精品解析：2026年山东省聊城市阳谷县第二实验中学九年级5月份学业水平检测数学试卷

2026年山东省聊城市阳谷县第二实验中学九年级5月份 学业水平检测数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下面说法正确的有（   ） ①的相反数是；②符号相反的数互为相反数；③的相反数是3.8；④一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】两数互为相反数，它们的和为0．本题可对5个选项进行一一分析进而得出答案即可． 【详解】解：①根据的相反数是；故①错误； ②符号相反的数不一定互为相反数；故②错误； ③，的相反数是；故③错误； ④一个数和它的相反数有可能相等；如0的相反数等于0，故④错误； ⑤正数与负数不一定互为相反数，如2与-1，故⑤错误； 故正确的有0个， 故选：A． 【点睛】本题考查的是相反数的概念，根据两数互为相反数，它们的和为0得出是解题关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 3. 某病毒细胞的直径约为0.000156cm，用科学记数法表示这个数是（ ） A. 0.156×10﹣3 B. 15.6×10﹣5 C. 1.56×10﹣4 D. 1.56×104 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.000156=1.56×10-4， 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，利用同底数幂的乘法法则计算即可得到结果，用到的规则是同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】∵， ∴． 5. 某几何体如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解答几何体的三视图的定义，画出从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：这个几何体的左视图为， 故选：D． 【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提． 6. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键，别忘记分式的分母不为零．解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案． 【详解】解：去分母得，， 解得，， ∵分式方程的解为非负数， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴m的取值范围是且， 故选：D． 7. 下列说法或做法正确的是（ ） A. 某地“明天降雨的概率是”表示明天有的时间会降雨 B. 班级里有24名女同学和26名男同学，每个同学都把自己的名字写在一张小纸条上，把小纸条放入一个盒子中搅匀，从中随机抽取一张小纸条，那么抽到男同学名字的概率是 C. 选用仅有颜色不同的红、黄、蓝3个小球，放入布袋中搅匀，从中随机摸出2个小球，摸出一个黄球和一个红球的概率为 D. 布袋中装有仅有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后，从中摸出1个球，放回搅匀再摸出第2个球，那么“摸出两个白球”和“摸出一红一白”的概率相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查概率的定义与古典概型的计算，只需依次对每个选项结合概率知识判断正误即可得到正确选项. 【详解】对于选项A，概率表示事件发生的可能性大小，不是事件发生的时间占比， “明天降雨的概率是”表示明天降雨的可能性为，不是明天有的时间降雨，∴A错误. 对于选项B，总共有名同学，男同学共名， ∴抽到男同学名字的概率为，∴B错误. 对于选项C，从红、黄、蓝3个球中随机摸出2个，所有等可能结果共3种， 其中摸到一个黄球和一个红球的结果只有1种， ∴所求概率为，∴C错误. 对于选项D，记红球为，两个白球为，放回摸两次，所有等可能结果共种； 其中“摸出两个白球”的结果共种，概率为； “摸出一红一白”的结果共种，概率为；二者概率相等，∴D正确. 8. 为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和的两种彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，你有几种不同的截法（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】设截成长的彩绳x根，长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设截成的彩绳x根，的彩绳y根， 由题意可得， ∵不造成浪费，且两种不同规格彩绳都要截出来， ∴x，y是正整数， ∴或， 则共有2种不同截法， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键． 9. 小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、勾股定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键， 两个正六边形为相似图形，所以我们要求面积比，则可求边长比，因此只需求出小正六边形的边长即可，根据这一特殊角，解即可得解． 【详解】解：设小正六边形的边长为，则， ∵是小正六边形的外角， ∴， 将作简化图如下， 过作于点， 在中，，， ∴ 在中，， ， 整理得． 解得，（舍）， ．．小正六边形得边长为5， 小正六边形与圆内接正六边形是相似图形， ∴相似比为， ∴面积比为， 故选：D． 10. 已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式中的探究规律，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． ①当，时，可得 ，，，，，即可求解； ②若，分类讨论：时；当时，当时，当时，当时，分别进行求解，即可判断； ③分类讨论：当时，当时，当时， 当时，当时，当时，同理可求． 【详解】解：①当，时， ，，…，为自然数，且， ，，，，， ， 故①错误． ②若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，有个； 当时， ， 为，，，，，， 有个； 当时， ， 为，， ， ， 有个； 当时， ， 为， 有个； 存在一个（），使得满足条件的整式有且仅有6个； 故②正确． ③当时， 当时， 整式：， 有1个； 当时， 时， 整式：； 时， 整式：， 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、，有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时， 时， 整式：， 有个； 时， 整式为，可以取、、，有个； 时， 整式为， 为，，， 有个； 时， 整式为， 为， 有个； 此时共有：个； 当时，由②得此时共有：个； 若， 当时， ， 有个； 当时， ， 可以取、、、，4，有5个； 当时， ， 为，，，，，，，，，， 有10个； 当时， ， 为，，，，， ， 有6个； 当时， ， 为，，，，， ∴有4个， 当时， ， 为， ∴有1个， 此时共有：个； 综上所述：共有个， 故③错误． 因此正确的结论是②，共1个． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为： 12. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使点A、F分别在、上，∥，其中，，则的度数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 如图，直线与双曲线相交于，两点（点在的左侧），点是位于点左侧的双曲线上任意一点，直线，分别交轴于，两点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于，过作轴于，过作于，过作轴于，可证得四边形是矩形，故，利用相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例的性质，可得出，，将其代入，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，过作轴于，过作轴于，过作于，过作轴于， ∴,， ∴四边形是矩形，, ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵直线与双曲线相交于，两点， ∴关于原点对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质与相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例的性质，掌握相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 14. 如图，等边三角形的边长为2，以B为圆心、长为半径画弧，点D为等边三角形内一点，连接若为等腰直角三角形，图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点E，先根据题意证明出，从而求出的长，利用即可求解． 【详解】解：如图， 延长，交于点E， ∵为等边三角形、为等腰直角三角形 ∴、 ∵ ∴ ∴ ∴是的角平分线 ∵为等边三角形 ∴、 ∵为等腰直角三角形 ∴ 在中 ∴ ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形的面积、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键． 15. 定义：若，则称与是关于1的平衡数． （1）与______是关于1的平衡数．（用含的代数式表示）； （2）若关于1的平衡数是，则的值为______． 【答案】 ①. ②. 4或 【解析】 【分析】(1)4-x+x-2=2即可得出4-x的平衡数； (2)根据平衡数的定义列出方程求解即可． 【详解】解：(1)∵4-x+x-2=2， ∴4-x与x-2是关于1的平衡数； (2)由题意知：， 解得x=4或-2． 故答案为：(1)x-2；(2)4或-2 【点睛】本题主要考查的是整式的加减，正确去括号合并同类项是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解： 解不等式①，得． 解不等式②，得 所以原不等式组解集为 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 17. 如图，，点E是的中点．平分． （1）求证：是的平分线； （2）已知，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析； （2）12 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得，进而结合中点的定义得，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得结论； （2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得，利用判断出，根据全等三角形的性质得，同理，推出，进而根据直角三角形的面积计算方法算出的面积，最后根据即可算出答案． 本题考查角平分线定理的应用，三角形全等的判定与性质． 【小问1详解】 证明：如图，过点作于点， ∵平分， ∵是的中点， ∴是的平分线； 【小问2详解】 解：∵， 均是直角三角形， 又∵平分， 在和中， ， ， 同理， ， ， ． ， ∴四边形的面积为12． 18. 如图，当时，反比例函数（）与正比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，的取值范围； （3）若点在反比例函数的图象上，直线向上平移后经过点，交轴于点，求的面积． 【答案】（1）； （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）把代入，可求得点，然后把代入，即可求得反比例函数的解析式； （2）根据图象和当时，反比例函数（）与正比例函数的图象交于点，即可得当时，的取值范围； （3）把代入反比例函数，可求得，由直线向上平移后经过点，可得直线BC的解析式为，即可得，过点A作AD平行y轴交直线BC于点D，可得，然后根据即可求得答案． 【小问1详解】 解：把代入， 得：， ∴， 把代入， 得：， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：观察图象可知，当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：把代入反比例函数， 得：， 解得：， ∴， ∵直线向上平移后经过点，交轴于点， ∴设直线BC的解析式为， 把代入， 得：， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 过点A作AD平行y轴交直线BC于点D， ∵直线BC的解析式为，， ∴当时，；当时，； ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次（反比例）函数的解析式、平移的性质、铅锤法求三角形的面积等，熟练掌握一次（反比例）函数图象与性质、数形结合思想的应用以及铅锤法求三角形的面积是解题的关键． 19. 某学校七年级组织“中国传统文化”知识竞赛，现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，卓越四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生； （2）补全条形统计图，分别求扇形统计图中“卓越”和“达标”部分的圆心角的度数； （3）已知该学校七年级共有400名学生，估计此次竞赛该校七年级获卓越等级的学生人数为多少？ 【答案】（1）40 （2）补全条形统计图见解析，“卓越”圆心角的度数为，“达标”圆心角的度数为； （3）100名 【解析】 【分析】（1）根据成绩为良好等级的学生人数的扇形统计图和条形统计图的信息即可得； （2）根据（1）的结果，求出成绩为优秀等级的学生人数，据此补全条形统计图，再利用分别乘以“卓越”和“达标”部分的学生人数所占百分比即可得“卓越”和“达标”部分的圆心角的度数； （3）利用400乘以成绩为卓越等级的学生人数所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：抽查学生数：（名）； 【小问2详解】 解：成绩为卓越等级的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： “卓越”圆心角的度数为， “达标”圆心角的度数为， ∴“卓越”圆心角的度数为，“达标”圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为100名． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． 20. 某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米． （1）求点到水平地面的距离． （2）求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】（1）延长交于，作于，直接利用坡度的定义和勾股定理，得出的长， （2）根据矩形的判定和性质得出的长，进而利用锐角三角函数关系得出的长，进而得出的长，根据即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图所示：延长交于，作于， 在中，，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得， ∴， ∴点到水平地面的距离米． 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：建筑物高约米． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角，坡度问题，勾股定理，矩形的判定和性质，正确得出的长是解题关键． 21. 已知四边形内接于，为的直径，是延长线上一点，连接，． （1）如图①，若交于点，，，，求和的大小； （2）如图②，若与相切于点，延长交于点，，，，求的大小和的长度． 【答案】（1）的度数为，的度数为 （2）的度数为，AD的长度为6 【解析】 【分析】（1）运用圆内接四边形的对角互补，直径所对的圆周角是直角，以及三角形外角的性质，进行求解即可； （2）连接，，，设与交于点，设，则，证四边形为矩形，在中，根据勾股定理求出，垂径定理得到，再利用三角形的中位线定理进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是的内接四边形， ， ， ∵， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 的度数为，的度数为； 【小问2详解】 解：连接，，，设与交于点， ， 设，则， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，， ， 或（舍去）， ， ， ，， ， 是的中位线， ， 的度数为，的长度为6． 22. 在中，，在中，，，连接，，垂足为N，，垂足为M． （1）观察猜想 图①中，点D，E分别在，上时，的值为___________；的值为___________． （2）探究证明 如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接，，判断问题（1）中的数量关系是否仍然存在，并证明； （3）拓展延伸 在旋转的过程中，设直线与相交于点F，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）1， （2）仍然存在；见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）通过证明是等腰直角三角形进行推理证明； （2）通过证明，，，再根据是等腰直角三角形得出线段比例关系即可； （3）分情况证，根据线段比例关系求出即可． 【小问1详解】 ∵，是的中位线， ∴， ∴， 即， 如图，过点D作于点F，则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， 故答案为：1，； 【小问2详解】 仍然存在 证明：∵， ∴ ∵， ∴， 即， 在和中， ∴ ∴，即， ∵是等腰直角三角形，， ∴ 由旋转的性质知，， ∵， 即， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 ①当点E在上时，， ∵， ∴， 同理（2）可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点E在的延长线上时，， ∵， ∴， 同理（2）可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题主要考查几何变换的综合题，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识是解题的关键． 23. 在直角坐标系中，点A(1，m)和点B(3，n)在二次函数的图象上． （1）若，，求二次函数的表达式及图象的对称轴． （2）若，试说明二次函数的图象与x轴必有交点． （3）若点C(，)是二次函数图象上的任意一点，且满足，求mn的取值范围． 【答案】（1），对称轴为直线； （2）证明见解析； （3）； 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法把点A(1，1)和点B(3，4)代入中，得方程组，解得方程组即可得二次函数的表达式以及二次函数图象的对称轴； （2）把点A(1，m)和点B(3，n)代入中，得方程组，从而得出a、b的关系，进而利用判断二次函数图象与x轴的交点即可； （3）由点C(，)是二次函数图象上的任意一点，且满足得二次函数图像开口向下，即，顶点坐标为(1，m)，进而求得即于是有，由，即可判断． 【小问1详解】 解：把点A(1，1)和点B(3，4)代入中， 得，解得 ∴二次函数的表达式为 ∵二次函数图象经过(1，1)和(0，1)， ∴二次函数图象的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：把点A(1，m)和点B(3，n)代入中， 得 ∴，即 ∴ ∴二次函数图象与x轴必有交点； 【小问3详解】 解：∵点C(，)是二次函数图象上的任意一点，且满足 ∴二次函数图像开口向下，即，顶点坐标为(1，m)， ∴对称轴为直线，即 ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解二次函数的表达式、判断二次函数与x轴的交点以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省聊城市阳谷县第二实验中学九年级5月份 学业水平检测数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 下面说法正确的有（   ） ①的相反数是；②符号相反的数互为相反数；③的相反数是3.8；④一个数和它的相反数不可能相等；⑤正数与负数互为相反数． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 某病毒细胞的直径约为0.000156cm，用科学记数法表示这个数是（ ） A. 0.156×10﹣3 B. 15.6×10﹣5 C. 1.56×10﹣4 D. 1.56×104 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 某几何体如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 下列说法或做法正确的是（ ） A. 某地“明天降雨的概率是”表示明天有的时间会降雨 B. 班级里有24名女同学和26名男同学，每个同学都把自己的名字写在一张小纸条上，把小纸条放入一个盒子中搅匀，从中随机抽取一张小纸条，那么抽到男同学名字的概率是 C. 选用仅有颜色不同的红、黄、蓝3个小球，放入布袋中搅匀，从中随机摸出2个小球，摸出一个黄球和一个红球的概率为 D. 布袋中装有仅有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后，从中摸出1个球，放回搅匀再摸出第2个球，那么“摸出两个白球”和“摸出一红一白”的概率相同 8. 为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，李老师让学生把长的彩绳截成和的两种彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费且两种不同规格彩绳都要截出来的前提下，你有几种不同的截法（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 9. 小慈发现相机快门打开的过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他手绘了如图2所示的图形．图2中六个全等三角形围成一个圆内接正六边形和一个小正六边形．若，，则小正六边形的面积与圆内接正六边形的面积比为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，，，，…，均为自然数，且，下列说法： ①当，时，则； ②若，则存在一个n使得满足条件的整式有6个； ③若时，则满足条件的所有整式有且仅有85个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 把多项式分解因式的结果是________． 12. 将一副三角板按如图所示方式摆放，使点A、F分别在、上，∥，其中，，则的度数是__________． 13. 如图，直线与双曲线相交于，两点（点在的左侧），点是位于点左侧的双曲线上任意一点，直线，分别交轴于，两点，则______． 14. 如图，等边三角形的边长为2，以B为圆心、长为半径画弧，点D为等边三角形内一点，连接若为等腰直角三角形，图中阴影部分的面积是_____． 15. 定义：若，则称与是关于1的平衡数． （1）与______是关于1的平衡数．（用含的代数式表示）； （2）若关于1的平衡数是，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解不等式组，并将解集在数轴上表示出来． 17. 如图，，点E是的中点．平分． （1）求证：是的平分线； （2）已知，求四边形的面积． 18. 如图，当时，反比例函数（）与正比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当时，的取值范围； （3）若点在反比例函数的图象上，直线向上平移后经过点，交轴于点，求的面积． 19. 某学校七年级组织“中国传统文化”知识竞赛，现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，卓越四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生； （2）补全条形统计图，分别求扇形统计图中“卓越”和“达标”部分的圆心角的度数； （3）已知该学校七年级共有400名学生，估计此次竞赛该校七年级获卓越等级的学生人数为多少？ 20. 某同学利用数学知识测量建筑物的高度．他从点出发沿着坡度为的斜坡步行米到达点处，用测角仪测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为．若为水平的地面，测角仪竖直放置，其高度米． （1）求点到水平地面的距离． （2）求建筑物的高度．（精确到米） （参考数据：，，，） 21. 已知四边形内接于，为的直径，是延长线上一点，连接，． （1）如图①，若交于点，，，，求和的大小； （2）如图②，若与相切于点，延长交于点，，，，求的大小和的长度． 22. 在中，，在中，，，连接，，垂足为N，，垂足为M． （1）观察猜想 图①中，点D，E分别在，上时，的值为___________；的值为___________． （2）探究证明 如图②，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，连接，，判断问题（1）中的数量关系是否仍然存在，并证明； （3）拓展延伸 在旋转的过程中，设直线与相交于点F，若，，请直接写出线段的长． 23. 在直角坐标系中，点A(1，m)和点B(3，n)在二次函数的图象上． （1）若，，求二次函数的表达式及图象的对称轴． （2）若，试说明二次函数的图象与x轴必有交点． （3）若点C(，)是二次函数图象上的任意一点，且满足，求mn的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $