精品解析：上海市梅陇中学2025-2026学年第二学期八年级数学学科第二阶段命题指导研修试卷

2025学年第二学期八年级数学学科第二阶段命题指导研修试卷 （时间90分钟，满分100分） 一、单选题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么直线经过（ ）． A. 第二、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 4. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 5. 如图所示，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交 和 的平分线于点，，连接，，要使四边形 为矩形，则可添加下列条件中的（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 直线在y轴上的截距是______． 8. 若函数是正比例函数，则m的值是______． 9. 若点与点关于轴对称，则的值为________． 10. 一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：那么关于x 的不等式的解集是_________． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 11. 已知在平行四边形 中，，对角线、交于点．若，，则 ______． 12. 已知一次函数 ，当 时，的最大值为5，则的值为_______． 13. 若直线向下平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 14. 两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形 中，边，对角线 ，那么与 的“重心距”为______． 15. 我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为 和 的菱形，它的中点四边形的两条对角线长之和为______． 16. 如图，点是矩形 的对角线上一点，过点P作 ，分别交与、，连接．若则阴影部分的面积为______． 17. 如图，在中，，且 ，，点是斜边上的一个动点，过点分别作 于点， 于点，连接，则线段的最小值为_____． 18. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形 ， ， ，中心为，在矩形外有一点，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形的距离 的取值范围为______． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 如图所示，的图象经过点，与 轴交于点，并与函数的图象交于点． （1）求的函数解析式； （2）求到直线 的距离． 20. 某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． （1）根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）用坐标表示位置：食堂：_______，大门：_________； （3）若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为______ ． 21. 在平面直角坐标系中，已知点，，点为 轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求满足条件的点的坐标． 22. 如图，在四边形 中，，，分别是，，的中点， ，，垂足为．求证：． 四、解答题（本大题共3题，第23题8分，第24题8分，第25题12分，满分28分） 23. 如图，菱形 的对角线 相交于点，点是 中点，延长线段至点，使 ，连接 ，，． （1）求证：四边形 为矩形； （2）若 ， ，则 的长 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、 轴分别交于，两点，以线段为一边向直线左侧作正方形 ． （1）求直线的解析式． （2）求点的坐标． （3）若点是直线上一点，点是坐标平面内一点，当四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 25. 【问题提出】如图，点是正方形 的中心，点 分别在边上，，线段相交于点． （1）①求证； ② 可以看作是由 绕着点________按_______方向旋转得到． （2）【问题深入】连接 ，求证：． （3）【类比迁移】如图，点是正六边形 的中心，点，分别在边， 上，，线段相交于点，已知．若点与之间的距离为，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期八年级数学学科第二阶段命题指导研修试卷 （时间90分钟，满分100分） 一、单选题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：逐一判断各函数： ①中未说明，因此不一定是一次函数； ②，符合（，）的形式，是一次函数； ③的自变量在分母上，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④，符合（， ）的形式，是一次函数； ⑤中自变量 的最高次数为2，不是一次函数； 综上，一次函数共有2个． 2. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是． 3. 已知一次函数的图像经过第一、二、四象限，那么直线经过（ ）． A. 第二、三、四象限 B. 第一、二、三象限 C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 由原函数图像经过的象限确定k和b的符号，从而判断新直线经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第一、二、四象限， ∴， ， ∴经过第一、三、四象限． 故选：D． 4. 一个多边形的内角和是它外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和的问题．设这个多边形的边数是n，根据“一个多边形的内角和是它外角和的2倍”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，根据题意得： ， 解得：， 即这个多边形是六边形． 故选：C 5. 如图所示，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交 和 的平分线于点，，连接，，要使四边形 为矩形，则可添加下列条件中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据角平分线和平行线的性质证得 ，再结合矩形的判定定理对各个选项进行分析即可． 【详解】解： ， ， ， 平分 ，平分 ， ， ， ， ， ， ， ． A．无法判断四边形 为矩形； B．已知条件，无法判断四边形 为矩形； C．若添加条件 ， ， ，即为的中点， ， 四边形 是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）； D．无法判断四边形 为矩形． 6. 如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】设 两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形 是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设 两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形， ， ∴， ，， ∴四边形 是平行四边形， 当 时，点与点重合，点与点重合，此时四边形 是矩形，故①正确； 当四边形 是菱形时， ， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形 是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 7. 直线在y轴上的截距是______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入直线解析式求出 的值，即可得到答案． 【详解】解：直线解析式整理为， 令， 得 ， ∴直线在y轴上的截距是． 8. 若函数是正比例函数，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握①正比例系数不等于零，②自变量次数为1． 根据正比例函数的定义，令，且 求出即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ，且 ， ，且， ∴ ． 故答案为：． 9. 若点与点关于 轴对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据关于 轴对称的点的坐标特征求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：根据关于 轴对称的点的坐标特征：关于 轴对称的两点，纵坐标相等，横坐标互为相反数． 点与点关于 轴对称， ， ， 将 ， 代入得：． 10. 一次函数中两个变量x，y的部分对应值如下表所示：那么关于x 的不等式的解集是_________． x … 0 … y … 9 7 5 3 1 … 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质和一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是先根据表格得到 随 的增大而减小，再根据一次函数的图象得到答案即可； 【详解】解：由表格可知： 随 的增大而减小， ∴， 相当于函数值大于等于7， ∴， 故答案为 11. 已知在平行四边形中，，对角线、交于点．若，，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得四边形为矩形，得到 ，进而得到 ，得，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ． 12. 已知一次函数 ，当 时， 的最大值为5，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据一次函数的定义确定，根据的正负分类讨论，确定最大值对应的自变量取值，列方程求解即可． 【详解】解：∵ 是一次函数， ∴， ①当时，一次函数 随 的增大而增大， ∴当 时， 的最大值在处取得， 代入得 ， 解得； ②当时，一次函数 随 的增大而减小， ∴当 时， 的最大值在处取得， 代入得 ， 解得 ， 则的值为或 ． 13. 若直线向下平移3个单位长度后经过点，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出平移后的函数解析式，再代入已知点的坐标计算即可得到的值． 【详解】解：由平移规律可得，直线向下平移个单位长度后的解析式为： ， 平移后的直线经过点，将点代入解析式得： ， 解得． 14. 两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形中，边，对角线 ，那么与 的“重心距”为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，与交于点，设点为的重心，点为 的重心，利用菱形的性质和勾股定理求得， 的长，利用三角形的重心的性质求得 ，的长，再利用“重心距”的定义解答即可． 【详解】解：连接，与交于点，设点为的重心，点为 的重心，如图， 四边形为菱形， ，， ． ． 点为的重心，点为 的重心， ，． 与 的“重心距”为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的重心的性质，利用菱形的性质和勾股定理求得， 的长是解题的关键． 15. 我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为 和 的菱形，它的中点四边形的两条对角线长之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是判断中点四边形的形状，利用相关定理计算对角线长度． 【详解】解：如图所示， ∵菱形的对角线 ， ， 且 分别为 的中点， ∴ ， ， ， ， ， ∴四边形 是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴ ， ∴平行四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∴两条对角线长之和为 ． 16. 如图，点是矩形的对角线上一点，过点P作 ，分别交与、，连接．若则阴影部分的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：如图： 解：作 于M，交于N． ∵ ，且四边形是矩形 ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4． 17. 如图，在中，，且 ，，点是斜边上的一个动点，过点分别作 于点， 于点，连接，则线段的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出的长，再证明四边形 是矩形，可得 ，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：在中，，且 ，，如图，连接， 由勾股定理得：， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴当 时，的值最小， 此时， , ∴， ∴的最小值为． 18. 我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形， ， ，中心为，在矩形外有一点，，当矩形绕着点旋转时，则点到矩形的距离 的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，由题意得出d最大、最小时点P的位置是关键；由题意及矩形的性质知， 过矩形的两条长边的中点时，d最大； 过矩形的顶点时，d最小，分别求出这两个最大值与最小值，即可求出答案． 【详解】解：设的中点为E，点O与边上所有点连线中， 最小，最大，此时最大，最小； 如图①，连接； ，中心为点O， ， ， ， ； 如图②，连接 ， ，中心为点O， ， ， ； ， ； 则d的取值范围为； 故答案为：． 三、简答题（本大题共4题，每题6分，满分24分） 19. 如图所示，的图象经过点，与 轴交于点，并与函数的图象交于点． （1）求的函数解析式； （2）求到直线 的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间距离公式以及点到直线的距离： （1）先求点的坐标，再用待定系数法求解； （2）先求点的坐标，再计算 ，利用等面积法求距离． 【小问1详解】 解：将代入中， 得， 解得：， ， 将、代入函数中， 得， 解得：， 的函数解析式． 【小问2详解】 解：令， 得， 解得： ， ， ， ． ， 设到直线 的距离为， ， ， 即 ， 解得：． 20. 某数学社团的同学们对校园进行了实地调查，作出了如下的平面示意图．已知旗杆的位置是，实验楼的位置是． （1）根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）用坐标表示位置：食堂：_______，大门：_________； （3）若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为______ ． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据旗杆的位置是，实验楼的位置是即可确定平面直角坐标系； （2）根据平面直角坐标系即可求解； （3）根据平面直角坐标系的特点，确定大门与教学楼之间有几个单位长度，由此即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，食堂，大门； 【小问3详解】 解：根据（1）中的平面直角坐标系可得，大门的位置是，图书馆的位置是， 若1个单位长度表示，则从大门到图书馆的最短距离为： ． 21. 在平面直角坐标系中，已知点，，点为 轴上一点，若是以为腰的等腰三角形，求满足条件的点的坐标． 【答案】点的坐标为，， 【解析】 【分析】运用待定系数法求出直线的解析式，利用两点间距离公式求出三角形各边的平方，设点的坐标为 ，根据为腰分和 两种情况列方程求解得 的值，代入直线解析式进行验证，排除三点共线无法构成三角形的情况，即可得到所有满足条件的点C的坐标． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为； 设点的坐标为 ， ∵，， ∴根据勾股定理得， ， ， ， ∵是以为腰的等腰三角形，分两种情况讨论： ①当 时，，即 ， 整理得 ， 解得， ， ∴点的坐标为或 当 时， ，即不在直线上，能构成等腰三角形； 当 时， ， 三点共线，不能构成三角形，舍去， ∴此时点的坐标为 ； ②当 时，，即 ， 整理得， 解得 ， ， 同理可得，不在直线上，可以构成等腰三角形， 故点的坐标为和 ． 综上所述，满足条件的点的坐标为， ， ． 22. 如图，在四边形中，，，分别是，，的中点， ，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质．根据三角形中位线定理得到，即可证明 ，结合，可得结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵E，M是的中点， ∴， 同理，， ∵ ， ∴ ． ∵， ∴. 四、解答题（本大题共3题，第23题8分，第24题8分，第25题12分，满分28分） 23. 如图，菱形的对角线 相交于点，点是 中点，延长线段至点，使 ，连接 ，，． （1）求证：四边形 为矩形； （2）若 ， ，则的长 ． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）先运用菱形的性质结合得出，，再通过点是 中点、 推出四边形是平行四边形，等量代换推出四边形 是平行四边形，最后通过证明平行四边形 是矩形即可； （2）先通过菱形的性质推出为等边三角形，结合运用三线合一求出的值，再通过菱形的性质和矩形的性质推出的值，最后根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵菱形， ∴，． ∵点是 中点， ∴ ． 又∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ，， ∴四边形 是平行四边形． ∵， ∴平行四边形 是矩形； 【小问2详解】 解：∵菱形， ， ∴，，， ∵ ， ， ∴为等边三角形， ∴ ． ∵， ∴ ，． 在 中，由勾股定理，得， ∴． 由（1）得，四边形 是矩形， ∴ ，． ∵在中， ， ∴由勾股定理，． 故答案为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴、 轴分别交于，两点，以线段为一边向直线左侧作正方形． （1）求直线的解析式． （2）求点的坐标． （3）若点是直线上一点，点是坐标平面内一点，当四边形是菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、勾股定理、正方形的性质： （1）待定系数法求解； （2）连接 ，利用正方形的性质求出点的坐标； （3）分为边和为对角线两种情况讨论，利用两点间距离公式列方程求解点的坐标． 【小问1详解】 解：， 设直线的解析式为：， 将代入，得， 解得：， 直线的解析式为： 【小问2详解】 解：连接 ， ， ， ， 是正方形， ， ， ， ， ， ， 平行于 ， ． 【小问3详解】 解：当以为边，时， 设点的坐标为， 由（2）知， ， 即， 解得； 当时， ， 即； 当时， ， 即； 当以为边，时， 设点的坐标为， 四边形是正方形，，， 点的坐标为， ， ， 解得或， 当时， ， 与点重合，不合题意，舍去； 当时， ， 即； 当以为对角线时，点与点重合，点与点重合， 即； 综上所述，点的坐标为或或或． 25. 【问题提出】如图，点是正方形的中心，点 分别在边上，，线段相交于点． （1）①求证； ② 可以看作是由 绕着点________按_______方向旋转得到． （2）【问题深入】连接 ，求证：． （3）【类比迁移】如图 ，点是正六边形 的中心，点，分别在边，上，，线段相交于点，已知．若点与之间的距离为，求线段的长． 【答案】（1）①证明见解析；②，顺时针 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）①利用正方形的性质即可求证；②根据旋转的定义即可求解； （ ）连接，设与相交于点，在 上截取，可证，得到，，即得到是等腰直角三角形，得，再根据即可求证； （）先证明，得 可以看作是由绕着点按顺时针方向旋转 得到，在上截取，连接，由旋转的性质可得，，即得是等边三角形，得到，进而由得，求出 即可求解． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是正方形， ∴ ， ， 又∵， ∴； ②解：如图，连接， ∵ ， ， ∴ 可以看作是由 绕着点按顺时针方向旋转得到， 故答案为：，顺时针； 【小问2详解】 证明：如图，连接，设与相交于点，在 上截取， ∵四边形是正方形， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵ 是正六边形， ∴， ， 又∵， ∴， 连接， ∵ ， ， ∴ 可以看作是由绕着点按顺时针方向旋转 得到， 在上截取，连接， ∵是一组对应点， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的定义和性质，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $