精品解析：江西赣州市龙南市2025—2026学年度八年级下学期期中综合评估数学

2025—2026学年度八年级下学期期中综合评估 数 学 ►下册第十九~二十一章◄ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则， 解得． 2. 如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（ ） A. B. 13 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据勾股定理求出，即可得出结果. 【详解】解：由题意，可知：； 故阴影部分的面积为13；   故选： B． 3. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除的运算法则，逐一判断选项正误． 【详解】解：A、与的被开方数不同，不能直接合并，故本选项计算错误； B、，故本选项计算错误； C、，故本选项计算错误； D、，故本选项计算正确． 4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的边、对角线的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 根据平行四边形性质：平行四边形的对边平行且相等， 有，，故B、D选项一定成立； 平行四边形的对角线互相平分，则，故A选项一定成立； 平行四边形的对角线不一定互相垂直，只有菱形的对角线才互相垂直，即不一定成立，C不一定成立． 5. 如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有多少条对角线？（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数． 【详解】解：设此多边形的边数为x，由题意得： （x﹣2）×180＝1260， 解得；x＝9， 从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数：9﹣3＝6， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，熟记多边形的内角和公式为(n-2) ×180°是解答本题的关键. 6. 如图，四边形是正方形，点E在对角线上，过点E作 交于点F．若 ，，则正方形的边长为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出相等的边和相关角的度数，然后利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：， ． ∵四边形是正方形， ∴，，， 是等腰直角三角形， ， ， ∵在中，， 即， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 正六边形的外角和为______． 【答案】##360度 【解析】 【详解】解：正六边形的外角和为． 8. 某学校要在图书馆的角落搭建一个三角形绿植装饰架．如图，在中，M，N分别是，的中点，劳动实践小组测得 的长度为，则装饰架底边的长度为______． 【答案】160 【解析】 【详解】解：∵M，N分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 9. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可列出不等式组求出的值，代入原式求出的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，解得， ∴， ∴． 10. 如图，在中，相交于点O， ，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，四边形是矩形，此时． 11. 如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，得出，利用勾股定理列出方程求解． 【详解】解：如图所示， 根据正方形的性质可得，，， ∴，， ∴， ∴， ， ∵在中，， ∴ 即 ∵正方形A的面积比正方形C的面积小6， ∴， ∵， ∴， ∴，正方形A的面积为4． 12. 如图，在菱形中，，，线段（点E在点F的左侧）在直线上移动，且，当为直角三角形时，的长为______． 【答案】或2或 【解析】 【分析】连接，先根据菱形的性质得，，，由角的性质求出．然后分三种情况求解即可． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵在菱形中，， ∴，，． ∵ ， ∴， ∴． 当 即点E与点O重合时，如图， ． 当 即点F与点O重合时，如图， 当 时，如图， 设，则， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ， 解得， ∴， 综上可知，的长为或2或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解题 （1）化简：． （2）如图，在中，， ， ，为斜边上的中线，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵在中，， ， ， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴． 14. 已知，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据a，b的值求出 ，的值，将代数式化为解析求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 15. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求出长度，利用勾股定理的逆定理得出为直角三角形，最后利用面积公式求解． 【详解】解：如图，连接． 根据勾股定理，得 ． ，， ， 为直角三角形，且 ， ． 16. 如图，在矩形中，是对角线，F为边的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作一个以为腰的等腰三角形． （2）在图2中，作一个以 为边的平行四边形． 【答案】（1）如图1，等腰即为所求 （2）如图2， 即为所求 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可证明，那么 ，再由线段的垂直平分线的性质即可得到 ； （2）可得 是的中位线，则 ，然后可得 是平行四边形，则 ，则 ，再证明，即可得到 ，再由 即可证明平行四边形． 【小问1详解】 解：连接并延长与延长线交于点，连接，则等腰即为所求； 【小问2详解】 解：连接交于点，连接 并延长交于点，连接并延长交的延长线于点，连接，则 即为所求． 17. 如图，，是四边形的对角线上的两点，， ， ．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】证明，根据全等三角形的性质可知，，即可证明． 【详解】证明：∵ ， ∴, ∴ , ∵ ， ∴, ∴, 在 和 中， ∴ ∴, ∴四边形是平行四边形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边 上，连接，若． （1）求证：． （2）求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在与 中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，进而利用证明与 全等，进而解答即可； （2）根据正方形的性质和勾股定理得出，进而利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，且边长为4， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 19. 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，． （1）已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） （2）设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； 【小问2详解】 解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 20. 如图，在五边形中， ，平分，平分． （1）若，求的度数． （2）若，，求平行线与之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可知 ，再根据五边形的内角和可得，再根据角平分线的定义求得，再根据四边形的内角和即可求解； （2）根据在直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ． 在五边形中，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ； 【小问2详解】 解：过点作 于点G， ∴ ． ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∴平行线与之间的距离为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 问题提出 如图1，有一张矩形纸片，其中，．在数学活动课上，老师要求同学们将矩形纸片进行裁剪，使裁剪后得到的两个等腰直角三角形拼接成一个面积尽可能大的正方形． （1）小贤的操作：如图2，连接矩形的对角线，在中，以为直角边作等腰直角三角形 ，点E在边上；在中，以为直角边作等腰直角三角形，点F在边上，裁剪出和． 请你通过小贤的操作，判断裁剪出的两个三角形是否满足题意．如果满足，求出拼接成的正方形的面积；如果不满足，请说明理由． 问题解决 （2）小亮在分析完小贤的操作后发现：在与中分别还可以重新作出两个全等的等腰直角三角形，且所作的两个等腰直角三角形比小贤的更大，请你通过小亮的分析，结合备用图分别在与中找出满足题目要求的等腰直角三角形．（仅画出示意图，无需计算） 【答案】（1）满足，面积为 （2）如图，和为所求三角形． 【解析】 【分析】（1）将和拼在一起，得到四边形 ，根据和都是等腰直角三角形，证明，且，可得四边形 是正方形，进而可求出面积； （2）以点B为顶点，为边作出，边交于点E，过点E作 ，交于点F，得到等腰直角，同理以点D为顶点，为边作出，边交于点G，过点G作，交于点H，得到等腰直角，则和为所求三角形．比较（1）（2）拼成的两个正方形的边长即可得到面积的大小关系． 【小问1详解】 解：满足，求解如下： 如图，将和拼在一起，得到四边形 ， ∵原纸片是矩形， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴在四边形 中，， ∴四边形 是菱形， ∵， ∴菱形 是正方形， ． 【小问2详解】 解：由作图可得，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴由（1）同理可得，和拼成的四边形是正方形，其边长为， ∵在中，， ∴， ∴和拼成的正方形面积大于（1）中正方形的面积． 22. 定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，我们称此三角形为“三倍平方三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． （2）若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 【答案】（1）这个三角形是“三倍平方三角形”， 理由：∵， ， ∴这个三角形是“三倍平方三角形”； （2） 【解析】 【分析】（1）根据“三倍平方三角形”的定义判断； （2）设直角三角形的另一条直角边长为，斜边长为，根据勾股定理得到，然后根据“三倍平方三角形”的定义分两种情况讨论求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设直角三角形的另一条直角边长为，斜边长为， 根据题意有． ∵直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方， ∴两条直角边的平方和不可能等于斜边平方的3倍． 分两种情况讨论．①当时，即， ； ②当时，即， ； 综上所述，该直角三角形的另外两条边长分别为． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，在菱形中， ，对角线 的交点为O，P是对角线上一动点，点E在的延长线上，且 ． 特例研究 （1）如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“”“”或“”） 类比探究 （2）如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且 ， ，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）解： ，理由如下： 四边形是菱形， ， ， ， 为等边三角形， ， 在上截取 ，连接，如图2， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （3）15或9． 【解析】 【分析】（1）利用菱形性质得，， ， ，推出是等边三角形；结合P与O重合、 ，得到等腰 ，算出底角，利用等角对等边可证 ； （2）先由菱形和条件，判定为等边三角形；用截长补短法在上截取 ，构造等边 ；利用等量代换证出两组边相等、两角都是 ，用SAS证三角形全等，推出 ； （3）先由菱形边长8、 ，得等边，求出 ；截取线段构造等边 ，造出 等角和相等线段；然后分N在延长线上、N在线段上两种情况；利用角的和差找相等角，证全等，求出，再算出结果． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ，点与点重合， ， ， ， 是 的外角， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：四边形是菱形，边长为， ， 是等边三角形， ， 是中点， ， 在上截取 ，连接 ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ①如图，点在线段的延长线上，如图 ， ，点在延长线上， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， 如图，点在线段上，如图 ， 菱形边长为，是等边三角形， ， ，点在线段上， ， 为等边三角形， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ． 综上可知，线段的长为15或9． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级下学期期中综合评估 数 学 ►下册第十九~二十一章◄ 说明：共有六个大题，23个小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填入题后括号内．错选、多选或未选均不得分． 1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分（正方形）的面积为（ ） A. B. 13 C. 5 D. 3. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论不一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如果一个多边形的内角和为1260°，那么从这个多边形的一个顶点出发共有多少条对角线？（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 如图，四边形是正方形，点E在对角线上，过点E作 交于点F．若 ，，则正方形的边长为（ ） A. 10 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 正六边形的外角和为______． 8. 某学校要在图书馆的角落搭建一个三角形绿植装饰架．如图，在中，M，N分别是，的中点，劳动实践小组测得 的长度为，则装饰架底边的长度为______． 9. 若，则______． 10. 如图，在中，相交于点O， ，则当______时，四边形是矩形． 11. 如图，直线l的上方有三个正方形A，B，C，其中正方形A，C的一边在直线l上，正方形B的两个顶点分别与正方形A，C的一个顶点重合，另有一个顶点在直线l上．已知正方形A的面积比正方形C的面积小6，且正方形B的面积为14，则正方形A的面积为______． 12. 如图，在菱形中，，，线段（点E在点F的左侧）在直线上移动，且，当为直角三角形时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解题 （1）化简：． （2）如图，在中，， ， ，为斜边上的中线，求的长． 14. 已知，，求代数式的值． 15. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 16. 如图，在矩形中，是对角线，F为边的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中，作一个以为腰的等腰三角形． （2）在图2中，作一个以 为边的平行四边形． 17. 如图，，是四边形的对角线上的两点，， ， ．求证：四边形是平行四边形． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别在边 上，连接，若． （1）求证：． （2）求线段的长． 19. 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，． （1）已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） （2）设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 20. 如图，在五边形中， ，平分，平分． （1）若，求的度数． （2）若，，求平行线与之间的距离． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 问题提出 如图1，有一张矩形纸片，其中，．在数学活动课上，老师要求同学们将矩形纸片进行裁剪，使裁剪后得到的两个等腰直角三角形拼接成一个面积尽可能大的正方形． （1）小贤的操作：如图2，连接矩形的对角线，在中，以为直角边作等腰直角三角形 ，点E在边上；在中，以为直角边作等腰直角三角形，点F在边上，裁剪出和． 请你通过小贤的操作，判断裁剪出的两个三角形是否满足题意．如果满足，求出拼接成的正方形的面积；如果不满足，请说明理由． 问题解决 （2）小亮在分析完小贤的操作后发现：在与中分别还可以重新作出两个全等的等腰直角三角形，且所作的两个等腰直角三角形比小贤的更大，请你通过小亮的分析，结合备用图分别在与中找出满足题目要求的等腰直角三角形．（仅画出示意图，无需计算） 22. 定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，我们称此三角形为“三倍平方三角形”． （1）若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． （2）若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图，在菱形中， ，对角线 的交点为O，P是对角线 上一动点，点E在的延长线上，且 ． 特例研究 （1）如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“”“”或“ ”） 类比探究 （2）如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 （3）如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且 ， ，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $