专题05认识二元一次方程组 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题05认识二元一次方程组 （2知识点+10题型+过关检测） 【题型1 判断二元一次方程】 2 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 3 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 3 【题型4 二元一次方程的整数解】 4 【题型5 用含一个未知数的代数式表示另一个】 4 【题型6 判断二元一次方程组】 4 【题型7 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 5 【题型8 判断是否是二元一次方程组的解】 5 【题型9 根据二元一次方程组的解求字母的值】 6 【题型10 根据实际问题列二元一次方程（组）】 7 · 吃透核心定义：掌握二元一次方程的概念，牢记“二元、一次、整式方程”三大核心特征，能精准判断一个方程是否为二元一次方程，区分一元一次方程与二元一次方程的差异。 · 理解方程的解：明确二元一次方程解的定义，知道其解具有无数个，掌握检验一组数是否为方程解的方法，会根据已知解代入求字母参数的值。 · 明晰方程组定义：理解二元一次方程组的概念，抓住“共两个未知数、两个一次整式方程、整体为一次”的关键，准确判断二元一次方程组。 · 掌握方程组的解：理解方程组的解是“同时满足两个方程”的一组未知数的值，掌握检验解的方法，区分单个方程的解与方程组的解。03 知识•梳理 知识点1：二元一次方程 1. 定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 判定口诀：二元两个未知数，一次项数都是1，分母不含未知数，整式方程要牢记 2. 一般形式 ax + by = c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0，重点：两个未知数的系数都不能为0） 3. 二元一次方程的解 · 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 · 特点：有无数个解，每一组解都是一对数（x，y），单独一个未知数的值不能称为方程的解。 4. 方程变形：用含一个未知数的代数式表示另一个 核心方法：利用等式的基本性质，把要表示的未知数留在左边，其余项移到右边，再化简系数为1。 示例：把方程 2x + y = 5 变形为用x表示y，得 y = -2x + 5 知识点2：二元一次方程组 1. 定义 把含有相同两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组。 关键判定点： · 方程组内总共只有两个未知数，不能多也不能少； · 每个方程都是一次方程，且是整式方程； · 常见形式：两个二元一次方程组成，也可以是一个一元一次方程+一个二元一次方程。 2. 二元一次方程组的解 · 定义：同时满足二元一次方程组中所有方程的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。 · 特点：解是唯一一组数（初一阶段），必须同时满足两个方程，缺一不可；书写形式为 3. 检验解的方法 将这组数分别代入方程组中的每一个方程，若所有方程左右两边都相等，就是方程组的解；只要有一个方程不相等，就不是。 04 题型•汇总 【题型1 判断二元一次方程】 解题思路： 严格对照三大核心条件逐一排查：①是否含两个未知数；②含未知数项的次数是否都是1；③是否为整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数）。排除分式方程、一元方程、未知数次数不是1的方程。 【典例1】．下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 解题思路： 抓住定义列不等式组：①两个未知数的系数不为0；②含未知数项的次数等于1。先根据次数为1求出字母可能取值，再排除系数为0的情况，最终确定字母值。 易错警示：千万忘记系数不能为0，导致多算错误答案 【典例2】．若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 跟随训练2-1．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 跟随训练2-2．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 解题思路： 方程的解满足方程，直接把解中的x、y值代入原方程，转化为一元一次方程，计算求出未知字母或代数式的值，运算时注意符号，避免计算失误。 【典例3】．是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 跟随训练3-1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 跟随训练3-2．若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【题型4 二元一次方程的整数解】 解题思路： 先将方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，再根据整数、正整数等限制条件，给其中一个未知数取整数值，依次求出另一个未知数的对应值，做到不重不漏。 【典例4】．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．二元一次方程的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练4-2．若二元一次方程有正整数解，则x的取值应为（ ） A．0 B．正偶数 C．正奇数 D．任意整数 【题型5 用含一个未知数的代数式表示另一个】 解题思路： 核心是移项+系数化为1，目标未知数单独放左边，其余项全部移到右边，合并同类项后，两边同时除以目标未知数的系数，注意移项要变号，系数为负数时符号不要出错。 速记口诀：要表谁，谁留左，其余移右变符号，系数化1不能少 【典例5】．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．将方程变形为用含y的式子表示x，那么_______． 【题型6 判断二元一次方程组】 解题思路： 紧扣方程组定义：①总共只有两个未知数；②每个方程都是一次整式方程；③联立组成整体。排除含三个未知数、分式方程、二次项的方程组，注意“一元+二元”的组合也属于二元一次方程组。 【典例6】．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 跟随训练6-2．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【题型7 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 解题思路： 分两步：①保证方程组内只有两个未知数，多余未知数的系数为0；②所有含未知数的项次数为1，系数不为0。结合定义列等式和不等式，联立求解字母值。 【典例7】．若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 跟随训练7-1．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 跟随训练7-2．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【题型8 判断是否是二元一次方程组的解】 解题思路： 必须代入每一个方程检验，不能只代入一个方程。左右两边都相等，才是方程组的解；只要有一个方程左右不相等，就不是解，初一阶段最容易漏检第二个方程。 【典例8】．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 跟随训练8-1．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 跟随训练8-2．在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号） 【题型9 根据二元一次方程组的解求字母的值】 解题思路： 将方程组的解同时代入两个方程，得到关于字母参数的一元一次方程或二元一次方程组，再求解参数值，运算时仔细计算，避免代入时数值、符号出错。 【典例9】．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 跟随训练9-2．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【题型10 根据实际问题列二元一次方程（组）】 解题思路： 第一步：设两个未知数（通常设问题中的两个未知量为x、y）；第二步：找题目中的等量关系；第三步：根据等量关系列出方程，单个等量关系列二元一次方程，两个等量关系列二元一次方程组。 【典例10】．我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．某份资料计划印制2000份，该任务由，B两台印刷机先后接力完成，印刷机印制150份印刷机印制200份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（   ） 甲 解：设印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．甲和乙列的方程组都正确 C．只有乙列的方程组正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 跟随训练10-2．《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则可列方程为 B．设有y人，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 05 过关•检测 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 3．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 5．若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知是关于的二元一次方程，则___________． 8．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 9．写出一个解为的二元一次方程组____________． 10．小亮在解方程组时，发现解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，其中★______． 11．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 12．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 13．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 14．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 15．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05认识二元一次方程组 （2知识点+10题型+过关检测） 【题型1 判断二元一次方程】 2 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 4 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 5 【题型4 二元一次方程的整数解】 7 【题型5 用含一个未知数的代数式表示另一个】 8 【题型6 判断二元一次方程组】 10 【题型7 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 12 【题型8 判断是否是二元一次方程组的解】 13 【题型9 根据二元一次方程组的解求字母的值】 15 【题型10 根据实际问题列二元一次方程（组）】 17 · 吃透核心定义：掌握二元一次方程的概念，牢记“二元、一次、整式方程”三大核心特征，能精准判断一个方程是否为二元一次方程，区分一元一次方程与二元一次方程的差异。 · 理解方程的解：明确二元一次方程解的定义，知道其解具有无数个，掌握检验一组数是否为方程解的方法，会根据已知解代入求字母参数的值。 · 明晰方程组定义：理解二元一次方程组的概念，抓住“共两个未知数、两个一次整式方程、整体为一次”的关键，准确判断二元一次方程组。 · 掌握方程组的解：理解方程组的解是“同时满足两个方程”的一组未知数的值，掌握检验解的方法，区分单个方程的解与方程组的解。03 知识•梳理 知识点1：二元一次方程 1. 定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程。 判定口诀：二元两个未知数，一次项数都是1，分母不含未知数，整式方程要牢记 2. 一般形式 ax + by = c（a、b、c为常数，a≠0，b≠0，重点：两个未知数的系数都不能为0） 3. 二元一次方程的解 · 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。 · 特点：有无数个解，每一组解都是一对数（x，y），单独一个未知数的值不能称为方程的解。 4. 方程变形：用含一个未知数的代数式表示另一个 核心方法：利用等式的基本性质，把要表示的未知数留在左边，其余项移到右边，再化简系数为1。 示例：把方程 2x + y = 5 变形为用x表示y，得 y = -2x + 5 知识点2：二元一次方程组 1. 定义 把含有相同两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组。 关键判定点： · 方程组内总共只有两个未知数，不能多也不能少； · 每个方程都是一次方程，且是整式方程； · 常见形式：两个二元一次方程组成，也可以是一个一元一次方程+一个二元一次方程。 2. 二元一次方程组的解 · 定义：同时满足二元一次方程组中所有方程的两个未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。 · 特点：解是唯一一组数（初一阶段），必须同时满足两个方程，缺一不可；书写形式为 3. 检验解的方法 将这组数分别代入方程组中的每一个方程，若所有方程左右两边都相等，就是方程组的解；只要有一个方程不相等，就不是。 04 题型•汇总 【题型1 判断二元一次方程】 解题思路： 严格对照三大核心条件逐一排查：①是否含两个未知数；②含未知数项的次数是否都是1；③是否为整式方程（分母不含未知数，根号下不含未知数）。排除分式方程、一元方程、未知数次数不是1的方程。 【典例1】．下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二元一次方程需满足三个条件，一是整式方程，二是含两个未知数，三是所有未知数的次数均为1，逐一判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程是含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程， ∴对选项逐一判断： A选项中，不是等式，不属于方程，排除A； B选项中，的次数为2，不符合定义，排除B； C选项中，是分式，方程不是整式方程，不符合定义，排除C； D选项中，是整式方程，含，两个未知数，且两个未知数的次数都是1，符合二元一次方程的定义，故D正确． 跟随训练1-1．下列方程中是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足三个条件：含有两个未知数，所含未知数的项的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，项的次数是2，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； B、，同时满足三个条件，是二元一次方程，符合题意； C、，只含有一个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意； D、，不是整式，不属于整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，不符合题意． 跟随训练1-2．下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 【题型2 根据二元一次方程的定义求字母的值】 解题思路： 抓住定义列不等式组：①两个未知数的系数不为0；②含未知数项的次数等于1。先根据次数为1求出字母可能取值，再排除系数为0的情况，最终确定字母值。 易错警示：千万忘记系数不能为0，导致多算错误答案 【典例2】．若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义求解，需要满足x，y的次数为1，x，y的系数不为0，据此列等式和不等式即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程是关于x，y的二元一次方程， ∴需要满足两个条件： ① x的次数为1，即， 即或， 解得或； ② y的系数不能为0，即，得， ∴综上，. 跟随训练2-1．已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 跟随训练2-2．若是关于x，y的二元一次方程，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程，熟练掌握二元一次方程的定义：只含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，运用二元一次方程满足的条件是解题的关键． 根据二元一次方程的定义，要求未知数的系数不能为零，因此需满足． 【详解】解：∵方程是关于,的二元一次方程， ∴的系数， ∴， 故选A． 【题型3 二元一次方程的解代入求值】 解题思路： 方程的解满足方程，直接把解中的x、y值代入原方程，转化为一元一次方程，计算求出未知字母或代数式的值，运算时注意符号，避免计算失误。 【典例3】．是关于、的方程的一个解，的值是（   ）． A．7 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程解的定义，将方程的解代入原方程，转化为关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， 解得． 故选：B． 跟随训练3-1．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A．11 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解求参数，根据二元一次方程的解的定义，将已知的x、y的值代入方程，即可求出m的值， 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的解， ∴将，代入方程得， ∴， 故选：A． 跟随训练3-2．若是二元一次方程的一个解，则的值等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，掌握其定义是解题的关键．根据二元一次方程的解的定义，将代入方程即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ∴将代入得，． 故选：D． 【题型4 二元一次方程的整数解】 解题思路： 先将方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，再根据整数、正整数等限制条件，给其中一个未知数取整数值，依次求出另一个未知数的对应值，做到不重不漏。 【典例4】．《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，下列选项中，不是方程的正整数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解的验证，解题的关键是掌握二元一次方程的解的意义． 通过将各选项的x、y值代入方程，判断等式是否成立即可确定不是解的选项． 【详解】解：∵把选项A的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴A是方程的正整数解； ∵把选项B的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴B是方程的正整数解； ∵把选项C的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴C不是方程的正整数解； ∵把选项D的代入方程，左边，右边，左边右边， ∴D是方程的正整数解． 故选：C． 跟随训练4-1．二元一次方程的非负整数解（即x、y都是非负整数）有（　　）对 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的整数解的含义，理解题意是解本题的关键； 把方程化为，再结合均为非负整数，从而可得答案； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵均为非负整数， 是2的倍数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，，（舍去） ∴方程的非负整数解为：或或共3对； 故选：C． 跟随训练4-2．若二元一次方程有正整数解，则x的取值应为（ ） A．0 B．正偶数 C．正奇数 D．任意整数 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握用含一个未知数的式子表示另一个未知数以及数的奇偶性分析是解题的关键． 先将二元一次方程变形为用表示的形式，再根据正整数解的条件分析的取值特征． 【详解】解：由，可得， ∵方程有正整数解， ∴是正整数，即，且能被整除． 由，解得． 又∵能被整除，为奇数（因为奇数减是偶数）， ∴为正奇数． 故选：C． 【题型5 用含一个未知数的代数式表示另一个】 解题思路： 核心是移项+系数化为1，目标未知数单独放左边，其余项全部移到右边，合并同类项后，两边同时除以目标未知数的系数，注意移项要变号，系数为负数时符号不要出错。 速记口诀：要表谁，谁留左，其余移右变符号，系数化1不能少 【典例5】．把方程化成用含x的代数式表示y的形式，以下各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程，把看作未知数，看作已知数即可求出． 【详解】解：∵， ∴两边同乘3去分母，得， ∴移项，得， ∴合并同类项，得， ∴系数化为1，得，即． 故选：C． 跟随训练5-1．已知x，y满足，若要用含x的代数式表示y，则应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的知识点是解二元一次方程，关键是解题时可以参照一元一次方程的解法，利用等式的性质解题，可以把一个未知数看成已知数来处理．将x看成已知数，先移项，再将y系数化为1即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得． 故选：D． 跟随训练5-2．将方程变形为用含y的式子表示x，那么_______． 【答案】 【分析】将含的项留在等式左侧，其余项移到等式右侧，再将的系数化为即可得到结果． 【详解】解：∵. ∴. ∴． 【题型6 判断二元一次方程组】 解题思路： 紧扣方程组定义：①总共只有两个未知数；②每个方程都是一次整式方程；③联立组成整体。排除含三个未知数、分式方程、二次项的方程组，注意“一元+二元”的组合也属于二元一次方程组。 【典例6】．下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组． 根据二元一次方程组的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义； 选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义； 选项C：符合二元一次方程组的定义； 选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义； 故选：C． 跟随训练6-1．在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第一个方程是二次方程，不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有5个， 故选：D． 跟随训练6-2．已知下列方程组： ①；②； ③；④ 其中，________是二元一次方程组．（填序号） 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，含有两个未知数，且每个含有未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组是二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：方程组①中，方程不是一次方程，故方程组①不是二元一次方程组； 方程组②中，一共有三个未知数，故方程组②不是二元一次方程组； 方程组③是二元一次方程组； 方程组④中，方程不是整式方程，故方程组④不是二元一次方程组； 故答案为：③． 【题型7 根据二元一次方程组的定义求字母的值】 解题思路： 分两步：①保证方程组内只有两个未知数，多余未知数的系数为0；②所有含未知数的项次数为1，系数不为0。结合定义列等式和不等式，联立求解字母值。 【典例7】．若方程是二元一次方程组，那么m的值（   ） A．0 B．1 C．2 D．上述选项都不对 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键． 利用二元一次方程组的定义判断即可求出的值． 【详解】∵方程是二元一次方程组， ∴， 解得：． 故选：A． 跟随训练7-1．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 跟随训练7-2．若方程组 是二元一次方程组，则a 的值为________． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个只含有两个未知数，且含未知数的项的次数为1的方程组成的方程组叫做二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：∵方程组 是二元一次方程组， ∴， 故答案为：0． 【题型8 判断是否是二元一次方程组的解】 解题思路： 必须代入每一个方程检验，不能只代入一个方程。左右两边都相等，才是方程组的解；只要有一个方程左右不相等，就不是解，初一阶段最容易漏检第二个方程。 【典例8】．适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 跟随训练8-1．已知二元一次方程组的解是，则该方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看两个方程是否成立即可． 【详解】解：A、方程组中，方程不是一次方程，故原方程不是二元一次方程组，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边相等，故是方程的解；故是原方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解；故不是原方程组的解，不符合题意； 故选：B． 跟随训练8-2．在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 【题型9 根据二元一次方程组的解求字母的值】 解题思路： 将方程组的解同时代入两个方程，得到关于字母参数的一元一次方程或二元一次方程组，再求解参数值，运算时仔细计算，避免代入时数值、符号出错。 【典例9】．已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 跟随训练9-1．若关于a、b二元一次方程组的解是，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解是满足方程组中每个方程未知数的值是解题的关键． 将已知的a、b值代入方程组得到关于x、y的方程组，再通过方程变形求出的值． 【详解】解：∵关于a、b二元一次方程组的解是， ∴，化简得：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得． ∴的值为3． 故选B． 跟随训练9-2．已知关于x、y的方程组的解满足，则m的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查求含参数的二元一次方程组中的参数． 由条件，代入原方程组，得到，消去，即可求解． 【详解】解：将代入方程组，得，即， ∴， 解得，． 故答案为：1． 【题型10 根据实际问题列二元一次方程（组）】 解题思路： 第一步：设两个未知数（通常设问题中的两个未知量为x、y）；第二步：找题目中的等量关系；第三步：根据等量关系列出方程，单个等量关系列二元一次方程，两个等量关系列二元一次方程组。 【典例10】．我国古代数学名著《九章算术》卷七记载了一个有关方程的问题，译文为：今有人合伙买玉石，每人出钱，会多出4钱．设人数为人，玉石价格为钱，则可列关于，的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据总的钱数不变，即可得出关于，的二元一次方程，此题得解，找准等量关系解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 整理得：， 故选：B． 跟随训练10-1．某份资料计划印制2000份，该任务由，B两台印刷机先后接力完成，印刷机印制150份印刷机印制200份．两台印刷机完成该任务共需，甲、乙两人所列的方程组如表所示，下列判断正确的是（   ） 甲 解：设印刷机印制了，印刷机印制了． 由题意，得 乙 解：设印刷机印制了份，印刷机印制了份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．甲和乙列的方程组都正确 C．只有乙列的方程组正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设印刷机印制了，印刷机印制了，根据某份资料计划印制2000份可得，根据两台印刷机完成该任务共需可得，设印刷机印制了份，印刷机印制了份，根据某份资料计划印制2000份可得，根据两台印刷机完成该任务共需可得，即可得解． 【详解】解：设印刷机印制了，印刷机印制了， 根据某份资料计划印制2000份，两台印刷机完成该任务共需可得， 故甲的方程组正确； 设印刷机印制了份，印刷机印制了份， 根据某份资料计划印制2000份，两台印刷机完成该任务共需可得， 故乙的方程组正确； 故选：． 跟随训练10-2．《九章算术》中有一道题目，其译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则可列方程为 B．设有y人，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【分析】根据两种乘车情况，梳理总人数与车辆数的等量关系，即可判断各选项对错. 【详解】解：设有辆车，人， ∵两人坐一辆车，九人步行，总人数为坐车人数加步行人数， ∴， ∵三人坐一辆车，空出辆车，实际用车为辆，总人数等于实际用车承载的人数， ∴， 因此可列方程组为． 05 过关•检测 1．下列是二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程需同时满足三个核心条件：①方程中含有两个未知数；②每个未知数的项的次数均为1；③方程是整式方程(即分母不含未知数)．解题时需依据这三个条件对每个选项逐一判断． 【详解】解：中，未知数项的次数为，不满足“未知数的项的次数都是1”的要求，不是二元一次方程； 是一个多项式，不是等式，不满足方程的定义，不是二元一次方程； 的分析含未知数，方程不属于整式方程，不满足“整式方程”的条件，不是二元一次方程； 含有两个未知数、，每个未知数的项的次数都是1，且是整式等式，完全符合二元一次方程的定义，是二元一次方程； 故选：D． 2．下列各组数值中，是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的知识，根据二元一次方程解的定义，将各选项中未知数的值代入方程，验证等式是否成立即可求解，即可获得答案． 【详解】解：A.将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； B. 将代入， 左边，右边，左边=右边， ∴是该方程的解，本选项符合题意； C. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意； D. 将代入， 左边，右边，左边右边， ∴不是该方程的解，本选项不符合题意． 故选：B． 3．在，，，中，是二元一次方程组的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的判断，根据二元一次方程组的定义（含有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数的最高次数为1）进行判断即可． 【详解】解：方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； 方程组 中，第二个方程中的次数为2，不是一次方程，故不是二元一次方程组； 方程组 中，含有3个未知数，故不是二元一次方程组； 方程组 中，两个方程均为一次方程，是二元一次方程组； ∴ 是二元一次方程组的有2个． 故选：B． 4．已知二元一次方程组的解是，则*表示的方程可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，即方程组的解满足组内所有方程，先通过已知方程求出a的值得到完整的解，再将解代入各选项验证即可． 【详解】∵将代入， ∴，解得，即方程组的解为， A. 将代入，左边，不符合题意； B. 将代入，左边，不符合题意； C. 将代入，左边，不符合题意； D. 将代入，左边右边，符合题意． 故选：D． 5．若是二元一次方程组的解，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． 根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵是二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故选B． 6．已知是关于的二元一次方程，则___________． 【答案】3 【分析】根据二元一次方程的定义，可知x和y的次数均为1，据此得到关于m，n的方程，求解得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义，可得， 解方程组得， ∴． 7．已知是方程组的解，那么的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握解二元一次方程组的步骤是解题的关键． 将方程组的解代入原方程，求出和 的值，再计算． 【详解】解：是方程组的解， 化简得： 解得： ． 故答案为：． 8．已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【详解】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 9．写出一个解为的二元一次方程组____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，根据x、y的值，求出和的值，以此构造方程组即可． 【详解】解：由和，可列出等式和， 因此方程组为， 故答案为：（答案不唯一）． 10．小亮在解方程组时，发现解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，其中★______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，使二元一次方程组的两个方程左右两边都相等的未知数的值叫二元一次方程组的解． 将已知代入方程中，即可求解y的值． 【详解】解：把代入得：， 解得 故， 故答案为：． 11．若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 12．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、算术平方根和平方根的概念，准确计算是解题的关键． 通过代入方程的解求，根据算术平方根定义求，再计算表达式求平方根． 【详解】是关于，的二元一次方程的一个解， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， ， 的平方根为． 13．在解方程组时，小刚看错了得到的解为小华没看错任何系数，算出这个方程组的解为求的平方根． 【答案】 【分析】小刚看错了系数，但他的解仍然满足不含的方程①；小华没看错任何系数，他的解同时满足方程①和②．因此，我们可以将这两组解分别代入对应的方程，得到一个关于、、的三元一次方程组，解出、、的值后，再计算的平方根． 【详解】解：把代入①，得．③ 把代入①，得．④ ④③，得， 解得． 把代入③，得． 把代入②，得， 解得， ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和三元一次方程组的解法，解题关键是理解“看错系数”的含义，即看错的系数不影响未看错的方程，从而将两组解代入正确的方程，建立新的方程组求解． 14．已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 15．甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $