上海市第二中学2025-2026学年第二学期学习能力诊断模拟数学试卷

2025学年第二学期学习能力诊断模拟卷 高二数学 试卷 （考试时间90分钟 满分120分） 2026.6 一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．若的二项展开式中，第5项为常数项，则________． 2．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点恰好是抛物线的焦点，则________． 3．米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如下： 18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为________． 4．直线与直线的夹角大小等于________． 5．若，则________． 6．若一个各项均为正项的等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为________． 7．某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 8．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为________． 9．等差数列的前项和为，，，则________．注：． 10．在平面直角坐标系中，是椭圆（）的右焦点，直线与椭圆交于，两点，且，则该椭圆的离心率是________． 11．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，用祖暅原理可求得这个旋转体的体积为________． 12．对于两个空间向量与，我们定义它们之间的曼哈顿距离为．如图，在棱长为1的正方体中，点是底面内（含边界）的动点，且，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分） 每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ） A．种 B．种 C．种 D．种 14．某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：）并整理如下表： 亩产量 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据，下列结论中正确的是（ ） A．100块稻田亩产量的中位数小于 B．100块稻田中亩产量低于的稻田所占比例超过80% C．100块稻田亩产量的极差介于至之间 D．100块稻田亩产量的平均值介于至之间 15．设、为两个平面，、为两条直线，且．下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与，所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 16．有一款多功能无人机，该机的机架采用对称排列结构，机架的俯视图可看成曲线：（其中为正数）的一部分．若是曲线上的一点，且，过点的两条互相垂直的直线与曲线的另外两个交点分别为，，其中一条直线的斜率为．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分56分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分） 如图，在三棱柱中，平面，． （1）证明：平面平面； （2）设，，求四棱锥的高． 18．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 已知，函数的导函数为，数列满足． （1）求过点的曲线的切线方程； （2）若点在的图象上，求的通项公式． 19．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分） 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，各次投中与否相互独立． （1）若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． （2）假设，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ 20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 已知函数的定义域为，为其导函数．若任意，，则称为上的“导优函数”． （1）若，判断是否为上的“导优函数”，并说明理由； （2）若，已知为上的“导优函数”，求实数的取值范围． 21．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线：的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线：交曲线于，两点，动点在曲线上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点，和点，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $