专题05分式（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材浙教版

专题05分式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 判断是否为分式 题型13 分式的化简求值 题型2 分式有（无）意义的条件 题型14 分式的混合运算（计算） 题型3 分式的值为零的条件 题型15 分式的实际应用 题型4 分式的值为正（负）时未知数的值 题型16 已知分式恒等式，确定分子分母 题型5 判断分式的变形是否正确 题型17 解分式方程 题型6 将分式分子分母各项系数化为整数 题型18 已知分式方程有（无）解求参数 题型7 最简分式的判定 题型19 已知分式方程解的正负求参数取值 题型8 已知等量关系求代数式的值 题型20 列分式方程 题型9 整体代入法求代数式的值 题型21 分式方程中行程问题 题型10 设“k”法求代数式的值 题型22 分式方程中工程问题 题型11利用分式的基本性质判断值的变化 题型23 分式方程中经济问题 题型12 找出最简公分母 题型24 分式方程中其他问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分式定义、有意义、值为 0 分清整式与分式；掌握分母≠0 才有意义，会求分式值为 0 的字母范围 选择基础小题，整章计算的前提 分式基本性质 会利用性质变形、约分、调整符号，注意分母整式不为 0 约分通分的依据，填空计算常考 约分、最简分式 分子分母因式分解后约去公因式，化成最简分式 分式乘除化简必用基础步骤 通分、最简公分母 会找最简公分母，把异分母分式化为同分母 分式加减法必备操作 分式乘除与乘方 熟记乘除、乘方运算法则，先分解因式再约分 高频计算题，常结合因式分解 分式加减混合运算 同分母直接加减，异分母先通分；混合运算按运算顺序计算 本章重点，解答大题必考 分式化简求值 先化简再代值，代入数字要保证原式有意义 期末固定解答题型 整数负指数幂 掌握零指数、负指数公式，会用科学记数法表示极小小数 常和分式化简综合出题 分式方程解法、增根 会去分母解分式方程，牢记检验；理解增根含义，能求参数值 重点解答题，增根是易错题 分式方程实际应用题 找准等量关系列方程，双重检验方程解与实际意义 期末压轴应用题，分值高 知识点01 分式的定义 概念：形如(A、B都是 ，且B中 字母，B≠0)的代数式叫做 。 公式示例：；不是分式，分母不含字母。 易错点： 1.混淆整式与分式，判断只能看原式分母，不能化简后判断；π是常数，分母含π不属于分式； 2.忽略分母不能为0的限制条件，忽略字母取值范围。 知识点02 分式有意义、无意义、值为 0 的条件 概念： 1.分式有意义：分母 ; 2.分式无意义：分母 ; 3.分式的值为0：分子A=0，同时分母B≠0。 公式示例：分式，x=-1时分式无意义；x=3时分式值为0。 易错点： 1.求分式值为0时，只令分子等于0,不排除使分母为0的解； 2.化简后代入数值，忽略原式分母的取值限制。 知识点03 分式的基本性质 概念：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个 0的整式，分式的值 。 公式示例： 变号法则：分子、分母、分式本身三处符号，任意两处同时变号，分式值不变，如 易错点： 1.使用性质时忘记M≠0; 2.只给分子、分母部分项乘除整式； 3.只改变一处符号，造成分式数值改变。 知识点04 约分与最简分式 概念：把分式分子、分母的公因式约去叫做 ；分子、分母 公因式的分式称为 。 运算步骤：分子、分母是多项式时先因式分解，再约去相同因式。 公式示例： 易错点： 1.多项式不分解直接约分，出现错约、漏约； 2.约分不彻底，结果不是最简分式； 3.对单独加减项直接约分。 知识点05 通分与最简公分母 概念：把几个异分母分式化为同分母分式叫做 ；取各分母所有因式最高次幂的积作为 。 运算步骤：分母为多项式先因式分解，再确定最简公分母。 公式示例：的最简公分母是 易错点： 1.多项式分母不分解，直接找公分母； 2.漏取字母最高次幂、系数最小公倍数； 3.通分时分子忘记同步乘对应因式。 知识点06 分式乘除、乘方运算 1.乘法： 2.除法： 3.乘方： 运算顺序：先算乘方，再算乘除，多项式先因式分解再约分计算。 公式示例： 易错点： 1.做除法时没有颠倒除式的分子分母直接相乘； 2.分式乘方漏加括号，只单独给分子或分母乘方； 3.不提前约分，计算量大易出错。 知识点07 分式加减运算 1. 分式加减：分母不变，分子相加减； 2. 分式加减：先通分转化为同分母分式，再计算； 混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内，最终结果化为最简分式。 公式示例： 易错点： 1.异分母分式不通分直接分子、分母分别相加减； 2.分子是多项式时，去括号忘记变号； 3.计算完成后不进行约分，结果不是最简形式。 知识点08 负整数指数幂 概念：(a≠0p为正整数),可结合科学记数法表示绝对值小于1的小数。 公式示例： 易错点： 1.忽略底数不能为0的条件； 2.负指数运算直接把负号写到数值前，混淆计算规则。 知识点09 分式化简求值 概念：先对分式化简，再代入字母数值计算；代入数值必须保证原分式有意义。 公式示例：化简得x,只能代入x≠2的数值计算。 易错点： 1.直接代值计算，不先化简，计算繁琐易出错； 2.代入使原式分母为0的数值。 知识点10 分式方程的定义与解法 概念： 中含有 的方程叫做分式方程； 解题步骤：去分母转化为整式方程→求解整式方程→检验根(代入最简公分母，公分母为0则是增根)。 增根含义：去分母后整式方程的解，但会让原分式分母等于0,不是原方程的解。 公式示例：解方程,解得,检验公分母是方程的解。 易错点： 1.去分母时不含分母的常数项漏乘最简公分母； 2.解完分式方程省略检验步骤； 3.根据增根求参数时，不会联立整式方程与分母为0的条件。 知识点11 分式方程实际应用 概念：根据行程、工程、销售价格等实际问题找等量关系，列出分式方程求解；求出方程的根后，既要检验是否为分式方程的有效根，还要检验数值符合实际生活意义。 易错点： 1.梳理不清等量关系，方程列错； 2.解题后只检验方程，忽略检验结果是否符合现实场景。 题型一 判断是否为分式 解｜题｜技｜巧 一、核心判断标准(三步法) 1.看形式：必须是分数线形式 要有分子、分母分开的分数线，A、B都得是整式(单项式、多项式)。 2.看分母：分母里必须含有字母 ①分母有字母→大概率是分式； ②分母只有数字、π(π是常数，不是字母)→一定不是分式，属于整式。 3.看原始式子，绝对不能化简后判断 例：化简后是x(整式)，但原式分母含字母，它仍是分式。 【典例1】（24-25七年级下·河南周口·期末）代数式： 中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级下·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 分式有（无）意义的条件 解｜题｜技｜巧 分式中，B是含字母的整式： 1.分式有意义：分母B≠0 2.分式无意义：分母B=0 【典例2】（24-25七年级下·河北邢台·开学考试）对于分式下列说法不正确的是（　　） A．时，分式值为0 B．3时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【变式1】（24-25七年级下·云南红河·期末）使代数式有意义的x的取值范围是______． 【变式2】（24-25七年级下·天津南开·期末）分式的值为0时，的值是_____． 题型三 分式的值为零的条件 解｜题｜技｜巧 一、核心双重条件(缺一不可) 对于分式,分式值为0必须同时满足两点： 1.分子A=0(整体值才可能是0) 2.分母B≠0(分式必须有意义，分母不能为0) 【典例3】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若分式的值为零，则______． 【变式1】（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）如果分式的值为零，那么x的值为_____． 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若分式的值为0，则x的值为______． 题型四 分式的值为正（负）时未知数的值 【典例4】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若分式的值为正，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【变式3】（24-25七年级下·重庆潼南·期末）若分式的值为正，则的取值范围是_____． 题型五 判断分式的变形是否正确 【典例5】（24-25七年级下·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六 将分式分子分母各项系数化为整数 【典例6】（24-25七年级下·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 题型七 最简分式的判定 解｜题｜技｜巧 标准判定四步走 1.因式全分解 分子、分母只要是多项式，先彻底因式分解(提公因式、平方差公式);单项式直接拆分数字、字母。 2.找出全部公因式 对比分子、分母，找相同的因式(常数、相同字母、相同多项式因式)。 3.判断有无公因式 ①存在相同因式→不是最简分式，需要约分； ②没有相同因式→是最简分式。 4.检查是否分解彻底 不能还有能继续分解的多项式，否则不算最简。 【典例7】（24-25七年级下·山西大同·期末）分式，，中，最简分式有（     ）个 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）下列分式为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 题型八 已知等量关系求代数式的值 【典例8】（24-25七年级下·山东青岛·期末）若，则的值为________． 【变式1】（2022九年级·湖南邵阳·竞赛）已知：，则的值为________． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 题型九 整体代入法求代数式的值 【典例9】（24-25七年级下·北京·期末）已知，求代数式的值． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期末）已知，求代数式的值． 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，求的值． 题型十 设“k”法求代数式的值 【典例10】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，则____________． 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知：，则_____． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）已知，则______． 题型十一 利用分式的基本性质判断值的变化 解｜题｜技｜巧 一、核心依据 分式基本性质： 分子、分母同时乘/除以同一个不为0的整式，分式大小不变；只改分子、只改分母、分子分母乘除不同数，分式值一定会改变。 二、通用解题步骤 1.设原分式为 2.根据题意写出变化后的新式子； 3.将新式子变形，提取公因数，和原式对比倍数； 4.得出分式值扩大/缩小几倍，或不变。 【典例11】（24-25七年级下·四川成都·期末）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 题型十二 找出最简公分母 解｜题｜技｜巧 一、核心定义 取各分母所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。分两类：分母为单项式、分母为多项式。 二、题型1:分母全是单项式(三步法) 1.系数：取所有系数的最小公倍数； 2.字母：找出所有出现过的字母； 3.指数：相同字母取最高次数；三者相乘就是最简公分母。 【典例12】（24-25七年级下·河北衡水·期末）三个分式的最简公分母是________． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）分式，，的最简公分母是______． 【变式2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）分式与的最简公分母是______． 题型十三 分式的化简求值 【典例13】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）先化简，，再从，，中选取一个适当的数代入求值． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）先化简，再求值，从，，2这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 题型十四 分式的混合运算（计算） 【典例14】（24-25七年级下·重庆大足·期末）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2025·北京·模拟预测），求代数式的值． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 题型十五 分式的实际应用 【典例15】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【变式1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半程平均行走速度是，后半程平均行走速度为；李明全程行走的平均速度为．如果，两人谁先到达乙地？ 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． (1)计算：； (2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 题型十六 已知分式恒等式，确定分子分母 【典例16】（24-25七年级下·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）若，则________． 【变式2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）若常数M，N满足，则_______． 题型十七 解分式方程 解｜题｜技｜巧 1.分解分母，找出最简公分母 2.两边同乘公分母，消去分母变整式方程(常数项也要乘) 3.解整式方程，算出未知数 4.检验：把解代入公分母 公分母≠0：是方程的解 公分母=0：增根，原方程无解 5.写结论 【典例17】（24-25七年级下·江苏·期末）解分式方程：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期末）解方程：； 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程： (1)． (2)． 题型十八 已知分式方程有（无）解求参数 【典例18】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 题型十九 已知分式方程解的正负求参数取值 【典例19】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 【变式2】（24-25七年级下·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 题型二十 列分式方程 【典例20】（24-25七年级下·河南开封·期末）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400公斤，总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．设传统水稻亩产量为公斤，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏无锡·二模）我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 题型二十一 分式方程中行程问题 【典例21】（2026·云南临沧·二模）在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 题型二十二 分式方程中工程问题 【典例22】（24-25七年级下·福建泉州·期末）为了助力乡村振兴，某村合作社计划将本地特色农产品运往市场销售，两支农户志愿小队负责对农产品进行分拣打包．已知甲队每小时分拣的箱数比乙队多4箱，甲队分拣100箱的时间与乙队分拣80箱的时间相等，求甲队每小时分拣的箱数． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长30千米，甲工程队每天比乙工程队多施工0.6千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的．求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）某社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． (2)若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 题型二十三 分式方程中经济问题 【典例23】（19-20七年级下·四川广安·期末）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进一批衬衫，上市后果然供不应求，服装商又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的倍，但单价贵了元．商家销售这种衬衫时每件定价都是元，最后剩下件按折销售，很快售完． (1)在这两笔生意中商家进货单价分别为多少元； (2)商家共盈利多少元？ 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】揭秘停车场充电桩的采购账单． 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 某停车场为加快充电基础设施建设，计划采购A、B两种型号的充电桩．市场调研发现：A型号充电桩的单价比B型号充电桩的单价少0.2万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． 素材2 根据停车场实际布局规划，需购买A、B两种型号的充电桩共20台，且A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的． [相关问题] 任务1 求A、B两种型号充电桩的单价（单位：万元）． 任务2 求该停车场购买这批A、B两种型号充电桩所需的总费用（单位：万元）． 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）小张、小李两人同时去同一家加油站加92号汽油，小张花280元所加的油量比小李花210元所加的油量多10升． (1)求92号汽油的单价； (2)小张、小李两人第二次去加92号汽油时，单价比第一次少了1元/升，小张所加的油量与第一次相同，小李所花的钱与第一次相同，则小张两次加92号汽油的平均单价是________元/升，小李两次加92号汽油的平均单价是________元/升； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同________（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用分式的相关知识说明理由；（提示：小张、小李两人同时去同一家加油站加两次92号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次m元/升，第二次n元/升，且．两人的加油方式也不同，其中小张每次总是加汽油h升，小李每次总是加汽油d元．） 题型二十四 分式方程中其他问题 【典例24】（24-25七年级下·山东烟台·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 (1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 【变式1】（24-25七年级下·江西·期末）如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时． (1)由大水管口径是小水管的倍可得，大水管的横截面是小水管的____________倍，设小水管的注水速度为，则大水管的注水速度是____________； (2)根据（1）中设的未知数，列出方程，求两根水管各自的注水速度（用含，的式子表示）． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·山西大同·期末）分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江佳木斯·二模）关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 5．（24-25七年级下·山西大同·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为 __________． 6．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知，则代数式的值等于______________． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 9．（24-25七年级下·贵州·期末）下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 (1)任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； (2)任务二：请写出正确的解答过程． 10．（24-25七年级下·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，，求a，b的“传承数”c； (2)若，，且，求a，b的“传承数”c． 11．（24-25七年级下·全国·期末）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（19-20七年级下·四川广安·期末）观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川泸州·期末）对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 5．（24-25七年级下·全国·期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 期末综合拓展练（测试时间：2分钟） 1．（2026·四川泸州·中考真题）若方程的解是关于的方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·四川雅安·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川南充·中考真题）若，则x的值为_______． 4．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）先化简，再从，，中选取一个合适的数代入求值． 6．（2026·四川遂宁·中考真题）安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀粉”的袋数相等． (1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ (2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元．请问该游客有哪几种购买方案？ 7．（2026·四川达州·中考真题）化简：． 1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05分式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型1 判断是否为分式 题型13 分式的化简求值 题型2 分式有（无）意义的条件 题型14 分式的混合运算（计算） 题型3 分式的值为零的条件 题型15 分式的实际应用 题型4 分式的值为正（负）时未知数的值 题型16 已知分式恒等式，确定分子分母 题型5 判断分式的变形是否正确 题型17 解分式方程 题型6 将分式分子分母各项系数化为整数 题型18 已知分式方程有（无）解求参数 题型7 最简分式的判定 题型19 已知分式方程解的正负求参数取值 题型8 已知等量关系求代数式的值 题型20 列分式方程 题型9 整体代入法求代数式的值 题型21 分式方程中行程问题 题型10 设“k”法求代数式的值 题型22 分式方程中工程问题 题型11利用分式的基本性质判断值的变化 题型23 分式方程中经济问题 题型12 找出最简公分母 题型24 分式方程中其他问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 分式定义、有意义、值为 0 分清整式与分式；掌握分母≠0 才有意义，会求分式值为 0 的字母范围 选择基础小题，整章计算的前提 分式基本性质 会利用性质变形、约分、调整符号，注意分母整式不为 0 约分通分的依据，填空计算常考 约分、最简分式 分子分母因式分解后约去公因式，化成最简分式 分式乘除化简必用基础步骤 通分、最简公分母 会找最简公分母，把异分母分式化为同分母 分式加减法必备操作 分式乘除与乘方 熟记乘除、乘方运算法则，先分解因式再约分 高频计算题，常结合因式分解 分式加减混合运算 同分母直接加减，异分母先通分；混合运算按运算顺序计算 本章重点，解答大题必考 分式化简求值 先化简再代值，代入数字要保证原式有意义 期末固定解答题型 整数负指数幂 掌握零指数、负指数公式，会用科学记数法表示极小小数 常和分式化简综合出题 分式方程解法、增根 会去分母解分式方程，牢记检验；理解增根含义，能求参数值 重点解答题，增根是易错题 分式方程实际应用题 找准等量关系列方程，双重检验方程解与实际意义 期末压轴应用题，分值高 知识点01 分式的定义 概念：形如(A、B都是整式，且B中含有字母，B≠0)的代数式叫做分式。 公式示例：；不是分式，分母不含字母。 易错点： 1.混淆整式与分式，判断只能看原式分母，不能化简后判断；π是常数，分母含π不属于分式； 2.忽略分母不能为0的限制条件，忽略字母取值范围。 知识点02 分式有意义、无意义、值为 0 的条件 概念： 1.分式有意义：分母B≠0; 2.分式无意义：分母B=0; 3.分式的值为0：分子A=0，同时分母B≠0。 公式示例：分式，x=-1时分式无意义；x=3时分式值为0。 易错点： 1.求分式值为0时，只令分子等于0,不排除使分母为0的解； 2.化简后代入数值，忽略原式分母的取值限制。 知识点03 分式的基本性质 概念：分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 公式示例： 变号法则：分子、分母、分式本身三处符号，任意两处同时变号，分式值不变，如 易错点： 1.使用性质时忘记M≠0; 2.只给分子、分母部分项乘除整式； 3.只改变一处符号，造成分式数值改变。 知识点04 约分与最简分式 概念：把分式分子、分母的公因式约去叫做约分；分子、分母没有公因式的分式称为最简分式。 运算步骤：分子、分母是多项式时先因式分解，再约去相同因式。 公式示例： 易错点： 1.多项式不分解直接约分，出现错约、漏约； 2.约分不彻底，结果不是最简分式； 3.对单独加减项直接约分。 知识点05 通分与最简公分母 概念：把几个异分母分式化为同分母分式叫做通分；取各分母所有因式最高次幂的积作为最简公分母。 运算步骤：分母为多项式先因式分解，再确定最简公分母。 公式示例：的最简公分母是 易错点： 1.多项式分母不分解，直接找公分母； 2.漏取字母最高次幂、系数最小公倍数； 3.通分时分子忘记同步乘对应因式。 知识点06 分式乘除、乘方运算 1.乘法： 2.除法： 3.乘方： 运算顺序：先算乘方，再算乘除，多项式先因式分解再约分计算。 公式示例： 易错点： 1.做除法时没有颠倒除式的分子分母直接相乘； 2.分式乘方漏加括号，只单独给分子或分母乘方； 3.不提前约分，计算量大易出错。 知识点07 分式加减运算 1.同分母分式加减：分母不变，分子相加减； 2.异分母分式加减：先通分转化为同分母分式，再计算； 混合运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内，最终结果化为最简分式。 公式示例： 易错点： 1.异分母分式不通分直接分子、分母分别相加减； 2.分子是多项式时，去括号忘记变号； 3.计算完成后不进行约分，结果不是最简形式。 知识点08 负整数指数幂 概念：(a≠0p为正整数),可结合科学记数法表示绝对值小于1的小数。 公式示例： 易错点： 1.忽略底数不能为0的条件； 2.负指数运算直接把负号写到数值前，混淆计算规则。 知识点09 分式化简求值 概念：先对分式化简，再代入字母数值计算；代入数值必须保证原分式有意义。 公式示例：化简得x,只能代入x≠2的数值计算。 易错点： 1.直接代值计算，不先化简，计算繁琐易出错； 2.代入使原式分母为0的数值。 知识点10 分式方程的定义与解法 概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程； 解题步骤：去分母转化为整式方程→求解整式方程→检验根(代入最简公分母，公分母为0则是增根)。 增根含义：去分母后整式方程的解，但会让原分式分母等于0,不是原方程的解。 公式示例：解方程,解得,检验公分母是方程的解。 易错点： 1.去分母时不含分母的常数项漏乘最简公分母； 2.解完分式方程省略检验步骤； 3.根据增根求参数时，不会联立整式方程与分母为0的条件。 知识点11 分式方程实际应用 概念：根据行程、工程、销售价格等实际问题找等量关系，列出分式方程求解；求出方程的根后，既要检验是否为分式方程的有效根，还要检验数值符合实际生活意义。 易错点： 1.梳理不清等量关系，方程列错； 2.解题后只检验方程，忽略检验结果是否符合现实场景。 题型一 判断是否为分式 解｜题｜技｜巧 一、核心判断标准(三步法) 1.看形式：必须是分数线形式 要有分子、分母分开的分数线，A、B都得是整式(单项式、多项式)。 2.看分母：分母里必须含有字母 ①分母有字母→大概率是分式； ②分母只有数字、π(π是常数，不是字母)→一定不是分式，属于整式。 3.看原始式子，绝对不能化简后判断 例：化简后是x(整式)，但原式分母含字母，它仍是分式。 【典例1】（24-25七年级下·河南周口·期末）代数式： 中，属于分式的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据分式定义逐个判断即可，注意是常数，不是字母． 【详解】解：∵ 的分母含有字母，∴ 是分式； ∵ 是单项式，属于整式，不是分式； ∵ 的分母是常数，属于整式，不是分式； ∵ 中是常数，不是字母，分母为常数，属于整式，不是分式； ∴所给代数式中，分式共有个． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； 综上，分式共有个． 【变式2】（24-25七年级下·广西河池·期末）下列式子是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．注意π不是字母，是常数，所以分母中含π的代数式不是分式，是整式． 【详解】解：A．的分母π是常数，不是字母，属整式；     B．分母含字母，属分式；     C．是多项式，属整式；     D． 的分母2是常数，不是字母，属整式． 【变式3】（24-25七年级下·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 题型二 分式有（无）意义的条件 解｜题｜技｜巧 分式中，B是含字母的整式： 1.分式有意义：分母B≠0 2.分式无意义：分母B=0 【典例2】（24-25七年级下·河北邢台·开学考试）对于分式下列说法不正确的是（　　） A．时，分式值为0 B．3时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】根据分式的分子与分母的不同取值，进行判断即可． 【详解】A、时，分式，A正确，但不符合题意； B、时，分式的分母为0，故分式无意义，B正确，但不符合题意； C、时，，则分式，分式值为正数，C不正确，但符合题意； D、时，，且，于是， D正确，但不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值为0、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为0时无意义． 【变式1】（24-25七年级下·云南红河·期末）使代数式有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：根据分式有意义的条件，分母不为零，可得， 解得：． 【变式2】（24-25七年级下·天津南开·期末）分式的值为0时，的值是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，进行求解即可． 【详解】解：令分子， 解得或， 又分母，即， 所以， 故答案为：． 题型三 分式的值为零的条件 解｜题｜技｜巧 一、核心双重条件(缺一不可) 对于分式,分式值为0必须同时满足两点： 1.分子A=0(整体值才可能是0) 2.分母B≠0(分式必须有意义，分母不能为0) 【典例3】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为_________． x的值 1 分式的值 不存在 0 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算． 【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得． 当时，分式的值为0，则分子，即，解得． 所以． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）如果分式的值为零，那么x的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零． 根据分式值为零的条件判断即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得或， 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，分式有意义且分式值为零． 故答案为：3． 题型四 分式的值为正（负）时未知数的值 【典例4】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）若分式的值为正数，则x的取值范围是（    ） A．x>-2 B．x<1 C．x>-2且x≠1 D．x>1 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0和两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除即可得出答案． 【详解】解：原式=， 当x≠1时，（x-1）2＞0， 当x+2＞0时，分式的值为正数， ∴x＞-2且x≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值，掌握两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除是解题的关键． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）分式的值为正数的条件是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的值，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 本题需根据分式值为正数的符号法则，结合分母不为0的限制条件求解； 【详解】解：∵分式的值为正数， 又∵（分母不能为0，故）， ∴分子 解不等式： 两边同时除以，不等号方向改变，得 综上，且； 故选：B； 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若分式的值为正，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】C 【分析】根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式． 【详解】解：∵，且，分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：C． 【点睛】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 【变式3】（24-25七年级下·重庆潼南·期末）若分式的值为正，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为正数或负数时字母的取值范围，解不等式；由题意得，解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为正，且， ∴， ∴． 故答案为 ． 题型五 判断分式的变形是否正确 【典例5】（24-25七年级下·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质与平方差公式的应用．依据分式基本性质（分子分母同乘或除以不为0的整式，分式的值不变）及平方差公式对各选项逐一判断． 【详解】解：∵分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变， A选项：的分子、分母是加1，并非同乘除不为0的整式，无法约分为，例如取，时，，，故A错误，该选项不符合题意； B选项：∵， ∴，变形符合分式基本性质，故B正确，该选项符合题意； C选项：仅当或，时等于，一般情况不成立，例如取，时，，故C错误，该选项不符合题意； D选项：∵（平方差公式），且分式有意义时 ∴，故D错误，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）下列分式从左到右变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式的值不变，逐项判断变形是否正确即可． 【详解】解：A、，原式变形错误，不符合题意； B、，原式变形正确，符合题意； C、只有当时，成立，原式变形错误，不符合题意； D、，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·期末）下列变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，需依据“分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变”这一性质，逐一分析各选项的变形是否正确，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：∵分式的基本性质为：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变， ∴、将的分子分母同乘，得，与不相等，故该选项变形错误，不符合题意； 、，又，故该选项变形正确，符合题意； 、化简得（），与选项中的结果符号相反，故该选项变形错误，不符合题意； 、当时，无意义，不满足分式基本性质中“乘不为的整式”的要求，故该选项变形错误，不符合题意； 故选：． 题型六 将分式分子分母各项系数化为整数 【典例6】（24-25七年级下·青海海东·期末）不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式1】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 题型七 最简分式的判定 解｜题｜技｜巧 标准判定四步走 1.因式全分解 分子、分母只要是多项式，先彻底因式分解(提公因式、平方差公式);单项式直接拆分数字、字母。 2.找出全部公因式 对比分子、分母，找相同的因式(常数、相同字母、相同多项式因式)。 3.判断有无公因式 ①存在相同因式→不是最简分式，需要约分； ②没有相同因式→是最简分式。 4.检查是否分解彻底 不能还有能继续分解的多项式，否则不算最简。 【典例7】（24-25七年级下·山西大同·期末）分式，，中，最简分式有（     ）个 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】逐个判断每个分式的分子分母是否存在公因式，统计最简分式的个数即可． 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式，逐个判断如下： 对于，分子与分母没有公因式，因此是最简分式． 对于，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 对于，对分母因式分解得，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 综上，最简分式共个． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）下列分式为最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分子和分母不含除1以外的公因式的分式叫做最简分式，判断各选项能否约分即可得到结果． 【详解】解：A、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； B、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； C、分子与分母没有除1以外的公因式，不能约分，是最简分式； D、，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式． 【变式2】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）下列各式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】各选项分子分母因式分解，判断分子分母是否存在公因式，没有公因式的分式即为最简分式． 【详解】解：A、=，分子为，分子分母有公因式，所以A不是最简分式，不符合题意； B、=，分子为，分子分母有公因式，所以B不是最简分式，不符合题意； C、无法分解因式，与分母没有公因式，所以C是最简分式，符合题意； D、分子和分母有公因式，可约分为，所以D不是最简分式，不符合题意． 题型八 已知等量关系求代数式的值 【典例8】（24-25七年级下·山东青岛·期末）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1】（2022九年级·湖南邵阳·竞赛）已知：，则的值为________． 【答案】23 【分析】本题利用完全平方公式变形，将已知等式两边平方，即可求出所求代数式的值． 【详解】解：将已知等式两边同时平方，根据完全平方公式得 整理得 移项计算得 ． 【变式2】（24-25七年级下·江苏南通·期末）已知，则分式的值为______． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到a与b的数量关系，再通过代入消元将分式转化为只含单一字母的式子，最后依据分式的基本性质约分求值． 【详解】解：∵ ∴，且（若，则，与矛盾） 将代入，得 故答案为：． 题型九 整体代入法求代数式的值 【典例9】（24-25七年级下·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得，再把所求式子的分子和分母都分解因式，再约分，最后利用整体法求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， ． 【变式1】（24-25七年级下·北京·期末）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的求值，先约分得到结果为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 【变式2】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由可得，再整体代入计算即可 【详解】解：∵， ∴，即， 原式 题型十 设“k”法求代数式的值 【典例10】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，则____________． 【答案】 【分析】此题考查了分式的化简求值，以及比例的性质，熟练掌握比例性质是解本题的关键． 设比例常数为 ，用 表示 ，，，代入所求表达式计算. 【详解】由 ，设 ，则 ，，. 代入 ，得 . 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）已知：，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值；根据已知设,代入所给代数式即可求解． 【详解】解：∵， ∴设, ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·上海·期末）已知，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的求值，求出、的值，进行解题．设，可得、与m的关系，解可得m、x、y的值，代入分式计算可得答案． 【详解】解：设，则，，； 则， 解得， 进而可得，， 代入分式可得， 故答案为：． 题型十一 利用分式的基本性质判断值的变化 解｜题｜技｜巧 一、核心依据 分式基本性质： 分子、分母同时乘/除以同一个不为0的整式，分式大小不变；只改分子、只改分母、分子分母乘除不同数，分式值一定会改变。 二、通用解题步骤 1.设原分式为 2.根据题意写出变化后的新式子； 3.将新式子变形，提取公因数，和原式对比倍数； 4.得出分式值扩大/缩小几倍，或不变。 【典例11】（24-25七年级下·四川成都·期末）若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（    ） A．不变 B．变为原来的2倍 C．变为原来的 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质．将和都变为原来的一半代入分式，计算新分式的值并与原分式比较. 【详解】解：， 即分式的值变为原来的2倍 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·河南周口·期末）如果把分式中的a，b都缩小到原来的，那么分式的值（   ） A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大2倍 D．缩小到原来的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质．依题意，分别用和去代换原分式中的a和b，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：如果把分式中的a和b都缩小到原来的， 则变化后的分式为， 即分式的值缩小为原来的， 故选：A． 题型十二 找出最简公分母 解｜题｜技｜巧 一、核心定义 取各分母所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。分两类：分母为单项式、分母为多项式。 二、题型1:分母全是单项式(三步法) 1.系数：取所有系数的最小公倍数； 2.字母：找出所有出现过的字母； 3.指数：相同字母取最高次数；三者相乘就是最简公分母。 【典例12】（24-25七年级下·河北衡水·期末）三个分式的最简公分母是________． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为， 第二个分式的分母为， 第三个分式的分母为． ∴这三个分式的最简公分母为． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·山东青岛·期末）分式，，的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题考查最简公分母的求法，需将各分母因式分解后取所有因式的最高次幂的积，熟练掌握最简公分母的求法是解此题的关键． 【详解】解：分式中，分母为， 分式，分母为， 分式，分母为， ∴分式，，的最简公分母是， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·河南商丘·期末）分式与的最简公分母是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的最简公分母的确定方法，熟练掌握因式分解及最简公分母的定义是解题的关键．先对两个分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义，确定各分母所有因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：∵，， ∴最简公分母为． 故答案为：． 题型十三 分式的化简求值 【典例13】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： 当时，原式． 【变式1】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）先化简，，再从，，中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件，即分母不为0，确定可选取的的值，最后代入计算得到结果． 【详解】解：原式 ． ，， 解得，， 因此只能选取． 当时，原式． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）先化简，再求值，从，，2这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【详解】解： ， ， ， ∴当时，原式． 题型十四 分式的混合运算（计算） 【典例14】（24-25七年级下·重庆大足·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式，单项式乘多项式计算，再合并同类项即可； （2）根据分式的混合运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2025·北京·模拟预测），求代数式的值． 【答案】6 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解． 【详解】解： =， =， =， =， ∵， ∴， 则原式=． 【变式2】（24-25七年级下·山东菏泽·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先对分母因式分解得到，以此确定最简公分母，将两个分式通分后合并分子，再对分子因式分解并约去分子分母的公因式，最终得到最简分式； （）先把括号内的转化为分母为的分式，与合并化简，再将除法转化为乘法，同时对分子分母进行因式分解，最后约去公因式得到结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型十五 分式的实际应用 【典例15】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数． (1)安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示） (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由． 【答案】(1)； (2)宁宁先返回云中湖；理由见解析 【分析】代数式比大小一般使用作差法或者作商法，掌握好分式的性质和因式分解是关键． （1）根据速度、路程和时间之间的关系分别计算即可； （2）利用作差法比较两个分式的大小，从而得出结论． 【详解】（1）解：安安往返所需时长：（小时）， 宁宁往返所需时长：（小时）． （2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下： ∵，，且， ∴ ∴ ∴宁宁先返回云中湖． 【变式1】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半程平均行走速度是，后半程平均行走速度为；李明全程行走的平均速度为．如果，两人谁先到达乙地？ 【答案】李明先到达乙地． 【分析】本题考查分式的应用及作差法比较大小，关键是运用行程问题中“时间=路程÷速度”的基本公式，分别表示出张华和李明从甲地到乙地的总时间，再通过作差法比较时间长短，时间短的先到达目的地． 【详解】解：设甲地到乙地的总路程为． 设张华的步行总时间为，李明的步行总时间为： ∵张华前半程路程为，速度为，后半程路程为，速度为， ∴前半程时间为，后半程时间为， ∴； ∵李明全程平均速度为，总路程为， ∴， ∴， 又∵，且，，， ∴，， ∴，即， ∴李明先到达乙地． 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的……第n次倒出的水量是升的……事实上，实验中很难精确地测量出每次需要倒出的水量；因此，我们不考虑实际操作因素，将上述问题抽象成数学问题加以解决，依靠数学方法分析这个问题的优越性就更能凸显出来． (1)计算：； (2)按照这种倒水的方法，容器中的这1升水最终能全部倒完吗？若能，请求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能全部倒完，理由见详解 【分析】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是正确找出规律； （1）先通分再计算即可； （2）计算前n次总共倒出水量与1比较即可． 【详解】（1）解： （2）解：不能全部倒完，理由如下： 第1次倒出的水量是：； 第2次倒出的水量是：； 第3次倒出的水量是：； 第4次倒出的水量是：， 第n次倒出的水量是：； 前n次总共倒出水量是： ∵， ∴容器中的这1升水最终不能全部倒完． 题型十六 已知分式恒等式，确定分子分母 【典例16】（24-25七年级下·上海·期末）对于代数式,，定义运算“※”：，若，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查分式的运算，分式的混合运算．先通分合并，然后根据对应系数相等求出A，B的值，然后代入计算解答即可． 【详解】解：∵， ， ∴，解得， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）若，则________． 【答案】 2 【分析】先对等式右边进行通分，根据分式相等的性质得到分子相等，再利用多项式相等对应系数相等建立方程组，求解得到B的值． 【详解】解：对等式右边通分，得， 已知， 分母相同且分式相等，因此分子相等，即， 将等式右边整理为多项式的形式，得， 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得方程组， 将， 代入第二个方程，得， ， 解得． 【变式2】（24-25七年级下·山东泰安·期末）若常数M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 题型十七 解分式方程 解｜题｜技｜巧 1.分解分母，找出最简公分母 2.两边同乘公分母，消去分母变整式方程(常数项也要乘) 3.解整式方程，算出未知数 4.检验：把解代入公分母 公分母≠0：是方程的解 公分母=0：增根，原方程无解 5.写结论 【典例17】（24-25七年级下·江苏·期末）解分式方程：． 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式1】（24-25七年级下·江苏·期末）解方程：； 【答案】 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； 【变式2】（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】根据解分式方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 时，， 故原方程的解为； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，解得， 当，， 故原方程无解． 题型十八 已知分式方程有（无）解求参数 【典例18】（24-25七年级下·甘肃甘南·期末）已知关于的分式方程无解，求的值． 【答案】 【分析】先去分母求出，再根据无解的条件求解即可 【详解】解：原方程化为， 方程两边同时乘以，得， 解方程，得， 该分式方程无解， ，即， ． 【点睛】分式无解问题重点是根据最简公分母为求解． 【变式1】（24-25七年级下·上海·期末）已知关于的方程． (1)若，求出方程的解； (2)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)的值为或2或 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键； （1）将代入原方程，再解方程即可； （2）根据方程无解，利用分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况即可． 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，， 即， 两边同乘得，， 化简，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解； （2）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，的值为或2或． 【变式2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）关于x的方程有增根，则增根是___________，___________ 【答案】 【分析】熟练掌握增根的定义是解题关键，增根是分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，先根据定义求出增根，再将增根代入化为整式方程的方程求解的值． 【详解】解：分式方程的最简公分母为， 令分母， 解得，因此增根为， 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程得：， 将增根代入整式方程得：， 解得． 题型十九 已知分式方程解的正负求参数取值 【典例19】（24-25七年级下·江苏南通·期末）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是___． 【答案】/ 【分析】先将分式方程化为整式方程，求出方程的解，再根据解为负数，结合分式方程分母不为零的限制条件，确定的取值范围． 【详解】解：原方程可变形为 方程两边同乘最简公分母去分母得 整理得 ∵方程的解为负数 ∴，即 解得 又∵分式方程分母不能为， ∴，即，解得 ，则自然成立 故答案为 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的最小值为___________． 【答案】 1 【分析】本题考查分式方程的解，解分式方程得到解，根据解为非负数和分母不为零的条件，确定a的取值范围，进而求出a的最小值。 【详解】解：， 解得， ∵解为非负数，得，即； 又， ∴， ∴，即， ∴且， 故a的最小值为1， 故答案为：1． 【变式2】（24-25七年级下·河南许昌·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，先解分式方程，用表示，再根据为非负数和分母不为零求的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘（），得， 化简得， 移项得， 解得． 由，得，即； 由，得，即． 故的取值范围是且 故答案为：且． 题型二十 列分式方程 【典例20】（24-25七年级下·河南开封·期末）袁隆平院士被称为“杂交水稻之父”，他在早期的研究中需要对不同的水稻品种进行种植，计算其单位产量．现有两块面积相同的水稻试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别获得水稻和，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少，如果设第一块试验田每公顷的产量为，那么满足怎样的分式方程？（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两块试验田面积相等建立等量关系，先由产量之差分别表示两块试验田的单位产量，再利用面积=总产量÷单位产量列出分式方程． 【详解】解：设第一块试验田每公顷的产量为， ∵第一块试验田每公顷的产量比第二块少， ∴第二块试验田每公顷的产量为， 又∵两块试验田面积相同， ∴第一块试验田的面积为，第二块试验田的面积为， ∴可得方程． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400公斤，总产量同为3000公斤的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．设传统水稻亩产量为公斤，则符合题意的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“种植面积总产量亩产量”，结合杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩的条件列出方程即可. 【详解】解：∵杂交水稻的亩产量比传统水稻多400公斤， ∴杂交水稻的亩产量为公斤， ∵种植面积总产量亩产量，两种水稻总产量均为3000公斤， ∴传统水稻种植面积为亩，杂交水稻种植面积为亩， 又∵杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩， ∴． 【变式2】（2026·江苏无锡·二模）我市为进一步加密城市轨道交通线网，提升城市交通的便捷性和覆盖范围，地铁5号线、6号线一期工程正在建设中，计划于2028-2029年陆续开通．为使工程提前半年完成，需将工作效率提高．若设原计划完成这项工程需要x个月，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将总工作量看作单位1，，分别表示原效率和实际效率，根据实际效率比原效率提高的关系列方程即可. 【详解】解：设原计划完成这项工程需要个月，将总工作量看作单位. ∵ ， ∴ 原工作效率为 ， ∵ 工程提前半年，即提前6个月完成， ∴ 实际工作时间为 个月，实际工作效率为 . ∵ 工作效率提高，即实际工作效率是原工作效率的倍 ∴可列方程： . 题型二十一 分式方程中行程问题 【典例21】（2026·云南临沧·二模）在中，是模型用来表示自然语言文本的基本单位．已知通过官方，模型每分钟输出生成速度是模型每分钟输出生成速度的3倍，模型输出生成 的时间比模型输出生成 的时间多用分钟．请问模型每分钟输出生成速度是多少？ 【答案】模型每分钟输出生成速度是分钟 【分析】利用时间 = 总量 ÷ 速度 的关系，结合两种模型的时间差建立方程求解； 【详解】解：设模型每分钟输出生成速度是 ，则模型每分钟输出生成速度是 ，根据题意列方程得， ， 解得，， 经检验是原分式方程的解且符合实际． 则分钟， 答：模型每分钟输出生成速度是分钟． 【变式1】（24-25七年级下·江苏镇江·期末）句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 【答案】小红爬山的速度为3千米/小时 【分析】小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时，由题意他们选择的路线，小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫），列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时． 根据题意得 解得： 经检验是分式方程的解． 答：小红爬山的速度为3千米/小时． 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 【答案】(1)佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟 (2)珍珍先到达园博园 【分析】（1）本题属于行程问题，利用两人同时到达即行驶时间相等的等量关系建立分式方程求解，需注意单位统一及分式方程的检验． （2）本题通过因式分解化简两人的速度表达式，设路程为正数，计算两人行驶时间的差，结合的条件判断差的正负，从而确定谁的行驶时间更短，进而判断谁先到达． 【详解】（1）解： 将路程单位统一，， ， 设珍珍的速度为米/分钟，则佳佳的速度为米/分钟 根据两人行驶时间相等，列方程 得 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则佳佳的速度为米/分钟， 答：佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟． （2）解： 设博物馆到园博园东门的路程为，其中 珍珍的骑车速度为千米/时， 珍珍的行驶时间 ， 佳佳的行驶时间 ， ， 因为，， 所以，， ， 因此，即 ， 答：珍珍先到达园博园． 题型二十二 分式方程中工程问题 【典例22】（24-25七年级下·福建泉州·期末）为了助力乡村振兴，某村合作社计划将本地特色农产品运往市场销售，两支农户志愿小队负责对农产品进行分拣打包．已知甲队每小时分拣的箱数比乙队多4箱，甲队分拣100箱的时间与乙队分拣80箱的时间相等，求甲队每小时分拣的箱数． 【答案】甲队每小时分拣20箱． 【分析】设甲队每小时分拣箱，则乙队每小时分拣箱．甲队分拣100箱的时间与乙队分拣80箱的时间相等，据此列出分式方程并解分式方程，检验即可． 【详解】解：设甲队每小时分拣箱，则乙队每小时分拣箱． 依题意可得：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队每小时分拣20箱． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）为迎接全国文明城市的评选，市政府决定对春风路进行市政化改造，经过市场招标，决定聘请甲、乙两个工程队合作施工，已知春风路全长30千米，甲工程队每天比乙工程队多施工0.6千米，由甲工程队单独施工完成任务所需要的天数是乙工程队单独完成任务所需天数的．求甲、乙两个工程队每天各施工多少千米？ 【答案】甲工程队每天施工千米，乙工程队每天施工千米 【分析】根据“”，结合题意，列分式方程，求出答案． 【详解】解：设乙工程队每天施工千米， 根据题意可知，甲工程队每天比乙工程队多施工0.6千米，则甲工程队每天施工千米， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴（千米） 答：甲工程队每天施工千米，乙工程队每天施工千米． 【变式2】（24-25七年级下·全国·期末）某社区计划对某区域进行绿化，经投标，由甲、乙两个工程队一起来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的倍，并且在独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用2天． (1)求甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积． (2)若计划绿化的区域面积是，甲队每天绿化费用是万元，乙队每天绿化费用为万元．当甲、乙各施工几天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是、 (2)甲队施工16天，乙队施工14天 【分析】（1）设乙队每天能完成绿化面积，则甲队每天能完成绿化面积，甲队比乙队少用2天，据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设甲队施工a天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元，据此列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设乙队每天能完成绿化面积，则甲队每天能完成绿化面积， 由题意得， 解得， 经检验，是该方程的根， ， 所以甲、乙两工程队每天各能完成的绿化面积分别是、； （2）解：设甲队施工a天，则乙队施工天刚好完成绿化任务，由题意得：， 解得， 所以（天）， 所以甲队施工16天，乙队施工14天，既能刚好完成绿化任务，又能使总费用恰好为万元． 题型二十三 分式方程中经济问题 【典例23】（19-20七年级下·四川广安·期末）某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用元购进一批衬衫，上市后果然供不应求，服装商又用元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的倍，但单价贵了元．商家销售这种衬衫时每件定价都是元，最后剩下件按折销售，很快售完． (1)在这两笔生意中商家进货单价分别为多少元； (2)商家共盈利多少元？ 【答案】(1)第一批进货的单价为元；则第二批进货的单价为元 (2)元 【分析】（1）设第一批进货的单价为元，则第二批进货的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即可求解； （2）根据（1）的结论得出第一次进货件，第二次进货的单价为元，第二次进货件，再计算利润即可求解． 【详解】（1）解：设第一批进货的单价为元，则第二批进货的单价为元， 由题意得， 解得： 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 答：第一批进货的单价为元，则第二批进货的单价为元． （2）解：由（1）知第一次进货件，第二次进货的单价为元，第二次进货件， 总盈利为：元． 答：在这两笔生意中，商家共盈利元． 【变式1】（24-25七年级下·上海奉贤·期末）七年级学生在数学实践课上进行了项目化学习研究，已知某项目化小组的研究如下： 【提出研究问题】揭秘停车场充电桩的采购账单． 【设计实践任务】选择“素材1”、“素材2”，设计出了相关问题“任务1”、“任务2”，请尝试解决问题． 素材1 某停车场为加快充电基础设施建设，计划采购A、B两种型号的充电桩．市场调研发现：A型号充电桩的单价比B型号充电桩的单价少0.2万元，且用12万元购买A型号充电桩的数量与用15万元购买B型号充电桩的数量相同． 素材2 根据停车场实际布局规划，需购买A、B两种型号的充电桩共20台，且A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的． [相关问题] 任务1 求A、B两种型号充电桩的单价（单位：万元）． 任务2 求该停车场购买这批A、B两种型号充电桩所需的总费用（单位：万元）． 【答案】任务一：A型号充电桩单价为0.8万元，B型号充电桩单价为1万元，任务二：购买这批充电桩所需总费用为18.4万元 【分析】任务一：设A型号充电桩的单价为x万元，则B型号充电桩的单价为万元，根据数量相等列出分式方程求解； 任务二：设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩台，根据“A型号充电桩的数量是B型号充电桩数量的”列出方程，求出的值，可得A、B型号充电桩的数量，再结合（1）的单价可求总费用． 【详解】解：任务一：设A型号充电桩的单价为x万元，由题意得： ， 整理得：， 解得， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴， 答：A型号充电桩的单价为0.8万元，B型号充电桩的单价为1万元； 任务二：设购买A型号充电桩m台，则购买B型号充电桩台，根据题意得： ， 解得：， 所以，， 所以，总费用为（万元） 【变式2】（24-25七年级下·山东滨州·期末）小张、小李两人同时去同一家加油站加92号汽油，小张花280元所加的油量比小李花210元所加的油量多10升． (1)求92号汽油的单价； (2)小张、小李两人第二次去加92号汽油时，单价比第一次少了1元/升，小张所加的油量与第一次相同，小李所花的钱与第一次相同，则小张两次加92号汽油的平均单价是________元/升，小李两次加92号汽油的平均单价是________元/升； (3)生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同________（填“金额”或“油量”）加油更合算．请运用分式的相关知识说明理由；（提示：小张、小李两人同时去同一家加油站加两次92号汽油，两次的汽油价格有变化，第一次m元/升，第二次n元/升，且．两人的加油方式也不同，其中小张每次总是加汽油h升，小李每次总是加汽油d元．） 【答案】(1)7元/升 (2)； (3)金额，理由见解析 【分析】（1）设92号汽油的单价为元/升，根据“小张花280元所加的油量比小李花210元所加的油量多10升”，列出分式方程，解方程即可得出答案； （2）先求出小张第一次加油的量，从而得出小张第二次加油的钱，再求平均单价即可；求出小李第一次和第二次加油的量，再求平均单价即可； （3）求出小张两次加油的平均单价为（元/升），小李两次加油的平均单价为（元/升），再作差进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：设92号汽油的单价为元/升， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 92号汽油的单价为元/升； （2）解：小张第一次和第二次加油的量都为（升）， 小张第二次加油所花的钱为（元）， 小张两次加92号汽油的平均单价是（元/升）； 小李第一次加油的量为（升）， 小李第一次和第二次加油所花的钱都为元， 小李第二次加油的量为（升）， 小李两次加92号汽油的平均单价是（元/升）； （3）解：由题意得： 小张两次加油的平均单价为（元/升）， 小李两次加油的平均单价为（元/升）， ， ，且，， ，， ， ， 小张的两次平均单价比小李的两次平均单价高， 故建议按相同金额加油更合算． 题型二十四 分式方程中其他问题 【典例24】（24-25七年级下·山东烟台·期末）某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱（单位：），制作木箱需要如图2的的正方形木板和的长方形木板．现工厂采购这两种木板，采购清单如下表．设正方形木板的单价为元/块，已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍． 【采购清单】 单价（元/块） 数量（块） 总价（元） 正方形木板 m ① 150 长方形木板 ② 390 (1)请直接写出清单中①，②处的内容（用含的代数式表示），并求的值． (2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱，求两种木箱各做多少个，恰好将木板用完？ 【答案】(1)；；10 (2)制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完 【分析】本题考查了分式方程和二元一次方程组的应用： （1）根据“数量总价单价”分别表示出正方形木板和长方形木板的数量，再结合两者数量关系列出分式方程求解； （2）先根据第（1）问算出正方形木板块、长方形木板块，再根据两种木箱的用料，列出方程组求解，就能得到各自的制作数量． 【详解】（1）解：①处为：；②处为：； 由题意得：， 解得：， 经检验可知：是原分式方程的解， 的值为10 （2）解：由（1）可知，； 即正方形木板有15块，长方形木板共有30块， 设制作竖式木箱个，横式木箱个， 由题意得：， 解得：， 答：制作竖式木箱3个，横式木箱6个，恰好将木板用完． 【变式1】（24-25七年级下·江西·期末）如图①，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． (1)“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为________，“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为________，________小麦的试验田单位面积产量高； (2)在试验田四周修建隔离网（图②中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值． 【答案】(1)，，“丰收2号” (2)12 【分析】本题主要考查了列代数式，解分式方程解决实际问题，解题的关键找准等量关系列出方程． （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据单价列出分式方程求解即可． 【详解】（1）解：“丰收1号”小麦的试验田单位面积产量为， “丰收2号”小麦的试验田单位面积产量为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴“丰收2号”小麦的试验田单位面积产量高， 故答案为：，，“丰收2号”； （2）解：“丰收1号”小麦试验田隔离网长度为， “丰收2号”小麦试验田隔离网长度为， ∴， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴a的值是12． 【变式2】（24-25七年级下·江西赣州·期末）一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时． (1)由大水管口径是小水管的倍可得，大水管的横截面是小水管的____________倍，设小水管的注水速度为，则大水管的注水速度是____________； (2)根据（1）中设的未知数，列出方程，求两根水管各自的注水速度（用含，的式子表示）． 【答案】(1)4； (2)小水管的注水速度为，大水管的注水速度是 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据圆的面积公式可确定大水管的横截面与小水管的横截面的倍数；根据进水速度等于单位时间内进水的体积和体积的计算方法可确定大水管的注水速度与小水管的注水速度的倍数； （2）由（1）知：设小水管的注水速度为，则大水管的注水速度是，根据“一个圆柱形容器的容积为，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时”可列方程求解． 【详解】（1）解：设大水管的口径为，小水管的口径为，大水管的横截面为，小水管的横截面为，则， ∴，， ∴； 由题意知：大小水管中的水的流动速度一样，设为，都用了，则流出水的体积为： 大水管中流出水的体积：， 小水管中流出水的体积：， 则大水管的注水速度为：， 小水管的注水速度为：， 即大水管的注水速度是小水管的注水速度的倍， ∴设小水管的注水速度为，则大水管的注水速度是， 故答案为：；； （2）解：设小水管的注水速度为，则大水管的注水速度是， 依题意，得：，即， 解得： 检验：∵，都是正数， ∴当时， ∴是原分式方程的解， ∴， 答：小水管的注水速度为，大水管的注水速度是． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·山西大同·期末）分式与的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定两个分式的分母，第一个分式分母为，第二个分式分母为， 找最简公分母时，相同因式取最高次幂，所有不同因式都要保留，本题中相同因式的最高次幂是，单独出现的因式为，次数为，它们的积即为最简公分母． 【详解】解： 最简公分母是． 2．（24-25七年级下·重庆·期末）李老师去文具店购买学习用品．他先用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本若干本．已知所买绘画本的单价是笔记本单价的1.5倍，李老师所买笔记本比绘画本多2本．设购买一本笔记本需x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据“数量=总价÷单价”，分别表示出笔记本和绘画本的购买数量，再根据“笔记本数量比绘画本多2本”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设购买一本笔记本需元，绘画本单价是笔记本单价的倍， ∴绘画本的单价为元． ∵用96元买了笔记本若干本，又用120元买了绘画本， ∴笔记本数量为本，绘画本数量为本． ∵笔记本比绘画本多本， ∴可列方程为． 3．（24-25七年级下·全国·期末）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确． 4．（2026·黑龙江佳木斯·二模）关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 5．（24-25七年级下·山西大同·期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为 __________． 【答案】 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得 ． 6．（2026·四川绵阳·二模）已知关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有正整数的值为________． 【答案】5、4、2、1 【分析】利用解分式方程的一般步骤求得分式方程的解，由题意得到不等式；分式方程有可能产生使分母为0的增根，所以原方程的解不等于1，由以上两个条件即可得出答案． 【详解】解：去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∵解为非负数， ∴， ∴， ∵原分式方程有可能产生增根， ∴， ∴， ∴正整数的值为5、4、2、1． 故答案为：5、4、2、1． 7．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）已知，则代数式的值等于______________． 【答案】 【分析】由已知可得，，将转化为，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）在“母亲节”前夕，某花店用3000元购进第一批鲜花礼盒，上市后很快销售一空，根据市场的需求，该花店又用5000元购进第二批鲜花礼盒，且第二批购进的鲜花盒数是第一批购进的鲜花盒数的2倍，每盒鲜花进价比第一批少了10元，那么第一批鲜花礼盒的进价是每盒_____元． 【答案】60 【分析】设第一批鲜花礼盒每盒的进价为元，则第二批每盒进价为元，根据第二批购进盒数是第一批的倍，列分式方程求解检验即可. 【详解】解：设第一批鲜花礼盒的进价是每盒元，则第二批每盒进价为元. 第一批购进的盒数为盒，第二批购进的盒数为盒. ∵第二批购进的鲜花盒数是第一批购进鲜花盒数的倍， ∴， 交叉相乘化简得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故第一批鲜花礼盒的进价是每盒元. 9．（24-25七年级下·贵州·期末）下面是小红进行分式混合运算的过程，请认真阅读并完成相应任务， ·····················第一步 ·································第二步 ·········································第三步 ·····························································第四步 (1)任务一：小红的解答从第______步开始出现错误，这一步的错误原因是______； (2)任务二：请写出正确的解答过程． 【答案】(1)三 ，括号前面是负号去括号没变号 (2) ． 【分析】（1）根据小红的运算过程分析即可得出结果； （2）根据分式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由小红的运算过程可得：小红的解答从第三步开始出现错误，这一步的错误原因是括号前面是负号去括号没变号； （2）略． 10．（24-25七年级下·全国·期末）定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，，求a，b的“传承数”c； (2)若，，且，求a，b的“传承数”c． 【答案】(1) (2)1或 【分析】（1）直接根据“传承数”的定义计算即可； （2）先由求出，然后根据“传承数”的定义计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以a，b的“传承数”c为； （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． 因为c是a，b的“传承数”， 所以． 因为或， 所以或， 所以a，b的“传承数”c为1或． 11．（24-25七年级下·全国·期末）某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元． (1)这两次各购进这种衬衫多少件？ (2)若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？ 【答案】(1)第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件 (2)170元 【分析】（1）设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫件，根据题意列分式方程，解方程即可； （2）设第二批衬衫每件售价为y元，根据售价、进价、利润、数量的关系列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫件， 依题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意， 所以第一次的进货量为（件）． 答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件； （2）解：（元/件）， （元/件）． 设第二批衬衫每件售价为y元， 依题意，得， 解得． 答：第二批衬衫每件售价为170元． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）已知是实数，并且，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据，得到，，再利用整体代入法进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）已知 a 为正数，且或，比较与的大小，可通过作差法判断，则 P 与 Q 的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题要求用作差法比较两个分式的大小，先计算，通分化简后，根据的取值范围判断差的符号，即可解答． 【详解】∵，，为正数， ∴， ，差的符号由分子 决定 或 -当 时，，， ，，即 ， 当 或 时，， ，即 ， ， 当 时，，， ，，即 ， ， 综上，当 或 时，总有 ． 3．（19-20七年级下·四川广安·期末）观察下列等式：，，，…；根据其蕴含的规律可得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据递推关系计算前几项，找出数列的循环周期，再计算除以周期的结果，对应得到所求项的值． 【详解】解：∵， ∴ 以为循环节3次一循环，周期为 ∵， ∴． 4．（24-25七年级下·四川泸州·期末）对于任意不相等的实数，定义运算“”如下：．若，则x的值为______ ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义运算与分式方程的求解，需根据新定义分和两种情况，分别列出方程求解，再验证解是否满足前提条件，舍去不符合的解即可得到结果． 【详解】根据题意，分两种情况讨论： 1.当时，由定义得： ， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， ∵，符合条件， 故此解有效； 2.当时，由定义得： ， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵，不符合的条件， 故此解舍去． 综上，x的值为3． 【点睛】理解新运算法则，根据新运算法则分情况讨论是解题的关键． 5．（24-25七年级下·全国·期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即，则称分式B是分式A的“可存异分式”．如与因为，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； (2)分式的“可存异分式”是____________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求x的值． 【答案】(1)是； (2)； (3)①；②x的值是1，3，． 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （2）根据“可存异分式”的定义进行求解即可； （3）①由题意易得，然后进行求解即可； ②由①可知，然后根据“分式A的值是正整数”进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴分式是分式的“可存异分式”； （2）解：设分式的“可存异分式”是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分式的“可存异分式”是； （3）解：①由条件可知， ， ； ②，且A为正整数， ∴x为整数，且是3的约数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴x的值是1，3，． 6．（24-25七年级下·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为． ①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？ ②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 【答案】(1)①甲区域污水的排放总量是100万吨②A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨 (2)甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，分式大小的比较，解题的关键是理解题意． （1）①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据污水处理率列出方程求解即可； ②求出两个区域污水排放量和两个厂可提高的污水处理量，然后列方程求解列出方案，选择合适方案即可； （2）设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，表示出，然后利用作商法比较大小即可． 【详解】（1）解：①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意； （万吨）， ∴甲区域污水的排放总量是100万吨； ②2026年甲区域污水排放总量为（万吨）， 2026年乙区域污水排放总量为（万吨）， 2026年A厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， 2026年B厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， ， 整理得，， ∵，均为整数， ∴；；；， 共四种方案， 为了提升B厂的污水处理能力，可取，且都符合题意， ∴A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨； （2）解：设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为 ，则扩建后B厂的污水处理率为， ∵污水处理能力不大于， ∴，且， ∴， 根据题意得， ，， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大． 期末综合拓展练（测试时间：2分钟） 1．（2026·四川泸州·中考真题）若方程的解是关于的方程的解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解分式方程得到x的值，再将x代入一元一次方程求解a，解分式方程后需要检验． 【详解】解：解分式方程， ∵方程两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项解得， 检验：把代入，得， ∴是原分式方程的解， ∵是方程的解， 将代入方程得， 解得． 2．（2025·四川雅安·中考真题）甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出甲每小时加工这种零件个，再根据工作效率、工作总量与时间的关系列出方程即可． 【详解】解：由题意，乙每小时加工这种零件个，则甲每小时加工这种零件个， ∵甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等， ∴可列方程为． 3．（2026·四川南充·中考真题）若，则x的值为_______． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，分式值为零时需满足分子为零且分母不为零，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即 ∴． 4．（2025·江苏南京·中考真题）已知是方程的解，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 是该方程的解， ， 解得：， 当时，原分式方程有意义， 故答案为：． 5．（2026·江苏连云港·中考真题）先化简，再从，，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的的值代入进行计算即可． 【详解】解： ． 要使原式有意义，需满足得， 且 ， ， 且 ， 选取． 当时，原式． 6．（2026·四川遂宁·中考真题）安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红薯淀粉”每袋多卖4元，且用30元购买“红薯粉条”的袋数与用18元购买“红薯淀粉”的袋数相等． (1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？ (2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100元．请问该游客有哪几种购买方案？ 【答案】(1) “红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； (2) 该游客共有3种购买方案，分别为：方案一：购买红薯粉条1袋，红薯淀粉15袋；方案二：购买红薯粉条4袋，红薯淀粉10袋；方案三：购买红薯粉条7袋，红薯淀粉5袋． 【分析】（1）根据两种商品购买袋数相等建立等量关系； （2）根据总费用列出二元一次方程，结合购买数量为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案． 【详解】（1）解： 设“红薯淀粉”每袋售价元，则“红薯粉条”每袋售价元， 根据题意得， 解得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解， ， 答：“红薯粉条”每袋售价10元，“红薯淀粉”每袋售价6元； （2）解：设购买“红薯粉条”袋，购买“红薯淀粉”袋，其中均为正整数， 根据题意得， 整理得， 为正整数， 是3的正倍数，且， 即， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 答：该游客共有3种购买方案，分别是：①购买“红薯粉条”1袋，“红薯淀粉”15袋；②购买“红薯粉条”4袋，“红薯淀粉”10袋；③购买“红薯粉条”7袋，“红薯淀粉”5袋． 7．（2026·四川达州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题先对原式的分子分母分别因式分解．再将分式除法转化为乘法．约分后即可得到化简结果．用到平方差公式和分式的运算法则． 【详解】解：原式 ． 1 / 63 学科网（北京）股份有限公司 $