精品解析：山东省德州市宁津县第四实验中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年第二学期期中测试 八年级数学试题 试题说明：本试题满分150分，时间120分钟请同学们认真思考，仔细作答，书写工整，所有试题的答案都请填写在答案纸上，预祝同学们取得优异成绩． 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A． 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故A错误； B． 被开方数含分母，故B错误； C． 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故C正确； D． 被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D错误； 故选：C． 2. 以下不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理等知识．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵，故能构成直角三角形； B、∵， ∴，故能构成直角三角形； C、∵， ∴，故能构成直角三角形； D、设，则， ∵， ∴，故不能构成直角三角形． 故选：D． 3. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 4. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则覆盖的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算法则进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴墨迹覆盖了的运算符号是：． 故选：D． 5. 若直角三角形的三边长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，分情况讨论，避免遗漏． 分长为的边为斜边和直角边两种情况讨论，利用勾股定理分别求解即可． 【详解】解：当长为的边为斜边时，由勾股定理得：m2＝32+42＝25； 当长为的边为直角边时，由勾股定理得：； 综上所述，的值为或， 故选：D． 6. 已知的三边分别为，且，则的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 无法计算 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，算术平方根，平方，绝对值的非负性， 根据算术平方根，平方，绝对值的非负性求出a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，求出面积即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得． ∵， ∴是直角三角形， ∴． 故选：B． 7. 如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（ ） A. 30海里 B. 24海里 C. 18海里 D. 12海里 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题目提供的方位角判定，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得的长，利用勾股定理求得的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【详解】 （海里/小时） 故选：D 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，， ∴ 中，， ∴图2中的“风车”图案的周长为： 故选：C 9. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ∵ ∴即， 故选：C． 10. 已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（ ） A. 5 B. 13 C. D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，得到，，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：矩形中，，， ∴，，， ∴， 根据折叠的性质，得，，， ∴， 设，则， ∴ 解得． ∴， 故选：C． 11. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，找到规律即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， 生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为， 故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是， 故选D． 12. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（　　） A. ①②③④ B. ①② C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点N，延长交直线于M，连接，如图，根据四边形、四边形是正方形，可得，判断①正确；证明，可得，又，可得，判断②正确；在中，，可判断③正确；根据，，有，可得四边形的面积与正方形的面积不相等，判断④不正确． 【详解】过点D作于点N，延长交直线于M，连接， 四边形、四边形是正方形， ，， ，故①正确； ， ， 又，， ， ，， 又， ， ，故②正确； 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， 在中，， ，故③正确； ，， ， ， 四边形的面积与正方形的面积不相等，故④不正确； 正确的有①②③， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质与应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形面积，解题的关键是掌握正方形的性质． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 代数式有意义，则x满足的条件是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件．根据二次根式有意义时被开方数为非负数，分式有意义时分母不为零可求解x的取值范围． 【详解】解：由题意得， 解得：且． 故答案为：且． 14. 如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿侧面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是_____cm． 【答案】10 【解析】 【分析】将圆柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：∵一圆柱高8cm，底面半径为cm， ∴底面周长为：2×π×＝12cm，则半圆弧长为6cm， 展开得： BC＝8cm，AC＝6cm， 由勾股定理得：（cm）． 故答案为：10cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际运用—求最短距离，解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度． 15. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是_____． 【答案】20° 【解析】 【分析】先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠BDH＝∠DHO，利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC， ∵DH⊥AB， ∴DH⊥CD，∠DHB＝90°， ∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线， ∴OH＝OD＝OB， ∴∠BDH＝∠DHO， ∵DH⊥CD， ∴∠BDH+∠CDO＝90°， ∵BD⊥AC， ∴∠CDO+∠DCO＝90°， ∴∠BDH＝∠DCO， ∴∠DHO＝∠DCA， ∵四边形ABCD菱形， ∴DA＝DC， ∴∠CAD＝∠DCA＝20°， ∴∠DHO＝20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 16. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为______. 【答案】12 【解析】 【分析】欲求矩形的面积，则求出图1中阴影部分小三角形长直角边边长即可，由此可设其为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】 解：设如图1阴影部分小三角形长直角边边长为x， ∵， ∴AB=x+3， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即（1+x）2+（1+3）2=(x+3)2， 整理得，x=2， ∴该矩形的面积=AC·BC=（1+3）（1+x）=4×3=12 故答案为：12． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，得到关于x的方程是解题的关键． 17. 如图，在矩形中，分别是上点，分别是的中点，，，则线段的长为________．     【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线等知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，利用勾股定理解得的值，然后根据三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：连接，如下图，        ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴在中，， ∵分别是的中点， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝4． ∴DE＝AC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知，． （1）求和ab的值； （2）求的值； （3）若a的整数部分是x，b的小数部分是y，求的值． 【答案】（1）， （2）16 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先估算得到，，得出，，再代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∵a的整数部分是x， ∴， ∵b的小数部分是y， ∴， ∴． 21. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E、F在上，点G、H在上，且，． （1）若，，求的度数． （2）试判断与 的位置关系与数量关系，并说明理由． 【答案】（1）65° （2），．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理和等边对等角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）根据题意证明，，得出四边形是平行四边形，即可解决问题． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵ 四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 ，． 理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，． ∴四边形 是平行四边形． ∴，． 22. 学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 【答案】没有超速，见解析 【解析】 【分析】本题考查了30度的直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点C作于点H．结合，得，即，运用勾股定理列式得，再证明是等腰直角三角形，然后算出的长度，以及小车平均速度，再进行比较，即可作答． 【详解】解：没有超速，理由如下： 过点C作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴小车平均速度， ∵ ∴ ∴， ∴此车没有超速． 23. 如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形的菱形 （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理． （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，，，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：在中，D，E分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：连接，交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴菱形BCFE的面积为． 24. 先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材料解答下列问题： （1）填空：①______； ②______． （2）化简：（诸写出计算过程）； （3）化简：． 【答案】（1）①；② （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，分母有理化： （1）①仿照题意求解即可；②根据分母有理化的方法求解即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 小问1详解】 解：①∵，，即，， ∴； ②； 【小问2详解】 解：解： ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解： ． 25. 在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动：将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2）．当点与点重合时停止平移． （1）求证：图2中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3）．求此时的长； （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以，直接写出的长，如果不可以，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）四边形能成为菱形， 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，即可得结论； （2）根据平移的性质，设，则，利用勾股定理表示、的长，由四边形为矩形，可得，建立方程求解即可； （3）设，根据菱形的性质得出，利用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵两个全等的直角三角形纸片和拼在一起， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 小问2详解】 ∵将图1中的纸片沿方向平移， ∴设，则， 在中，， 在中，， ∵四边形为矩形， ∴，即， 解得：，即． 【小问3详解】 纸片平移的过程中，四边形能成为菱形，理由如下： ∵四边形为菱形， ∴， 设， ∴， 解得：（负值舍去），即． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质和判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中测试 八年级数学试题 试题说明：本试题满分150分，时间120分钟请同学们认真思考，仔细作答，书写工整，所有试题的答案都请填写在答案纸上，预祝同学们取得优异成绩． 一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 以下不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 3. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 4. 墨迹覆盖了等式“”中运算符号，则覆盖的运算符号是（ ） A. B. C. D. 5. 若直角三角形的三边长为，则的值为（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知的三边分别为，且，则的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 无法计算 7. 如图，甲轮船以16海里/小时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口1.5小时后分别到达B、A两点，且知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（ ） A. 30海里 B. 24海里 C. 18海里 D. 12海里 8. 如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 估算的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 10. 已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（ ） A. 5 B. 13 C. D. 15 11. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 1012 B. 2023 C. 2024 D. 2025 12. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO顶点A、O、E在同一直线l上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（　　） A. ①②③④ B. ①② C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 代数式有意义，则x满足条件是______． 14. 如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A沿侧面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是_____cm． 15. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝20°，则∠DHO的度数是_____． 16. 我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦.如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理.如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为______. 17. 如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为________．     18. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 三、解答题（共78分） 19. 计算： （1）． （2）． 20. 已知，． （1）求和ab的值； （2）求的值； （3）若a的整数部分是x，b的小数部分是y，求的值． 21. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E、F在上，点G、H在上，且，． （1）若，，求的度数． （2）试判断与 的位置关系与数量关系，并说明理由． 22. 学生安全是近几年社会关注的重大问题，其中交通安全隐患主要是超速．如图，某校门前一条直线公路建成通车，在该路段限速，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观点C测得一小车从点A到达点B行驶了．若测得，，．此车超速了吗？请说明理由．（，） 23. 如图，在中，D、E分别是、的中点，，延长到点F，使得，连接． （1）求证：四边形的菱形 （2）若，，求菱形面积． 24. 先阅读下列解答过程： 材料一：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，使， 即，，那么便有． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 材料科二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： ， 请根据材料解答下列问题： （1）填空：①______； ②______． （2）化简：（诸写出计算过程）； （3）化简：． 25. 在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动：将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2）．当点与点重合时停止平移． （1）求证：图2中的四边形是平行四边形； （2）当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3）．求此时的长； （3）在纸片平移的过程中，四边形能成为菱形吗？如果可以，直接写出的长，如果不可以，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $