精品解析：福建福州延安中学2025-2026学年九年级第二学期半期考数学试卷

福建福州延安中学2025-2026学年九年级第二学期半期考数学试卷 完卷时间120分钟；满分150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 2025年，神舟二十号载人飞船执行空间任务期间，某新型科学实验装置的搭载总质量达78000多千克，将78000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其俯视图是（　　　） A. B. C. D. 4. 俗话说“春捂秋冻”，嘉琪每天晚上都会关注第二天的天气情况，及时增减衣物，一天，在看过天气预报之后，嘉琪说：“明天的气温是今天气温的2倍”，请问明天嘉琪应该（ ） A. 多穿一些 B. 少穿一些 C. 不用调整 D. 都有可能 5. 如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 的圆周角所对的弦是直径 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 两角互余的三角形是直角三角形 6. 下列运算正确的是（　　　） A. B. C. D. 7. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A. B. C. D. 9. 如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线经过点中的两点，且当时，x的取值范围是，则下列判断正确的是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集为__________． 12. 分解因式：______． 13. 已知是方程的一个解，则整式的值为__________． 14. 一个扇形的圆心角是，半径是，则此扇形的面积是________． 15. 已知：如图，四边形是正方形，O是其中心，以为边作一个正六边形，则的度数是 ____°． 16. 如图，在中，，A，B，C分别为直线a，b，c上的点，且直线，与直线b交于点D，若，，，则直线a与直线b之间的距离是_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点C、E、B、F在同一直线上，，，，求证：≌． 20. 如图，已知，A，B为射线ON上两点，且． （1）求作菱形，使得点C在射线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，当时，求的值． 21. 福州西湖公园是市民喜爱的休闲景点．相关部门从“自然风光”“文化历史”“交通便利”三个维度统计综合得分，各维度权重为：自然风光：，历史文化：，交通便利：．经统计，得到了2025年三个维度的得分与人流量方差．另一方面，为提升服务质量，公园在关注客流的稳定性的同时，准备了两种投资方案计划对公园进行项目提升，并预测了项目提升后的各维度的得分与人流量方差，如表所示． 维度 2025年 2026年（预测） 方案甲投资成本（万元） 方案乙投资成本（万元） 自然风光 历史文化 交通便利 人流量方差 （1）计算2025年的综合得分； （2）在预测中，通常会用综合效益指数对不同的方案进行比较，综合效益指数越高，说明效果越好． 综合效益指数人流方差变化量（提升分数年综合得分-2025年综合得分），请根据综合效益指数判断选择哪种方案更好，并说明理由． 22. 如图所示是一个运算程序， （1）求证：当为正奇数时，则为定值； （2）若，求的取值范围． 23. 已知二次函数的图像过点， （1）当时，求a的值； （2）若，求p的取值范围； （3）求证：． 24. 如图，的A，B两点在圆上，与交于点，连接交于点，连接并延长交于点，点恰好是的中点，与交于点． （1）连接，求证：． （2）求证：． （3）若，求． 25. 综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． （1）任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： （2）计算任务1得到的函数表达式的值； （3）写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： （4）小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建福州延安中学2025-2026学年九年级第二学期半期考数学试卷 完卷时间120分钟；满分150分 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 2025年，神舟二十号载人飞船执行空间任务期间，某新型科学实验装置的搭载总质量达78000多千克，将78000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可，科学记数法表示形式为，其中 ，为整数． 【详解】解： ， 故选：C． 3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其俯视图是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是指从几何体的上面观察得出的图形作答． 本题考查了简单组合体的三视图，能理解三视图的定义是解此题的关键． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C 4. 俗话说“春捂秋冻”，嘉琪每天晚上都会关注第二天的天气情况，及时增减衣物，一天，在看过天气预报之后，嘉琪说：“明天的气温是今天气温的2倍”，请问明天嘉琪应该（ ） A. 多穿一些 B. 少穿一些 C. 不用调整 D. 都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据明天的气温是今天气温的2倍，只有确定了今天的温度，才可确定明天是温度边冷，不变，还是变暖，三种情况都有可能即可得出答案． 【详解】解：设今天气温为t°C，则明天气温为2t°C， 明天的气温是今天气温的2倍，如果今天气温是零下的温度t＜0，明天天气变冷，应多穿些选A； 明天的气温是今天气温的2倍，如果今天气温是t=0度，明天天气不变，不用调整选C； 明天的气温是今天气温的2倍，如果今天气温是t＞0的温度，明天天气变暖，少穿一些，选B， 三种情况都有可能． 故选D． 【点睛】本题考查温度的变化，用字母表示数，列代数式，理解“明天的气温是今天气温的2倍”，是解题关键． 5. 如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（ ） A. 直径所对的圆周角是直角 B. 的圆周角所对的弦是直径 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 6. 下列运算正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂乘除法则、幂的乘方法则和同类项的定义．A.先判断，是不是同类项，能否合并，然后判断即可；B.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；C.根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；D.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B、，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C、，此选项的计算正确，故此选项符合题意； D、，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 7. 某简易房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AB的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数即可表示出AB的长． 【详解】解：作AD⊥BC于点D， 则BD＝＋0.3＝， ∵cosα＝， ∴cosα＝， 解得，AB＝米， 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用、轴对称图形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 随着消费者环保意识的增强和对新能源汽车认知度的提高，越来越多的家庭倾向于购买环保且高性能的新能源车型，今年我国第一季度新能源汽车销量约为209万辆，比去年一季度增长，求去年第一季度新能源汽车的销量．若将去年第一季度新能源汽车的销量设为x万辆，则符合题意的方程是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据去年的销量今年的销量，列方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：根据题意得 故选：A． 9. 如图，是直径，点C、D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且，则点Q所在的弧是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理和弧角关系求解． 【详解】解：如图， ∵AB为⊙O的直径，P在上， ∴∠APB=90°， ∵∠APQ=115°，∠APQ=∠APB+∠BPQ， ∴∠BPQ=25°， ∴∠BOQ=2∠BPQ=50°， ∵点C、D将分成相等的三段弧， ∴， ∴∠BOD=， ∵∠BOQ<∠BOD， ∴Q在上， 故选D． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆周角定理、弧角关系及直径所对圆周角大小是解题关键． 10. 已知抛物线经过点中的两点，且当时，x的取值范围是，则下列判断正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，由当时，x的取值范围是可知抛物线开口向下，对称轴为直线，即可判断A、B；由抛物线经过点，对称轴为直线可知抛物线必过点，再根据题意得出，即可判断C；由于图象经过点B，则，代入，即可求得，即可判断D． 【详解】解：当时，x的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ，， ，故A、B错误； 抛物线经过点， 抛物线必过点，不过， 抛物线经过点中的两点， 抛物线经过点A和B， 抛物线经过点，，且当时，x的取值范围是， ， ，故C错误； 抛物线经过点B， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，按照解一元一次不等式的步骤计算，系数化为1时，若未知数系数为负，需改变不等号方向． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键； 原多项式先提取公因式3，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ． 13. 已知是方程的一个解，则整式的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程可得，即，再代入整式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴． 14. 一个扇形的圆心角是，半径是，则此扇形的面积是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将圆心角，半径代入扇形面积公式得：． 15. 已知：如图，四边形是正方形，O是其中心，以为边作一个正六边形，则的度数是 ____°． 【答案】105 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形及正方形的性质，熟练掌握正多边形及正方形的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据四边形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴； 故答案为105． 16. 如图，在中，，A，B，C分别为直线a，b，c上的点，且直线，与直线b交于点D，若，，，则直线a与直线b之间的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，灵活运用锐角三角函数定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过B作直线b于点E，过A作直线b于点F，解得，，则，证明，在中，根据，设，，由勾股定理得，则，再证明和相似，利用相似三角形性质得，继而得，由此可得直线a与直线b之间的距离． 【详解】解：过点B作直线b于点E，过点A作直线b于点F，如图所示： 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，直线b于点F， ，， ， ， 在中，， 设，， 由勾股定理得：， ， 直线b于点E，直线b于点F， ， ， ， 即， ， 解得：， ， 直线a与直线b之间的距离是 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查含三角函数的计算，解题的关键是掌握特殊三角函数的函数值，先去绝对值，，根据实数的运算进行计算，即可． 【详解】解： 原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，点C、E、B、F在同一直线上，，，，求证：≌． 【答案】见解析. 【解析】 【分析】先由CE=BF，可得BC=EF，继而利用SAS可证明结论． 【详解】解：， ， 即， 又， ， 在和中， ， ≌． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS，ASA，HL，注意SSA、AAA不能判定三角形的全等． 20. 如图，已知，A，B为射线ON上两点，且． （1）求作菱形，使得点C在射线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，当时，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以B点为圆心，长为半径画圆，交于点C，再分别以C，A为圆心长为半径画，相交于D点，即可得出答案； （2）根据相似三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 解： 如图，菱形为所求作的图形． 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定和性质，三角函数的定义，正确地作出图形是解题的关键． 21. 福州西湖公园是市民喜爱的休闲景点．相关部门从“自然风光”“文化历史”“交通便利”三个维度统计综合得分，各维度权重为：自然风光：，历史文化：，交通便利：．经统计，得到了2025年三个维度的得分与人流量方差．另一方面，为提升服务质量，公园在关注客流的稳定性的同时，准备了两种投资方案计划对公园进行项目提升，并预测了项目提升后的各维度的得分与人流量方差，如表所示． 维度 2025年 2026年（预测） 方案甲投资成本（万元） 方案乙投资成本（万元） 自然风光 历史文化 交通便利 人流量方差 （1）计算2025年的综合得分； （2）在预测中，通常会用综合效益指数对不同的方案进行比较，综合效益指数越高，说明效果越好． 综合效益指数人流方差变化量（提升分数年综合得分-2025年综合得分），请根据综合效益指数判断选择哪种方案更好，并说明理由． 【答案】（1） （2）选择方案乙更好 【解析】 【分析】（1）根据给定权重，用加权平均数计算2025年的综合得分； （2）先分别计算两个方案的加权综合得分，再根据题目给出的综合效益指数公式分别计算两个方案的指数，比较指数大小，指数更高的方案更好． 【小问1详解】 解： 由题意得，自然风光权重为，文化历史权重为，交通便利权重为， 2025年三个维度得分分别为，，， 所以2025年综合得分为： （分） 【小问2详解】 方案甲的综合得分为：， 提升分数为：， 人流量方差变化量为：， 所以方案甲的综合效益指数为： 方案乙的综合得分为：， 提升分数为：， 人流量方差变化量为：， 所以方案乙的综合效益指数为： 因为，所以方案乙的综合效益指数更高，选择方案乙更好． 22. 如图所示是一个运算程序， （1）求证：当为正奇数时，则为定值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式的知识，解题的关键是掌握解一元一次方程，一元一次不等式，根据运算程序，得到运算结果，即可． （1）根据为正奇数，需循环次，直到时，此时输出，根据运算程序，进行计算，即可； （2）分类讨论：当；当；当；根据运算程序，即可． 【小问1详解】 解：证明如下： ∵为正奇数， 需循环次，直到时，此时输出， ∵为正奇数， ∴， ∴， ∴； ∴当为正奇数时，则为定值． 【小问2详解】 解：当时，此时直接输出， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，此时直接输出， ∴满足题意； 当时，需要循环次，直到时，此时输出， ∵， ∴， 即， ∴时，； 综上所述：当时，． 23. 已知二次函数的图像过点， （1）当时，求a的值； （2）若，求p的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）当时，得，解得； （2）根据题意，，，结合，解答即可； （3）根据题意，，，则，利用实数的非负性解答即可． 本题考查了抛物线的性质，实数非负性，不等式解法，熟练掌握性质，不等式性质是解题的关键． 【小问1详解】 当时，得， 解得． 【小问2详解】 根据题意，，， ∵， ∴，，， ∴，，， ∴或，， ∴或． 【小问3详解】 根据题意，，，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，的A，B两点在圆上，与交于点，连接交于点，连接并延长交于点，点恰好是的中点，与交于点． （1）连接，求证：． （2）求证：． （3）若，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，先得出，则可得，再根据等腰三角形的性质即可得证； （2）连接，先证出，再证出，则可得，由此即可得证； （3）连接，先证出，则，再设，则可得的长，然后在和中，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵，点是的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 由圆周角定理得：，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）已得：，， ∴设，则，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 由（2）已证：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 【点睛】本题的难点在于题（3），解决问题的关键是通过等角对等边得出． 25. 综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明．体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 0 1 2 3 4 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似的刻画水面高度与流水时间的关系． （1）任务1：利用时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式． 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为w，w越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：；利用“”和“”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量值代入各函数所对应的表达式，所得的值如表： 0 1 2 3 4 观察值 对于，计算，同理，的值为的值为． 任务2： （2）计算任务1得到的函数表达式的值； （3）写出你认为最优的函数表达式：__________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3： （4）小方同学也记录了一组数据，请你结合实际情况，判断这组数据的准确性并说明原因． 0 1 2 3 4 观察值 10 5 2 【答案】（1） （2） （3） （4）准确性较高，原因见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式； （2）利用题干所给偏差计算公式求出对应的值； （3）通过比较偏差确定最优函数表达式； （4）结合实际情况作答即可． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式是， ，，时，， 则， 解得：， 一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； 【小问3详解】 解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； 【小问4详解】 解：准确性较高． 因为随着h降低，液体对容器底部压强变小，会使得水流速度变慢，满足题中出现的方程， 因此数据准确性较高． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $