精品解析：2025年山东省聊城市阳谷县中考第二次模拟考试数学试卷

二○二五年初中学生学业水平模拟考试 数学试题（二） 本试卷满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 选择题（共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，，0，，这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 3. 深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的整数解共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 7. 按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 1或6 8. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 9. 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A. B. C. D. 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 因式分解：______． 11. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为_____万元． 12. “四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明．小北从主题为《四大发明》的四段影片中随机选取两段观看，选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是______． 14. 半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为_____． 15. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解分式方程：． （2）计算：． 17. 2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．目前，国际上通用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的标准为体质指数（以下简称），其换算公式为：（单位：），并规定： ：偏瘦；：正常；：超重；：肥胖． 某校为调查初三年级学生的胖瘦程度，在该年级中随机抽取了男女生各人，测量他们的身高，体重，计算相应的值，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． A．10名男生的身高（单位：m），体重（单位：）及BMI（保留一位小数）数据如下表： 身高 体重 B．10名女生的身高（单位：m）如下： C．10名女生的BMI指数条形图如下： （1）t=______（保留一位小数），男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； （2）若该校初三年级共有学生人，其中男生人，女生人，据此估计，该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数． （3）请你根据该校男女生的数据，对学校开展健康管理工作提出一条合理化建议． 18. 某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项课题活动，具体要求是对校园文化长廊进行测量与计算，形成了如下活动报告，请你帮他们完成下面的实践报告． 活动课题 校园文化长廊的测量与计算 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 角度测量仪、皮尺等测量工具 测量示意图 测量数据及说明 测量数据 说明 如图②，点，，，，在同一平面内，多边形为轴对称图形，点的对应点为点，点的对应点为点，，垂足为点，与交于点．（参考数据：，，，） 活动成果 请从上表测量数据中，根据需要选择合适的数据，计算文化长廊的最高点到地面的高度．（结果精确到） 19. 阅读与思考． 纯几何法验证勾股定理 我们知道，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的验证方法到目前为止也有300多种，最著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“达芬奇法”“欧几里得法”等等．下面我们介绍一种纯几何验证法． 如图1，在中，，于点D，先证明，可得，再证明，可得，两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法繁琐的证明，不失为一种很好的验证方法． 阅读下列材料，并完成相应任务． （1）根据材料中的方法，请写出完整的证明过程． （2）如图2，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”，图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若，求该矩形的面积． 20. 如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． （1）求k取值范围； （2）当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． （3）设反比例函数的图象与正方形的边交于、两点，若线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为，则的值为______．(直接写出结果) 21. 如图，内接于，为的直径，直线切于点D，且，连接，交于点G． （1）求证：平分； （2）若，求的半径长． 22. 已知二次函数（为常数）， （1）当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； （2）当时，的最小值为，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 23. 在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点D旋转的过程中，当时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二○二五年初中学生学业水平模拟考试 数学试题（二） 本试卷满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 选择题（共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 在，，0，，这四个数中，最小的实数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据负数小于和正数，得到最小的数在，然后比较它们的绝对值即可得到答案，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴， ∵负数小于和正数， ∴四个数中最小的数为， 故选：B． 2. 中国的航天技术已跨入世界先进行列．下列航天领域的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 深度求索是一家专注于研究世界领先的通用人工智能底层模型与技术、挑战人工智能前沿性难题的创新型科技公司，的芯片在每秒可以处理数据的同时，执行580万亿次浮点运算，数据580万亿可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：580万亿； 故选C． 4. 如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：从正面看主视图为长方形，且长方形内有一条斜线． 故选：B． 【点睛】此题考查了三视图的知识，解题的关键是知道主视图是从物体的正面看得到的视图． 5. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，合并同类项，幂的、积的乘方，完全平方公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据单项式乘以多项式，合并同类项，幂的、积的乘方，完全平方公式运算法则和公式进行判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、与不是同类项，不能合并，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意； 故选：A． 6. 不等式组的整数解共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为，共有4个， 故选：A． 7. 按如图所示的程序运算，若开始输入的x为正数，最后输出的结果为31，则满足条件的x的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 1或6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解方程的能力，注意理解题意与逆向思维的应用是解题的关键． 根据最后输出的结果，对题中的程序框图逆向运算确定出满足题意的x的值即可． 【详解】解：若，则， 若，则， 所以满足条件的x的值是1或6， 故选：D 8. 如图，在平行四边形中，以A为圆心，长为半径画弧交于点F，分别以点B，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，连接并延长交于点E，连接交于点O，过点A作于点H．若，，则（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 证明四边形是菱形，利用勾股定理即可得的长，求出菱形的面积,根据等面积法即可求出的长． 【详解】解：由尺规作图的过程可知，直线是线段的垂直平分线，， ，， ∵， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：C 9. 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，多项式乘以多项式，通过将三次方程写成因式分解形式并展开，与原方程比较系数，得出根与系数的关系，进而验证各结论的正确性，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：三次方程可表示为， ∴， ∴，，， ∴，，，故结论正确； 由，结论正确， 综上正确， 故选：． 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用因式分解的方法成为解题的关键． 先提取公因式x，然后再运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11. 为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为_____万元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元）； 答：实际每间教室的建设费用是万元； 故答案为：． 12. “四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明．小北从主题为《四大发明》的四段影片中随机选取两段观看，选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了画树状图或列表求概率，熟练掌握画出树状图或列表是解题关键． 设以印刷术、造纸术、火药和指南针为主题四段影片分别用表示，画出树状图，利用概率公式计算即可． 【详解】解：设以印刷术、造纸术、火药和指南针为主题四段影片分别用表示， 根据题意画树状图如下： 共有种等可能的结果，选取的两段影片是“造纸术”和“印刷术”即为和的结果数有种， ∴选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为， 故答案：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合及全等三角形的性质与判定，熟练掌握一次函数的图象与性质及三角形的全等是解题的关键；过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E，根据定理得出，故可得出及的长，再用待定系数法求解析式，由此可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，两条直线相交于点E， ∴， 又， ∴，，， ∴，． ∵， ∴，． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 设直线表达式为：， ∴ 解得： ∴直线表达式为， 故答案为：． 14. 半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．取的中点O，连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：取的中点O，连接，， 由题意得，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 我们规定：若一个正整数A能写成，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为9，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与25的十位数字相同，个位数字5与4的和为9，所以551是“方减数”，551分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______． 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算的应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，用含字母的式子表示相关的数． 设，则，根据最小的“方减数”可得m=10，n=18，即可求解． 【详解】解：设，则， 由题意得：， ∵， ∴要使“方减数”最小，需， ∴， ∴， 当时， 最小81． 故答案为：81． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）解分式方程：． （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程以及实数的混合运算，二次根式的性质，零指数幂，熟练掌握分式方程的解法以及二次根式的性质是解题的关键 （1）方程两边同时乘以最简公分母，化为整式方程，解此方程后检验即可得答案； （2）根据二次根式的性质化简，零指数幂，进行计算即可求解． 【详解】解：（1） 方程两边同时乘以最简公分母，得 解得： 经检验，是原方程的解 （2） 17. 2025年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委提出要实施“体重管理3年行动计划”，普及健康生活方式，加强慢性病防治．目前，国际上通用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的标准为体质指数（以下简称），其换算公式为：（单位：），并规定： ：偏瘦；：正常；：超重；：肥胖． 某校为调查初三年级学生的胖瘦程度，在该年级中随机抽取了男女生各人，测量他们的身高，体重，计算相应的值，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． A．10名男生的身高（单位：m），体重（单位：）及BMI（保留一位小数）数据如下表： 身高 体重 B．10名女生的身高（单位：m）如下： C．10名女生的BMI指数条形图如下： （1）t=______（保留一位小数），男生体重的中位数是______，女生身高的众数是______； （2）若该校初三年级共有学生人，其中男生人，女生人，据此估计，该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数． （3）请你根据该校男女生的数据，对学校开展健康管理工作提出一条合理化建议． 【答案】（1），， （2）该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数人 （3）对学校学生进行健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼（答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，样本估计总体等；理解中位数，众数，样本估计总体是解题的关键． （1）由的定义代值计算即可，由男生的体重从小到大排列后中间的两个数是、，可求中位数；女生身高出现最多的数据是，可求众数； （2）男生体重超重或肥胖所占百分比女生体重超重或肥胖所占百分比，即可求解． （3）根据（2）的结论，提出一条合理建议即可求解． 【小问1详解】 解：， 男生的体重从小到大排列后中间的两个数是、， 中位数是； 女生身高出现最多的数据是， 女生身高的众数是； 故答案为：，，； 小问2详解】 解：由题意得 （人）， 答：该校初三年级学生体重超重或肥胖的人数人． 【小问3详解】 对学校学生进行健康的饮食习惯的培养，加强体育锻炼（答案不唯一) 18. 某校“综合与实践”小组的同学利用课余时间开展了一项课题活动，具体要求是对校园文化长廊进行测量与计算，形成了如下活动报告，请你帮他们完成下面的实践报告． 活动课题 校园文化长廊的测量与计算 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 角度测量仪、皮尺等测量工具 测量示意图 测量数据及说明 测量数据 说明 如图②，点，，，，在同一平面内，多边形为轴对称图形，点的对应点为点，点的对应点为点，，垂足为点，与交于点．（参考数据：，，，） 活动成果 请从上表测量的数据中，根据需要选择合适的数据，计算文化长廊的最高点到地面的高度．（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，关键是由矩形的性质求出的长，由锐角的正切求出的长． 过作于，轴对称的性质得到垂直平分，，求出，，判定四边形是矩形，得到，，求出，由平行线的性质求出，得到是等腰直角三角形，因此，得到，求出，由，即可求出的长，于是得到的长． 【详解】解：过作于， 多边形为轴对称图形，， 垂直平分，， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ． 文化长廊的最高点到地面的高度约是． 19. 阅读与思考． 纯几何法验证勾股定理 我们知道，勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．勾股定理的验证方法到目前为止也有300多种，最著名的有“赵爽弦图法”“总统证法”“毕达哥拉斯法”“青朱出入法”“达芬奇法”“欧几里得法”等等．下面我们介绍一种纯几何验证法． 如图1，在中，，于点D，先证明，可得，再证明，可得，两式相加即可得勾股定理，这种方法避开了利用拼图和面积法繁琐的证明，不失为一种很好的验证方法． 阅读下列材料，并完成相应的任务． （1）根据材料中的方法，请写出完整的证明过程． （2）如图2，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，我们把这样的直角三角形称为“勾股形”，图3是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成的矩形，若，求该矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）60 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质推出，，根据相似三角形的性质结合等式的性质求解即可； （2）设小正方形的边长为x，则，根据勾股定理求出，再根据矩形面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：在中，，于点D， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设小正方形的边长为x，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵矩形的面积， ∴矩形面积． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定、勾股定理，熟记相似三角形的判定定理及性质定理、勾股定理是解题的关键． 20. 如图，正方形在第一象限，已知点、，反比例函数的图象与正方形的边有交点． （1）求k的取值范围； （2）当反比例函数的图象与交于点，且是的中点时，求反比例函数与边的交点的坐标． （3）设反比例函数的图象与正方形的边交于、两点，若线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为，则的值为______．(直接写出结果) 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可； （2）根据点坐标先求出反比例函数解析式，再根据解析式求出反比例函数于线段的交点坐标即可； （3）由（1）可得；分两种情况讨论，①由（2）可得，②当分别在上时，设，则，进而求得，根据三角形的面积公式建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：点、， ∴轴，， ∵四边形是正方形， ∴轴，轴，， ，， 当反比例函数经过点时．， 当反比例函数经过点时．， 的取值范围为：； 【小问2详解】 是的中点， ， ， 故反比例函数解析式为， 当时，， 反比例函数与边的交点的坐标为． 【小问3详解】 解：①当分别在上时， 由（1）可得 由（2）可得是的中点时，反比例函数与边的交点的坐标为． 此时， ∴此时线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为， ∴满足； ②当分别在上时，设，则， ∴， ∵线段与正方形的边围成直角三角形，且围成的直角三角形面积为， ∴， ∴， 解得：或（舍去） 综上所述，或． 21. 如图，内接于，为的直径，直线切于点D，且，连接，交于点G． （1）求证：平分； （2）若，求的半径长． 【答案】（1）见详解 （2）的半径长为 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质、切线的性质以及相似三角形的判定与性质．熟练掌握圆的性质、切线的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接，利用切线性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”得到，再结合，得出，再根据垂径定理得出，最后根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出即可证明； （2）先证明，根据相似三角形的性质得到，从而得到，然后确认是等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求出的半径长． 【小问1详解】 解：连接， 直线切于点D， ． 又， ． 为的直径， ， ， 平分． 【小问2详解】 解：（等弧所对的圆周角相等），（公共角）， ， ，即， 已知，所以． ，， 是等腰直角三角形． 等腰直角三角形中， ， 设的半径长为，则， ，则． 的半径长为． 22. 已知二次函数（为常数）， （1）当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式； （2）当时，的最小值为，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围． 【答案】（1）； （2）或； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键关键． （）将点的坐标代入函数表达式即可求解； （）分当时和当时两种情况即可求解； （）分情况，将特殊值代入新解析式进行求解即可得答案． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入函数表达式得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，则时，，则； 当时，则时，，则（舍去），， 综上可得：或； 【小问3详解】 解：当时，抛物线的表达式为：， ∵抛物线向下平移个单位， ∴， ∵新抛物线过点，且， 当抛物线和轴有一个交点时，即时，此时，符合题意； 当即时，，此时； 当即时，，此时； x． 23. 在数学活动课上，李老师给同学们提供了一个矩形（如图1），其中，连接对角线，且，要求各小组以图形的旋转为主题开展数学活动．以下是部分小组的探究过程，请你参与活动并解答所提出的问题： （1）如图2，“奋勇”小组将绕点D旋转得到，当点落到对角线上时，与交于点F，试猜想线段与的数量关系，并加以证明； （2）“勤学”小组在“奋勇”小组的基础上，取的中点E，连接，试判断四边形的形状，并说明理由； （3）在绕点D旋转的过程中，当时，求点A与点之间的距离，请你思考此问题，直接写出答案． 【答案】（1），证明见解析 （2）四边形是菱形．理由见解析 （3）6或． 【解析】 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后利用得到，然后证明出是等边三角形，得到，即可证明出； （2）首先由是等边三角形得到，然后结合旋转的性质得到，然后证明出，然后由得到与互相平分，证明出四边形是菱形； （3）根据题意分两种情况：当点在上方时，连接，首先由得到，然后结合旋转的性质得到，证明出点A，，三点共线，然后得到；当点在线段下方时，首先由和旋转的性质得到是等边三角形，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ， 证明：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 四边形是菱形． 理由：由（1）得是等边三角形， ∴， 由旋转得，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，点E是线段的中点， ∴， 又∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问3详解】 如图所示，当点在上方时，连接， ∵， ∴， 由旋转可得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点A，，三点共线， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，当点在线段下方时， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 综上所述，当时，点与点之间的距离为6或． 【点睛】本题属于四边形旋转综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质的综合应用，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$