精品解析：江西省赣州市龙南市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期初中期中考试试卷 八年级 数学 (总分：120分，考试时间：120分钟) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，10 D. 4，6，7 4. 如图，分别是 的边上的中点，如果 的周长是 ，则 的周长是（） A. B. C. D. 5. 两张全等的矩形纸片按如图所示的方式交叉叠放， ，． 与 交于点G， 与交于点H，且， ，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 如图，正方形 的边长为8， 在 上，且， 是 上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 计算：________． 8. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 9. 已知菱形 的对角线 ， ，则菱形 的面积为________． 10. 如图，在 中，请添加一个条件：______，使得 成为矩形． 11. 《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在它的中央，高出水面部分 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺． 12. 在等腰三角形纸片 中，，将此等腰三角形纸片沿底边 上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 计算：． 14. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13, 求证：△ACD是直角三角形． 15. 如图，在 中，点E，F分别在 ， 上，．求证：． 16. 阅读材料:因为，所以的整数部分为2，的小数部分为． 解决问题：若的整数部分为 ，小数部分为 ，求的值． 17. 如图，在菱形 中是 的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图， （1）在图1中，过点 作 的平行线，与 交于点 ． （2）在图2中，作线段 的垂直平分线，垂足为点 ． 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 19. 如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片,求图中空白部分的面积. 20. 如图，在△ABC中， ，BD为△ 的中线．，，连接CE． （1）求证：四边形BDCE为菱形； （2）连接DE，若，，求DE的长． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示 ，得______， _____； （2）试着把化成一个完全平方式． （3）若 是216的立方根， 是16的平方根，试计算：． 六、解答题(本大题共12分) 23. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在 中，对角线 ，交点为 ． 求证： 是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形 中， ，， ， 分别为 ， ， ，的中点． 求证：四边形 是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ， ，， ， 分别为 ， ， ， 的中点．若，，求四边形 的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期初中期中考试试卷 八年级 数学 (总分：120分，考试时间：120分钟) 一、单项选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B选项符合题意； C、 ，不是最简二次根式，故C不符合题意； D、，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 6，8，10 D. 4，6，7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是指能构成直角三角形三边的一组正整数，由此逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、， 2，3，4不是勾股数，故不符合题意； B、， 3，4，6不是勾股数，故不符合题意； C、， 6，8，10是勾股数，故符合题意； D、， 4，6，7不是勾股数，故不符合题意； 故选：C． 4. 如图，分别是 的边上的中点，如果 的周长是 ，则 的周长是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：分别是 的边上的中点 是 的中位线，， 的周长， ， 的周长 故选∶D． 5. 两张全等的矩形纸片按如图所示的方式交叉叠放， ，． 与 交于点G， 与 交于点H，且， ，则四边形的周长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】证明四边形是菱形，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，即可求解． 【详解】解：∵两张全等的矩形纸片按如图所示的方式交叉叠放， ，，， ∴，， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 四边形周长为16． 故选D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，证明四边形是菱形是解题的关键． 6. 如图，正方形 的边长为8， 在 上，且， 是 上一动点，则的最小值为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接BN，BD，BM，BM交AC于点E，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND=NB，由三角形三边关系可得NB+NM≥BM，再由勾股定理求得BM即可； 【详解】解：如图，连接BN，BD，BM，BM交AC于点E， ABCD是正方形，则AC、BD互相垂直平分， ∴ND=NB， 当点N与点E不重合时，△NBM中NB+NM＞BM， 当点N与点E重合时，NB+NM=BM， ∴NB+NM≥BM，即DN+MN的最小值为BM， ABCD是正方形，则BC=CD=8，∠BCD=90°， ∴CM=CD-DM=8-2=6， ∴BM=， ∴DN+MN的最小值为10， 故选： C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键． 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解∶原式， 故答案为∶ ． 8. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理， 熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， 故答案为∶13． 9. 已知菱形 的对角线， ，则菱形 的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：∵菱形 的对角线， ， ∴菱形的面积 故答案为：6 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键． 10. 如图，在 中，请添加一个条件：______，使得 成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可． 【详解】条件是，理由是： ∵四边形 是平行四边形，， ∴平行四边形 是矩形， 故答案为：． 11. 《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 生长在它的中央，高出水面部分 为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是______尺． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，能够在实际问题中找到直角三角形并应用勾股定理是解决本题的关键． 将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知尺，设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 【详解】解：设水深x尺，则芦苇长尺， 在中，， 即， 解得： ， ∴， 故水深12尺，芦苇长13尺， 故答案为：12． 12. 在等腰三角形纸片 中，，将此等腰三角形纸片沿底边 上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查图形的剪拼，涉及等腰三角形的性质、平行四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：过点 作 于点D， ∵ 边，， ∴， ∴， 如图①所示：可得四边形是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形 是平行四边形，则其四边形的周长为：． 故答案为：或或 ． 三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的加减，先根据二次根式的性质化简各式，然后根据二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解∶原式 ． 14. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13, 求证：△ACD是直角三角形． 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明 可得是直角三角形． 试题解析：证明： ∴△ACD是直角三角形. 15. 如图，在 中，点E，F分别在 ， 上，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质.由平行四边形的性质得到 ， ，进而得到，证明四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴． 16. 阅读材料:因为，所以的整数部分为2，的小数部分为． 解决问题：若的整数部分为 ，小数部分为 ，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先估算出在2和3之间，进而可得出的整数部分 ，小数部分 ，代入中计算即可． 【详解】解： ， 的整数部分，小数部分， ． 【点睛】本题考查无理数的估算和二次根式的运算，通过所给材料得出无理数整数及小数部分的计算方法是解题的关键． 17. 如图，在菱形 中是 的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图， （1）在图1中，过点 作 的平行线，与 交于点 ． （2）在图2中，作线段 的垂直平分线，垂足为点 ． 【答案】（1）如图，即为所作； （2）如图， 即为所作． 【解析】 【分析】本题考查无刻度直尺作图，掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解题的关键． （1）连接 和 交于点O，连接并延长交 于点Q，则即为所作； （2）连接 和 交于点O，连接交 于点E，过A、E作直线交 于点H，则 即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 在计算时， 小明的解题过程如下： 解：原式① ② ③ ④ （1）小明的解法有错，请你指出小明从第______步开始出错的； （2）请你给出正确的解题过程． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则． （1）指出二次根式运算错误的步骤即可； （2）根据二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 小明从第③步开始出错的； 故答案为：③； 【小问2详解】 原式 ． 19. 如图,在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16 cm2和12 cm2的两张正方形纸片,求图中空白部分的面积. 【答案】-12+8cm2) 【解析】 【分析】根据正方形的面积可求出其边长，再求出长方形的边长与面积，用长方形的面积减去两个正方形面积即可. 【详解】解:∵两张正方形纸片的面积分别为16 cm2和12 cm2, ∴它们的边长分别为=4 cm,=2 cm, ∴AB=4 cm,BC=(2+4)cm, ∴空白部分的面积=(2+4)×4-12-16=8+16-12-16=(-12+8)cm2. 【点睛】此题主要考查二次根式的应用. 20. 如图，在△ABC中， ，BD为△ 的中线．，，连接CE． （1）求证：四边形BDCE为菱形； （2）连接DE，若，，求DE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定 即可． （2）连接DE，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴ 四边形为平行四边形． ∵ ，BD为AC边上的中线， ∴ ， ∴ 四边形为菱形． 【小问2详解】 解：连接DE交BC于O点，如图． ∵ 四边形为菱形，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键． 五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 如图1为折叠便携钓鱼椅子，将其抽象成几何图形，如图2所示，测得，，，，，已知． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求椅子最高点A到地面的距离． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行线的性质可得，，进而得，可知，即可证明结论； （2）由平行四边形的性质得，延长 交于 ，由（1）可知，，，可知四边形是平行四边形，得，，求得，，证明，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 延长 交于 ， 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 则，， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即：椅子最高点 到地面的距离为． 22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如：，善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中均为整数），则有． ．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示 ，得______， _____； （2）试着把化成一个完全平方式． （3）若 是216的立方根， 是16的平方根，试计算：． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式展开，再比较即可解答； （2）根据完全平方公式即可解答； （3）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 六、解答题(本大题共12分) 23. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在 中，对角线 ，交点为 ． 求证： 是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形 中， ， ， ， 分别为 ， ， ，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，且 ， ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点．若，，求四边形的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， 在 与中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ 是矩形； （2）证明：在菱形 中，，，， ∵ ， ， ， 分别为 ， ， ，的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴四边形是平行四边形， 连接， ， 在菱形 中， ，则， ∴四边形是平行四边形，则， 同理，四边形是平行四边形，则， ∴， ∴四边形是矩形； （3）12 【解析】 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定 是矩形； （2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接， ，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形； （3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由 即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）∵ ， ， ， 分别为 ， ， ， 的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵ ， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， 即四边形的面积是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $