合题目要求） 1. 若是最简二次根式，则a的值可以是（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含完全平方因数，逐一验证选项即可． 【详解】解：∵时，，根号下有分母，不是最简二次根式； ∵时，，可化简为整数，不是最简二次根式； ∵时，，可化简，不是最简二次根式； ∵时，，被开方数2不含分母且不含完全平方因数，是最简二次根式． 故选：B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式加减运算法则，二次根式的性质，直接利用二次根式加减运算法则判断即可． 【详解】解：A. ，原计算错误； B. ，原计算错误； C. ，原计算正确； D. ，原计算错误； 故选C． 3. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了结合图象；理解函数概念根据函数的概念进行辨别即可． 【详解】解：∵选项A，B，C中的图象，都描述了对于自变量x取值范围内的每一个值，都有唯一的y值与其对应，而选项D中有一个x值对应2个函数值的情况， ∴选项A，B，C不符合题意， 选项D符合题意， 故选：D． 4. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与中心对称，理解题意，灵活运用平行四边形的性质是关键． 平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，根据中心对称的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 又∵对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴． 故选：C． 5. 如图，李伯伯家有一块等边三角形的空地，已知点，分别是边，的中点，量得米．他想把四边形用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的总长为（ ） A. 10米 B. 13米 C. 23米 D. 25米 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质和等边三角形三边相等的性质求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边的中点，米， ∴米， ∵是等边三角形， ∴米， ∴米， ∴篱笆的长米． 故选：D． 6. 已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是直角三角形的判定方法，大约有以下几种，勾股定理的逆定理，即三角形三边符合勾股定理；三个内角中有一个是直角，或两个内角的度数和等于；根据上面两种情况进行判断即可． 【详解】解：、∵，， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 、∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 、，， ， ∴为锐角三角形，故本选项不符合题意． 故选：D． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 菱形是轴对称图形，它的对角线就是它的对称轴 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定、菱形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定与性质是解题的关键． 由矩形的判定和菱形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故选项A符合题意； B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，如直角梯形，故选项B不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、菱形是轴对称图形，它的对角线所在直线就是它的对称轴，故选项D不符合题意． 故选：A． 8. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，为半径画弧与交于点，然后以大于为半径，分别以，为圆心画弧交于点，连接交于点，若，，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设交于点，连接，根据作图可得四边形是菱形，进而勾股定理求解即可． 【详解】设交于点，连接， 由作图可知，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴AB=BE， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ,，， ， ， 在中，， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线作图，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理，理解题意证明四边形是菱形是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，结合平分，可以推出，在中，先使用勾股定理计算出斜边的长，再用直角三角形的性质算出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵点F是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴． 10. 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，结合正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，同理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接， ， ， 四边形、、是正方形， ，， ，, ， ， ， ， （）， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 同理可证：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，能添加恰当的辅助线，构建平行四边形是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. 要使二次根式有意义，则实数x的取值范围为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 在平行四边形中，如果，则______． 【答案】 125 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质，可求出的度数，再利用平行四边形对边平行，邻角互补的性质，即可求出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 解得， ． 13. 一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为______海里． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了方向角，勾股定理，由题意可得，，海里，海里，，则，求出，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，，海里，海里，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：海里， 故A，C两地相距为海里， 故答案为：． 14. 小威在信息课上设计了一幅长方形图片，已知长方形的长是，宽是，后面他又设计了一个面积与其相等的正方形，则该正方形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算与化简，掌握好相关知识是关键． 先计算长方形的面积，再根据正方形面积相等求边长． 【详解】解：长方形的面积为， ∵正方形的面积与长方形相等， ∴正方形的边长为． 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】,根据菱形的性质可知与是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，根据含角的直角三角形的性质可知，可得：，，根据线段之间的关系可得：，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 菱形中，，， ，， 与是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 16. 在矩形中，，O是的中点，点E在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，对称的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 由对称性可得，再分情况当点E在边上时，当点E在的延长线上时，结合勾股定理和列方程求出，进而即可求出． 【详解】解：因为与关于直线对称， 所以点B与点D关于直线对称，因此． 在矩形中，． 当点E在边上时，如图， 在中，，由勾股定理得， 所以． 当点E在的延长线上时，如图， 在中，，同理， 所以． 故的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再进行二次根式的加减运算即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，是的一条对角线，于点，于点，求证：． 【答案】证明：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】根据角角边的证明方法证明和全等，由此可证明． 【详解】证明：略 19. 如图，某中学七年级生物兴趣小组的同学测得一株植物一天24小时内的光合作用（曲线Ⅰ）和呼吸作用（曲线Ⅱ）强度随时间的变化曲线，观察曲线，回答下列问题： （1）在光合作用活动强度随时间的变化过程中，自变量是___________； （2）该植物的光合作用发生在哪个时间段内？ （3）曲线I、Ⅱ分别在6时和18时有一个交点，它所代表的意义是___________． 【答案】（1）时间 （2）植物的光合作用发生在4时时之间 （3）在6时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义及题意即可求解； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据交点坐标的意义即可求解． 【小问1详解】 解：根据光合作用活动强度随时间的变化过程中可知，时间是自变量，活动强度是因变量． 【小问2详解】 解：由图象知，植物的光合作用发生在时时之间； 【小问3详解】 解：由图象知，它所代表的意义是在时和18时，该植物的光合作用和呼吸作用强度一样大． 20. 已知图1是某超市小号购物车，图2是超市小号购物车的侧面示意图，现已测得支架cm，cm，两轮轮轴的距离cm（购物车车轮半径忽略不计），、、均与地面平行． （1）猜想两支架与的位置关系并说明理由； （2）若的长度为，，求点到所在直线的距离． 【答案】（1）， 理由：，， （2）点到所在直线的距离为cm 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可求解； （2）过点作于，过点作延长线于，即可知是等腰直角三角形，进而根据等面积法可知的长度， 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于，过点作延长线于，则点到所在直线的距离为， 的长度为， ， ， ∴是等腰直角三角形 又的长度为， cm ，，， 即， 解得cm， cm， 即点到所在直线的距离为cm． 21. 如图，点E是矩形的边上一点，且． 【操作与验证】（1）尺规作图：在的延长线上找到一点F，连接，使得四边形是菱形，并给出相应证明； 【推理与计算】（2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求矩形的面积． 【答案】（1）如图所示，在的延长线上截取点F，使得，则点F即为所求； 证明：，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，尺规作图，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定与性质及尺规作图是解题的关键． （1）在的延长线上截取点F，使得，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质证明是等边三角形，再逐步求出，，，即可求得答案． 【详解】解：（1）略 （2）菱形的周长为32， ． ， 是等边三角形， ． 在矩形中，， 在中，，， ， ， ． 22. 【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1） （2），证明如下： ； （3）71 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2）略 （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 23. 问题情境：学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 操作发现：如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，他们借助此图求出了的面积． （1）在图1中，所画出的的三边长分别是________，________，________；的面积为________． 实践探究 （2）在图2所示的正方形网格中画出（顶点都在格点上），使，，，并写出的面积． 继续探究： （3）若在中有两边的长分别为，（），且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长填写在横线上________． 【答案】（1），，，； （2）如图所示；面积为4； （3）或，如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理分别求出AB、BC、AC，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出△ABC的面积； （2）根据勾股定理画出△DEF，根据长方形的面积公式、三角形的面积公式求出△DEF的面积； （3）先画出符合条件的图形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：（1），， △ABC的面积， （2）的面积为； （3）或， 如图所示，，，，此时； 如图所示，，，， 此时；故答案为：或． 【点睛】本题考查的是勾股定理、二次根式的化简、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，题目是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力． 24. 如图，在中，． （1）如图1，若以为边作等边，且点E恰好在边上，直接写出此时的面积为 ； （2）如图2，若以为斜边作等腰直角，且点F恰好在边上，过C作交于G，连接． ①依题意将图2补全； ②试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，以为边作，且，．若，则的值为 ． 【答案】（1） （2） ①补全图形如图， ②；理由如下， 延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ③19 【解析】 【分析】（1）作于点I，利用等边三角形的性质求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用平行四边形的面积公式求解即可； （2）①依照题意补全图形即可； ②延长交的延长线于点H，延长交的延长线于点J，利用证明，推出，，再证明，推出，即可证明； ③连接，作并交的延长线于点K，推出四边形是平行四边形，得到是直角三角形，，求得即可解决问题． 【小问1详解】 解：作于点I， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴此时的面积为； 【小问2详解】 ①略 ②略 ③连接，作并交的延长线于点K， 由题意得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∵四边形是平行四边形，且， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了平行四边的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 25. 在学习特殊的平行四边形后，兴趣小组开展了动点问题的探究活动． 【问题情境】： 在中，，E是边上一动点，连接． 【发现问题】： （1）如图1，若交于点M，猜想线段与的数量关系，并证明； 【类比探究】： （2）如图2，若且，以为边，在右侧作正方形，连接，当点E在上运动时（不与B、C重合），的大小是否发生变化，如果变化，请说明理由．如果不变，请求出的度数． 【拓展迁移】： （3）如图3，当为正方形时，延长线上有一点P，，在直线的右侧作，且，点R为线段的中点，当点E从点B运动到点C时，求出点R运动路径长度，并说明理由． 【答案】 （1）， 证明：四边形是平行四边形，且， 四边形是菱形， ，， ， ， ； （2）的大小不会变化，； （3）当点从点运动到点时，点运动的路径长为， 理由：如图中，连接，作交于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 点的运动轨迹是线段， 点从运动到时， ， ， 当点从点运动到点时，点运动的路径长为． 【解析】 【分析】题目主要考查菱形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，点的运动，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据菱形的判定得出四边形是菱形，再利用菱形的性质及全等三角形的判定和性质即可证明； （2）根据正方形的判定得出四边形是正方形，过点作，交的延长线于，利用全等三角形的判定和性质得出，， ，然后结合图形求解即可； （3）连接，作交于，根据全等三角形的判定和性质得出，，确定点的运动轨迹是线段，然后结合图形求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：的大小不会变化， 四边形是菱形，且， 四边形是正方形， 过点作，交的延长线于，如图， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $