精品解析：2026年河北省沧州市沧县中考前模拟数学试题

河北省初中学业水平模拟考试（九年级） 数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 【答案】C 【解析】 【分析】根据正负数的意义与相反数的概念，先根据题意得到消耗续航的计数，再计算得到最终结果． 【详解】解：∵充电后获得的续航记为公里， ∴消耗的续航里程记为公里， ∴变化后对应的数值为公里． 2. 如图由一个球体和一个圆柱体（圆柱体底面与球体相切）组成的几何体，其主视图不可能是（ ） A. 圆形（圆柱体轴线与视线方向一致） B. 左边圆形、右边矩形（圆柱体轴线垂直于视线方向） C. 带一条竖线的圆形（圆柱体轴线垂直于视线方向，且圆心与球心对齐） D. 椭圆形 【答案】D 【解析】 【分析】明确主视图是正投影下的视图，先分别分析球体和圆柱在不同观测方向下的正投影形状：因为球体无论从哪个方向做正投影，投影都是圆形，所以先确定球体投影的固定形状，再分析对应方向下圆柱的投影即可． 【详解】选项A：当圆柱体轴线与视线方向一致时，圆柱体的正投影就是圆形，且原图中圆柱底面直径大于球体直径，整体轮廓为圆形，因此A是可能的； 选项B：圆柱体轴线垂直于视线方向时，圆柱投影为矩形，若球体放在圆柱顶面偏一侧，投影就是左侧圆形（球的投影）、右侧露出矩形（圆柱的投影），因此B是可能的； 选项C：圆柱体轴线垂直视线方向，且球心与圆柱轴线对齐，若球体直径大于圆柱直径，整体外轮廓是球投影的圆形，圆柱的侧边会在圆形内部投影出竖线，因此C是可能的； 选项D：球体的正投影无论从任何方向看都是正圆形，不可能得到椭圆形的轮廓，因此主视图不可能是椭圆形． 3. 韩国三星电子某款芯片的运算速度每秒为次，另一种华为新型芯片的运算速度是它的倍，且该新型芯片连续工作秒的总运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意列出总运算次数的算式，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后得到符合科学记数法要求的结果． 【详解】解： 三星芯片每秒运算速度为次，华为芯片速度是它的倍，连续工作秒 ， 总运算次数为： 因此结果用科学记数法表示为． 4. 某光伏发电站的年发电量（单位：度）与光伏板面积 （单位：平方米）的关系为：年发电量（为常数），若一块面积为平方米的光伏板，年均维护成本为元，则该光伏板每度电的平均维护成本化简后为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均成本的定义：每度电的平均维护成本年均维护成本 总年发电量，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵面积为 平方米的光伏板年发电量（度）， ∴面积为平方米的光伏板的年发电量为度， ∵年均维护总成本为元， ∴每度电的平均维护成本为． 5. 如图，已知，用尺规完成下列作图：①分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，交于点，连接．下列说法正确的是（ ） A. ，依据是“两点确定一条直线” B. ，依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” C. ，依据是“ 判定两个三角形全等” D. ，依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 【答案】D 【解析】 【分析】由作图可得，直线是线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的定义以及性质判断A、B、D即可，再由等腰三角形的性质判断C． 【详解】解：由作图可得，直线是线段的垂直平分线， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），（线段垂直平分线的定义），故D正确，A、B错误； ∵ ∴（等边对等角），故，C错误． 6. 某中学为提升学生阅读兴趣，在图书馆设置“盲选好书”专区．专区内共有A，B两类书籍，其中A类是文学名著，B类是科普读物．学生随机抽取1本书，抽到A类书的概率为．已知专区内B类书有36本，则该专区内书籍的总数量为（ ） A. 60本 B. 54本 C. 48本 D. 30本 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抽到A类书的概率得到抽到B类书的概率，再结合B类书的实际数量计算书籍总数量． 【详解】解：设该专区内书籍总数量为本，依题意得： ，解得 ． ∴总数量为60本． 7. 沧州某金丝小枣种植园为规划灌溉系统，绘制了比例图．图上 代表实际距离，若种植园里一棵枣树的图上高度为 ，实际高度为；另一棵枣树实际高度为，图上高度为，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据图上距离与实际距离的对应比例关系计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得图上 代表实际距离， ∵种植园里一棵枣树的图上高度为 ，实际高度为； ∴， ∵另一棵枣树实际高度为，图上高度为， ∴． 8. 保定古莲花池内一个景观石的坐标为 且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， ∴ 或 ， 解得 ， ， ∵ ，是方程的两个根，且， ∴ ，，即点坐标为， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点在第二象限． 9. 唐山某钢铁厂炼钢时，将常温下的钢坯（初始温度）放入熔炉加热．加热过程中，钢坯温度 （单位：）随加热时间（单位：）的变化分为三段：①未熔化前， 随匀速上升（钢的比热容不变）；②熔化过程中，吸收热量但温度保持 （钢的熔点）不变；③完全熔化后，继续加热， 随再次匀速上升（钢水比热容略小于钢坯）．下列图象中，能正确反映 与关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵①未熔化前， 随匀速上升（钢的比热容不变）， ∴第一段图象是一条从左到右上升的线段， ∵②熔化过程中，吸收热量但温度保持 （钢的熔点）不变 ∴第二段图象是一条水平的线段， ∵③完全熔化后，继续加热， 随再次匀速上升（钢水比热容略小于钢坯） ∴第三段图象是一条从左到右上升的线段， ∵钢水比热容小于固态钢坯，相同加热时间吸收同等热量，温度升高更快， ∴这段线段的倾斜程度比第一段更大，即更陡， ∴能正确反映 与关系的是B选项的图象． 10. 蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式的应用，同圆心角的扇形面积与半径的平方成正比，根据面积关系即可求出更小扇形的半径． 【详解】设裁剪出的更小扇形的半径为 ，折叠后的小扇形的半径． ∵扇形面积公式为，裁剪出的更小扇形与折叠后的扇形圆心角相同， ∴面积比等于半径平方的比， 又∵裁剪出的更小扇形面积是折叠后的扇形面积的， ∴， 代入得， 解得，半径为正，舍去负解， 因此裁剪出的更小扇形的半径为， 故选B． 11. 为响应乡村振兴号召，某村合作社计划种植甲、乙两种经济作物．已知相关信息如下：购买2亩甲作物幼苗和3亩乙作物幼苗共需4300元；购买3亩甲作物幼苗和1亩乙作物幼苗共需3300元．种植1亩甲作物，预计可获纯利润1200元；种植1亩乙作物，预计可获纯利润1500元．合作社现有资金5万元，计划种植总面积不超过40亩，且两种作物都至少种植5亩．下列结论正确的有（ ） 结论①：甲作物幼苗每亩800元，乙作物幼苗每亩900元； 结论②：若种植甲作物10亩、乙作物25亩，总利润可达到49500元； 结论③：在资金和种植面积限制下，总利润的最大值为57000元； 结论④：满足所有条件的种植方案中，种植乙作物的亩数最多比种植甲作物的亩数多20亩． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题先通过二元一次方程组求解甲乙幼苗单价，验证结论①，再根据给定种植面积计算总利润并验证约束条件，验证结论②，再利用乙利润更高的性质，结合约束条件求最大总利润验证结论③，最后求乙与甲亩数差的最大值验证结论④，统计正确结论个数得到答案． 【详解】解：设甲作物幼苗每亩元，乙作物幼苗每亩元， 根据题意列方程组   解得，因此结论①正确； 对于结论②，种植甲10亩，乙25亩，总利润为元， 总面积，总费用， 两种作物种植面积都不小于5亩，符合所有条件，因此结论②正确； 对于结论③，乙的每亩纯利润高于甲，因此要总利润最大，需尽可能多种植乙， 根据题意，甲种植面积最小为5亩，此时总面积限制下，乙最大种植亩， 总利润为元，不等于57000元，因此结论③错误； 对于结论④，要使乙的亩数比甲多最多，取甲最小种植面积5亩，乙最大种植35亩，此时乙比甲多亩，大于20亩，因此结论④错误； 综上，正确的结论共有2个． 12. 某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线 ，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线 上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（ ） A. 第一次折叠后， B. 第一次折叠后， C. 第二次折叠后， D. 第二次折叠后， 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质求得菱形的边长，由折叠的性质即可判定A；过点E作于点M，设，则由折叠的性质得 ，，利用三角函数知识可求得，进而求得 ，利用勾股定理求得x的值，从而判定B；在中，由勾股定理求得，进而得 ，可判定C；由，得，从而，由折叠的性质可判定D． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，， ∴， ，，， 由勾股定理得， 第一次折叠后，，故选项A正确； 过点E作于点M，设， 则第一次折叠后，，，， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 即第一次折叠后，，故选项B正确； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即第二次折叠后，，故选项C正确； 在 中，， ∴， ∴， 由两次折叠得， ∵， ∴，故选项D错误． 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算的结果为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除混合运算顺序进行即可． 【详解】解：原式． 14. 用面积为的正方形、面积为的正方形以及两个面积为 的长方形拼接成一个大正方形，则该大正方形的边长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算拼接得到的大正方形的总面积，再对总面积的多项式因式分解，结合正方形面积与边长的关系，即可求出大正方形的边长． 【详解】解：由题意得，大正方形的面积为：， ，正方形的边长为正数， 大正方形的边长为． 15. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，连接．若的面积为3，且当时，随的增大而增大，若点在该反比例函数的图象上且在点的右侧，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用三角形面积公式求出，再结合反比例函数的增减性确定和的符号，得到反比例函数解析式，最后根据点的位置结合反比例函数性质求出的取值范围． 【详解】解：点坐标为，轴于点， ， ，， 的面积为，轴， ， 代入得：， 解得， 当时，随的增大而增大， 根据反比例函数的性质，得， 又反比例函数经过点， ， 解得， ，则， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图象上，且在点的右侧， 点的横坐标满足， 当时， ，且当时，随的增大而增大， 当时，， 点在该反比例函数的图象上， ， ． 16. 在城市规划的图纸上，有一块直角三角形的市民休闲绿地，，其中米，米．点是绿地的斜边的中点，规划人员要在，边上各设置一个休息点，，两点之间铺设一条长度为40米的步道，为步道的中点，连接和 ．若有最小值，则的最小值为____________米． 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，连接，先求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，然后根据求解即可． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 连接， ∵，米，米， ∴米， ∵点是绿地的斜边的中点， ∴米， ∵，米，为步道的中点， ∴米， ∵，当且仅当点三点共线时，等号成立， ∴的最小值为米． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 现有张大小相同的卡片，分别写有有理数：，，，，解答下列问题： （1）计算：用最大的数减去最小的数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和，结果是多少？ （2）某同学用这张卡片玩“抽卡得分”游戏，规则如下：抽到正数得对应数值的分数，抽到负数扣对应数值的分数，抽到得分．该同学随机抽了张卡片（不放回），若抽到“”后，另外两张卡片的得分之和比“”的绝对值少1分，求他抽到的另外两张卡片上的数字． 【答案】（1） （2）0和3． 【解析】 【分析】（1）先确定最大的数和最小的数，再根据有理数的四则混合运算计算即可； （2）设抽到的另外两张卡片的得分之和为x，由题意可知，，求出，故从剩余数字，，中抽取两张卡片上的得分之和为3，即可确定他抽到的另外两张卡片上的数字． 【小问1详解】 解：∵， ∴最大的数是，最小的数是，剩余两张卡片上的数字是0和． ∴． 【小问2详解】 解：设抽到的另外两张卡片的得分之和为x， 由题意可知，， 解得． ∵该同学已抽到“”，故从剩余数字，，中抽取两张卡片上的得分之和为3， ∴ 符合条件． 因此，抽到的另外两张卡片上的数字为0和3． 18. 已知：佳佳同学解一元一次不等式的过程（如下），请完成任务并解答新问题： 佳佳的解答过程： 解：去分母，得．第一步 去括号，得 ．第二步 移项，得 ．第三步 合并同类项，得 ．第四步 解答下列问题： （1）请指出佳佳解答过程中从第几步开始出现错误； （2）写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示； （3）解不等式组：并求出该不等式组的整数解，再将解集表示在数轴上． 【答案】（1）第一步 （2）解：去分母，得． 去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 不等式的解集在数轴上表示为： （3） 不等式组的解集为 ；整数解为 ，，，，，； 解集表示在数轴上： 【解析】 【小问1详解】 解：解不等式的第一步不等式两边同乘，左边这一项没乘， 因此从第一步开始出现错误； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， ∴不等式组的解集为 ． ∴不等式组的整数解有 ，，，，，． 不等式组的解集在数轴上表示为： 19. 某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为 ，处的仰角为，处的俯角为 ． （1）求支柱的高； （2）求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，交于点，结合题意可得、的长度，由有一个锐角是 得的长度，从而可得到； （2）在中，利用正切公式可得的长度，接着在中，利用正切公式可得的长度，从而可得到． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ，，， 四边形和四边形均为矩形， ，， 在中，，， ， ， ， 支柱的高为； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 顶棚M处离地面的高度的长为． 20. 【基础设计】在某中学的校园景观设计项目中，数学兴趣小组面临着三角形花坛的区域划分难题．为了科学规划观赏区域，工作人员在与内部各绘制一条角平分线，两线相交于点．沿着点铺设一条平行于的石板路，分别与 ，相交于点，（如图）．经精确测量，米，米．此时，一个关键问题浮出水面：这条石板路的长度究竟是多少？通过严谨的几何推导，兴趣小组成功揭示了与， 之间的数量关系为． 【拓展设计】当点为的平分线与的外角平分线的交点时，过点铺设平行于的石板路． （1）如图，在拓展设计方案中，工作人员对石板路的位置进行优化调整，使其仍经过点且保持与平行，调整后的石板路分别与 ，相交于点，，已知 ，米，现需完成以下任务： ①求线段的长度； ②猜想，， 三者之间的数量关系，并证明． （2）如图，石板路过点且与平行，分别交的延长线于点、交的延长线于点．已知米，米，的外角，求线段 的长度； （3）如图，将石板路平移使其经过点，且保持石板路．已知米，试求线段的长度，并直接写出此时的形状（无需证明）． 【答案】（1）米； ．证明如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）米 （3）米，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线定义得到，利用平行线的性质得到，构造直角三角形，利用三角函数计算边长即可； 同上根据角平分线定义结合等角对等边证明即可； （2）同上根据角平分线定义结合等角对等边证明，然后等边三角形性质即可求出； （3）同上根据角平分线定义结合等角对等边求解即可． 【小问1详解】 ∵平分， ， ∴， ∵， ∴． 如图，过点作直线于点， ∴， 在中，，，米， ∴米， ∵， ， ∴， ∴， ∴米， ∴线段的长度为2米． 略 【小问2详解】 ∵平分，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴ （米）， 同理可得， （米）， ∴ （米）． 【小问3详解】 ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ 米， 同理可得， ， ∴， ∴为等腰三角形． 21. 河北某农业合作社为提升“太行山楂干”这一特色农产品的市场竞争力，将传统制作工艺与现代生产技术深度融合，对生产流程进行系统性优化．为精准评估优化后产品的市场接受程度，合作社开展消费者测评活动，按年龄分层招募测评员，组建青年测评组（18～35岁）与中年测评组（36～55岁），从口感、风味、营养价值三个维度对产品进行百分制综合评分．现从两组测评数据中各随机抽取20份评分样本，拟对数据进行整理、分析与可视化呈现．评分区间划分为四组：A． ，B．，C．，D．．具体情况如下： 青年测评组评分数据：． 中年测评组评分分布如下： A组（ ）：1人数据为：58 B组（ ）：2人数据为：65，68 C组（）：7人数据为：72，73，75，75，77，78，79 D组（）：10人数据为：82，83，85，87，89，91，93，95，97，99 两组测评员对“太行山楂干”的打分情况统计如下表所示： 组别 平均数 中位数 众数 A组所占百分比 B组所占百分比 C组所占百分比 D组所占百分比 青年测评组 86 86 86 0% 10% 20% m 中年测评组 81.05 80.5 75 5% 10% 35% n 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出m，n的值； （2）结合以上数据，从市场推广角度分析，“太行山楂干”更受青年测评组还是中年测评组的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该合作社共邀请800名消费者对“太行山楂干”进行打分，估计其中打分在组（）的人数． 【答案】（1），． （2）从数据特征来看，“太行山楂干”更受青年测评组喜爱．理由如下： 从平均数角度分析：青年测评组的平均数为86，中年测评组的平均数为81.05，青年测评组的平均打分高于中年测评组，说明青年测评组对“太行山楂干”的综合认可度更高． （3）人 【解析】 【分析】（1）通过各组人数与占比关系求未知百分比； （2）比较两组集中趋势统计量判断喜爱程度； （3）用样本组占比估计总体人数． 【小问1详解】 青年组中，组占比， 中年组中，组占比 即，． 【小问2详解】 通过比较两组数据的平均数、中位数、众数或高分段占比等指标，可知青年测评组的数据均优于中年测评组，故得出“太行山楂干”更受青年测评组喜爱的结论． 【小问3详解】 由（1）可知，， 故若该合作社共邀请800名消费者对“太行山楂干”进行打分，估计其中打分在组（）的人数为（人）． 22. 在平面直角坐标系的网格背景中（每个小正方形边长均为单位长度），直线与轴交于点，与轴交于点，且线段恰过网格线交点．利用几何画板的动态演示功能，从点出发作直线，将直线绕点顺时针旋转，直至直线与轴负半轴相交于点．当的面积为时，停止旋转操作并固定直线的位置． （1）求直线的函数解析式； （2）运用几何画板工具，将直线沿y轴正方向平移个单位长度，得到新直线．试求出直线与直线的交点的坐标； （3）点为线段上的动点（不与，重合），在几何画板中拖动点，观察发现：当与 的面积相等时，点恰好落在网格线的交点处，已知点，为轴上的两个动点（其中点位于点上方），且满足．请在网格中运用平移的性质，求出 的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求、坐标，利用三角形面积算出长度，得到点坐标，代入、两点，用待定系数法求直线解析式； （2）根据直线平移 “上加下减”写出​解析式，联立​与方程，解二元一次方程组得到交点坐标； （3）由面积相等推出是中点，算出坐标，作关于轴对称点​，再向下平移个单位得到，两点连线长度即为最小值，用勾股定理计算． 【小问1详解】 解：对于，令，则，解得， ∴直线与轴的交点为 ， ∴， 令，则 ， ∴直线与轴的交点为， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∴ ， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，分别代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为 ． 【小问2详解】 解：∵直线沿轴正方向平移个单位长度， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴直线与直线的交点的坐标为． 【小问3详解】 解：∵与 的面积相等， ∴点为线段的中点， ∴点的坐标为， 如图，作点关于轴的对称点，则点的坐标为，将点向下平移个单位长度，得到点，连接， 根据对称的性质可知，， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当运动到，之间，三点位于同一条直线上时，取得最小值，即， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 23. 在雄安新区街角景观改造中，工程师设计了一款“双蝶型”景观灯（厚度忽略不计），其平面示意图如图所示．灯体由两个成轴对称的“蝶翼”组成，每个“蝶翼”的外边缘可近似看作抛物线，内边缘为线段．如图，两“蝶翼”的公共顶点为，对称轴为直线，内边缘线段为，．经测量：外边缘上一点与点的水平距离为时，到对称轴的距离为；内边缘端点与点的水平距离为，点到对称轴的距离为． （1）如图，以点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系． ①求对称轴上方“蝶翼”外边缘抛物线的解析式； ②若点在该抛物线上，且点到对称轴的距离最大，求点的坐标； （2）为增强灯光效果，需分别在两“蝶翼”内部均匀安装4条竖直灯带，灯带两端分别固定在同一“蝶翼”的内、外边缘上，且灯带关于对称轴对称．已知现有灯带总长度为，判断这些灯带是否足够安装（不考虑损耗），并说明理由； （3）为保护景观灯，需制作一个正方形防护框，要求防护框能完全容纳景观灯，求该正方形防护框边长的最小值． 【答案】（1）①；② （2）够用，理由如下： 设直线的解析式为． ∵直线过点， ∴，解得． ∴直线的解析式为， ∴同一“蝶翼”的内、外边缘上安装竖直的灯带长度为． ∴当时，在同一“蝶翼”的内、外边缘上安装竖直的一条灯带长度最大值为2米． ∴在同一“蝶翼”安装4条竖直的灯带总长度最大为8米，则两个“蝶翼”共用灯带总长度不超过16米． ∴总长度为16米的灯带够用． （3） 【解析】 【分析】（1）①由题意得，抛物线过点，，，运用待定系数法求解即可； ②点F是抛物线顶点，将抛物线解析式化为顶点式，即可解答； （2）运用待定系数法求出直线的解析式，从而可求出同一“蝶翼”的内、外边缘上安装竖直的灯带长度，根据二次函数的性质求出一条灯带长度的最大值，进而求出4条灯带的长，即可判断； （3）当正方形各边与“蝶翼”相切时，所需正方形边长最小．根据正方形的性质得到，因此是等腰直角三角形，设，则点的坐标为，点的坐标为，根据待定系数法求得直线 的解析式为．当直线 与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小，有两个相等的实数根，由一元二次方程根的判别式列出方程，求得m的值，得到直线 的解析式，从而可得点的坐标，再由对称性得到点R的坐标，从而可求的长，进而求出正方形边长的最小值． 【小问1详解】 解：①∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为． 由题意得，抛物线过点，， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． ②由题意可知点为抛物线的顶点， ∵， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当正方形各边与“蝶翼”相切时，所需正方形边长最小． ∵四边形为正方形， ∴，，． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 设，则点的坐标为，点的坐标为． 设直线 的解析式为， ∴，解得， ∴直线 的解析式为． 由题意可知，当直线 与抛物线有唯一公共点时正方形边长最小， ∴有两个相等的实数根． 化简，得， ∴，解得． ∴直线 的解析式为． 当时，， ∴点的坐标为． 由（1）可知，抛物线的顶点的坐标为． ∴抛物线的对称轴为直线． ∵由对称性可知正方形的顶点 与G关于抛物线对称轴对称， ∴点R的坐标为， 则． ∴此时所需正方形的边长为． ∴这个正方形边长的最小值是． 24. 在某校园文化建设工程中，规划对矩形文化墙区域进行装饰施工．该文化墙横向长度 ，纵向高度 ．施工期间，两个操作点将遵循特定运动轨迹，在文化墙平面上移动．装饰条铺设作业中，动点自端点沿线段方向移动，速度为；与此同时，固定钉安装点从端点出发，沿线段向点匀速推进，速度为 ．当，其中一点到达终点时，两点同时停止操作，设操作时间为．请解决以下问题： （1）如图所示，在施工过程中，需要在区域绘制图案．当该区域图案的面积恰好为时，试求出此时对应的操作时间； （2）施工过程中，需将矩形沿过点的直线进行折叠，使点恰好落在边上的处，且折痕与边相交于点．若运动时间，请求出折痕 的长度； （3）在校园文化墙装饰条固定工序中，施工团队采用圆规定位法进行钉子安装点位的规划．如图所示，以定点为圆心，取装饰条固定所需间距作为半径，作．该圆将作为确定钉子安装点位的基准轮廓．施工过程中，是否存在的值，使得文化墙的顶点恰好落在上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （4）如图所示，以点为圆心，长度为半径作圆（记作 ），该圆将用于固定装饰配件． ①当 与文化墙的对角线相切时，求此时的操作时间； ②如图，在①的条件下，点为 上可自由转动的配件，点是线段的中点．在实际施工过程中，为防止配件发生碰撞，需要确定线段的最小长度，请直接写出该最小值． 【答案】（1） （2） （3）存在， （4）① ；② 【解析】 【分析】（1）首先表示出， ，然后根据题意列方程求解； （2）如图1，连接 ，设 与交于点H，利用勾股定理求出，，然后证明 ，利用相似三角形的性质求解； （3）根据题意得到，然后利用勾股定理列方程求解； （4）①如图3中，设 与相切于点M，连接 ，由切线长定理得到 ，然后利用勾股定理求出，得到 ，然后利用勾股定理求解； ②如图4中，连接 ，，取的中点G，连接，，过点G作 交于点I，交于点H，首先利用三角形中位线性质求出 ，然后利用平行线分线段成比例得到 ， ，证明四边形 是矩形，得到 ，求出，然后利用勾股定理求出，然后利用三角形三边关系求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ， ∵ ， ∴ ， 根据题意得， ， 整理得， ， 解得或 （不符合题意，舍去）， ∴此时对应的操作时间； 【小问2详解】 解：如图1，连接 ，设 与交于点H， 由题意可知， ， ∵ ， ∴ ， 由折叠的性质可知， ， ， ， ∴ ． ∵四边形为矩形， ∴ ， ∴． ∴． ∵ ， ∴ ． ∵， ∴ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴，即， 解得 ； 【小问3详解】 解：存在，如图2中，连接， 由题意可知，， ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∵经过点C， ∴ ，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴当时，点C恰好落在上； 【小问4详解】 解：①如图3中，设 与相切于点M，连接 ， ∵ ， ∴切圆Q于点D， ∵ 与相切于点M， ∴ ． ∵， ∴． ∵ 为 的切线， ∴ ，即 ， 由题意得， ， ， ∴， ∴， 解得， ∴当 时， 与文化墙对角线相切； ②如图4中，连接 ，，取的中点G，连接，，过点G作 交于点I，交于点H， ∵， ∴ ， ， ∵点G是的中点，点是线段的中点， ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ， ∴点I是的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴， 在 中， ， ， ， ∴． ∵ ， ∴，即， ∴的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省初中学业水平模拟考试（九年级） 数学 （考试时间：120分钟，满分：120分） 卷Ⅰ（选择题，共36分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 电动汽车的续航里程与能耗密切相关，若将“充电增加的续航里程”记为正，则“行驶消耗的续航里程”为其相反意义的量．某车型充电后获得公里续航（记为公里），行驶中消耗的续航里程记为该数值的相反数，此时剩余续航里程变化后对应的数值为（ ） A. 公里 B. 公里 C. 公里 D. 公里 2. 如图由一个球体和一个圆柱体（圆柱体底面与球体相切）组成的几何体，其主视图不可能是（ ） A. 圆形（圆柱体轴线与视线方向一致） B. 左边圆形、右边矩形（圆柱体轴线垂直于视线方向） C. 带一条竖线的圆形（圆柱体轴线垂直于视线方向，且圆心与球心对齐） D. 椭圆形 3. 韩国三星电子某款芯片的运算速度每秒为次，另一种华为新型芯片的运算速度是它的倍，且该新型芯片连续工作秒的总运算次数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某光伏发电站的年发电量（单位：度）与光伏板面积 （单位：平方米）的关系为：年发电量（为常数），若一块面积为平方米的光伏板，年均维护成本为元，则该光伏板每度电的平均维护成本化简后为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，用尺规完成下列作图：①分别以点，为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，交于点，连接．下列说法正确的是（ ） A. ，依据是“两点确定一条直线” B. ，依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” C. ，依据是“ 判定两个三角形全等” D. ，依据是“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 6. 某中学为提升学生阅读兴趣，在图书馆设置“盲选好书”专区．专区内共有A，B两类书籍，其中A类是文学名著，B类是科普读物．学生随机抽取1本书，抽到A类书的概率为．已知专区内B类书有36本，则该专区内书籍的总数量为（ ） A. 60本 B. 54本 C. 48本 D. 30本 7. 沧州某金丝小枣种植园为规划灌溉系统，绘制了比例图．图上 代表实际距离，若种植园里一棵枣树的图上高度为 ，实际高度为；另一棵枣树实际高度为，图上高度为，则和分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 保定古莲花池内一个景观石的坐标为 且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 唐山某钢铁厂炼钢时，将常温下的钢坯（初始温度）放入熔炉加热．加热过程中，钢坯温度 （单位：）随加热时间（单位：）的变化分为三段：①未熔化前， 随匀速上升（钢的比热容不变）；②熔化过程中，吸收热量但温度保持 （钢的熔点）不变；③完全熔化后，继续加热， 随再次匀速上升（钢水比热容略小于钢坯）．下列图象中，能正确反映 与关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 蔚县剪纸艺人制作扇形剪纸，先剪一个半径为10，圆心角为的大扇形，再将其沿半径对折两次（每次对折后两边重合），得到一个小扇形．将小扇形展开后，在内部剪一个与它圆心相同、面积为其的更小扇形，则更小扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 11. 为响应乡村振兴号召，某村合作社计划种植甲、乙两种经济作物．已知相关信息如下：购买2亩甲作物幼苗和3亩乙作物幼苗共需4300元；购买3亩甲作物幼苗和1亩乙作物幼苗共需3300元．种植1亩甲作物，预计可获纯利润1200元；种植1亩乙作物，预计可获纯利润1500元．合作社现有资金5万元，计划种植总面积不超过40亩，且两种作物都至少种植5亩．下列结论正确的有（ ） 结论①：甲作物幼苗每亩800元，乙作物幼苗每亩900元； 结论②：若种植甲作物10亩、乙作物25亩，总利润可达到49500元； 结论③：在资金和种植面积限制下，总利润的最大值为57000元； 结论④：满足所有条件的种植方案中，种植乙作物的亩数最多比种植甲作物的亩数多20亩． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 某非遗传承人设计菱形窗花作品，如图，菱形中，对角线 ，，对角线交于点．将菱形沿过点的直线折叠，使点落在对角线 上的点处，折痕为与边交于点，再将沿折叠，使点落在点处，（如图）．下列结论错误的是（ ） A. 第一次折叠后， B. 第一次折叠后， C. 第二次折叠后， D. 第二次折叠后， 卷Ⅱ（非选择题，共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算的结果为____________． 14. 用面积为的正方形、面积为的正方形以及两个面积为 的长方形拼接成一个大正方形，则该大正方形的边长为____________． 15. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，连接．若的面积为3，且当时，随的增大而增大，若点在该反比例函数的图象上且在点的右侧，则的取值范围是____________． 16. 在城市规划的图纸上，有一块直角三角形的市民休闲绿地，，其中米，米．点是绿地的斜边的中点，规划人员要在，边上各设置一个休息点，，两点之间铺设一条长度为40米的步道，为步道的中点，连接和 ．若有最小值，则的最小值为____________米． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 现有张大小相同的卡片，分别写有有理数：，，，，解答下列问题： （1）计算：用最大的数减去最小的数，所得的差除以剩余两张卡片上数字的和，结果是多少？ （2）某同学用这张卡片玩“抽卡得分”游戏，规则如下：抽到正数得对应数值的分数，抽到负数扣对应数值的分数，抽到得分．该同学随机抽了张卡片（不放回），若抽到“”后，另外两张卡片的得分之和比“”的绝对值少1分，求他抽到的另外两张卡片上的数字． 18. 已知：佳佳同学解一元一次不等式的过程（如下），请完成任务并解答新问题： 佳佳的解答过程： 解：去分母，得．第一步 去括号，得 ．第二步 移项，得 ．第三步 合并同类项，得 ．第四步 解答下列问题： （1）请指出佳佳解答过程中从第几步开始出现错误； （2）写出正确的解答过程，并把解集在数轴上表示； （3）解不等式组：并求出该不等式组的整数解，再将解集表示在数轴上． 19. 某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为 ，处的仰角为，处的俯角为 ． （1）求支柱的高； （2）求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 20. 【基础设计】在某中学的校园景观设计项目中，数学兴趣小组面临着三角形花坛的区域划分难题．为了科学规划观赏区域，工作人员在与内部各绘制一条角平分线，两线相交于点．沿着点铺设一条平行于 的石板路，分别与 ，相交于点，（如图）．经精确测量，米，米．此时，一个关键问题浮出水面：这条石板路的长度究竟是多少？通过严谨的几何推导，兴趣小组成功揭示了与， 之间的数量关系为． 【拓展设计】当点为的平分线与的外角平分线的交点时，过点铺设平行于 的石板路． （1）如图，在拓展设计方案中，工作人员对石板路的位置进行优化调整，使其仍经过点且保持与 平行，调整后的石板路分别与 ，相交于点，，已知 ，米，现需完成以下任务： ①求线段的长度； ②猜想，， 三者之间的数量关系，并证明． （2）如图，石板路过点且与 平行，分别交的延长线于点、交的延长线于点．已知米，米，的外角，求线段 的长度； （3）如图，将石板路平移使其经过点，且保持石板路．已知米，试求线段的长度，并直接写出此时的形状（无需证明）． 21. 河北某农业合作社为提升“太行山楂干”这一特色农产品的市场竞争力，将传统制作工艺与现代生产技术深度融合，对生产流程进行系统性优化．为精准评估优化后产品的市场接受程度，合作社开展消费者测评活动，按年龄分层招募测评员，组建青年测评组（18～35岁）与中年测评组（36～55岁），从口感、风味、营养价值三个维度对产品进行百分制综合评分．现从两组测评数据中各随机抽取20份评分样本，拟对数据进行整理、分析与可视化呈现．评分区间划分为四组：A． ，B．，C．，D．．具体情况如下： 青年测评组评分数据：． 中年测评组评分分布如下： A组（ ）：1人数据为：58 B组（ ）：2人数据为：65，68 C组（）：7人数据为：72，73，75，75，77，78，79 D组（）：10人数据为：82，83，85，87，89，91，93，95，97，99 两组测评员对“太行山楂干”的打分情况统计如下表所示： 组别 平均数 中位数 众数 A组所占百分比 B组所占百分比 C组所占百分比 D组所占百分比 青年测评组 86 86 86 0% 10% 20% m 中年测评组 81.05 80.5 75 5% 10% 35% n 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出m，n的值； （2）结合以上数据，从市场推广角度分析，“太行山楂干”更受青年测评组还是中年测评组的喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该合作社共邀请800名消费者对“太行山楂干”进行打分，估计其中打分在组（）的人数． 22. 在平面直角坐标系的网格背景中（每个小正方形边长均为单位长度），直线与轴交于点，与轴交于点，且线段恰过网格线交点．利用几何画板的动态演示功能，从点出发作直线，将直线绕点顺时针旋转，直至直线与轴负半轴相交于点．当的面积为时，停止旋转操作并固定直线的位置． （1）求直线的函数解析式； （2）运用几何画板工具，将直线沿y轴正方向平移个单位长度，得到新直线．试求出直线与直线的交点的坐标； （3）点为线段上的动点（不与，重合），在几何画板中拖动点，观察发现：当与 的面积相等时，点恰好落在网格线的交点处，已知点，为轴上的两个动点（其中点位于点上方），且满足．请在网格中运用平移的性质，求出 的最小值． 23. 在雄安新区街角景观改造中，工程师设计了一款“双蝶型”景观灯（厚度忽略不计），其平面示意图如图所示．灯体由两个成轴对称的“蝶翼”组成，每个“蝶翼”的外边缘可近似看作抛物线，内边缘为线段．如图，两“蝶翼”的公共顶点为，对称轴为直线，内边缘线段为，．经测量：外边缘上一点与点的水平距离为时，到对称轴的距离为；内边缘端点与点的水平距离为，点到对称轴的距离为． （1）如图，以点为坐标原点，对称轴为轴建立平面直角坐标系． ①求对称轴上方“蝶翼”外边缘抛物线的解析式； ②若点在该抛物线上，且点到对称轴的距离最大，求点的坐标； （2）为增强灯光效果，需分别在两“蝶翼”内部均匀安装4条竖直灯带，灯带两端分别固定在同一“蝶翼”的内、外边缘上，且灯带关于对称轴对称．已知现有灯带总长度为，判断这些灯带是否足够安装（不考虑损耗），并说明理由； （3）为保护景观灯，需制作一个正方形防护框，要求防护框能完全容纳景观灯，求该正方形防护框边长的最小值． 24. 在某校园文化建设工程中，规划对矩形文化墙区域进行装饰施工．该文化墙横向长度 ，纵向高度 ．施工期间，两个操作点将遵循特定运动轨迹，在文化墙平面上移动．装饰条铺设作业中，动点自端点沿线段方向移动，速度为；与此同时，固定钉安装点从端点出发，沿线段向点匀速推进，速度为 ．当，其中一点到达终点时，两点同时停止操作，设操作时间为．请解决以下问题： （1）如图所示，在施工过程中，需要在区域绘制图案．当该区域图案的面积恰好为时，试求出此时对应的操作时间； （2）施工过程中，需将矩形沿过点的直线进行折叠，使点恰好落在边上的处，且折痕与边相交于点．若运动时间，请求出折痕 的长度； （3）在校园文化墙装饰条固定工序中，施工团队采用圆规定位法进行钉子安装点位的规划．如图所示，以定点为圆心，取装饰条固定所需间距作为半径，作．该圆将作为确定钉子安装点位的基准轮廓．施工过程中，是否存在的值，使得文化墙的顶点恰好落在上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （4）如图所示，以点为圆心，长度为半径作圆（记作 ），该圆将用于固定装饰配件． ①当 与文化墙的对角线相切时，求此时的操作时间； ②如图，在①的条件下，点为 上可自由转动的配件，点是线段的中点．在实际施工过程中，为防止配件发生碰撞，需要确定线段的最小长度，请直接写出该最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $