精品解析：福建省福州延安中学2025-2026学年第二学期适应性训练(6月)初三数学试卷

福州延安中学2025-2026学年第二学期适应性训练（6月） 初三数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答在本试卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是2026的（ ） A. 相反数 B. 绝对值 C. 倒数 D. 平方根 【答案】C 【解析】 【详解】解：，而， ∴是2026的倒数． 2. 在福州2200年不变的城市中轴线上，一场古厝“复活计划”正在上演．最新数据显示，2026年三坊七巷、上下杭、烟台山三大历史文化街区春节七天接待游客突破145万人次，创下历史新高，冲入全国热门景区前10．这组亮眼数字背后，是福州探索出的古厝“保下来——活过来——火起来”的活化新路径．请将145万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：145万 = ，则145万用科学记数法表示为． 3. 某几何体的俯视图如图所示，该几何体是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】B 【解析】 【详解】解：由俯视图可知，该几何体为锥体，且有四条棱，故为四棱锥． 4. 下列运算结果不为的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A 、，结果不为，符合题意； 选项B 、 ，结果为，不符合题意； 选项C 、 ，结果为，不符合题意； 选项D 、 ，结果为，不符合题意． 5. 将一副三角板按图中方式叠放，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角的定义计算即可． 【详解】解：如图，为的外角，由题可知， ， ． 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 某篮球队14名队员的年龄情况如表，则这些队员年龄的中位数是（ ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 1 5 3 2 A. 15 B. 15.5 C. 16 D. 16.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据中位数的定义求解，先确定数据总数，再找到排序后中间位置的两个数，计算其平均数即可得到中位数． 【详解】解：∵一共有14名队员，即共有14个数据，且数据已经按年龄从小到大排序， ∴中位数是排列后第7个和第8个数据的平均数， ∵累计人数：14岁共3个，15岁累计个，16岁累计个， ∴第7个和第8个数据都是16， ∴中位数为． 8. 我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，？，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，____________，问甜果苦果各买几个？若设买甜果个，苦果个，根据题意可列方程组为，则横线上的信息为（ ） A. 七文钱可以买苦果四个 B. 四文钱可以买苦果七个 C. 一文钱可以买苦果七个 D. 一文钱可以买苦果四个 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵设甜果个，苦果个， 方程组中，第二个方程表示总花费为999文， ∴文是单个苦果的价格， 即7个苦果总价格为4文钱，对应描述为四文钱可以买苦果七个． 9. 已知A，B两地相距1680米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地．乙骑自行车比甲晩7分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地．甲、乙离A地的距离y（米）与甲行走时间x（分）的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（ ） A. 10分钟 B. 10.5分钟 C. 11分钟 D. 11.5分钟 【答案】B 【解析】 【分析】从图象中，得到乙的图象经过(7，1680)和（14，0）两点，可确定解析式；甲的运动图象是正比例函数，且甲用时间为14+7=21分钟，可以计算甲的速度，从而确定甲的解析式，联立解析式求解即可． 【详解】从图像中，得到乙的图象经过(7，1680)和（14，0）两点，设一次函数的解析式为y=kx+b，根据题意，得， 解得， 故解析式为； 甲的运动图象是正比例函数，且甲用时间为14+7=21分钟，故甲的速度为1680÷21=80m/min， 故甲的解析式为y=80x， 联立解析式得， 解得x=10.5， 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数法，函数图象的信息读取，正确读懂函数图象，灵活选择待定系数法计算是解题的关键． 10. 若函数在的最大值是，最小值是，则（ ） A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关 【答案】B 【解析】 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由题意得，二次根式的被开方数非负， ∴，解得：． 12. 如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】作正七边形的外接圆，证明得出，再证明，求出，然后根据求解即可． 【详解】解：如图，作正七边形的外接圆， ∵正七边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 14. 已知是方程的解，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 15. 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为_____ 【答案】 【解析】 【分析】圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，利用弧长公式建立方程求解即可． 【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，圆锥的母线长为，即侧面展开图扇形的半径为， 则扇形的弧长为， 圆锥底面圆的周长为， 根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长，得， 解得． 16. 用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 【答案】4 【解析】 【分析】当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，分别计算的值，再根据题意分析，即可得到答案． 【详解】解：当时，得 ∴ ∵ ∴是的解 ∴与的交点坐标为： ∵（1）视窗可视范围就由及，且 ∴ 根据题意，得为正整数 ∴ ∴ 同理，当时，得 ∴ ∴ ∴ ∵要能看到在A和之间的一整段图象 ∴ 二、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【详解】解： 【点睛】本题考查立方根、零指数幂、负指数幂的运算，熟练掌握运算法则是关键，符号是易错点． 18. 已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 【答案】证明：∵将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得， 依题意得，， ， ∴． 【解析】 【分析】根据翻折的性质得出，确定，即可证明． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值； 【详解】解： 把代入得： 原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AB为直径． （1）在上求作点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝10，BC＝6，求BD的长． 【答案】（1） 点D就是所求作的图形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图做出∠ABC的平分线，角平分线与圆的交点即为所求； （2）首先利用勾股定理求得AC=8，然后利用圆周角定理得到等角，证明△DOF∽△ABC求出DF和OF的长，最后利用勾股定理求出结果． 【小问1详解】 如图，作∠ABC的角平分线，交弧AC于D， 则， ∴∠ABD=∠CAD 【小问2详解】 连接AD，OD，过D作DF⊥AB于点F ∵AB是直径， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴△DOF∽△ABC， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴在Rt△BDF中，． 【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆周角定理及推论，在圆中利用弧确定角之间关系是解决问题的关键． 21. 甲、乙、丙三位同学参加学校科技节的水火箭比赛，每人独立进行一次发射．已知甲同学水火箭发射成功的概率为，乙同学水火箭发射成功的概率为，丙同学水火箭发射成功的概率为，且三人的发射结果互不影响． （1）现从三人中随机抽取两人接受赛后采访，求恰好抽中甲、乙两位同学的概率． （2）若发射成功得2分，发射失败得0分，求三位同学得分之和的平均值． 【答案】（1） （2）三位同学得分之和的平均值为3分 【解析】 【分析】（1）利用列表法或树状图法求概率即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别得出甲、乙、丙的得分，然后求平均数即可． 【小问1详解】 解：列表如下： 第一次 第二次 甲 乙 丙 甲 （乙，甲） （丙，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） 三人中随机抽取两人接受赛后采访，每个人抽到的可能性相等，共6种可能，其中恰好抽中甲、乙两位同学的可能性有2种， ； 【小问2详解】 甲的平均得分：， 乙的平均得分：， 丙的平均得分：， 三位同学得分之和的平均值：； 故三位同学得分之和的平均值为3分． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 【答案】（1）50元；（2）八折 【解析】 【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设每件的售价定为x元， 则有：， 解得：(舍)， 答：每件售价为50元； （2）设该商品至少打m折， 根据题意得：， 解得：， 答：至少打八折销售价格不超过50元． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． 23. 如图，二次函数的图象交x轴于点A，点B，交y轴于点．且a，b，c满足和，连接．点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与B，C重合）： （1）求二次函数解析式； （2）连接，，若，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的表达式为，过点作轴于点，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，根据轴，轴，推出，在中，由，求的取值范围，然后根据三角函数的定义求出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：依题意，得．二次函数的图象经过点和点， ∴二次函数的表达式可写为． ∵点在抛物线上， ， 解得， ∴二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：设直线的表达式为，把点和点代入，得：， 解得：， ∴直线的表达式为； 过点作轴于点，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， 轴，，， 轴，， ． ． ，，， ，， 在中，． ， ， ． 当时，， ， ， ， 同理当时，， ． 24. 【背景材料】 随着我国经济迅猛发展，人民生活水平持续提升，民用汽车数量也在不断攀升．汽车数量的激增，带来了对停车位的极大需求．在设计停车位时，除了要研究停车位的情况，还要研究汽车进出停车位的通道宽度．因此，需要知道汽车如何进出停车位，即汽车转弯的运动轨迹． 如图1，车辆固定方向倒车入库时，行驶轨迹可近似视为以点O 为圆心、R 为半径的圆弧，符合圆的相关几何性质．某车型前轮最大转向角为，车辆最小转向半径满足公式（其中L为车辆轴距，即车辆前后车轮轴心的水平间距，为车辆固定几何参数；θ为前轮最大转向角）． 如图2，建立平面直角坐标系，将停车位抽象为矩形，各顶点坐标分别为：，，，． 根据车辆转向几何特征，该车倒车圆弧轨迹的圆心O 在x轴正半轴上，倒车行驶轨迹是以点O为圆心，R为半径的圆弧．（参考数据：，，，，，计算结果均保留两位小数．） 【问题解决】 （1）计算该车型前轮打满方向时的最小转向半径R． （2）车辆车身存在一定宽度，实际倒车入库需结合车身尺寸判断安全间距，避免车身与车位边界剐蹭．经测算，该车车身有效横向宽度为，可将车身简化为随轨迹运动的整体安全区域．请结合几何知识推理判断：车辆沿该圆弧轨迹完成右侧倒车入库时，车身是否会与车位左侧边发生剐蹭，并说明理由． （3）根据驾考安全规范，倒车过程中，车辆任意行驶点位与原点的连线和x轴正半轴的锐角夹角不得小于 ，防止侧边压线．设车辆倒车轨迹上任意一点为． ①结合三角函数知识，推导出车辆安全入库时，点位纵坐标y与横坐标x的数量关系； ②判断关键点位是否满足安全入库条件，并从几何角度写出一条精准的入库优化方案． 【答案】（1）该车型的最小转向半径R约为 （2） 解：车身不会发生剐蹭，理由如下： 车辆以半径（）的圆弧轨迹行驶，车辆最内侧边缘的运动轨迹半径为：（） 要保证车辆行驶区域与车位侧边无交集，车身不会发生剐蹭， 则，， 设，则， 解得， 综上，可取中的x值，使得车辆行驶区域与车位左侧边无交集，车身不会发生剐蹭． （3）①；②该点位满足安全入库条件；优化方案示例：控制车辆低速平稳行驶，保持方向盘转角稳定，始终维持安全夹角范围，规避车身压线、剐蹭风险 【解析】 【分析】（1）直接把数据代入题干中的公式求解即可； （2）先求出车辆最内侧边缘的运动轨迹半径，然后根据车辆行驶区域与车位侧边无交集，车身不会发生剐蹭，列不等式求解即可； （3）①设连线与x轴正半轴的锐角为α，由题意得，根据锐角三角函数的定义可得，即可求解； ②将点代入，得，可判断答案，即可写出优化方案． 【小问1详解】 解：将轴距，代入公式， 得（m）， 答：该车型的最小转向半径R约为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①设连线与轴正半轴的锐角为，由题意得， 过P作轴于点Q， ， ，， ， ， 纵坐标y与横坐标x的数量关系是． ②将点代入，得， ， 该点位满足安全入库条件； 优化方案示例：控制车辆低速平稳行驶，保持方向盘转角稳定，始终维持安全夹角范围，规避车身压线、剐蹭风险． 25. 如图1，在中，，，．作与关于直线对称，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． （1）求的值． （2）当时，求的长． （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理求，再用正切定义求解． （2） 由是关于的对称图形，得且．当时，，结合关于的轴对称性质，推导出，从而． （3） 利用在射线上且，将化为，再有理化得，由增减性知最小时最小．的最小值通过的最小值（到直线的距离）和勾股定理求得． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， ． 【小问2详解】 解：是关于直线的对称图形， ，， 当时， ， ， ， 由轴对称性质知， ， ， ． 【小问3详解】 解：在射线上，，， ，， ， ， ， ， ，且随增大而增大， 当最小时，最小， 过作于T， ， ， ， ，即， ， 的最小值， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州延安中学2025-2026学年第二学期适应性训练（6月） 初三数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前，学生务必在本试卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答在本试卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．结束时，学生必须将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 是2026的（ ） A. 相反数 B. 绝对值 C. 倒数 D. 平方根 2. 在福州2200年不变的城市中轴线上，一场古厝“复活计划”正在上演．最新数据显示，2026年三坊七巷、上下杭、烟台山三大历史文化街区春节七天接待游客突破145万人次，创下历史新高，冲入全国热门景区前10．这组亮眼数字背后，是福州探索出的古厝“保下来——活过来——火起来”的活化新路径．请将145万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的俯视图如图所示，该几何体是（ ） A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥 4. 下列运算结果不为的是（ ）． A. B. C. D. 5. 将一副三角板按图中方式叠放，则等于（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某篮球队14名队员的年龄情况如表，则这些队员年龄的中位数是（ ） 年龄（单位：岁） 14 15 16 17 18 人数 3 1 5 3 2 A. 15 B. 15.5 C. 16 D. 16.5 8. 我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，？，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，____________，问甜果苦果各买几个？若设买甜果个，苦果个，根据题意可列方程组为，则横线上的信息为（ ） A. 七文钱可以买苦果四个 B. 四文钱可以买苦果七个 C. 一文钱可以买苦果七个 D. 一文钱可以买苦果四个 9. 已知A，B两地相距1680米，甲步行沿一条笔直的公路从A地出发到B地．乙骑自行车比甲晩7分钟从B地出发，沿同一条公路到达A地后立刻以原速度返回，并与甲同时到达B地．甲、乙离A地的距离y（米）与甲行走时间x（分）的函数图象如图所示，则甲出发后两人第一次相遇所需的时间是（ ） A. 10分钟 B. 10.5分钟 C. 11分钟 D. 11.5分钟 10. 若函数在的最大值是，最小值是，则（ ） A. 与有关，且与有关 B. 与有关，但与无关 C. 与无关，且与无关 D. 与无关，但与有关 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本试卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_________． 12. 如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 13. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 14. 已知是方程的解，则________． 15. 已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为_____ 16. 用绘图软件绘制双曲线：与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，与的交点分别是点和，为能看到在和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，则整数________． 二、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 已知：如图，将，沿边翻折得，沿边的垂直平分线翻折得． 求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，⊙O是ABC的外接圆，AB为直径． （1）在上求作点D，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝10，BC＝6，求BD的长． 21. 甲、乙、丙三位同学参加学校科技节的水火箭比赛，每人独立进行一次发射．已知甲同学水火箭发射成功的概率为，乙同学水火箭发射成功的概率为，丙同学水火箭发射成功的概率为，且三人的发射结果互不影响． （1）现从三人中随机抽取两人接受赛后采访，求恰好抽中甲、乙两位同学的概率． （2）若发射成功得2分，发射失败得0分，求三位同学得分之和的平均值． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件． （1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ （2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？ 23. 如图，二次函数的图象交x轴于点A，点B，交y轴于点．且a，b，c满足和，连接．点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与B，C重合）： （1）求二次函数解析式； （2）连接，，若，，求的取值范围． 24. 【背景材料】 随着我国经济迅猛发展，人民生活水平持续提升，民用汽车数量也在不断攀升．汽车数量的激增，带来了对停车位的极大需求．在设计停车位时，除了要研究停车位的情况，还要研究汽车进出停车位的通道宽度．因此，需要知道汽车如何进出停车位，即汽车转弯的运动轨迹． 如图1，车辆固定方向倒车入库时，行驶轨迹可近似视为以点O 为圆心、R 为半径的圆弧，符合圆的相关几何性质．某车型前轮最大转向角为，车辆最小转向半径满足公式（其中L为车辆轴距，即车辆前后车轮轴心的水平间距，为车辆固定几何参数；θ为前轮最大转向角）． 如图2，建立平面直角坐标系，将停车位抽象为矩形，各顶点坐标分别为：，，，． 根据车辆转向几何特征，该车倒车圆弧轨迹的圆心O 在x轴正半轴上，倒车行驶轨迹是以点O为圆心，R为半径的圆弧．（参考数据：，，，，，计算结果均保留两位小数．） 【问题解决】 （1）计算该车型前轮打满方向时的最小转向半径R． （2）车辆车身存在一定宽度，实际倒车入库需结合车身尺寸判断安全间距，避免车身与车位边界剐蹭．经测算，该车车身有效横向宽度为，可将车身简化为随轨迹运动的整体安全区域．请结合几何知识推理判断：车辆沿该圆弧轨迹完成右侧倒车入库时，车身是否会与车位左侧边发生剐蹭，并说明理由． （3）根据驾考安全规范，倒车过程中，车辆任意行驶点位与原点的连线和x轴正半轴的锐角夹角不得小于 ，防止侧边压线．设车辆倒车轨迹上任意一点为． ①结合三角函数知识，推导出车辆安全入库时，点位纵坐标y与横坐标x的数量关系； ②判断关键点位是否满足安全入库条件，并从几何角度写出一条精准的入库优化方案． 25. 如图1，在中，，，．作与关于直线对称，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． （1）求的值． （2）当时，求的长． （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $