精品解析：山东省德州市第九中学2025-2026学年第二学期数学期中检测卷

2025-2026学年第二学期数学期中检测卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式需满足两个条件，根指数为2，且被开方数为非负数，据此判断各选项即可． 【详解】解： A．∵可以为负数，当时，无意义，∴不一定是二次根式，A错误． B．∵，被开方数为负数，无意义，∴不是二次根式，B错误． C．∵对任意实数，都有，∴，被开方数恒为正，且根指数为2，∴一定是二次根式，C正确． D，∵的根指数为3，不是2，∴不是二次根式，D错误． 2. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件是被开方数不为负数进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得； 解得 ， ∴函数中，自变量的取值范围是 ． 故选：D． 3. 如图，在中，，，，则边上的高为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，结合，即可求得答案． 【详解】解：∵ ，，， ∴． ∵， ∴． 4. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 5. 如图，一直角三角形，其直角边长分别为3和1，以为圆心，斜边长为半径画圆弧，交数轴于点P，则点P在数轴上所表示的数是（ ）． A. B. C. 2.3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求斜边的长即半径长，然后将半径长减去3再加上2即得点P表示的数． 【详解】解：斜边的长=， 故点P表示的数为：； 故选A． 【点睛】此题考查勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键． 6. 如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD与AB交于点E，DF平分∠ADC与AB交于点F，若，，则CD长为（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质、等腰三角形的判定可得，再根据线段的和差即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 7. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，进而结合已知证明，由等腰三角形的判定和性质得到 ，，再根据勾股定理求出． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∴， 由作图可知，即 ， 在 中，． 8. 如图，中，，点D，E分别是边 的中点，点F在线段上，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到 ．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 ．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可． 【详解】解：∵点D、E分别是边 的中点， ∴是的中位线， ∵， ∴． ∵，D是的中点，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和直角三角形的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 9. 如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（ ） A. 38 B. 28 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ， ， ， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为 ． 10. 如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形，依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形，， ， ，四边形是黄金矩形 ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 最简二次根式与可以合并，则m=______． 【答案】4 【解析】 【分析】最简二次根式可以合并，说明二者是同类二次根式，根据同类二次根式的定义，被开方数相等，据此列方程求解即可. 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ，解得. 12. 如图，五边形 中， ，，，则______°． 【答案】205 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角和求法，根据其公式解题即可． 【详解】解：多边形的内角和为， ∴五边形的内角和为， ， 故答案为：205． 13. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AD、AB、CB、DC的中点，当四边形ABCD的对角线AB，CD满足条件________时所得的四边形EFGH是菱形. 【答案】AC=BD 【解析】 【详解】解：点E，F分别是四边形ABCD的边AD，AB中点，∴EF∥BD，EF=BD，同理：HG∥BD，HG=BD，∴EF∥HG，EF=HG，∴四边形RFGH是平行四边形．∵AC=BD，∴EF=EH．∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是菱形．故答案为AC=BD． 14. 如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么 ，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积． 【详解】过点作，交于，交于，如图， ，， ， ，， 又， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，作辅助线，构造全等三角形，并证明是解题的关键． 15. 如图，正方形的边长为分别是边 上的两个动点，且，连接，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，得出，推出的最小值等于的最小值，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线，连接，与的交点即为所求的E点，根据对称性可得，得到，由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：如图1，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， 的最小值等于的最小值， 如图2，作点A关于的对称点H，连接，则A、B、H三点共线， 连接，与的交点即为所求的E点， 根据对称性可得， ， 在中，，， ， 的最小值等于． 三、解答题（共8个小题，共90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 17. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离为 （2）海港C会受到此次台风的影响，见解析 （3）台风影响该海港持续的时间为 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理进行求解； （2）利用等面积法求出的长度，然后进行比较即可； （3）以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F，根据勾股定理求出的长，得出，最后根据速度即可求解． 【小问1详解】 解：依题意得：中，， ∴根据勾股定理得， 答：监测点A与监测点B之间的距离为； 【小问2详解】 解：海港C受台风影响， 理由：中，， ， ， ， 海港C会受到此次台风的影响； 【小问3详解】 解：如图，以C为圆心，长为半径画弧，交于D，F， 则． 在中，， ， 台风的速度为， ． 答：台风影响该海港持续的时间为 ． 18. 在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使 ，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若 ，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理，可知 ，，据此即可证明结论； （2）容易证明 ， ，利用勾股定理求得的长度，进而可求得的长度． 【小问1详解】 证明：∵，分别为，的中点， ∴，． ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵ ， ， ∴ ， ． ∵， ∴． 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ． 在 中，， ∴． 19. 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（要求：完成已知、求证，再写出证明过程） 已知：如图，在中，①______，②______，线段与交于点O． 求证：③__________________． 【答案】解：已知：如图，是的中位线，是的中线，、交于点， 求证：， 证明：连接、， ∵D、F分别是、的中点， ∴， ， ∵E是的中点， ∴ ， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 【解析】 【分析】利用文字说明转化为几何图形证明，结合平行四边形的判定与性质得出答案． 【详解】略 20. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ∵，∴， ∴，即， ∴．∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算：________． （2）化简：． （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分子分母同时乘以，计算即可得出结果； （2）先将分母有理化，再计算加减即可得出结果； （3）先求出，从而得出，将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵，，， …， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ． 21. 如图，在四边形中，，， ，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． （1）直接写出边的长为_____； （2）当四边形 是矩形时，求的值； （3）在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 【答案】（1）； （2） ； （3）的值为或3或； 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，注意分情况讨论等腰三角形的三种情形是解题的关键． （1）过点B作于点H，证明四边形 是矩形，求得，，再根据勾股定理求解即可； （2）根据 列方程求解即可； （3）分 ， ，三种情况讨论，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过点B作于点H， ，， ， 四边形 是矩形， ，， ， 在中，． 故答案为：． 【小问2详解】 解：，，， 当四边形 是矩形时， ， ， 解得 ； 【小问3详解】 解：当 时， ， ， ， ； 当时，； 当时，，， 在中，， ， 解得； 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为3或或； 22. 在中，，D是BC所在直线上的一个动点（点D不与点B、点C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）观察发现： 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC、CF的位置关系为___________； ②BC、CD、CF之间的数量关系为___________． （2）探究证明： 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． （3）问题解决： 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若，时，直接写出GE的长． 【答案】（1）①，②； （2）（1）中结论①成立，②不成立，理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，根据线段的和与差即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论； （3）过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，如图3所示，由△ADH≌△DEM（AAS），推出EM=DH，DM=AH，由△BCG是等腰直角三角形，推出CG=BC，推出GN=CG-CN，再由勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 ①在正方形ADEF中，AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAC=∠DAF=90° ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=∠ACB+∠ABD=180°-∠BAC=90°， ∴BC⊥CF； 故答案为：BC⊥CF； ②由①知，△DAB≌△FAC， ∴BD=CF， ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； 故答案为：BC=CF+CD； 【小问2详解】 （1）中结论①成立．②不成立．理由如下： ∵四边形ADEF是正方形： ∴， ． ∵， ， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴， ． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴（1）中结论①成立．②不成立． 【小问3详解】 如图，作于点，于点，于点． 易证，， ∴，∴ ， ∴， ∴． ∵，， ∴． 由（2）得，． ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ，． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴ 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期数学期中检测卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则边上的高为（ ） A. 4.8 B. 5 C. 6 D. 10 4. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一直角三角形，其直角边长分别为3和1，以为圆心，斜边长为半径画圆弧，交数轴于点P，则点P在数轴上所表示的数是（ ）． A. B. C. 2.3 D. 6. 如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD与AB交于点E，DF平分∠ADC与AB交于点F，若，，则CD长为（ ） A. 8 B. 10 C. 13 D. 16 7. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（　　） A. 3 B. 4 C. D. 8. 如图，中，，点D，E分别是边 的中点，点F在线段上，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点B在顶点A正上方处．用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B，再用黄色彩带从点B开始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为（ ） A. 38 B. 28 C. D. 10. 如图，黄金矩形中，，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形．依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形，依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 最简二次根式与可以合并，则m=______． 12. 如图，五边形 中， ，，，则______°． 13. 在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AD、AB、CB、DC的中点，当四边形ABCD的对角线AB，CD满足条件________时所得的四边形EFGH是菱形. 14. 如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为__________． 15. 如图，正方形的边长为分别是边 上的两个动点，且 ，连接，，则的最小值为___________． 三、解答题（共8个小题，共90分） 16. 计算： （1） （2） 17. 台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为、，且，过点C作于点E，以台风中心为圆心，半径为的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为，则台风影响该海港多长时间？ 18. 在中，，，分别是边，的中点，延长到点，使 ，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）连结，交于点，若 ，求的长． 19. 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．（要求：完成已知、求证，再写出证明过程） 已知：如图，在中，①______，②______，线段与交于点O． 求证：③__________________． 20. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：已知，求的值，他是这样解答的： ∵，∴， ∴，即， ∴．∴． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）计算：________． （2）化简：． （3）若，求的值． 21. 如图，在四边形中，，， ，，．点从点出发，以秒的速度向点运动；同时点从点出发，以秒的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点运动的时间为秒． （1）直接写出边的长为_____； （2）当四边形 是矩形时，求的值； （3）在点运动过程中，当是等腰三角形时，求的值； 22. 在中，，D是BC所在直线上的一个动点（点D不与点B、点C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF． （1）观察发现： 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC、CF的位置关系为___________； ②BC、CD、CF之间的数量关系为___________． （2）探究证明： 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． （3）问题解决： 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE.若，时，直接写出GE的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $