第12讲 实际问题与反比例函数（暑假预习培优讲义，4题型技巧4重难拓展+中考真题+提分培优）新九年级数学新教材人教版

第12讲 实际问题与反比例函数（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 实际问题建模万能六步法（必考通用流程） 2 知识点02 五大核心反比例基础模型（课本核心+考试高频） 2 剖题型·讲技巧 题型1 基础建模求值题（预习核心、基础送分题） 3 题型2 图象信息应用题（中档高频考题） 6 题型3 方案决策与最值问题（培优中档题） 9 题型4 表格数据型反比例判断题（期末常考） 13 释疑惑·重难拓展 题型1 反比例函数与一次函数综合压轴 16 题型2 分段函数与反比例结合（中考创新题型） 18 题型3 动态几何反比例模型 21 题型4 反比例函数与二次函数综合压轴（新考法） 23 知中考·真题探源 25 练好题·提分培优 30 课标要点 1.结合生活、工程、物理真实情境，识别变量间反比例关系，能根据等量关系建立反比例函数解析式 。 2.掌握待定系数法求实际问题中的反比例函数表达式，能结合实际限制确定自变量取值范围。 3.利用反比例函数图象、增减性解决求值、范围、方案决策类应用题，能解释结果的实际意义。 4.会结合几何面积、行程工程、物理公式构建反比例模型，发展数学建模思想。 知识点01 实际问题建模万能六步法（必考通用流程） 步骤1：审：精读题干，锁定题目中固定不变的总量，区分自变量、因变量，梳理核心等量公式； 步骤2：辨：判断变量关系，若两个变量的乘积为固定定值，则二者成反比例关系； 步骤3：设：设反比例函数解析式为 ； 步骤4：求：代入题目已知的一组变量对应值，通过待定系数法求出常数 ，写出完整函数解析式； 步骤5：定：结合实际场景限定自变量取值范围（长度、速度、时间、数量等均为正数）； 步骤6：解&验：代入数值计算求解，或利用函数增减性、图象分析范围，最终检验答案是否符合现实逻辑。 知识点02 五大核心反比例基础模型（课本核心+考试高频） 模型1：几何面积、体积模型 核心本质：几何总量固定，两个变量乘积为定值。 ① 矩形面积定值：长，宽 ，； ② 圆柱容积定值：底面积 ，深度 ，； ③ 三角形面积定值：。 模型2：行程问题模型 核心本质：路程固定，速度与时间成反比例。 公式：（ 为定值），变形得 ，路程不变，速度越大，行驶时间越短。 模型3：工程问题模型 核心本质：工作总量固定，工作效率与工作时间成反比例。 公式：（ 为定值），变形得 ，工作总量不变，效率越高，完工时间越短。 模型4：经济销售模型 核心本质：总消费金额固定，单价与购买数量成反比例。 公式：（ 为定值），变形得 ，总钱数不变，单价越高，可购买数量越少。 模型5：物理跨学科模型（培优重点） ① 压强：压力 定值，，压强与受力面积成反比； ② 电学：电压 定值，，电流与电阻成反比； ③ 杠杆平衡：动力×动力臂=阻力×阻力臂（定值）； ④ 做功：功 定值，，力与移动距离成反比。 题型1 基础建模求值题（预习核心、基础送分题） 方法技巧 紧抓“总量不变”核心，先写定值乘积公式，再整理为反比例标准式，最后代入求值、标注取值范围。 【典例1-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致． (1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式； (2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强． 【典例1-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）古希腊物理学家阿基米德曾提出：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话生动揭示了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”（如图所示）．壮壮欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．设动力为，动力臂长度为． (1)求动力与动力臂之间的函数表达式． (2)如果壮壮最多能使出的力，要撬动这块石头，他所用撬棍的动力臂长度至少需要多少米？ 【典例1-3】（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量为时，它的最快移动速度为． (1)求V关于m的函数解析式； (2)若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 【变式1-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 题型2 图象信息应用题（中档高频考题） 方法技巧 1. 图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于 ，可快速求解析式； 2. 实际问题图象仅在第一象限，函数随自变量增大而减小； 3. 竖直线对应自变量范围，水平线对应函数值范围，可结合图象直观解题； 4. 优先代数计算，图象仅用于验证和快速判断范围。 【典例2-1】（25-26九年级上·山西运城·期末）某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． (1)求与之间的关系式； (2)当瓶内藻类细胞总数量不少于亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 【典例2-2】（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【典例2-3】（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【变式2-1】（25-26九年级上·江西南昌·期末）细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．在生物学中，细胞的相对表面积（单位：）与细胞的半径R（单位：）成如图所示的反比例函数关系． (1)当细胞的相对表面积为时，求R的值． (2)当细胞的半径R大于时，直接写出细胞的相对表面积的取值范围． 【变式2-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【变式2-3】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 题型3 方案决策与最值问题（培优中档题） 方法技巧 1. 第一象限内反比例函数单调递减： 越大， 越小； 越小， 越大； 2. 两类核心设问：给定自变量上限，求函数值最小值；给定函数值上限，求自变量最小值； 3. 多方案对比题：计算临界值，结合实际约束筛选最优方案。 【典例3-1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【典例3-2】（25-26九年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： (1)观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； (2)若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； (3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 【变式3-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【变式3-3】（2025·河南驻马店·三模）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点的距离保持不变时，弹簧秤的示数是关于（弹簧秤与中点的距离）的反比例函数．已知当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 题型4 表格数据型反比例判断题（期末常考） 方法技巧 验证表格中每组 的乘积，若所有组乘积相等且为定值，则为反比例关系；乘积不等则不是，定值求出后即可确定函数解析式。 【典例4-1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）下表是小冀做物理实验时，记录下的电阻（单位：，）与电流（单位：）的几组对应值． 1 2 3 4 12 6 4 3 (1)求关于的函数解析式； (2)当电阻为时，电流为多少？ (3)若电流不超过，求电阻的取值范围． 【典例4-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的部分数据如表： 镜片焦距（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ (3)若配镜师需配制一副度数小于度的近视眼镜，请求出焦距的取值范围． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）班级足球队计划采购一批护腿板，保护队员以防受伤，假设每副护腿板的采购费用为元，本次采购的护腿板数量为副，总预算为定值元，与之间满足反比例函数关系，部分数据如表所示． /元 12 30 /副 50 30 20 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算___________元，与之间的函数表达式为___________； (2)求表中的值； (3)当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购多少副护腿板？ 【变式4-2】（2026·贵州遵义·一模）小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：）的几组数据． 像高y（单位：） 1.5 2 3 5 物距x（单位：） 8 6 4 2.4 (1)已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式； (2)当像高为时，物距是多少厘米？ (3)因为实验器材限制，物距（x）不能超过为，则像高（y）的范围是__________． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在并联电路中，电源电压为，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：（，），已知为定值电阻，当变化时，干路电流也会发生变化，且干路电流与之间满足如下关系：． (1)定值电阻的阻值为______Ω； (2)小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：如表列出与的几组对应值，请写出m，n的值： ______， ______； … 3 4 5 6 … … 2 1.5 1.2 1 … … 3 m 2.2 n … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①随的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是的图象向______平移______个单位而得到． 题型1 反比例函数与一次函数综合压轴 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 2．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 3．（2026·河南洛阳·三模）如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 4．（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 0 10 20 30 30 0 40 20 题型2 分段函数与反比例结合（中考创新题型） 5.（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（天） 1 2 3 4 ．．． 销量（个） 49 48 47 46 团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，． (1)直接写出关于的函数关系式； (2)求该团队第天获得的利润关于的函数关系式； (3)这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 6．（25-26九年级上·山东滨州·期末）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的？为什么？ 7．（25-26九年级上·河北衡水·期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温（单位：）与开机后用时（单位：）成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若饮水机在水温时接通电源完成一个自动程序，水温（单位：）与时间（单位：的关系如图所示． (1)__________，__________． (2)求出图中与之间的函数关系式． (3)嘉嘉同学想喝高于的水，则她最多需要等待的时间为__________． 8．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 题型3 动态几何反比例模型 9．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 10．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 11．（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 在矩形中，， 点P从点 C 出发， 沿折线运动， 当它到达点 A时停止运动．点E为射线上一动点， 点F为边上一动点，的长度为点 P 运动路程的一半且， 的面积为2，设点 P的运动路程为，的面积记为， BE的长记为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式， 并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中，画出， 的图象， 并写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出不等式成立时x的取值范围 12．（2026年重庆西南大学附属中学九年级中考考前测试数学试卷）如图，在直角梯形中，，，，，，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．连接，，，设点的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 题型4 反比例函数与二次函数综合压轴（新考法） 13．（25-26九年级上·安徽六安·期末）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 14．（2025·山西朔州·三模）综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 15．（24-25九年级上·山西朔州·期末）综合与实践 建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，图2是其横截面的平面示意图，它是轴对称图形，是由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干条线段围成的，其中四边形与四边形均为矩形，点E，F在上，，，，，，以的中点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)如图2，求所在图象的函数解析式和点的坐标． (2)如图2，在点和点处固定一条安全绳，安全绳自然状态呈抛物线型，其解析式为，其顶点为，求与地面之间的距离． (3)如图3，在曲面实现自动化操作中，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂，用来雕刻所在曲面的花纹．请直接写出点在上的滑动过程中，的最大值． 1．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 5．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率_____． 7．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 8．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 9．（2026·河南·中考真题）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 1．（2026·河南平顶山·三模）某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（     ） A．气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B．浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C．当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D．使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 2．（2026·河南平顶山·三模）新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（    ） A．I随着m的增大而减小 B．电流I是可变电阻R的反比例函数 C．当物体质量为时，电流 D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量 3．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 4．（2026·广东佛山·三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 5．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 6．（2026·山东东营·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 7．（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 8．（2026·山西太原·二模）无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 9．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 10．（25-26九年级上·江西上饶·期末）某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本（元）与生产数量（个）之间近似满足反比例函数关系． (1)已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求关于的函数解析式； (2)若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？ 11．（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 12．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）综合与实践 如图，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即如图)，受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物为，的长度为． ①关于的函数解析式是___________； ②完成表格： … … … 8 2 … 则___________ ③在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请根据图象直接写出的取值范围为___________． 13．（2026·贵州遵义·一模）在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： (1)表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； (2)判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； (3)若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 14．（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 15．（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 实际问题与反比例函数（暑假预习培优讲义） 析知识·讲要点 知识点01 实际问题建模万能六步法（必考通用流程） 2 知识点02 五大核心反比例基础模型（课本核心+考试高频） 2 剖题型·讲技巧 题型1 基础建模求值题（预习核心、基础送分题） 3 题型2 图象信息应用题（中档高频考题） 7 题型3 方案决策与最值问题（培优中档题） 13 题型4 表格数据型反比例判断题（期末常考） 19 释疑惑·重难拓展 题型1 反比例函数与一次函数综合压轴 23 题型2 分段函数与反比例结合（中考创新题型） 29 题型3 动态几何反比例模型 34 题型4 反比例函数与二次函数综合压轴（新考法） 40 知中考·真题探源 45 练好题·提分培优 52 课标要点 1.结合生活、工程、物理真实情境，识别变量间反比例关系，能根据等量关系建立反比例函数解析式 。 2.掌握待定系数法求实际问题中的反比例函数表达式，能结合实际限制确定自变量取值范围。 3.利用反比例函数图象、增减性解决求值、范围、方案决策类应用题，能解释结果的实际意义。 4.会结合几何面积、行程工程、物理公式构建反比例模型，发展数学建模思想。 知识点01 实际问题建模万能六步法（必考通用流程） 步骤1：审：精读题干，锁定题目中固定不变的总量，区分自变量、因变量，梳理核心等量公式； 步骤2：辨：判断变量关系，若两个变量的乘积为固定定值，则二者成反比例关系； 步骤3：设：设反比例函数解析式为 ； 步骤4：求：代入题目已知的一组变量对应值，通过待定系数法求出常数 ，写出完整函数解析式； 步骤5：定：结合实际场景限定自变量取值范围（长度、速度、时间、数量等均为正数）； 步骤6：解&验：代入数值计算求解，或利用函数增减性、图象分析范围，最终检验答案是否符合现实逻辑。 知识点02 五大核心反比例基础模型（课本核心+考试高频） 模型1：几何面积、体积模型 核心本质：几何总量固定，两个变量乘积为定值。 ① 矩形面积定值：长，宽 ，； ② 圆柱容积定值：底面积 ，深度 ，； ③ 三角形面积定值：。 模型2：行程问题模型 核心本质：路程固定，速度与时间成反比例。 公式：（ 为定值），变形得 ，路程不变，速度越大，行驶时间越短。 模型3：工程问题模型 核心本质：工作总量固定，工作效率与工作时间成反比例。 公式：（ 为定值），变形得 ，工作总量不变，效率越高，完工时间越短。 模型4：经济销售模型 核心本质：总消费金额固定，单价与购买数量成反比例。 公式：（ 为定值），变形得 ，总钱数不变，单价越高，可购买数量越少。 模型5：物理跨学科模型（培优重点） ① 压强：压力 定值，，压强与受力面积成反比； ② 电学：电压 定值，，电流与电阻成反比； ③ 杠杆平衡：动力×动力臂=阻力×阻力臂（定值）； ④ 做功：功 定值，，力与移动距离成反比。 题型1 基础建模求值题（预习核心、基础送分题） 方法技巧 紧抓“总量不变”核心，先写定值乘积公式，再整理为反比例标准式，最后代入求值、标注取值范围。 【典例1-1】（25-26九年级上·福建漳州·期末）在古代河工治水时，需用木桩固定堤岸，压力不变的情况下，木桩承受的压强p（帕）是其受力面积S（平方米）的反比例函数．据《河工法式》记载，当受力面积为0.4平方米时，压强为625帕，其数关系与古算中的“反比例”规律一致． (1)按古算之法，求p与S之间的函数关系式； (2)若木桩受力面积为0.2平方米，求此时木桩承受的压强． 【详解】（1）解：设p与S之间的函数关系式为，   将，代入，得， 解得：， ∴p与S之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 即此时木桩承受的压强为1250帕． 【典例1-2】（25-26九年级上·河南许昌·期末）古希腊物理学家阿基米德曾提出：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话生动揭示了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力阻力臂动力动力臂”（如图所示）．壮壮欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂为．设动力为，动力臂长度为． (1)求动力与动力臂之间的函数表达式． (2)如果壮壮最多能使出的力，要撬动这块石头，他所用撬棍的动力臂长度至少需要多少米？ 【详解】（1）解：根据“杠杆原理”，得， ． 答：关于的函数解析式为． （2）解：当时，由得： ， 对于，当时，越小，越大， 壮壮最多能使出的力， ， 所以，壮壮用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度至少需要． 【典例1-3】（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量为时，它的最快移动速度为． (1)求V关于m的函数解析式； (2)若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 【详解】（1）解：总质量时，它的最快移动速度为， ， 与的解析式为； （2）解：当时，， 机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为． 【变式1-1】（25-26九年级上·陕西汉中·期末）陕西果园总面积多年保持全国第一，其水果产业以产量大、品种全、品质优著称．已知工人采摘完某个苹果园所需的时间y（单位：天）与采摘苹果的速度x（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当时，． (1)求y关于x的函数表达式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)当工人采摘苹果的速度为4吨/天时，求采摘完这个苹果园所需的时间为多少天？ 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由题意当时，，代入得： ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，代入得： ， 答：采摘完这个苹果园所需的时间为天． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，最快移动速度与载重后总质量是反比例函数关系．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度． (1)求与之间的函数关系式． (2)当其载重后总质量时，求它的最快移动速度． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设函数关系式为（）． 将，代入，得：， 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 答：当载重后总质量时，它的最快移动速度为． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东东莞·期末）图1为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图2为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流I与总电阻R成反比例，其中，已知，实验测得当时，． (1)求I关于R的函数表达式． (2)经测试，当电流在之间（包含临界值）时，台灯亮度才能满足正常的阅读需求．那么，为了保证正常阅读，求滑动变阻器接入电路的电阻的取值范围． 【详解】（1）解：设函数表达式为​， ∵，， ∴， ∵， ∴​， 解得：， ∴I关于R的函数表达式为； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴． 题型2 图象信息应用题（中档高频考题） 方法技巧 1. 图象上任意一点的横、纵坐标乘积等于 ，可快速求解析式； 2. 实际问题图象仅在第一象限，函数随自变量增大而减小； 3. 竖直线对应自变量范围，水平线对应函数值范围，可结合图象直观解题； 4. 优先代数计算，图象仅用于验证和快速判断范围。 【典例2-1】（25-26九年级上·山西运城·期末）某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数．兴趣小组成员根据收集的实验数据绘制出如下图象． (1)求与之间的关系式； (2)当瓶内藻类细胞总数量不少于亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是多少升？ 【详解】（1）解：设与之间的关系式为， 将代入， 可得：， ， 与之间的关系式为； （2）解：当时， 可得：， ， 当时，随的增大而减小， 当时，，即的最大值为． 答：当瓶内藻类细胞总数量不小于亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积最多是升． 【典例2-2】（2026·贵州遵义·一模）为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 【典例2-3】（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 【变式2-1】（25-26九年级上·江西南昌·期末）细胞的相对表面积（）是指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理功能紧密相关．在生物学中，细胞的相对表面积（单位：）与细胞的半径R（单位：）成如图所示的反比例函数关系． (1)当细胞的相对表面积为时，求R的值． (2)当细胞的半径R大于时，直接写出细胞的相对表面积的取值范围． 【详解】（1）解：设，代入， 那么有， ∴， ∴， 那么当细胞的相对表面积为时，； （2）解：当时，， ∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∴当半径R大于时，细胞的相对表面积的取值范围为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·山西晋中·期末）在项目化学习活动上，同学们研究温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强是气缸内气体的体积的反比例函数，图象如图所示． (1)求出压强与体积的反比例函数表达式． (2)点的实际意义是______． (3)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【详解】（1）解：设压强与体积的函数表达式为， 将代入得：， ， ∴压强与体积的函数表达式为； （2）解：当气缸内气体的体积是时，加压后气体对气缸壁所产生的压强是； （3）解：当时，，解得． 当时，，解得． ， 答：气体体积压缩了． 【变式2-3】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 题型3 方案决策与最值问题（培优中档题） 方法技巧 1. 第一象限内反比例函数单调递减： 越大， 越小； 越小， 越大； 2. 两类核心设问：给定自变量上限，求函数值最小值；给定函数值上限，求自变量最小值； 3. 多方案对比题：计算临界值，结合实际约束筛选最优方案。 【典例3-1】（25-26九年级上·广东佛山·期末）某新能源车企在测试一款新型电池时发现：充满电的车辆在标准测试场以不同速度匀速行驶时，车辆可行驶的时间会发生变化．大量测试后得到下表（不完整）： … 40 50 60 … … 15 12 10 … (1)变量、之间的关系恰好满足某一函数模型．请先判断函数类型（说明理由）再求其表达式． (2)一辆充满电的车辆，先以的速度在测试场行驶了2小时，再以速度行驶，若要剩余电量能支持以该速度行驶的时间不少于4小时，则的最大值是多少？ 【详解】（1）解：， 变量、之间的关系满足反比例函数， ， 函数表达式为； （2）解：该车充满电可行驶的总路程为， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为120． 答：的最大值是120． 【典例3-2】（25-26九年级上·山西太原·期末）综合与实践 问题情境：物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动就发出了声音．大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究． 实验操作：将吸管不断剪短，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表： 吸管长度（） 200 150 120 100 80 60 50 … 振动频率（） 435 580 725 870 1087.5 1450 1740 … 数学思考：根据上述信息，解决下列问题： (1)观察振动频率随吸管长度变化的规律，可知是的__________函数（选填：“一次”或“反比例”），y与之间的函数关系式为__________； (2)若一根同型号吸管的长为40，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为_____； (3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过．若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？ 【详解】（1）解：由表格可知，，为定值， ∴是的反比例函数，； （2）解：由（1）知：， ∴当时，； 故答案为：2175 （3）解：当时，， ∵， ∴当时，随着的增大而减小， ∴吸管的长度最短应是． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东淄博·期末）数学以极度浓缩的语言写出了物理世界的基本结构，唯有数学才能以最终的、精确的和便于讲授的形式表达自然规律，唯有数学才能应用于错综复杂的物质运动过程之中．某班同学在进行数学和物理跨学科项目式学习时，深入探究了电子托盘秤的工作原理． 【阅读素材】 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示所称物体质量．电流（单位：）与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示，当放置物体质量为时，电流表显示为． 【问题解决】根据【阅读材料】中的素材1和素材2完成下列问题． (1)当放置物体质量为时，求此时可变电阻的值； (2)求电流关于可变电阻的函数表达式； (3)为保证电子托盘秤的电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子托盘秤所称物体质量的最大值． 【详解】（1）解：根据题意，设可变电阻与物体质量之间的关系式为， 将，代入中， 得，， 解得：， 可变电阻与物体质量x之间的关系式为， 将代入，中，得， 当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为； （2）解：电流与总电阻成反比例， 又， 设电流与电阻之间的关系式为：， 由（1）知，当放置物体质量为时，此时可变电阻的值为， 又当放置物体质量为时，电流表显示为， ， ， 电流与电阻之间的关系式为； （3）解：根据素材2图3中的图象易知，当时，随x的增大而减小， 当取得最小值时，x取得最大值， 由（2）知，电流I与电阻之间的关系式为， 当时，， 将代入中， 得，， 解得：， 当电流范围设定为时，该电子托盘秤称得物体最大质量为． 【变式3-2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】生活中的函数． 某地区特色茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价（元）与降雪量（毫米）之间的关系如下表： 降雪量（毫米） 销售单价（元） 日销售量（袋）与降雪量（毫米）之间的函数关系式为． 请你根据以上材料，回答以下问题： (1)已知与之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式． (2)仅看下雪天的情况，其中的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？ (3)在（2）的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋特色茶多少钱吗？ 【详解】（1）解：设， 将和代入，得，解得：， ∴； （2）解：设销售利润为， ∴由题意可得，， ∵， ∴当增大时，减少， ∴当时，取最大值，最大值为元， ∴当降雪量为1毫米时，销售利润最大，最大利润是元； （3）解：当降雪量为8毫米时，原售价为44元， ∵在进行“买三送一”活动时，小敏阿姨此时趁机入手20袋， ∴购买了15袋，赠送了5袋， 设此时店铺的一袋茉莉香茶为元， ∴由题意可得，，解得：， ∴此时店铺的一袋茉莉香茶为60元． 【变式3-3】（2025·河南驻马店·三模）“杆秤”是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，是利用杠杆原理来称物体质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、秤砣、秤纽、秤盘等组成．小华仿照古人制作了一杆简易“秤”．如图，取一根长的质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处并将其吊起来，在中点的左侧挂一个物体，在中点的右侧挂一个弹簧秤向下拉，使木杆保持水平．根据杠杆原理，若木杆保持水平，当物体与中点的距离保持不变时，弹簧秤的示数是关于（弹簧秤与中点的距离）的反比例函数．已知当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)移动弹簧秤的位置，若木杆仍处于水平状态，求弹簧秤的示数的最小值； (3)若弹簧秤的最大量程是，求的取值范围． 【详解】（1）解：由题意，设关于的函数表达式为， 将，代入，得， ∴， ∴关于的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，关于的函数表达式为， ∵，， ∴随的增大而减小． ∵当弹簧秤位于木杆最右端时，的值最大，最大值为50， ∴当时，的值最小，最小值为， ∴弹簧秤的示数的最小值为12； （3）解：将代入，得． 根据反比例函数的性质，当时，． 由题意可知，故的取值范围是． 题型4 表格数据型反比例判断题（期末常考） 方法技巧 验证表格中每组 的乘积，若所有组乘积相等且为定值，则为反比例关系；乘积不等则不是，定值求出后即可确定函数解析式。 【典例4-1】（25-26九年级上·河北张家口·期末）下表是小冀做物理实验时，记录下的电阻（单位：，）与电流（单位：）的几组对应值． 1 2 3 4 12 6 4 3 (1)求关于的函数解析式； (2)当电阻为时，电流为多少？ (3)若电流不超过，求电阻的取值范围． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入中，解得，即当电阻为时，电流为； （3）解：将代入中，解得． ， 当时，随的增大而减小， ∵， ，即电阻的取值范围为． 【典例4-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）当前中小学生的视力状况，备受关注．在做视力矫正时，验光师测得近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的部分数据如表： 镜片焦距（米） 近视眼镜的度数（度） (1)根据上表数据，猜想函数模型，并求关于的函数表达式． (2)嘉琪同学原先配的眼镜镜片的焦距为米，一段时间后又去眼镜店新配一副眼镜．验光师测得新镜片的焦距为米，问嘉琪同学的眼镜度数是上升还是下降了？上升或下降了多少度？ (3)若配镜师需配制一副度数小于度的近视眼镜，请求出焦距的取值范围． 【详解】（1）解：由表格可得，，，，， 猜想与成反比例函数关系，设，则， ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，， 当时，， ∴上升了（度）， 答：嘉琪同学的眼镜度数上升了，上升了度； （3）解：由，即，， 所以， ， 答：焦距的取值范围为米． 【变式4-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）班级足球队计划采购一批护腿板，保护队员以防受伤，假设每副护腿板的采购费用为元，本次采购的护腿板数量为副，总预算为定值元，与之间满足反比例函数关系，部分数据如表所示． /元 12 30 /副 50 30 20 请根据表中的信息解决下列问题： (1)本次采购的总预算___________元，与之间的函数表达式为___________； (2)求表中的值； (3)当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购多少副护腿板？ 【详解】（1）解：， ∴． 故答案为：600，． （2）解：把代入， 得， 解得：． （3）解：当时，． 答：当每副护腿板的采购费用为15元时，能采购40副护腿板． 【变式4-2】（2026·贵州遵义·一模）小红同学学习了小孔成像的科学原理后，在实验室做小孔成像实验，当像距（小孔到像的距离）和物体高度不变时，得到像高y（单位：）与物距（小孔到物体的距离）x（单位：）的几组数据． 像高y（单位：） 1.5 2 3 5 物距x（单位：） 8 6 4 2.4 (1)已知像高y与物距x之间是反比例函数关系，请求出该函数关系式； (2)当像高为时，物距是多少厘米？ (3)因为实验器材限制，物距（x）不能超过为，则像高（y）的范围是__________． 【详解】（1）解：∵像高y与物距x之间满足反比例函数关系， ∴设像高关于物距的函数关系式为， ∴， ∴像高关于物距的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， ∴物距是5厘米； （3）解：由于物距x不能超过，即， 根据反比例函数性质，当x增大时，y减小， 因此，当时，， ∴像高的范围为． 【变式4-3】（25-26九年级上·河南许昌·期末）在并联电路中，电源电压为，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：（，），已知为定值电阻，当变化时，干路电流也会发生变化，且干路电流与之间满足如下关系：． (1)定值电阻的阻值为______Ω； (2)小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：如表列出与的几组对应值，请写出m，n的值： ______， ______； … 3 4 5 6 … … 2 1.5 1.2 1 … … 3 m 2.2 n … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来； (3)观察图象并分析表格，回答下列问题： ①随的增大而______；（填“增大”或“减小”） ②函数的图象是的图象向______平移______个单位而得到． 【详解】（1）解：∵并联电路，， ∴，即， 故答案为：6； （2）①当时，，即， 当时，，即， 故答案为：2.5，2； ②如图所示： 先描出点,再顺次连接这些点即可画出所求函数图象， （3）解：①由题（2）②所求图象可知，随的增大而减小， 故答案为：减小； ②根据反比例函数平移规律可得：向上平移1个单位可得：， 故答案为：上，1． 题型1 反比例函数与一次函数综合压轴 1．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 2．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 3．（2026·河南洛阳·三模）如图是某饮水机通电开机后，水温与开机时间（分）之间的关系图象，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例，当水温降至时，饮水机又自动开始加热……，重复上述过程． (1)当时，求水温关于开机时间（分）的一次函数解析式． (2)求的值． (3)上午（水温），饮水机开机通电后到中午，水温共有几次达到? 【详解】（1）解：由图象可知，当时间时，；当时间时，， 当时，设， 将、分别代入， 得， 解得， 所以温度关于开机时间（分）的函数关系式为； （2）解：由图象知当时，在水温下降过程中，水温是关于开机时间（分）的反比例函数， 设， 把点代入，得 解得， ， 当时，， 解得， ∴； （3）解：结合图象，可知每分钟图象重复出现一次，到经历分钟， ， 共经历了个周期余分钟， 所以水温共有次达到． 4．（25-26九年级上·四川巴中·期末）综合与实践：社区花园的“智慧设计” 【背景材料】某社区有一块长为40米、宽为20米的矩形花园．社区计划对其进行改造，希望找到一种新的矩形花园的设计方案，使得新花园的周长是原花园的一半，同时面积也是原花园的一半．设新花园的长为米，宽为米．请你协助社区完成此项设计研究． (1)建立模型 根据题意，列出关于的函数关系式，并写出的取值范围： 关系式：①________；②________；的取值范围：________； (2)图象分析 ①请在如图所示的平面直角坐标系中，准确画出这两个函数的图象． ②根据所画的图象，说明是否存在满足条件的新矩形花园，如果存在，求出花园的长和宽；如果不存在，说明理由； (3)深入探究 ①对于长为、宽为（其中）的任意矩形，若存在一个新矩形，使其周长和面积均为原矩形的一半，则必须满足的条件是________； ②请利用①中的结论，为社区找一个存在这种“减半”矩形的原矩形例子（原矩形的长和宽均为正整数）． 【详解】（1）解：根据“新花园的周长是原花园的一半，”得：， 整理得，； 根据“新花园面积也是原花园的一半，”得：， 整理得，； ， 则的取值范围为； 故答案为：，，； （2）解：①根据题意列表如下： 0 10 20 30 30 0 40 20 结合表格数据画图如下： ②所画的图象无交点， 不存在满足条件的新矩形花园； （3）解：①设存在一个新矩形长为米，宽为米，使其周长和面积均为原矩形的一半， 由题意得：，整理得，； ，整理得，； 则，整理得， 则或， 或； 故答案为：或． ②由①题知，原矩形长为米，宽为米， 记其新矩形长为，宽为， 则 解得或， 当时，； 当时，； 长为米，宽为米的原矩形存在这种“减半”矩形（答案不唯一）． 题型2 分段函数与反比例结合（中考创新题型） 5.（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）手工制品在当今市场上越来越受欢迎．某大学生团队对成本为20元/个的某手工制品进行40天试营销，其销量（个）与销售的时间（天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间（天） 1 2 3 4 ．．． 销量（个） 49 48 47 46 团队制定的销售单价（元）与销售的时间（天）关系如下：当时，，当时，． (1)直接写出关于的函数关系式； (2)求该团队第天获得的利润关于的函数关系式； (3)这40天中该团队第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【详解】（1）解：设关于的函数关系式为， 将和代入得 ， 解得， 关于的函数关系式为； （2）解：当时，； 当时， ； 关于的函数关系式为； （3）解：当时， ， ， ∴当时，有最大值，且； 当时， ∵， 随着的增大而减小， 当时，有最大值，且； ， 这40天中第21天获得的利润最大，最大利润是725元． 6．（25-26九年级上·山东滨州·期末）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示，所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的，环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标，整改过程中，所排污水中硫化物的浓度随时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系． (1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x之间的函数表达式（要求标注自变量x的取值范围）； (2)该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内（含15天）不超过最高允许的？为什么？ 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时，设线段对应的函数表达式为， 把代入，得：，解得， ， ②当时，设， 把代入，得， ， 综上所述，； （2）能，理由如下： 在函数中，令，则， ， 该企业所排污水中硫化物的浓度能在15天以内（含15天）不超过最高允许的． 7．（25-26九年级上·河北衡水·期末）教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温每分钟上升，加热到停止加热，水温开始下降，此时水温（单位：）与开机后用时（单位：）成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序，若饮水机在水温时接通电源完成一个自动程序，水温（单位：）与时间（单位：的关系如图所示． (1)__________，__________． (2)求出图中与之间的函数关系式． (3)嘉嘉同学想喝高于的水，则她最多需要等待的时间为__________． 【详解】（1）解：， ， 将代入得 ， ， 当时，， 解得， ， 故答案为：15，20； （2）解：当时，设与之间的函数关系式为， 由题意可得 解得 ∴当时，与之间的函数关系式为， 当时，与之间的函数关系式为． 与之间的函数关系式为； （3）解：把，得， 把，得， ． ∵饮水机在水温时接通电源完成一个自动程序需要的时间为． ∴嘉嘉同学想喝高于的水，则她最多需要等待的时间为， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某草莓种植大棚基地研发种植一种巧克力奶油草莓的成本为每株4元，一共投入了160万元研发这种巧克力奶油草莓，在销售的过程中发现：每年的年销售量（万株）与销售价格（元/株）的关系如图所示，其中为一次函数图象的一部分，为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种巧克力奶油草莓的年利润为（万元）．（说明：若上一年亏损，则亏损计入下一年的成本，反之不计入） (1)请直接写出与之间的函数关系式． (2)求出第一年年利润的最大值． (3)根据基地巧克力奶油草莓第一年按恰好年利润取得最大值时进行销售，在第二年将这种巧克力奶油草莓每株销售价格定在8元以上，当第二年的年利润不低于103万元时，直接写出销售价格的取值范围． 【详解】（1）解：当时，反比例函数图象过点， 设反比例函数解析式为， 把点代入反比例函数解析式中，得：， 解得：， ∴当时，反比例函数解析式为：； 当时，线段过点，， 设线段的解析式为， 则，解得：， ∴当时，线段的解析式为， 综上，与之间的函数关系式为； （2）解：当时， ， 当时，取得最大值为； 当时，， 整理得：， 当时，取得最大值为； 而， 最大利润为万元， 即第一年年利润的最大值万元； （3）解：第一年的年利润为万元应作为第二年的成本， 又∵， ∴第二年的年利润， 令，则， 解得：， 由于二次函数的图象开口向下，如图， ∴当时，， ∴当时，第二年的年利润不低于103万元． 题型3 动态几何反比例模型 9．（24-25九年级上·重庆·阶段检测）在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，； ，； (2)描点画图如下： 由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 （3）解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当时， 10．（24-25九年级上·重庆渝北·期末）如图，中，，，．动点以每秒2个单位长度的速度从点出发向点运动，到达点后，又以每秒1个单位长度的速度返回点，点回到点时停止运动．连接，设点运动时间为秒，的面积为，的长度与的比为． (1)请直接写出，关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出当时，的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【详解】（1）解：由题意可得：，， 当时，，， ∵的面积为， ∴， 当时，则，， ∴， 综上：； ∵的长度与的比为． ∴； （2）解：如图，，的图象如下： ； 当，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而减小． （3）解：由图象可得：当时，图象在之间； ∴； 11．（2025·重庆永川·模拟预测）如图， 在矩形中，， 点P从点 C 出发， 沿折线运动， 当它到达点 A时停止运动．点E为射线上一动点， 点F为边上一动点，的长度为点 P 运动路程的一半且， 的面积为2，设点 P的运动路程为，的面积记为， BE的长记为 (1)请直接写出分别关于x的函数表达式， 并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的直角坐标系中，画出， 的图象， 并写出函数的一条性质； (3)根据图象直接写出不等式成立时x的取值范围 【详解】（1）解：由题意可得， ∵点P运动路程为x， ∴， 当点P在上时，即：， ， 当点P在上时，即：， ， ∵的面积为2， ∴， ∴；； （2）解：列表得 x … 1 2 3 4 5 … … 2 4 3 2 1 … … 8 4 2 1.6 … 描点，连线得， ； 性质1：当时，取到最大值4； 性质2：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； （3）解：由图象可得，在时，的图象在上方， ∴不等式成立时x的取值范围为：． 12．（2026年重庆西南大学附属中学九年级中考考前测试数学试卷）如图，在直角梯形中，，，，，，连接．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动．同时，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．连接，，，设点的运动时间为秒（），的面积为，的面积为，的面积为，． (1)请直接写出，关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图像，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图像，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【详解】（1）解：根据运动的特点有：，且， ∵在直角梯形中，，， ∴， ∴的面积为，的面积为， ∴（）， 当点P在线段上时，不含端点B，即， 根据运动特点有：， ∴的面积为； 当点P在线段上时，不含端点D，即， 根据运动特点有：， ∴， ∴， ∴的面积为； 综上：，（）； （2）对于， 当时，， 当时，， 当时，； 对于（）， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，； 根据上述的数据，描点画图即可，函数图象见答案 性质：函数的最大值为4； （3）不等式的解集为：函数图象中，的图象在的图象的上方时自变量的取值范围， 结合图象，的解集为：． 精确计算如下： 令， 即有：，或， 解得：（负值舍去），或者（，不符合区间范围舍去）， ∴． 题型4 反比例函数与二次函数综合压轴（新考法） 13．（25-26九年级上·安徽六安·期末）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 【详解】（1）解：设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 当时的函数解析式为，当时的函数解析式为； （2）解：能实现． 将代入得， 解得，（舍去）， 将代入得， 解得， ， 老师的教学设计能实现． 14．（2025·山西朔州·三模）综合与实践 问题情境 图1是我国自主研发的乒乓球发球机，该发球机采用物联网技术和人工智能算法，确保计算后的发球落点能准确到达目标点． 建立模型 如图2，球从发球机出口发出到第一次接触乒乓球台面（水平面）的运动轨迹可近似看成一条抛物线，其中（单位：）表示球距离发球机出口的水平距离，（单位：）表示球距离乒乓球台面的高度． 教练组在分析时发现抛物线表达式中的与球在竖直方向上的速度有关，始终不变，他们将测得的部分与的对应数据转化为有序数对，并绘制成如图3所示的图象． 问题解决 (1)①根据图3可知，是的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数． ②求关于的函数表达式． (2)在某次训练时，教练组统计了与的相关数据如下表： 0 2 4 6 8 4 ①结合表中数据，请直接写出抛物线的函数表达式． ②如果教练组要求发球机发出的球落在台面上的点距离发球机出口的水平距离为，那么球发出时在竖直方向上的速度应调节为多少？（结果精确到，参考数据：） 【详解】（1）解：①根据图3该函数的图像可知，是的反比例函数． 故答案为：反比例； ②设关于的函数表达式为 根据图象得，当时，， ∴ 解得 ∴关于的函数表达式为． （2）解：①根据表中数据得，该抛物线的对称轴为，即，且当时，， ∴， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为． ②由题可知，落点的坐标为，，， ∴， 将代入， 得， 解得， ∴，（舍去） ∴球发出时在竖直方向上的速度应调节为． 15．（24-25九年级上·山西朔州·期末）综合与实践 建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑更多的创意和流动性．图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，图2是其横截面的平面示意图，它是轴对称图形，是由两条曲线，（反比例函数图象的一部分）和若干条线段围成的，其中四边形与四边形均为矩形，点E，F在上，，，，，，以的中点为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)如图2，求所在图象的函数解析式和点的坐标． (2)如图2，在点和点处固定一条安全绳，安全绳自然状态呈抛物线型，其解析式为，其顶点为，求与地面之间的距离． (3)如图3，在曲面实现自动化操作中，工程师安装了支架，并加装了始终垂直于的伸缩机械臂，用来雕刻所在曲面的花纹．请直接写出点在上的滑动过程中，的最大值． 【详解】（1）解：四边形为矩形，， ， 由题知，轴平分， 轴平分， ， 到轴的距离为， 点E，F在上，， 到轴的距离为， ， 设所在图象的函数解析式为， ， 所在图象的函数解析式为， 四边形为矩形，， ， 横截面的平面示意图是轴对称图形， 的横坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：点的坐标为，， ， 顶点为，且， ， （）， 与地面之间的距离为． （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 曲线所在的反比例函数图象关于直线对称， 且联立，解得，即， 又联立，解得或，即， 的最大值为． 1．（2026·四川自贡·中考真题）科创小组在研究中发现：当压力一定时，压强p（单位：）与受力面积S（单位：）存在函数关系．下表是他们实验的几组数据： （单位：） 1 2 4 8 （单位：） 80 40 20 10 则压强（）与受力面积（）之间的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵根据表格数据计算得：，，，， ∴压力一定时，压强与受力面积成反比例关系，可设， ∴， ∴． 2．（2026·四川广元·中考真题）根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 3．（2026·内蒙古·中考真题）已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 4．（2026·四川成都·中考真题）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单位：）与车速v（单位：）之间的关系式是．当车速为时，他的视野为______． 【答案】50 【详解】解：由题意，将代入得：， 即他的视野为． 5．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 【答案】 【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ∵， ∴， ∵面向下放在地上，地面所受压强为， ∴面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率（单位：）为定值，行驶速度（单位：）与所受阻力（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率_____． 【答案】20 【详解】解：设功率为，由题可知，即， 将，代入解得， 故答案为：． 7．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； (2)与之间的函数图象，如图所示： (3)当的长增大时，拉力减小，理由： 由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 8．（2026·江苏扬州·中考真题）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试． 【数据收集】下表是测试所得的数据： 行车速度（） 视野角度（度） (1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点． 【数学表达】 (2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式． 【问题解决】 (3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？ 【答案】 (2) (3)车辆的行驶速度应控制在不超过，即 【详解】(1) （2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：； （3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得： ， 因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变： ， 解得， 结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即． 9．（2026·河南·中考真题）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． (1)求关于的函数表达式． (2)如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ (3)学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【详解】（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 1．（2026·河南平顶山·三模）某项目化学习小组设计了一款用于监测一氧化碳（）浓度的安全断路器，其电路图如图1所示．装置由控制电路（含电源、气敏电阻、定值电阻、电磁铁E等）和机械传动部分（含闸刀开关、轻质杠杆、铁块C等）组成，电磁铁E位于铁块C的正上方．当控制电路中的电流I超过设定值时，铁块C被电磁铁E吸起，杠杆偏转，带动细绳拉开闸刀开关，自动切断电路．已知电源电压U为，定值电阻的阻值为，．电磁铁E对铁块C的吸引力与通过控制电路中的电流I的关系如图2所示，气敏电阻的阻值与浓度的关系如图3所示，则下列说法不正确的是（     ） A．气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小 B．浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大 C．当电磁铁E对铁块C的吸引力为时，的浓度为 D．使用一段时间后，由于电源电压U减小，闸刀开关被拉开时一氧化碳实际的浓度会偏大 【答案】C 【详解】解：A、由图3，可知气敏电阻的阻值随浓度的增大而减小，A选项说法正确； B、由图3，可知浓度越大，阻值越小，由，可知阻值越小，I越大，由图2，可知随I的增大而增大，即浓度越大，电磁铁E对铁块C的吸引力越大，B选项说法正确； C、由图2，可知当时，，代入，即，解得．由图3，可知当时，浓度为，C选项说法错误； D、闸刀开关被拉开时，通过控制电路中的电流I不变，根据，可知当电源电压U减小，偏小，即偏小，由图3，可知此时浓度偏大，D选项说法正确． 2．（2026·河南平顶山·三模）新情境跨学科数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物的质量变化调节可变电阻R的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻R（单位：）与物体质量m（单位：）之间的关系如图2所示，电流I（单位：）与可变电阻R之间的关系式为，其图象如图3所示，则下列说法正确的是（    ） A．I随着m的增大而减小 B．电流I是可变电阻R的反比例函数 C．当物体质量为时，电流 D．若该款电子秤中的电路电流范围设定为，则该电子托盘秤不能称出物体的质量 【答案】D 【详解】解：由图2可知，R随m的增大而减小，由图3可知，I随R的增大而减小， 随着m的增大而增大，A选项错误； 由图3可知，I与R之间的函数图象与y轴有交点，故I不是R的反比例函数，B选项错误； 当时，由图2可知，； 当时，由图3可知，，C选项错误； 由题意，设， 将，代入，得 解得 ． 又， ． 随着m的增大而增大， 当时，m有最大值1.5． 而，故该电子托盘秤不能称出物体的质量，D选项正确． 3．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. 4．（2026·广东佛山·三模）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 5．（2026·内蒙古通辽·二模）如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（     ） A．每立方米空气中含药量从上升到需要 B．每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C．为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【答案】B 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， 此阶段函数解析式为； A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意； B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意； C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意； D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 6．（2026·山东东营·模拟预测）在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，与的函数关系式为 函数图象经过点， ∴将点代入得： 电源电压为． 7．（2026·山西运城·二模）山西是中国“面食之乡”，以“一面百样、一面百味”著称．其中，龙须面因面条细若须发、形似龙须而得名．某数学兴趣小组研究发现，当面团一定时，面条长度y（单位：m）是面条的平均横截面积x（单位：）的反比例函数．观察图象，当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为______． 【答案】 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ， 反比例函数的表达式为， 当时，， 解得：， 当该面团拉出的龙须面的面条长度为时，该龙须面的面条的平均横截面积约为． 8．（2026·山西太原·二模）无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 【答案】 【详解】∵牵引力和速度是反比例函数关系， ∴设， 将，代入解析式，得， ∴函数关系式为， 当时，代入得， ∵， 解得， ∴拖拉机速度的最大值为． 9．（2026·山西运城·三模）氦气球内的氦气密度小于空气密度（氦气比空气轻），因此氦气球很容易飞上天．某氦气球内充满了一定质量的氦气，当温度不发生变化时，在一定范围内，氦气球内的气体压强是气体体积的反比例函数，其函数图象如图所示．当气体体积是时，气体压强p为______． 【答案】60 【详解】解：设该函数的表达式为， 由题意知， ∴， 所以该函数的表达式为． 当时，． 10．（25-26九年级上·江西上饶·期末）某工厂生产的一种机器零件，其每个零件的生产成本（元）与生产数量（个）之间近似满足反比例函数关系． (1)已知生产100个零件时，每个零件的生产成本为50元，求关于的函数解析式； (2)若要将每个零件的生产成本控制在30元以内（不包含30元），那么至少需要生产多少个零件？ 【详解】（1）解：设关于的反比例函数解析式为， 当时，， 将其代入函数解析式可得， 关于的函数解析式为； （2）解：当时，代入可得， 解得， 时随的增大而减小，且要将生产成本控制在30元以内（不包含30元）， 需要大于， 又为零件的生产数量，应为正整数， 至少为167，故至少需要生产167个零件． 11．（2026·河南洛阳·三模）儿童游乐场有一个大游泳池，打开1个进水管，需要24小时才能把空游泳池注满水；打开2个进水管，需要12小时才能把空游泳池注满水．如图，设进水管为x（个），将游泳池注满水所需的时间为t（）． (1)求t与x之间的函数关系式； (2)要想2个小时把游泳池注满水，需要同时打开多少个进水管？ (3)已知一个进水管的注水速度为，则此游泳池的容积是多少？若要注入的水，需要同时打开6个进水管多长时间？ 【详解】（1）解：由图象知，t是x的反比例函数，当时，， 设， ， 解得：， ； （2）解：当时，， 解得． ∴需要同时打开12个进水管； （3）解：∵， ∴此游泳池的容积是． ． 答：此游泳池的容积是，注入的水需要同时打开6个进水管3.2小时． 12．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）综合与实践 如图，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境(杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即如图)，受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体A． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物所受拉力为____； (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物为，的长度为． ①关于的函数解析式是___________； ②完成表格： … … … 8 2 … 则___________ ③在直角坐标系中画出该函数的图象； (3)在（2）的条件下，若点的坐标为，点的坐标为，在（2）中所求函数的图象上存在点，使得，请根据图象直接写出的取值范围为___________． 【详解】（1）解：根据杠杆平衡条件，得， 解得； 故答案为：． （2）①解：根据杠杆平衡条件，得， 整理得； 故答案为：． ②解：当时，将其代入，得，即； 故答案为：4． ③解：函数是第一象限内的反比例函数图象，选取点、、、、，在给定的直角坐标系中依次描出这些点，再用平滑的曲线连接各点，即可得到该函数的图象： （3）解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵点在函数的图象上且， ∴的面积， 根据题意，即，解得， 又∵， ∴的取值范围为； 故答案为：． 13．（2026·贵州遵义·一模）在物理力学中，当物体对接触面的压力固定时，接触面受到的压强（记为p，单位：）与受力面积（记为S，单位：）满足固定公式：（其中F为固定压力，单位：N）．某实验小组对同一物体进行压力测试，得到以下实验数据（实验序号1表示第1次实验）： 实验序号 压强 受力面积S/ 1 200 0.3 2 300 0.2 3 400 0.15 4 500 0.12 5 600 0.11 请解答以下问题： (1)表中哪次实验数据明显是错误的？请说明理由； (2)判断p与S满足的函数关系______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”），并求出p关于S的函数表达式； (3)若实验中受力面积调整为，求此时接触面受到的压强． 【详解】（1）解：第5次实验数据明显是错误的，理由如下： 根据物理公式，压力F固定， ∴各组数据中p与S的乘积应为定值，分别计算各组的值： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 第4次：， 第5次：， 第5次实验数据的值为66，与前4次的固定值60不符， ∴第5次实验数据（，）明显是错误的； （2）解：p与S满足的函数关系：反比例函数； 由（1）可知，固定压力，根据公式，变形可得， ∴p关于S的函数表达式为； （3）解：当时，， ∴此时接触面受到的压强为． 14．（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 【详解】（1）解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． （2）解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． （3）解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 15．（2026·吉林松原·模拟预测）项目式学习·测量盒子质量 问题背景：日常生活中的各种称重仪器大多都可以测出一定范围内的物体质量，当物体质量太轻或太重时便无法直接测量出结果，在数学活动课上，老师让同学们测空牛奶盒的质量． 实验操作：如图，兴趣小组的同学利用所学知识，制作了一个简易天平，左侧托盘固定在点A处，且托盘上放置了一个的砝码，右侧托盘可以在段滑动，已知，，通过往牛奶盒里加入水或倒出水，并移动右侧托盘使天平保持平衡，得到下表中的实验数据． 实验数据： 实验序号 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 总质量m（牛奶+水） 120 60 50 40 150 的距离 12.5 25 30 37.5 10 问题解决    (1)任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而________，并依此猜想：l与m满足怎样的函数关系：________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）； (2)任务二：某同学给空牛奶盒里加入了的水，移动托盘使天平保持平衡，此时，求这个空牛奶盒的质量； (3)任务三：在任务二的情况下，天平达到平衡，此时将含水的牛奶盒与砝码的位置互换，要使天平仍保持平衡，则右边托盘应怎样移动． 【详解】（1）解：任务一：根据表中数据可知，的长度随着总质量m的增大而减小， ∵， ∴依此猜想：l与m满足：反比例函数； （2）解：设l关于m的函数解析式为， 则，将代入， 得：， 即l关于m的函数解析式为， 设空牛奶盒的质量为， 根据题意得：， 解得：， 答：这个空牛奶盒的质量为． （3）解：由任务二得，含水的牛奶盒总质量为， ∵将含水的牛奶盒与砝码的位置互换， ∴要使天平左边与右边平衡，可列式为：， 解得：， ∵， ∴要使天平仍保持平衡，右边托盘应向左边移动． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $