精品解析：辽宁省营口市普通高中学情调研2025-2026学年高一下学期6月练习数学试题

6月练习卷 高一数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，则（ ） A. 9 B. 25 C. 49 D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角正弦，余弦关系结合题设可得答案. 【详解】由题得整理可得，注意到 ，则． 3. 若，则的实部与虚部之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设复数，，代入已知方程，根据复数相等求出 . 【详解】不妨设，， 则， 于是，可得， 故的实部与虚部之和为． 4. 已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的底面半径和体积公式求出高，利用勾股定理即可求解. 【详解】记圆锥高为h，底面半径为r， 因为该圆锥底面面积为，所以 ， 故底面半径．体积 ，解得 ， 故母线长． 5. 若，为方程的两个不等的复数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由韦达定理得，，． 6. 在 中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设及余弦定理可得，然后由及三角形内角和为可得答案. 【详解】由，可得 . 由余弦定理可得：，从而. 因可得，结合与三角形内角和为， 可得. 7. 记坐标原点为 ，已知，，若 ， ， 三点共线，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由三点共线得关系，进而将 表示为 的二次式，由二次函数性质求最值. 【详解】不妨设，则， 由三点共线可得，即，， 此时， 当且仅当时等号成立． 即 的最小值为． 8. 已知函数与的图象重合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图象重合得和解析式，代入求解. 【详解】由函数与的图象重合得，， 由恒成立得，， 由得，于是， 此时 ， 故 ． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆台的上底面半径 ，下底面半径，圆台有内切球，则（ ） A. 圆台的母线长为5 B. 圆台的高为 C. 圆台内切球的半径为 D. 圆台的侧面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据圆台特征及内切球的性质逐项求解. 【详解】有内切球的圆台满足性质：母线长， 圆台高， 内切球直径等于圆台的高，故半径为； 圆台侧面积．故A，B正确，C，D错误． 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的定义域为 C. 曲线关于点对称 D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】A选项，，故A正确； B选项，由，解得， 则的定义域为，故B正确； C选项，令，得， 则函数的对称中心为， 令，得，则曲线关于点对称，故C正确； D选项，，故D错误． 11. 在 中，设，，且，则（ ） A. B. C. 设 的中点为 ，则 D. 三条边的平方和小于 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据可判断 、 的长度关系，可判断A的真假；利用判断的符号，判断B的真假；利用，判断 与的关系，判断C的真假；结合，可判断与的大小，判断D的真假. 【详解】因为，所以， 由得，则，即 ， 又即，故，故A错误； 因为， 由且得，故，故B正确； 由题意可得，则 ， 因为且，故上式大于0，即，故C正确； 三边平方和为， 因为，故，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是腰长为2的等腰三角形（如图所示），且，则原平面图形的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法中原平面图形面积 与直观图面积之间的关系求解. 【详解】由题意可知，，则， 可得， 所以原平面图形的面积是． 13. 如图，在棱长为2的正方体中， 为 的中点，过作正方体的截面 ，则截面图形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面的性质及线线平行的关系可直接作出截面，再计算各边可得周长. 【详解】如图：取棱的中点 ，连接，则多边形为截面图形. 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为 分别是的中点，由中位线定理得，再由， 所以，即四点共面，而平面 是过的截面，且三点不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2， 所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 14. 已知曲线，上有三点 ， ， ，它们的纵坐标分别为 ， ，，且在上的投影向量为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】确定点的坐标，根据投影向量的条件得出 ，利用向量数量积列方程，根据诱导公式和同角三角函数关系求解. 【详解】显然，，不妨设， 由投影向量关系可得 ，即， 显然，，， 可得，所以， ， 而可得， 于是． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数， ，． （1）当时，若，求 ； （2）当时，若 在复平面内对应的点在第一象限，求 的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数模的定义可得，计算求解即可； （2）利用复数对应的点在第一象限，可得 所满足的条件，进而求解即可. 【小问1详解】 得 解得或 【小问2详解】 当时，可得， 由 在复平面内对应的点在第一象限得， 解得或，所以a的取值范围是. 16. 已知函数． （1）证明：； （2）求 的值域． 【答案】（1）证明： ，(其中). ∵ ， ∴ . ∴ . （2） 【解析】 【分析】（1）利用作差，通过三角恒等变换得到 可证明原不等式成立. （2）利用三角恒等变换化简 ，再用正弦型函数的性质可得函数 的值域. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 解： . ∵ ， ∴. ∴ 的值域为. 17. 如图，将一正方体实心铁块沿面对角线进行切割，得到剩余几何体 ．已知 （单位：分米）． （1）证明：平面平面； （2）已知得到的几何体铁块有6个面积较小的截面和2个面积较大的截面．现进行喷漆．要求对于较小面积的截面喷洒蓝漆，较大面积的截面喷洒红漆，已知蓝漆与红漆的价格分别为2元/平方分米和3元/平方分米，求该次喷漆的总花费（结果保留整数）．附： 【答案】（1）因为且， 所以四边形为平行四边形 所以， 又平面， 平面， 故平面 同理平面 由， 平面， 平面， 可得平面 平面 （2）179元 【解析】 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明面面平行. （2）分析几何体各面的形状，结合三角形的面积公式求面积，再求喷漆的总花费. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由勾股定理得 显然 与均为等边三角形 6个较小的截面面积， 2个较大的截面面积， 于是总花费， 故喷漆总花费约为179元. 18. 在 中，，， 的面积为6． （1）证明： 为锐角； （2）求； （3）求 的外接圆面积． 【答案】（1）证明：注意到， 由，得或， 而，由，得， 由于，显然不满足题意， 则，故C为锐角，得证. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由结合正弦函数的性质可得或，由结合余弦函数的性质可得，进而得到即可求证； （2）先根据平方关系求出，，再根据两角和的正弦公式求解即可； （3）结合三角形的面积公式及正弦定理求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 为锐角，而，， 则，， 于是. 【小问3详解】 记 的外接圆半径为R， 注意到 的面积 ， 于是由正弦定理得 的外接圆面积为. 19. 设函数 ． （1）求的值； （2）求方程 的最小的7个正实数解之和； （3）已知 ， 均为正数，若对 都有 ，求 的最大值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）运用辅助角公式结合两角和的余弦公式对进行化简，再代入求解； （2）根据已知条件，结合（1）构造方程求出 ，进而根据正弦函数的性质求解； （3）根据（1），运用换元法把恒成立条件转化为， ，设 ，分类讨论的最小值，进而得出 的最大值． 【小问1详解】 化简函数 ， 易得. 【小问2详解】 由 ，可得 ， ， 即 ， 解得或 ， ∴此方程最小的7个正实数解之和为：. 【小问3详解】 已知 恒成立，即 恒成立， 设 ，则有 ， 恒成立， 设 ， ①时，要满足题意则需 ，即 ， ，； ② 时，要满足题意则需 ，即 ， 设 ， ，则 ， 代入 ，得 ， 整理得 ， 要满足题意则此不等式有解，即 ，解得 ， 当，时取等号，即 . 综上所述， 的最大值为2. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6月练习卷 高一数学 本卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．考试结束后，将答题卡交回． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，则（ ） A. 9 B. 25 C. 49 D. 81 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若，则的实部与虚部之和为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面面积为，体积为，则其母线长为（ ） A. B. C. D. 5. 若，为方程的两个不等的复数根，则（ ） A. B. C. D. 6. 在 中，角 ， ， 对应的边分别为 ， ， ，若，，则 （ ） A. B. C. D. 7. 记坐标原点为 ，已知，，若 ， ， 三点共线，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数与的图象重合，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆台的上底面半径 ，下底面半径，圆台有内切球，则（ ） A. 圆台的母线长为5 B. 圆台的高为 C. 圆台内切球的半径为 D. 圆台的侧面积为 10. 已知函数，则（ ） A. B. 的定义域为 C. 曲线关于点对称 D. 11. 在 中，设，，且，则（ ） A. B. C. 设 的中点为 ，则 D. 三条边的平方和小于 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是腰长为2的等腰三角形（如图所示），且，则原平面图形的面积是__________． 13. 如图，在棱长为2的正方体中， 为 的中点，过作正方体的截面 ，则截面图形的周长为__________． 14. 已知曲线，上有三点 ， ， ，它们的纵坐标分别为 ， ，，且在上的投影向量为，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知复数， ，． （1）当时，若，求 ； （2）当时，若 在复平面内对应的点在第一象限，求 的取值范围． 16. 已知函数． （1）证明：； （2）求 的值域． 17. 如图，将一正方体实心铁块沿面对角线进行切割，得到剩余几何体 ．已知 （单位：分米）． （1）证明：平面平面； （2）已知得到的几何体铁块有6个面积较小的截面和2个面积较大的截面．现进行喷漆．要求对于较小面积的截面喷洒蓝漆，较大面积的截面喷洒红漆，已知蓝漆与红漆的价格分别为2元/平方分米和3元/平方分米，求该次喷漆的总花费（结果保留整数）．附： 18. 在 中，，， 的面积为6． （1）证明： 为锐角； （2）求； （3）求 的外接圆面积． 19. 设函数 ． （1）求的值； （2）求方程 的最小的7个正实数解之和； （3）已知 ， 均为正数，若对 都有 ，求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $