第02讲 勾股定理（暑假复习培优讲义，7题型技巧4重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第02讲 勾股定理（暑假复习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 勾股定理 2 知识点02 勾股定理逆定理 4 知识点03 勾股数 4 知识点04 数轴作无理数 5 剖题型·讲技巧 题型1 直角三角形边长计算（必考分类讨论） 6 题型2 逆定理判定直角三角形 7 题型3 网格几何求值与证垂直 8 题型4 勾股定理四大经典生活应用题（期末高频） 10 题型5 图形折叠求值（中考高频） 13 题型6 最短路径 15 题型7 勾股树面积 18 释疑惑·重难拓展 题型1 长方体最短路径 21 题型2 动点直角三角形存在性压轴 22 题型3 线段平方关系证明培优 24 题型4 矩形折叠压轴固定模型 26 知中考·真题探源 28 练好题·提分培优 32 课标要点 1.探索并证明勾股定理，熟练掌握勾股定理及变形公式，仅限直角三角形边长计算； 2.掌握勾股定理逆定理，能判定直角三角形、判断三角形形状，区分定理与逆定理用法； 3.熟记常用勾股数，运用勾股定理解决折叠、最短路径、方位航海、生活测量等基础及综合几何问题； 4.结合全等、轴对称、动点、立体几何完成压轴题型解答，具备分类讨论几何思维。 高频考向：边长分类计算、折叠求值、立体最短路径、直角三角形判定、动点直角存在性 知识点01 勾股定理 1. 文字定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 标准公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c 3. 高频变形公式 4. 使用前提：图形必须为直角三角形，斜边为三角形最长边 5. 勾股定理的证明 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积，化简得 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c² 练习 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西阳泉·期中）已知，在，，于，，，求线段和的长． 知识点02 勾股定理逆定理 1. 内容：三角形三边长为a、b、c，若满足，则该三角形为直角三角形，最长边c对角为直角。 2. 三角形形状判定（培优拓展）： ：锐角三角形（c为最长边） ：直角三角形（c为最长边） ：钝角三角形（c为最长边） 3.核心作用：不靠角度，通过边长计算证明线段垂直、判定直角。 4.勾股定理与其逆定理的关系 定理  勾股定理  勾股定理的逆定理 条件 在Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为a，b，c，∠ C=90° 在△ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² △ABC 为直角三角形，且∠ C=90° 练习 3．（25-26八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4． （25-26八年级下·江西宜春·期中）已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 知识点03 勾股数 1. 定义：满足勾股定理的一组正整数；一组勾股数同乘同一个正整数，仍为勾股数。 2. 必背基础勾股数（考试直接用） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 倍数组：6,8,10；9,12,15；9,40,41 3. 通用构造公式 奇数n(n≥3)： 偶数m(m≥4)： 练习 5．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 知识点04 数轴作无理数 构造直角边为整数的直角三角形，利用斜边长度，在数轴上画出等无理数对应线段。 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 练习 6．（25-26八年级下·北京西城·期中）利用勾股定理在数轴上画出的点P 题型1 直角三角形边长计算（必考分类讨论） 【典例1】（24-25八年级下·广东广州·期中）若实数、满足，且、是的两条边长，则第三条边长是（     ） A． B．4 C．5或4 D．或4 方法技巧 定直角→分边归类→公式计算→舍去负数解 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是高．若，求的长． 【变式1-2】（25-26八年级下·广东潮州·期中）定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，那么我们称此三角形为“三倍平方三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 【变式1-3】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 题型2 逆定理判定直角三角形 【典例2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由线段a、b、c可以组成直角三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 方法技巧 ①三边从小到大排序；②计算最长边平方；③对比另外两边平方和，相等即为直角三角形。 【变式2-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，，，．求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 题型3 网格几何求值与证垂直 【典例3-1】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，在的正方形网格中标出了和，则（     ）． A． B． C． D． 【典例3-2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 【典例3-3】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．的三个顶点都在网格线的交点上．求证：． 方法技巧 网格线段横纵分格为直角边，勾股求斜边；求出三边长度，利用逆定理判定直角，证明垂直。 【变式3-1】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【变式3-3】（23-24八年级下·北京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 【变式3-4】（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均位于正方形网格的格点之上． (1)直接写出的三边长（结果应化简为最简二次根式）：_______，_______，_________； (2)证明：是直角三角形． 题型4 勾股定理四大经典生活应用题（期末高频） 【典例4-1】（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【典例4-2】（25-26八年级下·江西南昌·阶段检测）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【典例4-3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【典例4-4】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 方法技巧 1.梯子下滑模型：梯子长度固定为斜边，墙面、地面为直角边，下滑前后分别列勾股方程 2.水池芦苇模型：设水深为x，芦苇长=x+高出长度，水池半宽为直角边，列方程： 3.旗杆折断模型：折断上段为斜边，剩余杆长、地面落点距离为直角边 4.方位航海模型：南北、东西方向垂直，直接构造直角三角形求解边长、距离 【变式4-1】（25-26八年级下·广西北海·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【变式4-3】（25-26八年级下·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 题型5 图形折叠求值（中考高频） 【典例5】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 方法技巧 1.找等量：折叠前后对应边、对应角完全相等； 2.设未知数：设所求边长为x，剩余边长用含x代数式表示； 3.构直角：锁定直角三角形，列勾股方程解方程。 【变式5-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 【变式5-2】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【变式5-3】（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 题型6 最短路径 【典例6-1】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【典例6-2】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【典例6-3】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2) 如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 方法技巧 1.平面最短：两点之间线段最短，结合将军饮马轴对称作图，勾股求值 2.立体最短（圆柱、长方体）：展开立体图形为平面长方形，连线求斜边最小值 【变式6-1】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【变式6-2】（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 【变式6-3】（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 题型7 勾股树面积 【典例7-1】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别是，则正方形E的边长为_________． 【典例7-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）解答： 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 (1)小明画出类型①锐角，，，则________； (2)小金画出了类型②直角，，，计算的值； (3)小山画出了类型③钝角，，，计算的值． 方法技巧 以直角三角形三边向外作正方形、半圆、等边三角形，直角边上图形面积之和=斜边上图形面积。 【变式7-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【变式7-2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 【变式7-3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 题型1 长方体最短路径 【典例1】（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【变式1-3】（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 题型2 动点直角三角形存在性压轴 【典例2】（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 【变式2-1】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，请求出的值． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； (2)若是以为腰的等腰三角形，求t的值； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 【变式2-3】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 题型3 线段平方关系证明培优 【典例3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【变式3-2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接， (1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）； (2)求证：； (3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由． 【变式3-3】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图1，在和中，已知，，，分别交于点，． (1)如图2，作，连接，求证：； (2)改变的位置； ①如图2，在（1）的条件下，当点，在上（不与点，重合）时，求证：； ②如图3，当点在上，点在的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． 题型4 矩形折叠压轴固定模型 【典例4】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【变式4-1】（25-26八年级下·湖南郴州·期中）如图1，在长方形纸片中，，点是线段上的动点，连接是由沿翻折所得到的图形． (1)如图2，连接，当点落在上时，的长． (2)如图3，点是的中点，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图4，点是的中点，连接，，求的最小值． 【变式4-2】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (3) 已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则_________．    5．（2026·四川南充·中考真题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是_________． 8．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 三、解答题 9．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 10．（2026·四川达州·中考真题）综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）的三条边是，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．，， 2．（25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 二、填空题 5．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为______． 6．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点（点位于点的左侧），则点所表示的数是________． 7．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为______． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______． 9．（2026·河南平顶山·三模）在中，，，点是边上一点，连接，点是边的中点，连接，若为直角三角形，则的长为_____． 10．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，已知，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为__________；当是以为底的等腰三角形时，边的长为___________． 三、解答题 11．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 12．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 13．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）解答下列问题： (1)如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，连接，求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 勾股定理（暑假复习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 勾股定理 2 知识点02 勾股定理逆定理 4 知识点03 勾股数 5 知识点04 数轴作无理数 6 剖题型·讲技巧 题型1 直角三角形边长计算（必考分类讨论） 7 题型2 逆定理判定直角三角形 10 题型3 网格几何求值与证垂直 12 题型4 勾股定理四大经典生活应用题（期末高频） 17 题型5 图形折叠求值（中考高频） 25 题型6 最短路径 29 题型7 勾股树面积 37 释疑惑·重难拓展 题型1 长方体最短路径 44 题型2 动点直角三角形存在性压轴 51 题型3 线段平方关系证明培优 61 题型4 矩形折叠压轴固定模型 67 知中考·真题探源 75 练好题·提分培优 87 课标要点 1.探索并证明勾股定理，熟练掌握勾股定理及变形公式，仅限直角三角形边长计算； 2.掌握勾股定理逆定理，能判定直角三角形、判断三角形形状，区分定理与逆定理用法； 3.熟记常用勾股数，运用勾股定理解决折叠、最短路径、方位航海、生活测量等基础及综合几何问题； 4.结合全等、轴对称、动点、立体几何完成压轴题型解答，具备分类讨论几何思维。 高频考向：边长分类计算、折叠求值、立体最短路径、直角三角形判定、动点直角存在性 知识点01 勾股定理 1. 文字定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2. 标准公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b，斜边为c 3. 高频变形公式 4. 使用前提：图形必须为直角三角形，斜边为三角形最长边 5. 勾股定理的证明 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积，化简得 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c² 练习 1．（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故A选项可以验证勾股定理； B、梯形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故B选项可以验证勾股定理； C、图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，故C选项不能用来验证勾股定理； D、大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴，整理得，故D选项可以验证勾股定理． 2．（25-26八年级下·山西阳泉·期中）已知，在，，于，，，求线段和的长． 【答案】， 【详解】解：∵于，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 知识点02 勾股定理逆定理 1. 内容：三角形三边长为a、b、c，若满足，则该三角形为直角三角形，最长边c对角为直角。 2. 三角形形状判定（培优拓展）： ：锐角三角形（c为最长边） ：直角三角形（c为最长边） ：钝角三角形（c为最长边） 3.核心作用：不靠角度，通过边长计算证明线段垂直、判定直角。 4.勾股定理与其逆定理的关系 定理  勾股定理  勾股定理的逆定理 条件 在Rt △ ABC 中，∠ A，∠ B，∠ C 的对边长分别为a，b，c，∠ C=90° 在△ ABC 中， ∠ A， ∠ B， ∠ C 的对边长分别为a，b，c，且a²+b²=c² 结论 a²+b²=c² △ABC 为直角三角形，且∠ C=90° 练习 3．（25-26八年级下·北京·期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】A、，，，不能组成直角三角形； B、，，，不能组成直角三角形； C、，，，不能组成直角三角形； D、，，，能组成直角三角形． 4．（25-26八年级下·江西宜春·期中）已知中，、、所对边长分别为、、，若、、三边满足，试判断的形状． 【答案】是直角三角形 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 知识点03 勾股数 1. 定义：满足勾股定理的一组正整数；一组勾股数同乘同一个正整数，仍为勾股数。 2. 必背基础勾股数（考试直接用） 基础组：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17 倍数组：6,8,10；9,12,15；9,40,41 3. 通用构造公式 奇数n(n≥3)： 偶数m(m≥4)： 练习 5．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如果满足等式的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数． (1)已知m，n是正整数且，证明：，，是勾股数． (2)请写出任意一组含有68的“勾股数”： ． 【详解】（1）解：∵m，n是正整数且， ∴，，均是正整数， ∵； 故，，是勾股数． （2）， 由（1）可知，与可以构成勾股数； 故答案为：（答案不唯一）． 知识点04 数轴作无理数 构造直角边为整数的直角三角形，利用斜边长度，在数轴上画出等无理数对应线段。 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 练习 6．（25-26八年级下·北京西城·期中）利用勾股定理在数轴上画出的点P 【答案】 【分析】在数轴原点的正半轴上取点，使（单位长度）；过点作数轴的垂线，在垂线上截取（单位长度）；连接，由勾股定理得，再以原点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，点就是表示的点． 题型1 直角三角形边长计算（必考分类讨论） 【典例1】（24-25八年级下·广东广州·期中）若实数、满足，且、是的两条边长，则第三条边长是（     ） A． B．4 C．5或4 D．或4 【答案】D 【详解】∵ ，，且 ∴ ，，解得， 分两种情况讨论： 当为的斜边时，第三条边长为， 当，为的两条直角边时，第三条边长为， 综上，第三条边长为或． 方法技巧 定直角→分边归类→公式计算→舍去负数解 【变式1-1】（25-26八年级下·安徽滁州·期中）在中，是高．若，求的长． 【答案】的长为或 【详解】解：是的高， ． 由勾股定理，得， 当在的内部时，如图1所示： 则 当在的外部时，如图2， 综上所述，的长为或． 【变式1-2】（25-26八年级下·广东潮州·期中）定义：如果一个三角形存在两边的平方和等于第三边平方的3倍，那么我们称此三角形为“三倍平方三角形”． (1)若一个三角形的三边长分别是3，，3，这个三角形是“三倍平方三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若一个直角三角形是“三倍平方三角形”，且其中一条直角边长为2，求该直角三角形的另外两条边长． 【答案】(1)这个三角形是“三倍平方三角形” (2)该直角三角形的另外两条边长分别为和 【详解】（1）解：这个三角形是“三倍平方三角形”，理由如下： 根据题意，得， 故，符合定义， 故这个三角形是“三倍平方三角形”； （2）解：设这个直角三角形的另一条直角边长为x，则斜边长为， 因为直角三角形是“三倍平方三角形”， 当， 故， 解得，，负的舍去； 当， 故， 解得，，负的舍去； 当不成立， 故直角三角形的两条直角边都是2，此时斜边长为 【变式1-3】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）在中，，动点从点出发，沿射线以个单位/s的速度移动，设运动的时间为t秒； (1)求线段的长； (2)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1) (2)4或 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即； （2）解：由题意知． ①当时，如图1，点P与点C重合，， ∴． ②当时，如图2，，． 在中，， 在中，， 因此， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为4或． 题型2 逆定理判定直角三角形 【典例2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）由线段a、b、c可以组成直角三角形的是（     ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【详解】解：A．最长边为，由得，不能组成直角三角形； B．最长边为，由得，能组成直角三角形； C．，不满足三角形两边之和大于第三边，不能组成三角形； D．最长边为，由得，不能组成直角三角形． 方法技巧 ①三边从小到大排序；②计算最长边平方；③对比另外两边平方和，相等即为直角三角形。 【变式2-1】（24-25八年级下·广东广州·期中）已知、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高． (1)下列说法正确的是_________． A．、、能组成三角形；B．、、能组成直角三角形三边； C．、、能组成直角三角形三边；D．、、能组成直角三角形三边． (2)请选择一个正确选项进行证明． 【详解】（1）解：A、，不符合三角形的两边之和大于第三边； 不能组成三角形，错误； B 、，， 由题意得， 、、不能组成直角三角形三边，错误； C、、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得： ， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边，正确； D、，，二者不相等， 同理证，，可知均不满足勾股定理逆定理， 、、不能组成直角三角形三边，错误； （2）证明C选项： 、、为直角三角形三边，且为斜边，为斜边上的高， ，且， 又， 将，，代入得：， 根据勾股定理逆定理，、、能组成直角三角形三边． 【变式2-2】（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在中，，，，．求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1) (2)直角三角形，原因见详解 【详解】（1）解：， ， 在中，，，，则由勾股定理可得； 在中，，，，则由勾股定理可得； 的周长为； （2）解：是直角三角形， 原因如下： 由（1）知，， ， 即， 是直角三角形． 题型3 网格几何求值与证垂直 【典例3-1】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，在的正方形网格中标出了和，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，将向上平移一个小正方形的边长到，连接， 设每个小正方形的边长为， 则， 同理， ，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【典例3-2】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C、D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为______． 【答案】 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴． 【典例3-3】（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，网格图中每个小正方形的边长都是1．的三个顶点都在网格线的交点上．求证：． 【详解】证明：在网格图中，在一个直角边分别为2和2的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， 同理，在一个直角边分别为3和3的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， 在一个直角边分别为1和5的直角三角形的斜边上， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴根据勾股定理的逆定理可知，是直角三角形，且， ∴． 方法技巧 网格线段横纵分格为直角边，勾股求斜边；求出三边长度，利用逆定理判定直角，证明垂直。 【变式3-1】（25-26八年级下·山东滨州·期中）如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过点A作于D，如图所示： ∵小正方形的边长为1， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式3-2】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【详解】解：点在线段上运动，当时，线段有最小值， 而， ， 得． 【变式3-3】（23-24八年级下·北京·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)则_____，_____，_____； (2)求证：． 【详解】（1）解：依题意，，， （2）解：∵ ∴， ∴是直角三角形，． 【变式3-4】（25-26八年级下·广西河池·期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均位于正方形网格的格点之上． (1)直接写出的三边长（结果应化简为最简二次根式）：_______，_______，_________； (2)证明：是直角三角形． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ； （2）证明：，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，可得：是直角三角形． 题型4 勾股定理四大经典生活应用题（期末高频） 【典例4-1】（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 【典例4-2】（25-26八年级下·江西南昌·阶段检测）教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． (2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【典例4-3】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 【典例4-4】（25-26八年级上·河南郑州·期末）《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 方法技巧 1.梯子下滑模型：梯子长度固定为斜边，墙面、地面为直角边，下滑前后分别列勾股方程 2.水池芦苇模型：设水深为x，芦苇长=x+高出长度，水池半宽为直角边，列方程： 3.旗杆折断模型：折断上段为斜边，剩余杆长、地面落点距离为直角边 4.方位航海模型：南北、东西方向垂直，直接构造直角三角形求解边长、距离 【变式4-1】（25-26八年级下·广西北海·期中）消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)点处与地面的距离为米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【详解】（1）解：由题意可得，米，米，米， 由勾股定理可得，（米）， （米）， 则点处与地面的距离为米； （2）解：由题意可得，（米），米， 根据勾股定理可得，（米）， ∴（米）， 则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【变式4-2】（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风，旗杆从点C处折断，顶部B着地，且离旗杆底部A的距离为． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)在折断点C的下方的点P处，有一明显裂痕，如果本次大风将旗杆从点P处吹断，那么行人在距离旗杆底部处是否有被砸到的风险？ 【答案】(1)旗杆在距离地面处折断 (2)行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险 【详解】（1）解：设的长度为，则的长度为， 由勾股定理，可得， 解得． 答：旗杆在距离地面处折断． （2）解：， ， ， 由勾股定理，可得， ， 行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 答：行人在距离旗杆底部处有被砸到的风险． 【变式4-3】（25-26八年级下·重庆·期中）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口B在灯塔C的南偏西方向上， ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 题型5 图形折叠求值（中考高频） 【典例5】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 方法技巧 1.找等量：折叠前后对应边、对应角完全相等； 2.设未知数：设所求边长为x，剩余边长用含x代数式表示； 3.构直角：锁定直角三角形，列勾股方程解方程。 【变式5-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，则______． 【答案】3 【详解】解：设，则， ∵将折叠，使点C与点A重合， ∴， ∵， ∴， 解得：．即 【变式5-2】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． (1)证明：； (2)求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 【变式5-3】（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)或 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在中，， ∴． ②∵，． ∴， 由折叠的性质可知， 设，， 在中，， 即， 解得， 故，． （2）解：分两种情况： 当时，如下图： 在中，， 由折叠的性质可知， 设， 在中，． 当时，如下图： 则， 由折叠的性质可知， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 综上：的值为或． 题型6 最短路径 【典例6-1】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 【典例6-2】（25-26八年级下·北京·期中）如图，有一个圆柱体，一只蚂蚁从圆柱体下底面边缘处的点A出发，沿着圆柱体的侧面爬行到与点A相对的上底面边缘处的点B，圆柱体的底面周长是24厘米， 圆柱体的高是5厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A．13厘米 B．17厘米 C． 厘米 D．5厘米 【答案】A 【详解】解： 如图所示： 由于圆柱体的底面周长为 ， 则 （）． 又因为 ， 所以 （）． 故蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【典例6-3】（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 方法技巧 1.平面最短：两点之间线段最短，结合将军饮马轴对称作图，勾股求值 2.立体最短（圆柱、长方体）：展开立体图形为平面长方形，连线求斜边最小值 【变式6-1】（25-26八年级下·青海西宁·期中）如图，一只蚂蚁处在正方体的一个顶点处，它想爬到顶点处寻找食物，若这个正方体的边长为1，则这只蚂蚁所爬行的最短路程为______． 【答案】 【详解】解：如图， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级下·北京·期中）如图1，一圆柱的底面半径为是底面直径，高为，求一只蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点（点与点正对）的最短路线，小明设计了两条路线． 路线1：侧面展开图中的线段，如图2所示． 设路线1的长度为，则． 路线2：高线底面直径． 设路线2的长度为，则． 为比较的大小，采用“作差法”： 因为，所以，所以，所以小明认为路线2较短． (1)小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为，高为”．请你用上述方法帮小亮比较出与的大小． (2)请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为，高为．蚂蚁从点出发沿圆柱表面爬行到点，当满足什么条件时，路线2较短？请说明理由． 【答案】(1)路线1较短， (2)当时，路线2较短 【详解】（1）解：由题意，圆柱底面半径，高， 路线1：侧面展开图中，水平距离为半圆弧长，垂直距离为， ， 路线2：， ， ， 又， ， ， 路线1较短． （2）解：圆柱底面半径为，高为， 路线1：， 路线2：， ， ， ， ， 当路线2较短时，， 即， ， ， ， 又， ， ． 【变式6-3】（25-26八年级下·河南许昌·期中）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和很容易让人联想到利用勾股定理求直角三角形第三边的情形，可以用“”表示直角边分别是x、3的直角三角形的斜边的长，用“”表示直角边分别是、2的直角三角形的斜边的长，基于以上联想，我们构造两个这样的直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时,，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”     (1)根据：两点之间__________，得到：线段AD就是的最小值，如图3连接AD，延长至，使，连接，可证：四边形是矩形，__________，__________，在中，由勾股定理可求得的长，的最小值是__________． 【模型应用】 (2)代数式的最小值是__________． 【模型拓展】 (3)根据以上学习，结合备用图解决问题：已知正数满足，求的值． 【答案】(1)线段最短，5，12，13 (2) (3) 【详解】（1）解：根据：两点之间线段最短，得到：线段 就是 的最小值． 延长 至 ，使 ，连接 ． ，， 四边形 是平行四边形． , 四边形 是矩形． ，． 在 中，由勾股定理： ， ​ 的最小值是 ． （2）解：原式理解为：中，，；中，，； 如图，构造两个直角三角形，令两直角三角形的水平边 和 在同一直线上，平移使 、重合，则总水平长度为 ，竖直高， ． 延长到，构造矩形，竖直总高 ，水平总长 ， ， 的最小值是 ． （3）解：如图，令 ，，，则： ​，． ． 设 ，，则 ， 由勾股定理，得，两式相减： ，即 ， ， ， 解得：，． 代入 ： 题型7 勾股树面积 【典例7-1】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别是，则正方形E的边长为_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴正方形的边长为． 【典例7-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）解答： 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则： 1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三 (1)小明画出类型①锐角，，，则________； (2)小金画出了类型②直角，，，计算的值； (3)小山画出了类型③钝角，，，计算的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴, ∴； （2）解：由题意知，，由勾股定理得：， ，即； （3）解：过点作交的延长线于，在中，，， ， ， ，设，则， 由勾股定理得：， ，的周长为， ，在中，，，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ，， ，， 方法技巧 以直角三角形三边向外作正方形、半圆、等边三角形，直角边上图形面积之和=斜边上图形面积。 【变式7-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【详解】解：设直角三角形的三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得，即． “生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是； “生长”2次后，所有的正方形的面积和是， “生长”3次后，所有的正方形的面积和是， … “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是． 【变式7-2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图依次是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，以此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为______． 【答案】2027 【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为a和b，斜边长为c，则， 根据勾股定理可得：， ∴第一代勾股树中所有正方形的面积和为； 同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积和为； 第三代勾股树中所有正方形的面积和为； 第n代勾股树中所有正方形的面积和为； ∴第2026代勾股树中所有正方形的面积和为2027． 【变式7-3】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（ 如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)请叙述勾股定理； 勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；以下图形均满足证明勾股定理所需的条件 (2)如图、、，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； 如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为，，直角三角形面积为，请判断，，的关系并证明； (3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，已知，则当变化时，回答下列问题：结果可用含的式子表示 则：______； 【答案】(1)①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么，（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）；②证明见解析； (2)①3，②结论； (3) 【详解】（1）解：①如果直角三角形的两条直角边分别为，斜边为c，那么． （或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．） ②证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即， 化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简． （2）解：①根据题意，如下图所示： 在图4中，直角三角形的边长分别为a、b、c，则 由勾股定理，得， ∴； 在图5中，三个扇形的直径分别为a、b、c，则 ，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 在图6中，等边三角形的边长分别为a、b、c，则 ，，， ∵，， ∴， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； ②结论； ， ； （3）解：①如图9，正方形A、B、C、D、E、F、M中，对应的边长分别为a、b、c、d、e、f、m，则有 由（1）（2）中的结论可知，面积的关系为：， ∴，，， ∴ 故答案为： 题型1 长方体最短路径 【典例1】（25-26八年级下·四川自贡·期中）如图，一只蚂蚁要沿长为，宽为，高为的长方体表面从顶点爬到上表面的边上的点处，点离点的距离为，蚂蚁爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两点之间，线段最短， ∴蚂蚁沿着线段爬行时，路径最短， 把长方体的侧面展开，有三种情况： 如图①， ∵ ，， ∴； 如图②， ∵ ，， ∴； 如图③， ∵ ，， ∴； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是． 【变式1-1】（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【答案】 【详解】解：棱柱展开前面与右边如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 棱柱展开前面与上面如图所示， ∴， 棱柱展开左面与上面如图所示， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短路程是． 【变式1-2】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 【变式1-3】（24-25八年级下·山东德州·阶段检测）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 题型2 动点直角三角形存在性压轴 【典例2】（25-26八年级下·河北廊坊·阶段检测）嘉嘉在电脑上设计了一款“寻宝”游戏．在的某一边上有一处宝藏，已知，，． (1)如图1，探险者从点处出发，沿寻宝，探险者从点出发，沿寻宝，他们同时出发匀速运动，在点处首次相遇．设的速度为，则的速度可以表示为________（用含的代数式表示）； (2)探险者，在点相遇后，并没有寻到宝藏，然后他们又同时出发，探险者沿的路径寻宝，速度每秒提高了．探险者保持原速度不变，沿的路径寻宝．结果他们同时到达了边上的宝藏点处，如图2所示．此时藏宝点处距离处，则的值为________； (3)在（2）的条件下，探险者、在处首次相遇后，探险者发现一条与垂直的小路，如图3所示，他选择从点出发，沿的路径寻宝，速度降为自身速度的．判断能否与同时到达藏宝点处，并说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，从点到点的运动时间为， ∴的速度为； （2）解：根据题意，速度提高后，的速度为， ∵， ∴，， 由运动时间相等可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解； (3)探险者与不能同时到达藏宝点处，理由如下： 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴探险者所用时间为，探险者所用时间为， ∵， ∴探险者与不能同时到达藏宝点处． 【变式2-1】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，连接，若，，，求的面积； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，若，将沿折叠，得到，且与交于点，连接，，点在边上运动的过程中，当时，请求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图2中，过点B作交的延长线于点T， ∵， ， ∵， ， ， ， ∴， 平分， ， 又 ∴， ， ∵， ， ∵， ， ∴， ，， ∴； （3）解：如图， ∵，， 当时， ∴， ∵将沿折叠，得到， ∴，， ， ∴，， ∴是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， 设，则， 在中，， ∴，即， ∴， 如图，连接， ∵， ， ， ∴是等边三角形， ∴，， ， ∴， ∴． 【变式2-2】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； (2)若是以为腰的等腰三角形，求t的值； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)或 (3)当t为1或时，P、Q两点之间的距离为 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 如图所示， 过点作于点，， ∵点P到的距离与点P到的距离相等； ∴， ∴平分， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 设，则 ． 在中，， 即， 解得：， ∴. （2）解：当是以为腰的等腰三角形，则点在线段上， ①时，如图： ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：是以为腰的等腰三角形，t的值为或. （3）解：由题意，得：点按运动，共需要：； 点按运动，共需要：； ∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动， ∴、运动的总时间为：； ①在上，在上时： 由题意，得：， ∵ ， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ②当点在上、点在上时，即，如图， ∴，， ∴， 当时，最小值为， ∴，不合题意； ③当点、都在上，此时：，， 点在点的左侧时， ， 解得：； 点P在点Q的右侧时， ， 解得：； ∵， ∴不合题意，舍掉； 综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为． 【变式2-3】（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒． (1)证明：是直角三角形； (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值； (3)另有一动点，从点开始，按顺时针方向走一圈回到点，且速度为．若、两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，是直角三角形； （2）解：①若点在上，则，， ∴； ②若点在上，则，， （i）当时，； （ii）当时，作于， 则， ∴，， ∴，解得． 综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形． （3）解：∵的周长为cm，． ①当时，点在上，点在上， 则，，， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好运动到点； ②当时，点在上，点在上， 由①得，此时，不符合题意； ③当时，点、都在上，，，不符合题意； ④当时，点在上，点在上， 则，， ， ∴， 解得， 如图所示，此时点刚好回到点． 综上所述，当为4或12时，直线把的周长分成相等的两部分． 题型3 线段平方关系证明培优 【典例3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）问题提出 （1）如图1，在中，．若，，，则______． 问题探究 （2）如图2，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：． 问题解决 （3）如图3，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，求骑行小道的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）骑行小道的长为米 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：于点， 在中，，在中，， 在中，，在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ，， ， 点为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长为米． 【变式3-2】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）已知，如图①，在中，，O为斜边的中点，分别交于点D，交于点E，且，连接， (1)下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②的面积等于四边形的面积的2倍；③，其中正确的结论有 （填序号）； (2)求证：； (3)如图②题目中的条件改为，其余条件不变，则（2）中的结论还能成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴为等腰直角三角形，， ∵O为斜边的中点， ∴，即， 则均为等腰直角三角形， 则，， 在与中， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∴， 同理可证：， ∴①错，应该有3对全等的三角形； ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的面积等于四边形的面积的2倍， ∴②正确； ∵， ∴， ∴， 在等腰中，，由勾股定理得， ∴， ∴③正确， 故答案为：②③； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴； （3）解：成立，理由如下， 证明：延长至点，使得，连接， ∵点为中点， ∴ ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵中， ∴． 【变式3-3】（25-26八年级下·安徽淮南·期中）如图1，在和中，已知，，，分别交于点，． (1)如图2，作，连接，求证：； (2)改变的位置； ①如图2，在（1）的条件下，当点，在上（不与点，重合）时，求证：； ②如图3，当点在上，点在的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【详解】（1）证明：， ，． ，． 和均是等腰直角三角形． ，即． ． ，即． ． 在和中， ， （2）①证明：， ． 由（1）知和均是等腰直角三角形，， ． ． 在中，． ②解：成立．理由如下： 如图，同（1）作，连接，则，，． 和均是等腰直角三角形， ． ． ． ． 在和中， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，． 题型4 矩形折叠压轴固定模型 【典例4】（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【答案】(1) (2)6 (3)或3或 【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴的面积为， 故答案为：6； （3）解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或3或． 【变式4-1】（25-26八年级下·湖南郴州·期中）如图1，在长方形纸片中，，点是线段上的动点，连接是由沿翻折所得到的图形． (1)如图2，连接，当点落在上时，的长． (2)如图3，点是的中点，连接，当点落在上时，求的长． (3)如图4，点是的中点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴； （2）解：如图，连接，设， 由折叠的性质得：，，， ∴，， ∵点M是的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，由（2）可知：， 折叠可知， ∵， ∴当点三点共线时，最小， ∴的最小值为. 【变式4-2】（25-26八年级上·福建漳州·阶段检测）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 【变式4-3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形中，，，． (1)如图（1），为边上一点，将沿直线翻折至的位置（点落在点处）． ①如图（2），当点落在边上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕，画出，（不写做法，保留作图痕迹）并直接写出此时_______． ②在①的条件下，求的长． (2)已知为射线上的一个动点，将沿直线翻折，点落在直线上的点处，求的长． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，以的长为半径作圆，交于点，连接，作的角平分线，交于一点，该点即为，连接，，即为所求， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，． 故答案为：． ②设，则，， ∵，， ∴， 在中，，即． 解得，即． （2）解：①如图所示，当点在线段上时． 设，则， 根据图形折叠的性质可知，，， 在中，， 则， 在中，， 即， 解得，即； ②如图所示，当点在线段的延长线上时， 根据图形折叠的性质可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，或． 一、单选题 1．（2025·安徽·中考真题）如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则的长是（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】B 【详解】解：∵在中，，， ． 是中点， ∴设，则． ∵， 是直角三角形，且， ， ∵，则．在中，根据勾股定理， ∴， ， ， 解得（）． ， ． 故选：． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 二、填空题 4．（2025·广西·中考真题）如图，点在同侧，，则_________．    【答案】 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：．    5．（2026·四川南充·中考真题）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 【答案】 【详解】解：如图，将长方体的前面和右面展开， ∴； 如图，将长方体的前面和上面展开， ∴， 如图，将长方体的下面和右面展开， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 6．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 7．（2025·湖北武汉·中考真题）如图，在中，，点在边上，．若点在边上，满足，则的长是_________． 【答案】7或9 【详解】解：如图，过点A作，垂足为H，过点C作，垂足为G，则， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得，即， 解得或9， 即或9， 故答案为：7或9． 8．（2025·湖南·中考真题）已知，，，是的三条边长，记，其中为整数． （1）若三角形为等边三角形，则______； （2）下列结论正确的是______（写出所有正确的结论） ①若，，则为直角三角形 ②若，，，则 ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7 【答案】 2 ①② 【详解】解：（1）∵，，是的三条边长，且是等边三角形， ∴， ∴ ， 故答案为；2； （2）①当，时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形，故①正确； ②当，，时， ∵， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴t随b的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴，故②正确； ③当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故答案为：①②． 三、解答题 9．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】 对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】 对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ， ， ． 运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】 （3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边， ∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，， ∴， ∵，，且，正方形的面积为26， ∴， ∵四个直角三角形全等， ∴， ∴， ∵正方形的面积为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍负）， ∴， 故答案为：． 10．（2026·四川达州·中考真题）综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】(1)平方米 (2)甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 (3) 【详解】（1）解：∵，，， ∴米 ∵米，米， ∴ ∴ ∴是直角三角形，且 ∴平方米； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， ∴乙菜苗的单价为元， 答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 （3）甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株） 乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株） ∵ ∴ 一、单选题 1．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）的三条边是，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．，， 【答案】A 【详解】解：对于选项A：∵， ∴，，， ∴不能判断是直角三角形，故A符合题意； 对于选项B：∵ 又∵， ∴，即， ∴能判断是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：，符合勾股定理的逆定理， ∴能判断是直角三角形，故C不符合题意； 对于选项D：∵，， ∴，符合勾股定理的逆定理 ∴能判断是直角三角形，故D不符合题意． 2．（25-26八年级下·宁夏固原·期中）在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1，A，B，C三点均在正方形的顶点上，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 【答案】A 【详解】解：∵，，， ， ，故B，C选项的结论正确，不符合题意； ，故A选项的结论错误，符合题意； 设点到直线的距离是，则， ，故D选项的结论正确，不符合题意． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，在一个长方形草坪上，放着一个长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是________米， A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，将木块展开，则对角线即为所求最短路径， 由题意可知，（米），米，， 在中，（米）， 所以从点爬过木块到达处需要走的最短路程是17米． 二、填空题 5．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为______． 【答案】 【详解】解：是的中点， ， 是等腰直角三角形，且， ， 由翻折的性质可知， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ∴线段的长为5． 6．（25-26八年级下·北京·期中）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点（点位于点的左侧），则点所表示的数是________． 【答案】 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理：， 由题意，以点为圆心、为半径画弧交数轴于点， 因此， 已知且点在原点，则点在数轴上表示的数是2， 又点在点的左侧， 点到点的距离为， 所以点表示的数为：． 7．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：点在的中垂线上， ， ，，， 在中，由勾股定理得， 点在上， ． 8．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，是的边上的高，分别以线段，，，为边向外作正方形，正方形的面积分别为，，，．若，，则与之间满足的数量关系为______． 【答案】 【详解】由题意可知，，，，． 是的边上的高， 在和中，由勾股定理得，， 即，， 可得，， ，， ，即． 9．（2026·河南平顶山·三模）在中，，，点是边上一点，连接，点是边的中点，连接，若为直角三角形，则的长为_____． 【答案】或 【详解】解：由题意知，，当时，如图， ∵，， ∴为的中点， ∴， ∴在中，， ∵E是的中点， ∴； 当时，如图， 过点作于点，同理可得，， ∵E是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 综上所述，的长为或． 10．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，已知，点是的中点，交于点，连接．当是以为底的等腰三角形时，边的长为__________；当是以为底的等腰三角形时，边的长为___________． 【答案】 【详解】解：①∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴； ②当是以为底的等腰三角形时，过点作于， 设， ∵， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴. 三、解答题 11．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）国产人形机器人已从机械执行迈向了具备感知、决策能力的具身智能新时代．如图，两江新区某湿地公园的一角，江江同学和机器人正准备从点处同时出发前往处．江江打算沿的路线前往，机器人打算沿的路线前往，已知点在点的南偏西方向上，且米，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若江江的速度是2.5米/秒，机器人的速度是3米/秒，请通过计算说明，谁先到达处？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】(1)的长度为米 (2)机器人先到达处 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 由题意得，在中，，米， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米）， ∴米， 答：的长度为米； （2）解：在中，米，米， ∴（米）， 江江的路程：（米）； 机器人的路程：（米）； 江江所需时间：（秒）； 机器人所需时间：（秒）； ∵， ∴机器人先到达处． 答：机器人先到达处． 12．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【模型拓展】 (3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值． 【答案】(1)13 (2) (3) 【详解】（1）解：，，， 根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有， ∴， ∴的最小值是13， 故答案为13； （2）如图，由 ， ， ∴， ∴ 的最小值是； （3）解：构造于，如图所示： 设，则， ， ， ， ， ， ∴方程的解是． 13．（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）解答下列问题： (1)如图1，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，使，连接，试猜想与的大小关系，并说明理由； (2)如图2，在中，分别以为边向外作等腰和等腰，，连接，若，求的长； (3)如图3，在四边形中，连接，求的长． 【详解】(1)猜想：，理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵等腰和等腰中，， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵ ， ∴． ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图3，连接， ∵， ∴是等边三角形， 把绕点D顺时针旋转得到，连接， 则是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $