第11讲 圆周运动-【优学精研】2027年高考物理一轮总复习教用Word（提升版）

该高中物理高考复习教案聚焦圆周运动专题，涵盖描述量关系、周期性多解、向心力来源及应用、与平抛综合等核心考点，按运动学规律、动力学分析、多模型综合的逻辑层次架构知识，通过双基落实、考点梳理、方法指导、真题训练四环节，帮助学生构建解题框架。 教案突出科学思维与模型建构，如分析传动装置时对比同轴、皮带、齿轮特点，讲解圆锥摆与圆锥筒模型时归纳向心力来源规律。设置基础判断、真题选讲、分层计算练习，配合即时反馈，培养学生推理与应用能力，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考效率提供有力支持。

第11讲　圆周运动 1.熟练掌握描述圆周运动的各物理量之间的关系。 2.会分析匀速圆周运动的周期性及多解问题。 3.会分析圆周运动的向心力来源，并利用圆周运动的知识解决生活中的实际问题。 　　 双基落实 1.易错判断 （1）匀速圆周运动是匀变速曲线运动。（　×　） （2）物体做匀速圆周运动时，其角速度大小是不变的，合外力也是不变的。（　×　） （3）根据an＝知，加速度an与半径r成反比。（　×　） （4）向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。（　√　） （5）做匀速圆周运动的物体，当所受合力突然减小时，物体将沿切线方向飞出。（　×　） 2.〔人教版必修第二册P38图6.4－9改编〕如图所示，汽车正在水平路面上沿圆轨道匀速率转弯，且没有发生侧滑。质量相同的两位成人分别坐在驾驶座和副驾驶座上，下列说法正确的是（　　） A.汽车受重力、支持力、摩擦力和向心力 B.汽车对两位成人的作用力大小相等 C.向心力由车轮和路面间的静摩擦力提供 D.汽车转弯半径不变，速度减小时，汽车受到的径向摩擦力可能不变 解析：C　汽车受重力、支持力和摩擦力，其中向心力由车轮和路面间的静摩擦力提供，故A错误，C正确； 由F＝mω2r可知，向心力不相等，则汽车对两位成人的作用力大小不相等，故B错误；静摩擦力提供汽车的向心力，根据f＝m，线速度减小时，静摩擦力减小，故D错误。 考点一　圆周运动的运动学问题 　　 1.圆周运动各物理量间的关系 2.常见传动装置及其特点 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点 特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 〔多选〕（2026·辽宁沈阳模拟）如图，做匀速圆周运动的质点在时间t＝1 s内由A点运动到B点，AB弧长L＝1 m，其对应的圆心角θ＝ rad。设质点线速度和角速度大小分别为v、ω，向心加速度大小为a1，该段时间内平均加速度大小a2＝，则（　　） A.ω＝1 rad/s B.v＝1 m/s C.a1＝ m/s2 D.a2＝ m/s2 答案：BC　 解析：质点的角速度大小ω＝＝ rad/s，故A错误；质点的线速度大小v＝＝1 m/s，故B正确；轨迹圆的半径r＝＝ m，质点的向心加速度大小a1＝ω2r＝ m/s2，故C正确；根据几何关系，质点从A点运动到B点的速度变化量大小Δv＝1 m/s，则该段时间内质点的平均加速度大小a2＝＝1 m/s2，故D错误。 （2025·江苏高考4题）游乐设施“旋转杯”的底盘和转杯分别以O、O'为转轴，在水平面内沿顺时针方向匀速转动。O'固定在底盘上。某时刻转杯转到如图所示位置，杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上。则（　　） A.A点做匀速圆周运动 B.O'点做匀速圆周运动 C.此时A点的速度小于O'点 D.此时A点的速度等于O'点 答案：B　 解析：A点的运动为A点绕O'的圆周运动和O'相对于O的圆周运动的合运动，其轨迹不是圆周，故不是匀速圆周运动，故A错误；O'固定在底盘上，围绕O点做匀速圆周运动，故B正确；杯上A点与O、O'恰好在同一条直线上且A在OO'延长线上时，A点和O'点运动方向相同，又A点相对O'点做圆周运动，故此时A的速度大于O'的速度，故C、D错误。 　（2026·四川南充期末）如图所示，自行车的大齿轮与小齿轮通过链条相连，小齿轮和后轮绕共同的轴转动。设大齿轮、小齿轮和后轮的半径分别为RA、RB和RC，其半径之比为RA∶RB∶RC＝3∶1∶6，在它们的边缘分别取一点A、B、C。则A、B、C三点（　　） A.转速之比为3∶2∶1 B.角速度之比为2∶3∶3 C.线速度大小之比为1∶2∶3 D.向心加速度大小之比为1∶3∶18 解析：D　由ω＝2πn可知，转速之比即为角速度之比，因为大、小齿轮由链条传动，则vA∶vB＝1∶1，根据v＝Rω可知ω＝，即ωA∶ωB＝RB∶RA＝1∶3，小齿轮与后轮同轴转动，则ωB∶ωC＝1∶1，vB∶vC＝RB∶RC＝1∶6，即ωA∶ωB∶ωC＝1∶3∶3，nA∶nB∶nC＝1∶3∶3，vA∶vB∶vC＝1∶1∶6，故A、B、C错误；由公式an＝ω2R可得anA∶anB＝（RA）∶（RB）＝（12×3）∶（32×1）＝1∶3，anB∶anC＝（RB）∶（RC）＝1∶6，anA∶anB∶anC＝1∶3∶18，故D正确。 （2026·山西晋城阶段练习）为了测定子弹的飞行速度，在一根水平放置的轴杆上固定两个薄圆盘A、B，A、B平行相距1.8 m，轴杆的转速为3 000 r/min（从左往右看是逆时针转动），子弹穿过两盘留下两弹孔a、b，测得两弹孔所在半径的夹角是45°，如图所示。则该子弹的速度大小不可能是（　　） A.360 m/s B.80 m/s C.720 m/s D.28.8 m/s 答案：A 解析：由题意可知轴杆的转速n＝3 000 r/min＝50 r/s，则角速度ω＝2πn＝100π rad/s，设子弹速度大小为v，则从A到B子弹飞行时间t＝＝，根据题意有ωt＝＋2nπ，（n＝0，1，2，3…），整理得v＝ m/s，（n＝0，1，2，3…），n分别取0、1、2、3时，速度大小分别为720 m/s、80 m/s、42.4 m/s、28.8 m/s，故选A。 考点二　圆周运动的动力学问题 　　 1.圆周运动向心力的理解 （1）向心力是按力的作用效果命名的，可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供，可以是某个力或某个力的分力，也可以是几个力的合力，在受力分析中要避免再添加一个向心力。 （2）匀速圆周运动的合外力恰好全部提供向心力，即F向＝F合。 2.常见圆周运动的实例分析 运动模型 向心力的来源图示 运动模型 向心力的来源图示 飞机水 平转弯 火车 转弯 运动模型 向心力的来源图示 运动模型 向心力的来源图示 汽车在 水平路 面转弯 水平 转台 （光滑） 汽车过 凸形桥 汽车过 凹形桥 3.变速圆周运动的向心力 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，即FT－mgcos θ＝man。 沿切线方向的合力产生切向的加速度，改变速度的大小，即mgsin θ＝mat。 （2025·河北保定一模）滚筒洗衣机的实物图片如图所示。脱水时，滚筒绕水平轴高速匀速转动，附着在衣物上的水会从滚筒漏水孔中甩出。下列相关说法中正确的是（　　） A.水被甩出前在最高点与最低点受到衣物附着力大小相等 B.在与转轴等高的位置，水受到的衣物附着力指向转轴 C.水在最低点更容易被甩出 D.水在最高点更容易被甩出 答案：C 解析：滚筒洗衣机的脱水筒匀速旋转，衣服在最高点和最低点时附着在衣物上的水的重力和衣物与水之间的附着力的合力提供向心力，在最高点F1＋mg＝，在最低点F2－mg＝，可得F2＞F1，所以在最低点时，所需要附着力较大，更容易被甩出，故A、D错误，C正确；在与转轴等高的位置，水的重力和衣物附着力的合力提供向心力，向心力方向指向转轴，由于重力竖直向下，所以衣物附着力不指向转轴，故B错误。 （2024·广东高考5题）如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖。使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为（　　） A.r B.l C.r D.l 答案：A　 解析：由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量为Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，由弹簧的弹力提供向心力，有F＝mlω2，对卷轴，有v＝rω，联立解得v＝r，故选A。 圆周运动的动力学问题的分析思路 　（2025·山东高考4题）某同学用不可伸长的细线系一个质量为0.1 kg的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为0.6 m的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为 s。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　） A.11 N B.9 N C.7 N D.5 N 解析：C　根据题意可知，小球经过最低点的速率约为v＝，则在最低点，对小球由牛顿第二定律有F－mg＝m，重力加速度大小g取10 m/s2，解得小球在最低点时细线的拉力约为F＝7 N，C正确。 〔多选〕（2026·湖南衡阳联考）四个完全相同的小球A、B、C、D均在水平面内做圆锥摆运动。如图甲所示，其中小球A、B在同一水平面内做圆锥摆运动（连接B球的绳较长）；如图乙所示，小球C、D在不同水平面内做圆锥摆运动，但是连接C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同（连接D球的绳较长），则下列说法正确的是（　　） A.小球A、B角速度相等 B.小球A、B线速度大小相同 C.小球C、D向心加速度大小相同 D.小球D受到绳的拉力大于小球C受到绳的拉力 答案：AC　 解析：对题图甲中小球A、B分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳长为l，小球A、B到悬点O的竖直距离为h，则mgtan θ＝mω2lsin θ，解得ω＝＝，所以小球A、B的角速度相等，线速度大小不相同，故A正确，B错误；对题图乙中小球C、D分析，设绳与竖直方向的夹角为θ，小球的质量为m，绳上拉力为FT，则有mgtan θ＝ma，FTcos θ＝mg，得a＝gtan θ，FT＝，所以小球C、D向心加速度大小相同，受到绳的拉力大小也相同，故C正确，D错误。 圆锥摆和圆锥筒的对比分析 （1）筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝。 （2）稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω越小，线速度v越大，支持力FN＝和向心力Fn＝不随位置的变化而变化 （1）向心力Fn＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝。 （2）稳定状态下，θ越大，角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力FT＝和运动所需向心力也越大，即摆线长度L相等时，越高越快、越大 教材母题 　〔教科版必修第二册P49·T1 改编〕如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒，其轴线垂直于水平面，筒口圆心为O。现将圆锥筒固定不动，有一个质量为m的小球A紧贴着筒内壁在水平面内做匀速圆周运动，筒口半径和筒高分别为R和H，小球A所在的高度为筒高的一半。已知重力加速度为g，则（　　） A.小球A受到重力、支持力和向心力三个力作用 B.小球A做匀速圆周运动的角速度ω＝ C.小球A的向心力方向指向O点 D.小球A受到的合力大小为，方向垂直于筒壁斜向上 答案：B　 解析：小球A受到重力、支持力两个力作用，合力的方向水平且指向转轴，设漏斗内壁倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2r，半径r＝，tan θ＝，解得小球A受到的合力大小为F合＝，角速度ω＝，故B正确，A、C、D错误。 链接高考 　〔多选〕（2025·广东高考8题）将可视为质点的小球沿光滑冰坑内壁推出，使小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示。已知圆周运动半径R为0.4 m，小球所在位置处的切面与水平面夹角θ为45°，小球质量为0.1 kg，重力加速度g取10 m/s2。关于该小球，下列说法正确的有（　　） A.角速度为5 rad/s B.线速度大小为4 m/s C.向心加速度大小为10 m/s2 D.所受支持力大小为1 N 解析：AC　小球在水平面内做匀速圆周运动，受力如图所示，由Fn＝mgtan θ＝mω2R＝m＝man，得：ω＝5 rad/s，v＝2 m/s，an＝10 m/s2，则A、C正确，B错误；由FNcos θ＝mg得FN＝N，D错误。 链接分析 　教材母题和2025·广东高考8题： （1）都属于圆锥筒模型； （2）都考查了水平面内圆周运动物体的受力分析及有关各量的求解。 考点三　圆周运动与平抛运动综合问题 　　 两类问题 解题关键 （1）一物体做圆周运动，另一物体做平抛运动，在特定条件下相遇。如图：闯关游戏。 注意圆周运动的周期性和相遇问题的多解性 （2）一个物体先做圆周运动后做平抛运动，如图： 前一过程的末速度是后一过程的初速度，注意向心力分析、牛顿定律应用，有时还用到能量转化关系 〔多选〕（2025·山东高考10题）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心、半径R1＝5 m的圆形区域，OO'垂直地面，无人机在离地面高度H＝20 m的空中绕O'点、平行地面做半径R2＝3 m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO'B＝90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是（　　） A.ωmax＝ rad/s B.ωmax＝ rad/s C.无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地 D.无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地 答案：BC　 解析：物品从抛出到落地的过程做平抛运动，当其恰好落在目标区域内时，物品的水平位移示意图如图所示，由几何关系有xm＝＝4 m，此时物品的初速度最大，水平方向上有xm＝vmt，竖直方向上有H＝gt2，联立解得物品的最大初速度（无人机的最大线速度）为vm＝2 m/s，所以无人机的最大角速度ωmax＝＝ rad/s，A错误，B正确；由A、B项分析可知，物品释放后在空中运动的时间为t＝2 s，该过程无人机转过的角度θ＝ωmaxt＝＜，所以无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，C正确，D错误。 　（2026·云南丽江一模）如图所示是某闯关游戏中的一个关卡。一绕过其圆心O的竖直轴顺时针匀速转动的圆形转盘浮在水面上，转盘表面始终保持水平，M为转盘边缘上一点。某时刻，一参赛者从水平跑道边缘P点以初速度v0水平向右跳出，初速度方向平行于OM方向，且运动轨迹与此时刻OM在同一竖直平面内，随后参赛者正好落在M点，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A.若跳出时刻不变，仅增大v0，参赛者必定落水 B.若跳出时刻不变，仅减小v0，参赛者一定会落在OM之间 C.若跳出时刻和初速度不变，仅增大转盘的角速度，参赛者仍可能落在M点 D.若跳出时刻和初速度不变，仅减小转盘的角速度，参赛者不可能落在M点 解析：C　参赛者正好落在M点，则M点可能出现在图示的两个位置 参赛者在空中所做运动为平抛运动，竖直高度不变，参赛者在空中运动时间不变；仅增大v0，参赛者的水平位移增大，可能落水，可能在台面上；仅减小v0，参赛者的水平位移减小，可能落水，可能在台面上，故A、B错误；仅增大转盘的角速度，或仅减小转盘的角速度，参赛者的水平位移不变，只要满足M仍转到同一位置，参赛者就仍可能落在M点，故C正确，D错误。 　　 1.（2026·广东东莞阶段练习）如图是大型游乐装置“大摆锤”的示意图。摆锤a和配重锤b分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴O在纸面内转动。若aO段与bO段的距离之比为3∶2，则在转动过程中的下列说法正确的是（　　） A.a、b的线速度大小之比为2∶3 B.a、b的角速度大小之比为2∶3 C.a、b的向心加速度之比为3∶2 D.a、b的动能之比为9∶4 解析：C　a、b绕同一转轴O转动，则角速度相等，B错误； 根据v＝ωr可知，a、b的转动半径之比为3∶2，则线速度大小之比为3∶2，A错误；根据a＝ωv可知，a、b的向心加速度之比为3∶2，C正确；a、b的质量关系不确定，则不能确定动能之比，D错误。 2.（2025·河北高考5题）某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟跳绳的圈数约为（　　） A.90 B.120 C.150 D.180 解析：C　根据题意可知跳绳的转动角速度为ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数为n＝＝150，故选C。 3.〔多选〕（2026·天津南开期末）明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA∶rB∶rC＝3∶2∶1，则（　　） A.ωA＝ωB B.vB∶vC＝1∶2 C.vA∶vC＝2∶1 D.aA∶aC＝4∶3 解析：CD　根据题意得vA＝ωArA，vB＝ωBrB，vA＝vB ，解得＝＝，A错误；根据题意得vB＝ωBrB，vC＝ωCrC，ωB＝ωC，解得＝＝，B错误；根据题意得ωB＝ωC，＝＝，解得＝，则＝，C正确；根据＝3∶1，＝，an＝，则＝，D正确。 4.（2026·云南期中）如图所示，两端开口的圆筒直立放置，圆筒内半径为R、高度为h且内壁光滑。质量为m的小球（可视为质点）位于圆筒上端面内壁上的P点，获得一水平速度后沿圆筒内壁运动，小球第二次通过P点正下方时离开圆筒。重力加速度为g。小球沿圆筒内壁运动过程中，圆筒对小球的支持力大小为（　　） A. B. C. D. 解析：C　小球在竖直方向做自由落体运动，可得h＝gt2，小球在水平方向做匀速圆周运动，根据题意可得ωt＝4π，FN＝mRω2，解得FN＝。故选C。 5.（2025·重庆高考3题）“魔幻”重庆的立体交通层叠交错，小明选取其中两条线探究车辆的运动。如图所示，轻轨列车与汽车以速度2v0分别从M和N向左同时出发，列车做匀速直线运动，汽车在长为s的NO段做匀减速直线运动并以速度v0进入半径为R的OP圆弧段做匀速圆周运动。两车均视为质点，则（　　） A.汽车到O点时，列车行驶距离为s B.汽车到O点时，列车行驶距离为 C.汽车在OP段向心加速度大小为 D.汽车在OP段向心加速度大小为 解析：B　对汽车，s＝·t，对列车，s'＝2v0t，解得s'＝s，B正确，A错误；根据an＝可得汽车在OP段向心加速度大小为an＝，C、D错误。 6.（2025·安徽高考6题）在竖直平面内，质点M绕定点O沿逆时针方向做匀速圆周运动，质点N沿竖直方向做直线运动，M、N在运动过程中始终处于同一高度。t＝0时，M、N与O点位于同一直线上，如图所示。此后在M运动一周的过程中，N运动的速度v随时间t变化的图像可能是（　　） 解析：D　根据题意可知，M的速度在竖直方向上的分量始终与N的速度相同，设M做匀速圆周运动的速率为v0，半径为R，则t时间内M转过的角度为，以竖直向上为正方向，结合题图可知M的速度在竖直方向上的分量（即N的速度）为v＝v0cos，所以D正确。 7.（2026·江苏苏州模拟）“太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材。如图所示，将球拍和太极球简化成平板和小球，健身者用平板托着质量m＝0.5 kg的小球，使球与平板保持相对静止，在竖直平面内做半径R＝0.2 m的匀速圆周运动。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。当小球运动到B点时速度v＝2 m/s，平板与水平方向的夹角θ＝37°。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，不计空气阻力。关于小球运动及受力分析正确的是（　　） A.在A点，平板对小球没有作用力 B.在B点，平板对小球的摩擦力大小为5 N C.在B点，平板对小球的摩擦力沿板向上 D.在C点，平板对小球有摩擦力作用 解析：B　由于小球随平板一起做匀速圆周运动，在A点，有mg＋NA＝m，解得NA＝5 N，故A错误；在B点，受力分析如图所示，水平方向有NBsin θ＋fBcos θ＝m，竖直方向有NBcos θ＝fBsin θ＋mg，联立解得NB＝10 N，fB＝5 N，平板对小球的摩擦力方向沿板向下，故B正确，C错误；由于小球做匀速圆周运动，合力提供向心力，所以在C点小球所受的合力方向竖直向上，小球只受重力和向上的支持力，平板对小球没有摩擦力作用，故D错误。 8.★〔多选〕（2025·山东日照一模）科学实践小组对河道调研发现，弯曲河道的外侧河堤会受到流水冲击产生的压强。如图所示，河流某弯道处可视为半径为R的圆弧的一部分。假设河床水平，河道在整个弯道处宽度d和水深h均保持不变，水的流动速度v大小恒定，d≪R，河水密度为ρ，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，则在一段极短时间Δt内（　　） A.流水的加速度方向指向圆心O B.流水速度改变量的方向沿河道的切线方向 C.流水速度改变量的大小为Δt D.外侧河堤受到的流水冲击产生的压强为 解析：AD　根据题意可知，流水做匀速圆周运动，水流所受外力的合力方向指向圆心，即流水的加速度方向指向圆心，即流水速度改变量的方向指向圆心，故A正确，B错误；由于d≪R，向心加速度a＝，根据加速度的定义式有a＝，解得Δv＝Δt，故C错误；极短时间Δt内流过截面的水流质量Δm＝ρdhvΔt，令外侧河堤对Δt内流过截面的水流的冲击力为F1，则有F1＝Δm，根据牛顿第三定律有F2＝F1，则外侧河堤受到的流水冲击产生的压强为p＝，解得p＝，故D正确。 9.（2026·陕西西安期末）一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO'上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角α始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。 （1）若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； （2）求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； （3）求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 答案：（1）0.05 m　（2） rad/s　（3）10 rad/s 解析：（1）当细杆和圆环处于静止状态时，对圆环受力分析，则其受弹簧弹力 FT0＝mgcos α＝5 N 根据胡克定律F＝kΔx得Δx＝＝0.05 m 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离 x1＝x0－Δx＝0.05 m。 （2）若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得＝mr 由几何关系得圆环此时做匀速圆周运动的半径为r＝x0sin α 联立解得ω0＝ rad/s。 （3）圆环处于细杆末端P时，圆环受重力、支持力、沿杆向下的弹力。 根据胡克定律得FT＝k（L－x0）＝10 N 对圆环受力分析并正交分解，竖直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力， 则有mg＋FTcos α＝FNsin α， FTsin α＋FNcos α＝mω2r' 由几何关系得r'＝Lsin α 联立解得ω＝10 rad/s。 10.（2026·重庆渝中模拟）如图所示，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以O为圆心、R1和R2为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度分别用h1、v1、ω1和h2、v2、ω2表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A.若v1＝v2，则h1∶h2＝R1∶R2 B.ω增大，其他量不变，单位时间落入花盆的总水量增大 C.若ω1＝ω2，v1＝v2，喷水嘴各转动一周，落入每个花盆的平均水量相同 D.若h1＝h2，ω1＞ω2，喷水嘴各转动一周过程中落入内圈每个花盆的平均水量更少 解析：D　根据平抛运动的规律有h＝gt2，R＝vt，解得h＝，可知若v1＝v2，则h1∶h2＝∶，A错误；若ω增大，则喷水嘴转动一周的时间变短，喷出的水量变小，单位时间落入花盆的总水量减小，B错误；若ω1＝ω2，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v1＝v2，可知单位时间喷出水的质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多， C错误；设出水口横截面积为S0，喷水速度为v，因h相等，则水落地的时间相等，则h＝gt2，R＝vt，在圆周上单位时间内单位长度的水量为Q0＝＝＝＝，若ω1＞ω2，喷水嘴各转动一周过程中落入内圈每个花盆的平均水量更少，D正确。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $