精品解析：2026年山东聊城市阳谷县谷山学校5月份学业水平考试数学试卷

2026年山东省聊城市阳谷县谷山学校5月份学业水平考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下说法正确的是（ ） A. 在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同 B. 一个游戏的中奖率是1％，买100张奖券，一定会中奖 C. 一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件 D. 一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 3. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕．如图，这是此届奥运会的金牌，用数学的眼光观察这个金牌，它的形状类似于（ ） A. 球体 B. 圆柱体 C. 棱柱 D. 棱锥 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数，则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 与轴有2个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴是直线 6. 如图，的半径为2，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点，在圆上运动的过程中线段的最大值为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长米，宽米）场地，被条宽度相等的绿化带分为总面积为平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，是等边三角形．点在边上，点在外部，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，共21分） 9. 平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为________． 10. 若二次函数有最大值7，则的值为________． 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 12. 如图，的直径垂直于弦，，则________． 13. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 14. 为美化校园，学校决定将花园边墙上的矩形门ABCD改为以AC为直径的圆弧形门，如图所示，量得矩形门宽为1m，对角线AC的长为2m，则要打掉墙体的面积为_____m2． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程和不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 18. 某校在七年级学生研学期间，穿插了趣味比赛，比赛项目有蹦床投篮、寻宝乐园、后羿射日．各班通过抽签随机选择项目． （1）求七（1）班抽中“蹦床投篮”的概率； （2）在“蹦床投篮”初赛后，七（1）班需从3名男生和2名女生中任选2人参加决赛，试用列表法（或画树状图）求选出2人恰好是“1男1女”的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．请解答下列问题： （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标； （2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转至A2经过的路径长． 20. 如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： （1）； （2）． 21. 二次函数y＝ax2﹣4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式ax2﹣4x＋c＞0的解集； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出P点的坐标． 22. 如图，已知是的直径，点是上一点，过点作的切线交延长线于点，于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 23. 定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”． （1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）； ①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线． （2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”． （3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”． ①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）； ②若，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省聊城市阳谷县谷山学校5月份学业水平考试数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意； D、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意． 2. 以下说法正确的是（ ） A. 在同一年出生的400人中至少有两人的生日相同 B. 一个游戏的中奖率是1％，买100张奖券，一定会中奖 C. 一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是必然事件 D. 一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是 【答案】A 【解析】 【详解】A．一年有365天或366天，所以400人中一定有两人同一天出现，为必然事件．故正确 B．买了100张奖券可能中奖且中奖的可能性很小，故错误 C．一副扑克牌中，随意抽取一张是红桃K，这是不确定事件，故错误 D．一个袋中装有3个红球、5个白球，任意摸出一个球是红球的概率是；故错误 故选A 3. 2024年巴黎奥运会顺利闭幕．如图，这是此届奥运会的金牌，用数学的眼光观察这个金牌，它的形状类似于（ ） A. 球体 B. 圆柱体 C. 棱柱 D. 棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是认识立体图形，熟练掌握立体图形包含的平面图形是解题的关键，根据常见的几何体解答即可． 【详解】解：由图可得：奖牌的形状为圆形，并且有一定的高度， ∴它的形状类似于圆柱体， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项和幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． 利用同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项和幂的乘方等运算法则，逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项错误，不符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项正确，符合题意； 故选：D． 5. 已知二次函数，则下列关于这个函数的图象和性质的说法错误的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 与轴有2个交点 C. 当时，随的增大而减小 D. 对称轴是直线 【答案】C 【解析】 【分析】将表达式化为顶点式，再分别判断开口方向，根的判别式，对称轴以及增减性即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴图象的开口向下，故A正确，不合题意； 令，则， ， 抛物线与轴有两个交点，故B正确，不合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故C错误，符合题意；D正确，不合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，抛物线与轴的交点，将二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程根的判断是解题的关键． 6. 如图，的半径为2，定点在上，动点，也在上，且满足，为的中点，则点，在圆上运动的过程中线段的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM，根据圆周角定理得出∠AOB=60°，从而得出△AOB是等边三角形，再利用勾股定理得出AM的长，利用三角形中位线定理得出CM的长，当A、M、C共线时，AC最大即可得出答案 【详解】解：连接OA、OB、AB、OC、OP，取OB的中点M，连接CM、AM， ∵， ∴∠AOB=60°， ∵OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=2， ∴AM⊥BC, ∴， ∵为的中点，OB的中点M， ∴， ∵AC＜AM+CM, 当A、M、C共线时，AC最大， ∴的最大值=， 故选：B 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定、三角形中位线定理、圆周角定理等知识，添加辅助线得出当A、M、C共线时，AC最大是解题的关键． 7. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长米，宽米）场地，被条宽度相等的绿化带分为总面积为平方米的活动场所（羽毛球，乒乓球）如果设绿化带的宽度为米，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由绿化带的宽度，可得出六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形，结合活动场所的总面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：绿化带的宽度为米， 六块活动场所可合成长为米，宽为米的长方形． 根据题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 在中，，，是等边三角形．点在边上，点在外部，于点，过点作，交线段的延长线于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，根据题意得出和全等，然后得出和全等，设，则，，根据题意列出一元一次方程求出的值得出答案． 【详解】取的中点，连接、、， ，， ，， 为等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， ， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 设，则， ， ∴ 在和中， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得，， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，熟练掌握是解题的关键． 二、填空题（本大题共7小题，共21分） 9. 平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数，则点关于原点的对称点坐标为． 10. 若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 11. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________． 【答案】10或11##11或10 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到答案． 【详解】解：， ， 或， ，， 等腰三角形的腰为3，底边为4或等腰三角形的腰为4，底边为3， 等腰三角形的周长为或． 故答案为：10或11． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系，掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，的直径垂直于弦，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理，由垂径定理得出，推出，再由圆周角定理即可得解． 【详解】解：∵的直径垂直于弦， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 14. 为美化校园，学校决定将花园边墙上的矩形门ABCD改为以AC为直径的圆弧形门，如图所示，量得矩形门宽为1m，对角线AC的长为2m，则要打掉墙体的面积为_____m2． 【答案】 【解析】 【分析】要打掉墙体的面积是圆的面积减矩形面积减弓形BC的面积． 【详解】如图： 在Rt△ABC中， ∵AC＝2m，BC＝1m． ∴∠BAC＝30°，BC＝1m，AB＝m． ∴∠BCO＝60°，即△OBC是等边三角形． ∠BOC所对的弧与弦BC所围成的弓形的面积S1＝＝（m2）． ∴要打掉的墙体的面积＝S圆O−S矩形ABCD−S1＝π−（）＝． 【点睛】本题的关键是理解阴影部分的面积是由哪几部分图形组成的，然后利用公式求值． 15. 如图所示的网格是正方形网格，则＝_____°（点A，B，P是网格线交点）. 【答案】45 【解析】 【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】解：延长AP交格点于D，连接BD， 则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10， ∴PD2+DB2=PB2， ∴∠PDB=90°， 即△PBD为等腰直角三角形， ∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）通过零指数幂和负整数指数幂的运算性质可相应计算得． （2）通过整式运算性质，多项式除以单项式和单项式乘以多项式可计算得． 【详解】（1） 原式 ． （2） 原式 ． 【点睛】本题考查实数的运算性质及整式的运算，熟练掌握其运算法则及技巧是解题的关键． 17. 解方程和不等式组： （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程即可； （2）分别解两个不等式，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集． 【小问1详解】 ∴ 【小问2详解】 解不等式①得， 解不等式②得， 所以原不等式组的解集为． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程和一元一次不等式组的解法，题目难度较小，掌握因式分解法求解一元二次方程的一般步骤和不等式组的解法是解决本题的关键． 18. 某校在七年级学生研学期间，穿插了趣味比赛，比赛项目有蹦床投篮、寻宝乐园、后羿射日．各班通过抽签随机选择项目． （1）求七（1）班抽中“蹦床投篮”的概率； （2）在“蹦床投篮”初赛后，七（1）班需从3名男生和2名女生中任选2人参加决赛，试用列表法（或画树状图）求选出2人恰好是“1男1女”的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意直接求概率即可； （2）根据题意画树状图或列表求概率即可． 【小问1详解】 解：七（1）班抽签共有蹦床投篮、寻宝乐园、后羿射日3种情况， 抽中“蹦床投篮”的概率是； 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有20种等可能的结果，选出2人恰好是“1男1女”的有12种， 则选出2人恰好是“1男1女”的概率是． 19. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．请解答下列问题： （1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1，并写出点C的对应点C1的坐标； （2）画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转至A2经过的路径长． 【答案】（1） △ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1如图所示： 点C1的坐标为（1，3）； （2） △ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示： 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于原点的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据旋转的定义作出三顶点绕原点O逆时针旋转90°后得到的对应点，然后顺次连接，再根据弧长公式列式计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵OA=， ∴点A经过的路径长为：． 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，以及弧长的计算，熟练掌握网格结构，准确找出对应顶点的位置是解题的关键． 20. 如图，已知点是的平分线上的一点，以为圆心的圆和角的两边分别交于点、和、．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：，理由如下： 过点分别作，，垂足分别为、， ，， 和是直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ． （2）证明：， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点分别作，，则可知，且，则可证得，可得出． （2）由，可得，再根据垂径定理即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 二次函数y＝ax2﹣4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式ax2﹣4x＋c＞0的解集； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出P点的坐标． 【答案】（1）y=-x2-4x； （2）-4＜x＜0； （3）P的坐标是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4）． 【解析】 【分析】（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）直接利用函数图象得出不等式ax2-4x+c＞0的解集； （3）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可． 【小问1详解】 ∵二次函数y＝ax2﹣4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）， ， 解得： ， 所以，此二次函数的解析式为：y=-x2-4x； 【小问2详解】 由图可得：不等式ax2-4x+c＞0的解集为：-4＜x＜0； 【小问3详解】 ∵点A的坐标为（-4，0）， ∴AO=4， 设点P到x轴的距离为h， 则S△AOP=×4h=8， 解得h=4， ①当点P在x轴上方时，-x2-4x=4， 解得：x=-2， 所以，点P的坐标为（-2，4）， ②当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4， 解得， 所以，点P的坐标为（-2+2，-4）或（-2-2，-4）， 综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（3）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解． 22. 如图，已知是的直径，点是上一点，过点作的切线交延长线于点，于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，然后根据垂直的定义结合平行线的判定和性质得到，从而求解； （2）先证得，然后根据相似三角形的性质及勾股定理列方程求解 【小问1详解】 连接，则， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 ∵，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r，则， ∴，解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质和相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 23. 定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”． （1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）； ①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线． （2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”． （3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”． ①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）； ②若，，直接写出的长． 【答案】（1）②；（2）见详解；（3）①见详解；② 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及“周长平分线”的定义，即可判断； （2）延长BA，CD交于点M，连接MP，则∆ BMC是等腰直角三角形，再证明∆ABP≅∆DMP，进而即可得到结论； （3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，即可；②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，由等腰直角三角形的性质得AG，DH的值，再证明∆GAP≅∆HPD，设PE=m，PF=n，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）∵等腰三角形底边上的中线所在直线也是等腰三角形的对称轴， ∴腰三角形底边上的中线一定是所在等腰三角形的“周长平分线”， 故答案是：②； （2）延长BA，CD交于点M，连接MP， ∵， ∴∠BMC=90°，即∆ BMC是等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴BP=CP=MP，MP⊥BC，∠PMC=∠PMB=45°， 又∵， ∴∠APB+∠APM=∠DPM+∠APM=90°， ∴∠APB=∠DPM， 在∆ABP和∆DMP中， ∵， ∴∆ABP≅∆DMP（ASA）， ∴AP=DP， ∵点Q是AD的中点， ∴是的“周长平分线”； （3）①连接QM，并延长交BP于点E，连接QN，并延长交BC于点F，则EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线， ∴点E，F即为所求； ②连接AE，DF，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H， 则∠AGB=∠AGP=∠DHC=∠DHP=90°， ∵∠B=∠C =45°，∠AGB=∠DHC=90°， ∴∆AGB和∆DHC都是等腰直角三角形，且AG=BG，DH=CH， 又∵，， ∴AG=BG==，DH=CH=， ∵∠GAP+∠APG=∠HPD+∠APG=90°， ∴∠GAP=∠HPD， 在∆GAP和∆HPD中， ∵， ∴∆GAP≅∆HPD， ∴AG=PH=1，PG=DH=2， ∵EM是PA的中垂线，FN是PD的中垂线， ∴PE=AE，PF=DF， 设PE=m，则AE=m，EG=PG-PE=2-m，设PF=n，则DF=n ，FH=PF-PH=n-1，EF=PE+PF=m+n， 在Rt∆DHF中，根据勾股定理得：，解得：n=， 在Rt∆AGE中，根据勾股定理得：，解得：m=， ∴EF=m+n=+=． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加合适的辅助线，构造等腰直角三角形以及“一线三垂直”模型，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $