精品解析：吉林榆树市部分学校2026年中考第三次学情自测数学试题

2026年中考榆树市部分学校第三次模拟考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示该数据为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，∠AOB=40°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于C，D两点，分别以C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E，画射线OE，过点E作OB的平行线交OA于点F，则∠OEF的度数为( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 140° 8. 如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离等于（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 因式分解：__________． 11. 要使分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为______． 12. 如图，某商场大厅自动扶梯的长为,它与水平面的夹角，则大厅两层之间的高度为_________. 13. 如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、．则线段的长为 _______． 14. 如图，抛物线与轴交于点，顶点为（点在轴上方），连接并延长，与抛物线的另一个交点为，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，．当时，的值是_____． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 已知多项式，化简多项式时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是_____． 请写出正确的解答过程，当时，求出此时多项式的值． 解： 16. 有某种零件共个，其中既有正品又有次品．已知从这个零件中随机取出一件，取得的零件为次品的概率为． （1）这个零件中有正品______件； （2）如果从这个零件中随机取出个零件，用画树状图（或列表）的方法，求取出的个零件都是正品的概率 17. 某无人驾驶搬运车进行了智能升级，升级后比升级前每小时多搬运货物，升级后搬运货物的时间与升级前搬运货物的时间相等，问升级前后每小时分别搬运多少货物？ 18. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，直接写出四边形的面积是______． 19. 从“冬日雪暖阳”到“春天花正开”，沈阳魅力更加迷人.相关数据显示，五一小长假期间，南方“小土豆”到沈阳旅游的人数大幅增加．乐乐一家计划暑假来沈阳游玩，为了更好的了解沈阳的景点，乐乐对网友进行了线上调查，想根据调查的数据制定自己一家人的沈阳游玩计划，调查的过程及不完整的统计结果如下表. 调查目的 了解网友最喜爱的沈阳景点 调查方式 抽样调查 调查对象 部分网友 调查内容 你最喜爱的沈阳景点（每名网友只能从下列五个选项中选择一个景点） A.沈阳故宫B.张学良旧居C.沈阳世博园D.中街步行街E.工业博物馆 调查结果 请回答下列问题： （1）本次线上调查共有多少名网友参与? （2）根据上表的调查结果，若有9000名网友参与调查，请你估计最喜爱“沈阳故宫”的人数； （3）若返程当天还有景点F，景点G，景点H可以去游玩，各景点建议游玩时间和景点间路程用时情况见下图．乐乐一家人打算上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，如果按图中景点建议游玩时间选择两个景点游玩，请你帮助乐乐设计一个游玩路线．先游玩__________，再游玩__________，然后16：40前到达机场． 20. 如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的顶点均为格点 （1）在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出的高； （2）在图②中，连接点B与格点D．点P是的中点，点Q为上的一动点，当的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出． 21. 如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． （1）当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ （2）求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 22. 【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； （3）若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 23. 如图，在中，，，，点为的中点，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点P不与点重合时，连接，以，为邻边作，设点P的运动时间为． （1）用含的代数式表示； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点P在边上运动时，若四边形是轴对称图形，求的值； （4）点关于的对称点为，当时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，点在该抛物线上，当点不在轴上时，作轴于点，作线段关于坐标原点成中心对称的线段，设点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数关系式； （2）当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点在轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求的取值范围； （4）当线段，这两条线段中的一条与此抛物线有两个公共点时，设这两个公共点之间的距离为，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考榆树市部分学校第三次模拟考试数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用， 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解; ∵， ∴最接近标准， 故选：B． 2. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示该数据为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 故选C. 3. 如图1，一个2×2的平台上已经放了一个棱长为1的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图2，平台上至少还需再放这样的正方体（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用左视图和主视图画出草图，进而得出答案． 【详解】解：由题意画出草图，如图， 平台上至还需再放这样的正方体2个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了三视图，正确掌握观察角度是解题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算法则逐项计算即可． 【详解】解：A. ，原选项不正确，不符合题意； B. ，原选项不正确，不符合题意； C. ，原选项正确，符合题意； D. 不是同类项，原选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的运算，解题关键是熟记幂的运算法则，准确进行计算． 5. 不等式的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴数轴表示不等式的解集如下所示： 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出不等式的解集是解题的关键，注意数轴表示的时候那里要用实心点． 6. 根据中国民航局预测，2025年我国低空经济规模将达1.5万亿元，预计2035年我国低空经济规模有望突破3.5万亿元．如果设2025~2035年每年低空经济规模年平均增长率为，那么根据题意可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均增长率的增长规律，确定初始量，增长年数和最终量即可列出正确方程． 【详解】先计算2025到2035年的间隔年数，，即共增长10年， 年平均增长率为，初始规模为万亿元， 按照平均增长率规律，年后规模为初始量， 10年后规模为， 又 2035年规模为万亿元， 可列方程为． 7. 如图，∠AOB=40°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA，OB于C，D两点，分别以C，D为圆心，大于CD的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点E，画射线OE，过点E作OB的平行线交OA于点F，则∠OEF的度数为( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质即可求解； 【详解】解：由作法可知OE平分∠AOB，∠AOB=40° ∴ ∵ ∴ 故选：A 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键， 8. 如图，将直角三角板放在平面直角坐标系中，点的坐标分别为将三角板沿轴正方向平移，点的对应点刚好落在反比例函数的图象上，则点平移的距离等于（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平移的性质等知识点，掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即成为解题的关键．先根据平移的性质得到点的纵坐标为1，，则利用反比例函数解析式可确定，则，从而得到的长度即可． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为．将沿轴正方向平移， ∴点的纵坐标为1，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先计算算术平方根，再计算减法即可． 【详解】解：． 10. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 11. 要使分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可解答． 【详解】解：因为在实数范围内有意义， 所以，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是知道要使得分式有意义，分母不为0． 12. 如图，某商场大厅自动扶梯的长为,它与水平面的夹角，则大厅两层之间的高度为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴BC=AB•sin∠BAC=12×=6（米）， 答：大厅两层之间的距离BC的长为6米． 故答案为：6． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答． 13. 如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、．则线段的长为 _______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据翻折的性质可知，根据勾股定理得，再根据等角对等边得，然后利用三角形的面积即可求解． 【详解】解：根据两次翻折可知：，，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，抛物线与轴交于点，顶点为（点在轴上方），连接并延长，与抛物线的另一个交点为，抛物线的对称轴交轴于点，交于点，．当时，的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用抛物线顶点式、设出顶点坐标，写出抛物线解析式；求出直线解析式,联立抛物线求出点坐标；求出点、直线解析式，得到对称轴上点坐标，表达出长度；根据条件建立方程，求解． 【详解】解：抛物线的对称轴：，即点， ， 设， ，则顶点， 抛物线顶点式：， 展开：， 对比原式，得： ，， 抛物线与轴交点，故， 直线过原点、， 故解析式：， 联立， 代入得：， 整理：， 已知是方程一个根（点横坐标），， ，解得， 代入直线求： ， 即， 由, ， 设直线 ：，代入： ， 化简： ， ， ， 直线解析式为， 抛物线对称轴，点是对称轴与交点，将代入解析式： ， 得，顶点， ， 又，，代入： ， ， ， ， 解得 (舍去，顶点在轴上方，)或， 代入，． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 已知多项式，化简多项式时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出的①②③中，出现错误的是_____． 请写出正确的解答过程，当时，求出此时多项式的值． 解： 【答案】①；23 【解析】 【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式、平方差公式的整式化简求出多项式A，代入求值即可． 【详解】解：①根据完全平方公式，计算错误， ； 当时， 原式． 16. 有某种零件共个，其中既有正品又有次品．已知从这个零件中随机取出一件，取得的零件为次品的概率为． （1）这个零件中有正品______件； （2）如果从这个零件中随机取出个零件，用画树状图（或列表）的方法，求取出的个零件都是正品的概率 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查用列表法或树状图法求概率． （1）根据概率公式先求出次品的件数，再用总件数减去次品的件数，即可得出该批产品正品的件数； （2）根据题意画出树状图或列表，然后求得所有等可能的结果与取出件都是正品的情况，再利用概率公式即可求得答案； 解题的关键：注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；概率＝所求情况数与总情况数之比． 【小问1详解】 解：根据题意得： 该批产品中有次品有：（件）， ∴该批产品有正品有：（件）， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 结果共有种情况，且各种情况都是等可能的，其中两次取出的都是正品共种， ∴（两件都是正品）， ∴取出的个零件都是正品的概率是． 17. 某无人驾驶搬运车进行了智能升级，升级后比升级前每小时多搬运货物，升级后搬运货物的时间与升级前搬运货物的时间相等，问升级前后每小时分别搬运多少货物？ 【答案】升级前每小时分别搬运货物，升级后每小时分别搬运货物 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，设升级前每小时分别搬运货物，则升级后每小时分别搬运货物，根据数量关系直接列方程求解即可． 【详解】解：设升级前每小时分别搬运货物，则升级后每小时分别搬运货物， ∵升级后搬运货物的时间与升级前搬运货物的时间相等， ∴， 两边同时乘以，得：， 整理得：， 解得， 经检验，是原方程的解， 则， ∴升级前每小时分别搬运货物，升级后每小时分别搬运货物． 18. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当，时，直接写出四边形的面积是______． 【答案】（1） 证明：∵过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可； （2）根据三角形的面积公式得出的面积，进而利用三角形中线得出的面积，进而得出，进而解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，点D是的中点，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积=． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是利用全等三角形的性质和平行四边形的性质解答． 19. 从“冬日雪暖阳”到“春天花正开”，沈阳魅力更加迷人.相关数据显示，五一小长假期间，南方“小土豆”到沈阳旅游的人数大幅增加．乐乐一家计划暑假来沈阳游玩，为了更好的了解沈阳的景点，乐乐对网友进行了线上调查，想根据调查的数据制定自己一家人的沈阳游玩计划，调查的过程及不完整的统计结果如下表. 调查目的 了解网友最喜爱的沈阳景点 调查方式 抽样调查 调查对象 部分网友 调查内容 你最喜爱的沈阳景点（每名网友只能从下列五个选项中选择一个景点） A.沈阳故宫B.张学良旧居C.沈阳世博园D.中街步行街E.工业博物馆 调查结果 请回答下列问题： （1）本次线上调查共有多少名网友参与? （2）根据上表的调查结果，若有9000名网友参与调查，请你估计最喜爱“沈阳故宫”的人数； （3）若返程当天还有景点F，景点G，景点H可以去游玩，各景点建议游玩时间和景点间路程用时情况见下图．乐乐一家人打算上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，如果按图中景点建议游玩时间选择两个景点游玩，请你帮助乐乐设计一个游玩路线．先游玩__________，再游玩__________，然后16：40前到达机场． 【答案】（1）本次线上调查共有1000名网友参与 （2）估计最喜爱“沈阳故宫”的人数为3600人 （3）G；F（或G，H） 【解析】 【分析】本题主要考查条形统计图，扇形统计图以及用样本估计总体： （1）用B的人数除以所占百分比即可得出被调查的人数； （2）用样本估计总体即可； （3）根据参观时间加路程用时不大于7时40分进行设计游玩路线即可． 【小问1详解】 解：（名） 答：本次线上调查共有1000名网友参与 【小问2详解】 解：（名） 答：估计最喜爱“沈阳故宫”的人数为3600人； 【小问3详解】 解：因为上午到达第一个景点开始游玩，下午坐飞机回家，需要最晚在下午到达机场，共需用时7时40分， 方案一：从景点G开始，再至景点F，最后到达机场需用时：时7时40分， 故设计的路线为先游玩G，再游玩F， 方案二：从景点G开始，再至景点H，最后至到达机场需用时：时7时40分， 故设计的路线为先游玩G，再游玩H， 故答案为：G；F（或G，H） 20. 如图，在6×7的网格图中，每个小正方形的边长为1， 的顶点均为格点 （1）在图①中，借助网格和无刻度的直尺画出的高； （2）在图②中，连接点B与格点D．点P是的中点，点Q为上的一动点，当的周长最小时，请利用网格和无刻度的直尺确定点P、Q的位置，并画出． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）在图①网格中，根据勾股定理画出的高即可； （2）在图②网格中，根据矩形的对角线相等且互相平分找到点，连接交于点，即可画出 ． 【小问1详解】 解：如图所示， 过点作格对角线， 因为是格对角线， 所以． 则即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 理由：设网格的边长为1，则，又， , 为等腰三角形， 为的中点， 为的垂直平分线， 与关于对称， 的周长, 当、、三点共线时， 的周长最小． 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图、轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 21. 如图，某人在两部手机电量为时开始充电，甲手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是线段．乙手机电量（%）与充电所需时间x（）的函数图象是折线． （1）当甲手机电量充至时，所需时间为多少？ （2）求甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）待定系数法求的解析式为，当时，，可求，然后作答即可； （2）待定系数法求的解析式为；将代入，可求；将代入，可求；根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解 ：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为， 当时，， 解得，， ∴甲手机电量充至时，所需时间为； 【小问2详解】 解：设的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴的解析式为； 将代入得，， 解得，； 将代入得，， 解得，； ∵， ∴甲、乙两部手机电量充至时所需时间的差为． 22. 【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． （1）求证：； （2）点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； （3）若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 【答案】（1） 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； （3）根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图②，由（1）得， 点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点G经过的路径为； 故答案为： 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，在中，，，，点为的中点，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线向终点运动，当点P不与点重合时，连接，以，为邻边作，设点P的运动时间为． （1）用含的代数式表示； （2）当点落在边上时，求的值； （3）当点P在边上运动时，若四边形是轴对称图形，求的值； （4）点关于的对称点为，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据点P的运动轨迹，分为点P在和上两种情况，根据直角三角形中所对直角边是斜边的一半以及勾股定理，分别求出和，进而求解； （2）根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理确定点P位置，进行求解； （3）根据四边形不仅是平行四边形还是轴对称图形，确定四边形是矩形或菱形，分类讨论，确定点P位置，进行求解； （4）分为点P在左侧和右侧两种情况进行讨论，通过数形结合列一元一次方程，进行求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， 所以， 所以， ，， 当点P在边时， ，， 当点P在边时， ，； 【小问2详解】 因为四边形是， 所以且， 当点落在边上时，如图所示， 因为且点为的中点， 所以点P为的中点， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为四边形是，且四边形是轴对称图形，分为两种情况， 第一种，四边形是矩形，如图所示， 因为四边形是矩形， 所以且点为的中点， 所以点P为的中点， 所以， 所以， 第二种，四边形是菱形，连接、交于点O，与交于点F，如图所示， 因为四边形是菱形， 所以，， 所以， 所以， 因为点为的中点， 所以点F为的中点， 所以，， 所以， 所以， 解得：， 所以点P和点B重合， ， 综上所述，或； 【小问4详解】 因为， 所以， 当点P在左侧时，如下图所示， 此时，则， 因为，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 在和中，， ， 所以， 所以， 所以， 解得：， 当点P在右侧时，如下图所示， 作交F，交于G， 则同理可得：， 又同理可得：，， 所以， 所以， 解得：， 综上所述，或． 【点睛】数形结合，先确定、长度，再根据题意分类讨论，从而求解；此题的关键是根据题意画出相应的图形，根据图形进行分析． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，点在该抛物线上，当点不在轴上时，作轴于点，作线段关于坐标原点成中心对称的线段，设点的横坐标为． （1）求此抛物线对应的函数关系式； （2）当线段与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点在轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求的取值范围； （4）当线段，这两条线段中的一条与此抛物线有两个公共点时，设这两个公共点之间的距离为，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3），或 （4）或 【解析】 【分析】（1）抛物线标准形式对称轴公式，其中，已知对称轴，代入求出即可； （2）先用表示坐标，得到线段；根据中心对称性质得到；轴，为水平线段，若、共线，则两点纵坐标相等，列方程求，再用两点距离公式求； （3）写出坐标：，线段是、的水平线段；水平直线与抛物线的交点落在区间内，且恰好1个交点；联立方程，结合分类讨论根的分布； （4）：，，水平线段，长度；线段与抛物线交于两点，两点距离；水平直线交抛物线，设交点横坐标，两点水平距离，用韦达定理表示，列方程求解． 【小问1详解】 解：抛物线中，对称轴：直线， 解得， 抛物线解析式：． 【小问2详解】 解：横坐标为，代入抛物线， ， 由轴， ，为水平线段，直线：， 线段是关于原点中心对称线段： 对称点，对称点， 直线：， 在同一直线， 两条水平线纵坐标相等： ，解得， 即． 此时，，，都在轴上， ， 由，解得，， 则的长度为或． 【小问3详解】 解：已知点在轴左侧，故，点，关于原点对称得 ， 线段是水平线，纵坐标为，的范围是，分两种情况讨论： 情况1：抛物线顶点在线段上时，当时，， ∴抛物线顶点为，令，得： ， 解得，结合，得； 情况2：非顶点的唯一交点， 当（点）在抛物线上时，得，解得，结合，得 ； 当（点）在抛物线上时，得（正值已舍），此时线段和抛物线有两个交点，需要排除， 因此此情况范围为 ， 综上，的取值范围是或． 【小问4详解】 解：情况1：线段（）与抛物线两交点， 直线联立抛物线： ， ， ，即， 韦达定理：， 交点距离： ， 又，， ， ， 则或， 解得或， 结合线段与抛物线有两交点，舍去， 则的值为； 情况2：线段（）与抛物线两交点直线联立抛物线，同第(3)问方程： ， ，解得， ， ， ， 两边平方得， ， ， 解得， 结合线段与抛物线有两交点，舍去， 则的值为， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $