第十七章 不等式与不等式组（单元自测·提升卷）数学新教材人教版五四制七年级下册

**基本信息** 本卷为七年级下册不等式与不等式组单元能力提升卷，以基础巩固为底，能力提升为核，创新应用为翼，通过实际情境与新定义题型，综合考查数学抽象、运算能力与模型意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|不等式定义、性质、解法、解集应用|结合高速公路限速情境（第7题），体现应用意识| |填空题|6/18|整数解、坐标象限、新定义运算|设计新定义运算（第15题），培养抽象能力| |解答题|9/72|解不等式组、纠错、实际应用、新定义问题|设置“同根不等式”“内含解”等创新题型（第22、25题），综合考查推理意识与模型意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十七章 不等式与不等式组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（    ） A．第一、三象限 B．第四象限 C．第二象限 D．坐标轴上 6．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 7．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 10．已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．关于x的不等式的最大正整数解是__________． 12．若点在第四象限，则的取值范围是______． 13．一次垃圾分类知识竞赛，一共有道题，答对一题得分，不答得分，答错扣分．小明有道题没答，竞赛成绩超过分，则小明至多答错了______道题． 14．若关于的不等式组无解，则的取值范围为___． 15．我们定义： ，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是___________________． 16．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 18．数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程， 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)请你判断她的解答是否正确______；（填“是”或“否”） (2)如果有错误，第______步开始出现错误，请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议； (3)求出原不等式的正确解集． 19．某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 20．在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 21．某商场用36000元购进A、B两种商品，销售完后共获利6000元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 120 100 售价（元/件） 138 120 (1)该商场购进A、B两种商品各多少件？ (2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，B种商品最低打几折出售？ 22．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 23．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 24．某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 25．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十七章 不等式与不等式组·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C C D C B C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．3 12． 13． 14． 15． 16． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为，................3分 将其解集在数轴上表示出来为： ................6分 18． 【详解】（1）解：根据去分母的计算得到，， 去括号得，， ∴原式计算错误，故解答错误， 故答案为：否；................2分 （2）解：根据去分母，去括号的计算得到从第一步开始出错， ∴当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号（答案合理即可）；................3分 （3）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类型得，， 系数化为1得，．................6分 19． 【详解】解：设购买个A型书签，则购买个B型书签， 由题意，得：，................3分 解得：； ∴最多可以购买29个A型书签．................6分 20． 【详解】（1）解：点的T变换点为，即；................2分 （2）解：设点的T变换点为， ∴，， ∵变换点在第四象限， ∴，． 即，， 解得． ∴．................6分 21． 【详解】（1）解：设商场购进A种商品x件，B种商品y件， 由题意，得， 解得． 答：商场购进A种商品200件，B种商品120件．................4分 （2）解：设B种商品打m折出售， 由题意，得， 解得． 答：B种商品最低打九折出售．................8分 22． 【详解】（1）解：解不等式得 解不等式得 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故不是的“同根不等式” 解不等式得 解不等式得 两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解， 故是的“同根不等式”................2分 （2）解不等式得 解不等式得 不是的“同根不等式” 两个不等式没有公共整数解， 解得................4分 （3）解不等式，整理得 解不等式，整理得 ①当时，不等式化简为 要使两个不等式有公共整数解，需满足 解得，符合条件； ②当时，不等式化简为 ， 两个不等式的公共解为， 因此所有都符合条件 综上，的取值范围是或................8分 23． 【详解】（1）解：， 方法一：①②得， ， ①②，得， ， ， ， 解得． 方法二：①②得， ， ， 解得．................2分 （2）解：由（1）知，， ∵为非正数，为负数， ∴，， ， 解得．................5分 （3）解：， ，， ．................8分 24． 【详解】（1）解：设A种服装的进价是元，B种服装的进价是元， 列方程组得：， 解得， 答：A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元；................4分 （2）解：设购进B种服装件，则购进A种服装件， 由题意得；................8分 （3）解：购进B种服装件，则购进A种服装件， 根据题意得， 解不等式组得． 因为应该为正整数，所以＝10，11，12，则＝24，26，28， 所以有三种进货方案： 方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件； 方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件； 方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件； 方案一所得利润：元； 方案二所得利润：元； 方案三所得利润：元； 所以应该选择方案三利润最大，为864元．................12分 25． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”；................4分 （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得；................8分 （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2．................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十七章 不等式与不等式组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次不等式的定义，解题关键是根据一元一次不等式的 “未知数次数为 1 且系数不为 0” 这两个条件列方程与不等式求解． 根据一元一次不等式的定义，未知数 的次数必须为 1，且系数不为零得到关于的方程求解即可． 【详解】∵ 不等式是关于 x 的一元一次不等式， ∴ x 的指数 ，且系数 ， 解 ，得 ，即 或 ， 又 ∵ ，即 ， ∴． 故选A． 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】依据一元一次方程移项法则，不等式基本性质和等式基本性质，逐一判断各选项即可得到正确结论． 【详解】A、∵移项时，常数项移到等号右边应变号，由可得，∴A错误； B、∵，不等式两边同时减去，不等号方向不变，可得，∴B错误； C、∵，不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，可得，∴C错误； D、∵等式中分母不为，可得，等式两边同时乘，可得，∴D正确． 3．解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次不等式去分母时需要给不等式每一项都乘以所有分母的最小公倍数，去括号时要注意符号变化，据此计算判断即可． 【详解】解：∵分母6和3的最小公倍数为6， ∴不等式两边每一项同时乘以6，得：． 4．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据第一个不等式的解集求出，，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 关于x的不等式的解集是， ，， ，， ，， 关于x的不等式的解集为． 5．已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（    ） A．第一、三象限 B．第四象限 C．第二象限 D．坐标轴上 【答案】C 【分析】先将方程的解代入方程得到与的关系式，再根据平面直角坐标系各象限及坐标轴上点的坐标特征，分情况判断点可能在的区域，进而确定不可能在的象限． 【详解】解：∵是的解， ∴，即 分情况讨论： 若，即， 解得：，存在这样的（如，），故点可能在第一象限，不符合题意， 若，即， 解得：存在这样的（如，），故点可能在第三象限，不符合题意， 若，即， 解得：，存在这样的（如，），故点可能在第四象限，不符合题意， 若，即， 该不等式组无解，故不存在这样的，点一定不在第二象限，符合题意， 若点在坐标轴上： 当在轴上时，，则， 解得：，存在点在轴上， 当在轴上时，，则，存在点在轴上，故点可能在坐标轴上，不符合题意， 综上，点一定不在第二象限． 6．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 7．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义． 由王师傅驾驶的车辆是货车，可得出王师傅应走右侧两车道，结合右侧车道标牌上速度，即可得出车速的范围． 【详解】解：王师傅驾驶的车辆是货车， 王师傅应走右侧两车道， 车速的范围是． 故选：C． 8．已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程组用t表示x和y，代入得到，再根据t的范围求M的范围． 本题考查了含参不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程组 ② − ①，得 ∴ ， 代入②，得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ． 故选：B． 9．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，方程组的定义，不等式组的解法，理解题意，通过不等式组分析确定和的可能值，是解题的关键． 设，，则a、b为整数，由方程组得到，，然后根据新定义可知，，从而得到，，进而得到关于b的一元一次不等式组，解得b的可能值，从而确定x和y的值，即可解答． 【详解】解：设，，则a、b为整数， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∵， ∴，则， 又∵， ∴，即， 将代入得， 即 解得， ∴或2， 当时，，，， ∴； 当时，，，， ∴， ∴的值为3或． 故选：C． 10．已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】当时，方程为，再把两个方程相加可判断①，由两个方程相减，再建立方程可判断②；解方程组求解可判断③；解方程组可得，再建立不等式组可判断④． 【详解】解：当时， 方程组为， 解得： 代入，与已知矛盾，故①不符合题意； ∵， （4）（3）得：； ∵， ∴，解得，故②符合题意； ∵ ∴（3）+（4）得：； 而可得； ∴， ∴，故③符合题意； ∵， 解方程组可得：， 若点落在第三象限，需满足且， 即， 解可得：； 解可得：， ∴不等式组无解， ∴将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限；故④符合题意； 综上所述，正确的有3个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．关于x的不等式的最大正整数解是__________． 【答案】3 【分析】先按照一元一次不等式的解法求解不等式，得到不等式的解集后，再在解集中找出最大的正整数即可． 【详解】解： ∴该不等式的正整数解为， ∴该不等式的最大正整数解为． 12．若点在第四象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴ ， 解得， ∴的取值范围是． 13．一次垃圾分类知识竞赛，一共有道题，答对一题得分，不答得分，答错扣分．小明有道题没答，竞赛成绩超过分，则小明至多答错了______道题． 【答案】 【分析】根据题目中的数量关系正确列出一元一次不等式是解题关键，设出答错的题数，根据得分超过80分的条件列出不等式，求解后取符合题意的最大整数值即可. 【详解】解：设小明答错了道题， 由题意，共有道题，道题没答，因此答对题数为道， 依题意得： 解得 ， 为非负整数， 的最大值为， 14．若关于的不等式组无解，则的取值范围为___． 【答案】 【分析】先求解第一个不等式的解集，再根据一元一次不等式组解集的判定规律“大大小小解不了”，即可确定的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∴原不等式组化为， 不等式组无解，符合“大大小小解不了”的规律， ． 15．我们定义： ，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是___________________． 【答案】 【分析】先根据新定义得到，即可求出，再由x，y为不同的整数，确定的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，，即， ∴， ∵x，y为不同的整数， ∴或， 当时，或，不符合题意，舍去； 当时，或或或 ∴或 ∴的值是． 16．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据，，可以求出，，把转化为一元一次不等式组，可得：，解不等式组可得，根据不等式组有个奇数解，可得关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 解得：， 由， 可得：， 整理得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有个奇数解， 这个奇数解为、、， ， 解得：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】 ，图见解析 【分析】本题考查的知识点是求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集，解题关键是熟练掌握解不等式组． 分别求出不等式组中两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，然后表示在数轴上． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， 将其解集在数轴上表示出来为： 18．数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程， 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)请你判断她的解答是否正确______；（填“是”或“否”） (2)如果有错误，第______步开始出现错误，请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议； (3)求出原不等式的正确解集． 【答案】(1)否 (2)一，当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号（答案合理即可） (3) 【分析】本题主要考查解不等式，掌握不等式的性质是关键． （1）根据材料提示方法即可求解； （2）根据去分母、去括号的计算判定即可； （3）根据不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据去分母的计算得到，， 去括号得，， ∴原式计算错误，故解答错误， 故答案为：否； （2）解：根据去分母，去括号的计算得到从第一步开始出错， ∴当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号（答案合理即可）； （3）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类型得，， 系数化为1得，． 19．某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 【答案】最多可以购买29个A型书签 【详解】解：设购买个A型书签，则购买个B型书签， 由题意，得：， 解得：； ∴最多可以购买29个A型书签． 20．在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“T变换点”的定义解答即可； （2）设点的T变换点为，根据“T变换点”的定义可得，，再由变换点在第四象限，可得到m的取值范围，即可． 【详解】（1）解：点的T变换点为，即； （2）解：设点的T变换点为， ∴，， ∵变换点在第四象限， ∴，． 即，， 解得． ∴． 21．某商场用36000元购进A、B两种商品，销售完后共获利6000元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 120 100 售价（元/件） 138 120 (1)该商场购进A、B两种商品各多少件？ (2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，B种商品最低打几折出售？ 【答案】(1)该商场购进A种商品200件，B种商品120件 (2)B种商品最低打九折出售 【分析】（1）设商场购进A种商品x件，B种商品y件，再根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设B种商品打m折出售，根据题意列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：设商场购进A种商品x件，B种商品y件， 由题意，得， 解得． 答：商场购进A种商品200件，B种商品120件． （2）解：设B种商品打m折出售， 由题意，得， 解得． 答：B种商品最低打九折出售． 22．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 【答案】(1)不是，是 (2) (3)或 【分析】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围． （1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可； （2）根据没有公共整数解列不等式求范围； （3）分大于和小于两种情况讨论，得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式得 解不等式得 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故不是的“同根不等式” 解不等式得 解不等式得 两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解， 故是的“同根不等式” （2）解不等式得 解不等式得 不是的“同根不等式” 两个不等式没有公共整数解， 解得 （3）解不等式，整理得 解不等式，整理得 ①当时，不等式化简为 要使两个不等式有公共整数解，需满足 解得，符合条件； ②当时，不等式化简为 ， 两个不等式的公共解为， 因此所有都符合条件 综上，的取值范围是或 23．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方法一：先求出方程组的解，再根据方程组的解满足列出关于m的一元一次方程，再解方程即可；方法二：由①②可得，求出m的值即可． （2）由（1）中求出的方程组的解，再根据x，y的取值范围列出不等式组，即可求出m的取值范围． （3）先根据（2）中求出的m的取值范围判断绝对值内式子的正负，进而化简绝对值即可． 本题考查二元一次方程组的解法以及不等式组的求解，绝对值的化简，熟练掌握二元一次方程组的解法以及解不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：， 方法一：①②得， ， ①②，得， ， ， ， 解得． 方法二：①②得， ， ， 解得． （2）解：由（1）知，， ∵为非正数，为负数， ∴，， ， 解得． （3）解：， ，， ． 24．某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 【答案】(1)A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元 (2) (3)有三种进货方案：方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件；方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件；方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件；选择方案三利润最大，为864元 【分析】（1）根据“购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元”列方程组求解即可； （2）根据“总利润=单件的利润×数量”列式即可； （3）先根据“A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元”列不等式组求出m的取值范围，然后可得满足条件的进货方案，再分别计算出各方案的利润，进而可得答案． 【详解】（1）解：设A种服装的进价是元，B种服装的进价是元， 列方程组得：， 解得， 答：A种服装的进价是90元，B种服装的进价是100元； （2）解：设购进B种服装件，则购进A种服装件， 由题意得； （3）解：购进B种服装件，则购进A种服装件， 根据题意得， 解不等式组得． 因为应该为正整数，所以＝10，11，12，则＝24，26，28， 所以有三种进货方案： 方案一：购进B种服装10件，购进A种服装24件； 方案二：购进B种服装11件，购进A种服装26件； 方案三：购进B种服装12件，购进A种服装28件； 方案一所得利润：元； 方案二所得利润：元； 方案三所得利润：元； 所以应该选择方案三利润最大，为864元． 25．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)整数的最小值为2． 【分析】（1）解方程求得方程的解，根据定义判定求解即可； （2）解方程组求得方程组的解，根据定义建立不等式，求解即可； （3）根据定义求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 解方程，得． 解不等式，得， 又因为， 所以方程的解是不等式的“内含解”； （2）解：， 由，得， 又因为， 所以， 解得； （3）解：解方程，得． 因为， 所以． 解不等式， 得． 由“内含解”的定义，得， 解得， 所以整数的最小值为2． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第十七章 不等式与不等式组·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．解不等式时，下列去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．已知二元一次方程的一个解是，那么点一定不在（    ） A．第一、三象限 B．第四象限 C．第二象限 D．坐标轴上 6．关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 7．某双向六车道高速公路，分车道与分车型组合限速，其标牌版面如图所示．每个标牌上左侧数字代表该车道车型的最高通行车速（单位：），右侧数字代表该车道车型的最低通行车速（单位：）．王师傅驾驶一辆货车在该高速公路上依规行驶，车速为，则车速v的范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．设表示不超过x的最大整数，如，，，若x，y满足，那么的值是（   ） A．3 B．2或 C．3或 D．1或2 10．已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．关于x的不等式的最大正整数解是__________． 12．若点在第四象限，则的取值范围是______． 13．一次垃圾分类知识竞赛，一共有道题，答对一题得分，不答得分，答错扣分．小明有道题没答，竞赛成绩超过分，则小明至多答错了______道题． 14．若关于的不等式组无解，则的取值范围为___． 15．我们定义： ，例如，若x，y为不同的整数，且满足，则的值是___________________． 16．对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 18．数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程， 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)请你判断她的解答是否正确______；（填“是”或“否”） (2)如果有错误，第______步开始出现错误，请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议； (3)求出原不等式的正确解集． 19．某社区开展“书香社区”公益活动，计划为居民阅览室采购A型书签、B型书签两种阅读小工具．若每个B型书签20元，每个A型书签的费用是B型书签的2倍，社区决定购买A型书签和B型书签共80个，总费用不超过2180元，那么最多可以购买多少个A型书签？ 20．在平面直角坐标系中，已知点，则称点为点P的“T变换点”．例如：点的T变换点为． (1)点的T变换点为______； (2)若点的T变换点在第四象限，求的取值范围． 21．某商场用36000元购进A、B两种商品，销售完后共获利6000元，其进价和售价如下表： A B 进价（元/件） 120 100 售价（元/件） 138 120 (1)该商场购进A、B两种商品各多少件？ (2)商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，B种商品最低打几折出售？ 22．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 23．已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 24．某童装店到厂家选购A、B两种服装．若购进A种服装6件，B种服装12件，需要资金1740元，若购进A种服装9件，B种服装10件，需要资金1810元． (1)求A、B两种服装的进价分别是多少元？ (2)若销售一件A种服装可获利18元，销售一件B种服装可获利30元．根据市场需求，购进A种服装的数量要比购进B种服装的数量的2倍还多4件，设购进B种服装m件，全部售出后获得的总利润为w，试用含m的代数式表示总利润w？ (3)在（2）的条件下，服装店决定：A种服装购进数量不超过28件，并使这批服装销售完毕后的总获利不少于699元．请问该服装店有几种满足条件的进货方案？哪种方案获利最多？ 25．定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)若关于的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $