精品解析：2026年山东省聊城市东方初级中学等校中考数学模拟（二）

二〇二六年山东省初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分！共30分．每小题只有一个选项符合题目要求！ 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数为． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 3. 如图1是一个电风扇的旋钮开关，图2为其示意图，其示意图的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单几何体俯视图的画法画出它的俯视图即可． 【详解】解：从上面看，是一个圆，且中间有两条竖的实线， ∴俯视图如下： ∴D选项符合题意． 4. 2023年我国新能源汽车产量达944.3万辆，比上年增长 ．将9443000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用合并同类项，单项式除法，积的乘方，平方差公式，逐一判断各选项的运算是否正确． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 6. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出钱，会差钱；每人出钱，会差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据羊价不变，结合两种出钱情况分别列出等式，再匹配选项即可． 【详解】解：根据“每人出钱，会差钱”可得，，即； 根据“每人出钱，会差钱”可得，； 因此可得方程组． 8. 在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据阴影部分的面积进行计算即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴③的面积， 又①的面积=②的面积， ∴阴影部分的面积 ． 9. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据列出不等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，函数图象经过点 ，  ∴，  ∴反比例函数解析式为 ，  ∵配制一副度数小于200度的近视眼镜，  ∴，即 ，  ∵ ，  ∴． 10. 如图是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ） A. 水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B. 在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C. 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D. 在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 【答案】C 【解析】 【分析】确定水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式后可判断A；确定水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式，再计算当时对应的的值可判断B；分别计算当时在加热到前后分别对应的的值，求出它们的差可判断选项C；计算出当 时在加热到后对应的的值即可判断选项D． 【详解】解：设水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是，过点、， ∴， 解得：， ∴水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是， ∴选项A的说法正确，故此选项不符合题意； 设当水匀速加热至后停止加热时水温与启动加热后通电时间的关系式为，过点， ∴， 解得：， ∴此时水温与启动加热后通电时间的关系式为， 当时，， ∴在通电启动加热开关时，喝到的茶水为， ∴选项B的说法正确，故此选项不符合题意； 当时，，解得： ； 当时，； 又∵， ∴在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为， ∴选项C的说法错误，故此选项符合题意； 当 时，， ∴在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为， ∴选项D的说法正确，故此选项不符合题意． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为零，可得， 解得：． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得点B，则点B的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点平移的坐标规律“右移加，左移减，上移加，下移减”，计算得到点的坐标即可． 【详解】解：点先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点，则点的坐标是，即． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的二次项的系数不为0，以及当 时，一元二次方程有实数根，列出不等式进行求解即可. 【详解】解：由题意，且， 解得且. 14. 一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如 ，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数乘方，计算出，，，即可解答，数熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ，，， ， 故答案为：． 15. 如图，在中， ， ，，点是边上的一个动点，以为直径作分别交，于点，，连接，则线段的最小值为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、圆周角定理、垂线段最短和最值问题，解题的关键点在于根据圆周角定理得到；连接、，过点作于点，如图，先根据含角的直角三角形三边的关系计算出，再根据圆周角定理得到，所以，则，然后根据垂线段最短得到的最小值为，从而得到的最小值． 【详解】解：连接、，过点作于点，如图， 在 中， ∵ ， ∴， ∴， ∵， 而， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵点是边上的一个动点， ∴当点在点时，的值最小， 即的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与化简 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解： ． 当时，原式． 17. 如图，在中，，请按照要求作答： （1）用无刻度直尺和圆规在上分别取、、，使得四边形 为菱形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若，求菱形的边长． 【答案】（1）见解析 （2）菱形的边长为 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点，作的垂直平分线交 分别于点 ，连接 ，即可求解； （2）证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，则四边形即为所求； 根据作图可得，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设菱形的边长为，则， 四边形为菱形， ， ， ， ， 解得 菱形的边长为． 18. 综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将58辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图1，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系（部分数据不完整）： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 6 7 … ③ … 车身总长y/米 ① ② … … 素材2：如图2，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 （1）根据表格信息，求购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的函数关系式； （2）将表格补充完整：①处应填________，②处应填________，③处应填________； （3）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）2，，45 （3）能，见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格，每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米，即可列出函数关系式； （2）代入函数关系式，计算即可； （3）根据勾股定理，求出，再计算58辆购物车列的车身总长，比较即可求解． 【小问1详解】 解：根据表格，每增加1辆购物车，车身总长增加0.2米， 则， 车身总长y与购物车数量x之间的关系式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，； 当时，； 当时，，解得 ； 【小问3详解】 解：该超市员工能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 理由：在中，根据勾股定理，得（米）， 当时，（米）， ， 该超市员工能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 19. 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 众数 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 【答案】（1） （2）八年级学生的竞赛成绩较好，理由见详解 （3）1240名 【解析】 【分析】（1）结合中位数的定义进行分析列式计算，得 ，结合众数的定义，得 ，再求出，即可作答． （2）结合两个年级的平均数，中位数，众数进行分析，即可作答． （3）运用样本估计总体列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，83，84，87，88，89． 先把八年级的竞赛成绩按从小到大排序，中位数是位于第名和第名的成绩之间， ∴ ， 观察七年级20名学生的竞赛成绩中分出现次数最多，且为3次， ∴ ， 则， ∴ ； ∴． 【小问2详解】 解：八年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： ∵七，八年级学生的成绩的平均数都是分，八年级学生的成绩的中位数高于七年级学生的成绩的中位数，八年级学生的成绩的众数高于七年级学生的成绩的众数， ∴八年级学生的竞赛成绩较好． 【小问3详解】 解：依题意，（名）， ∴该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是名． 20. 如图1，石碾是古代用石头和木材制作的一种破碎或去皮工具，如图2为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点D是上的一点，连接并延长，与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，则的半径的长为________． 【答案】（1）证明过程见解析 （2）4 【解析】 【分析】解题的关键是掌握切线的判定定理，利用全等三角形证明垂直关系，结合直角三角形的特殊性质建立方程求解． (1)通过连接，利用平行线的性质、等腰三角形的性质证明，得到，从而证明 ，证得是的切线； (2)先由的值得出，利用切线长定理得到，再结合三角函数求出的长度，利用直角三角形中角的性质得到，结合的表达式建立方程求解半径． 【小问1详解】 证明：连接． ∵是的切线， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即 ， ∵是的半径， ∴ 是的切线； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， ∵， ∴， ∵、是的切线， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即，解得， 故的半径长为4． 21. 2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为 ，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． （1）求攀登难点N的高度（即的长）； （2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）解，即可得攀登难点N的高度； （2）过点作交于点，交于点，由矩形的判定和性质，可得，，由已知结合等腰三角形的判定可得，设米，可得米，米，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，米，， ∴（米）， 故该攀登难点N的高度为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作交于点，交于点， 又 ， ∴四边形是矩形． ∴，， 设米，则米， ∵在中，， ∴米，米， ∵在中，， ∴， 又米，米， ∴， 解得． 故观察点B的铅直高度为米． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； （3），是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式进行求解； （2）求出抛物线与轴的交点坐标，然后根据交点情况进行分析即可； （3）根据得，解不等式组即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， 抛物线与轴的交点为和，点在线段上，要使抛物线与线段只有一个交点，则另一个交点需要在线段之外，或与重合， 当交点在线段之外时，或， 解得或； 当交点与重合时，， 解得； ∴或或； 【小问3详解】 解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线，且解析式，抛物线开口向上， ∴为抛物线的顶点坐标， ∴的值最小， ∵，， ∴， ∴由得， ， 整理得， ∴， ∴． 23. 综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作， ，垂足分别为、．若 时，我们称是的中心距比． （1）【概念理解】如图2，当 时，求证：是菱形； （2）【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，在矩形中 ，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作 交边于点，若，，求的值； （4）如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比 ．点在射线上，连接、，当 时，直接写出的长． 【答案】（1） 证明：方法1： 当 时，则， ， ， 在 和 中， ， ， ． ， 是菱形． 方法2： ， ， 时，， ， 是菱形． （2）存在， （3） （4）的长为或16或． 【解析】 【分析】（1）方法1：当 时，则，根据平行四边形的性质，证明，则 ，从而得出，即可得证；方法2：根据平行四边形对角线互相平分，可得，再结合，得到，即可得证； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，从而得出 ，进而推出，即可得解； （3）过点作， ，设 ， ，利用勾股定理列方程，求出， ，证明四边形 是矩形，得到， ， ，进而推出 ，设 ， ，根据三角形面积公式列方程，求出的值，即可得解； （4）由（2）可知，当 时，平行四边形两相邻边的比为2．分三种情况讨论：①当时，过点作 于点，过点作延长线于点；②当时，过点作 于点，过点作延长线于点，利用角的正切值求解；③ 时，连接，过点作，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作， ， 矩形，， ，， ， ， ， 设 ， ， ， 解得：， ， ， ，， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【小问4详解】 解：由（2）可知，当 时，平行四边形两相邻边的比为2． ①如图1，当时，过点作 于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 在 中， ， 设 ， ， ， 解得：， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②如图2，当时，过点作 于点，过点作延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 同理可求， ，， ， 由①可知， ， ， ， ， ， ， ， ； ③如图3，当 时，连接，过点作， ， 设 ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， 又 ， ， ， ， ， ． 综上可知，的长为或16或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二〇二六年山东省初中学业水平考试 数学模拟试题（二） 本试卷共8页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分！共30分．每小题只有一个选项符合题目要求！ 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. 6 D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1是一个电风扇的旋钮开关，图2为其示意图，其示意图的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 2023年我国新能源汽车产量达944.3万辆，比上年增长 ．将9443000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出 钱，会差钱；每人出钱，会差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图 是某款煮茶壶，开机加热将水匀速加热至后停止加热，此时水温开始下降，此时水温与启动加热后通电时间成反比例函数关系．当水温降至时启动保温功能．图是开始启动加热过程中，水温与通电时间之间的函数关系图，则下列说法错误的是（ ） A. 水温在启动加热到的过程中，与的函数关系式是 B. 在通电启动加热开关时，喝到的茶水为 C. 在整个通电启动到保温过程中，水温不低于的时间为 D. 在通电启动加热开关后，喝到的茶水的温度为 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 使代数式有意义的x的取值范围是______． 12. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得点B，则点B的坐标是_______． 13. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为______． 14. 一般地，n个相同的因数a相乘记作，如．此时，3叫做以2为底的8的“劳格数”，记为，则．一般地，若（且），则n叫做以a为底的b的“劳格数”，记为，如 ，则4叫做以3为底的81的“劳格数”，记为．则满足关系式________． 15. 如图，在中， ， ，，点是边上的一个动点，以为直径作 分别交， 于点，，连接，则线段的最小值为 __________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与化简 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，请按照要求作答： （1）用无刻度直尺和圆规在上分别取、、，使得四边形 为菱形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，若，求菱形的边长． 18. 综合与实践 【问题背景】某超市员工现需利用扶梯将58辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材1：如图1，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加1辆，购物车列的车身总长变化情况相同．下表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长y与购物车数量x的关系（部分数据不完整）： 购物车数量x/辆 1 2 3 4 5 6 7 … ③ … 车身总长y/米 ① ② … … 素材2：如图2，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 （1）根据表格信息，求购物车列的车身总长y与购物车数量x之间的函数关系式； （2）将表格补充完整：①处应填________，②处应填________，③处应填________； （3）在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 19. 国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，）．在2026年国际数学日到来之际，某校举办了“数学节”竞赛活动．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：84，83，81，89，88，87． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83 83 中位数 87 众数 91 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________， ________； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少？ 20. 如图1，石碾是古代用石头和木材制作的一种破碎或去皮工具，如图2为石碾抽象出来的模型，是 的直径，为 的切线，点D是 上的一点，连接并延长，与的延长线交于点E，连接，已知． （1）求证：是 的切线； （2）若，，则 的半径的长为________． 21. 2026年1月25日，美国攀岩传奇人物亚历克斯·霍诺德成功徒手攀登中国台北101大楼，全程无绳索、无安全装备，仅用时91分钟就登顶508米高的塔尖，成为人类历史上首位徒手独攀这座摩天大楼的人．亚历克斯用坚定的信念战胜内心的恐惧，为了这次挑战，他进行了长达数年的艰苦训练，反复研究大楼的每一处结构、每一个难点．在一次观测当中，他发现一个关键攀登难点N，他在距离楼底60米的A处观察（即米），用测倾器测得攀登难点N的仰角为 ，然后沿斜坡向上走到B处观察，测得攀登难点N的仰角为．已知点在同一条水平直线上，斜坡的斜面坡度为（即），测倾器高度忽略不计． （1）求攀登难点N的高度（即的长）； （2）求观察点B的铅直高度（结果保留根号）． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）写出抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； （2）若点，，抛物线与线段只有一个交点，求m的取值范围； （3），是抛物线上两点，若，直接写出m取值范围． 23. 综合与探究 【定义】如图1，点是的对角线的交点，过点作， ，垂足分别为、．若 时，我们称是的中心距比． （1）【概念理解】如图2，当 时，求证：是菱形； （2）【性质探究】在图1中，的中心距比与其相邻两边比是否存在某种关系？若有，求出这种关系；若没有，请说明理由； （3）【拓展应用】如图3，在矩形中 ，其中心距比，为对角线中点，是边上一点，连接，作 交边于点，若，，求的值； （4）如图4，，，点是射线上一动点，点是平面内一点．以、、、为顶点、为边的平行四边形的中心距比 ．点在射线上，连接 、，当 时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $