精品解析：2025年湖南省湘潭市第一中学创新班选拔考试数学试题

2025年湖南省湘潭市第一中学创新班选拔考试数学试题 满分：120分 时间：120分钟 一、单选题（每小题4分，共48分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题实数与数轴，实数的运算，不等式的性质，根据点在数轴上的位置，判断数的大小，进而判断出式子的符号即可． 【详解】解：由图可知：， ∴，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ， ∴，故选项D正确； 故选D． 2. 如果不等式组无解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出的范围是解题的关键．先求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 若不等式组无解， 则有． 故选：B． 3. 某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次） 0 1 2 3 4 5 人数（人） 1 2 9 12 10 6 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3次 B. 中位数是3次 C. 平均数是3.5次 D. 样本容量是40 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，中位数，众数，样本容量．解题关键是掌握加权平均数、中位数的计算方法、众数和样本容量的定义． 根据加权平均数和中位数的计算方法，求出平均数和中位数可判断B、 C，根据众数和样本容量的定义判断A、D即可． 【详解】解：A. 出现次数最多的数据是次（人），因此众数是次，故该选项不符合题意； B. 排在第个和第个数据是，则中位数为 ，故该选项不符合题意； C. 平均数（次），故该选项符合题意； D. 样本容量，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 如图，五边形是正五边形，是的中点，连接，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的全等与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 如图：连接，根据正五边形的性质和内角和定理、等腰三角形的性质可得、，利用等腰三角形三线合一，得到即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选B． 5. 如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数字规律类探索，含乘方的有理数的混合运算，设，则，用 即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：根据题意， 设， ∴， 得： ， ∴， 故选：A． 6. 某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是，根据概率公式求解． 【详解】解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为， 所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率， 故选：B． 【点评】选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件A或的概率． 7. 如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒的面积为 ，则下列图象能表示 与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分时，当时，分别求得的面积，即可判断函数图象． 【详解】解：依题意，时，点在上，点在上，， 连接、，过点作，垂足为， ∵在等边中，， ∴，， ∴ ∵，， ∴， 函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当 时，， ∵，点，点相遇时运动时间为秒， ∴当时，点、在 上，如图所示， ∴， ∴， 当时，图象为直线的一部分， 综上只有选项D的图象符合题意． 8. 如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论中正确的有（ ） ①； ② ； ③ ；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线与轴有两个交点，可得，即可判定①；由对称轴可判定②；由点在点和之间以及对称轴可知抛物线与轴的另一个交点在点和之间，即得当时，，即可判定③；顶点坐标可得 ，，即得，进而可得，即得，解不等式组可判定④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴有两个交点， ∴，故①错误； ∵抛物线的顶点为， ∴对称轴， ∴ ，故②正确； ∵抛物线与轴的交点在点和之间，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间， ∴当时，，即 ，故③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴ ，， ∴ ，， ∴抛物线， 当时，， 解得，， ∴， ∵点在点和之间， ∴， 解得，故④正确； 综上，结论中正确的有个， 故选：． 9. 如图，已知四边形， ， ，连接，，以A为圆心， 为半径画弧，以B为圆心，为半径画弧交于点E，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，先根据勾股定理求出长，然后得到根据平行线的性质和等边对等角得到，然后根据计算解题． 【详解】解：∵， ， ∴，， 又∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 观察下面的变形规律：，，，，…回答问题：若，则的值为（ ） A. 100 B. 98 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中给出的等式可以找到规律，找出规律，即第n个等式为，本题得以解决． 【详解】 ， 经检验，x=98是原方程的解， 故答案选B. 【点睛】本题考查了规律开题——数字的变化类，解分式方程，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，写出相应的等式． 11. 将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示123的有序数对是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中的数字，可以发现每排的数字个数和每排中数字的排列顺序，从而可以得到123在第多少排，然后即可写出表示123的有序数对，本题得到解决． 【详解】解：由图可知， 第一排1个数， 第二排2个数，数字从大到小排列， 第三排3个数，数字从小到大排列， 第四排4个数，数字从大到小排列， …， 则前n排的数字共有个数， ∵当n=15时，， ∴123在第16排， ∴表示123的有序数对是（16，14）， 故选：C． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出表示123的有序数对． 12. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正方形的性质设，再根据点的横坐标为和点在反比例函数的图象上，分别写出点，，的坐标，然后根据点在反比例函数的图象上，得出用表示，再求出点的坐标，根据在反比例函数的图象上，求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵点的横坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：(舍去)或， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选： A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，正方形的性质，求代数式的值，解二元一次方程等知识，解题的关键是根据正方形的性质，结合点在反比例函数图象上，设出其中一个点的坐标，再表示出其他点的坐标． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 可因式分解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用十字相乘法即可对多项式进行因式分解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用十字相乘法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法． 14. 若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有_______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6， ，，，， 解得：，，1，， ，，，， 其中x的值为整数有：，1， ，共4个． 故答案为：4． 15. 如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理等知识，利用正方形和旋转的性质得出，进而利用勾股定理得出的长，进而得出 的长即可． 【详解】解：由题意可得出：， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中， 故答案为： 16. 赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【详解】解：当时，， ∵， ∴①， 当时，， ∴②， ，得：， ∴． 故答案为：． 17. 马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，则满足条件的关灯方法有________种． 【答案】10 【解析】 【分析】此题考查了排列组合的实际应用，理解题意，转化思路是解题的关键．根据题意要关掉其中的3盏，不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，相当于在6盏亮着的灯中插入3盏不亮的灯，6盏亮着的灯中有5个空隙，且不能插在两端，进而求解即可． 【详解】解：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，相当于在6盏亮着的灯中插入3盏不亮的灯， ∵6盏亮着的灯中有5个空隙，且不能插在两端， ∴插入的方法有(种) ∴满足条件的关灯方法有10种． 故答案为：10． 18. 关于的方程给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有3个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ⑤存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中正确命题的序号是______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数形结合的思想，判断方程根的个数，能够准确根据题意画出图象是解答本题的关键． 根据题意可令，则方程化为，结合的图象，根据和的值以及范围判断即可求解． 【详解】解：根据题意可令，则方程化为， 设方程的两根为，，不妨设，则，得， 则，结合的图象可知： 当时，， 原方程有个不同的实根； 当时，， 原方程有个不同的实根； 当时， ， ， 原方程有个不同的实根； 当时，， 原方程有个不同的实根； 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 如图1，在中，，以为直径作交于点，且． （1）求证： 是的切线； （2）如图2，在上取一点，连接，， ．若，． ①求的长； ②求的面积． 【答案】（1） 证明：方法一：连接， 是的直径，． ，为的垂直平分线． ， ， ，即． 又 为的半径，是的切线． 方法二：连接． ， ． ． 又，， 为的中位线． ， ，即． 又 为的半径，是的切线． （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了圆的几何性质、切线的判定定理、勾股定理和三角形面积计算公式，熟练掌握是解题的关键． （1）即证明，方法一：连接，则，得为的垂直平分线，，根据等腰三角形性质可得 ， ，即．方法二：连接，则， ，再证明为的中位线，得 ，即可得证． （2）①先求出的长，因为为直径，所以是直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；②过点作与点，根据圆周角性质得 ，易得 ，再根据勾股定理求出 ，得、 的长，即可求出的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①方法一：在中，， ，则， 是的直径， ． 在中，，， ． 方法二：在中，， ， ， ， 是的直径， ． 在中，，， ． ②过点作与点． ， 又， ， ， 在 和 中， ， ． ． 的面积为： ． 的面积为3． 20. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点 ，求该二次函数的表达式． （3）已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对， ，都满足，求证：． 【答案】（1） （2） （3） 证明：二次函数化为一般式得， ∴， ∵和是该二次函数图象上任意两点， ∴，， ∴ ， ∵， ， ∴，， ∴原式， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵二次函数对称轴直线为， ∴当时，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴的计算，二次函数平移的性质，函数增减性式关键． （1）根据解析式得到对称轴直线为，再代入计算函数值即可求解； （2）由题意得平移后的解析式为，将代入，运用待定系数法即可得到解析式； （3）根据题意得到，结合题意得到，，所以原式，可得，结合二次函数顶点坐标即可求解． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， 当时，， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得平移后的解析式为，将代入， ∴， ∴ ， ∴二次函数表达式为； 【小问3详解】 略 21. 一般地，个相同的因数相乘，记为， 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 (即) ．一般地，若且， 则叫做以为底的对数， 记为 (即) ．如 ， 则4叫做以3为底81的对数， 记为 (即) ． （1）计算下列各对数的值： ； ； ． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? （4） 根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 【答案】（1）2，4，6；（2）4×16=64，；（3）；（4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数的定义求解可得； （2）观察三个数字及对应的结果，找出规律； （3）将找出的规律写成一般形式； （4）设，，利用转化可推导． 【详解】（1）∵ ,, ∴2，4，6 （2）4、16、64的规律为：4×16=64 ∵2+4=6，∴ （3）根据（2）得出的规律，我们一般化，为： （4）设， 则， ∴ ∴ ∴，得证 【点睛】本题考查指数运算的逆运算，解题关键是快速学习题干告知的运算法则，找出相应规律． 22. 阅读材料并解答下列问题：下面是关于杨辉三角的介绍． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． （1）判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； （2）结合杨辉三角解决以下问题： ①计算（结果用乘方表示）：； ②猜想：的展开式中含项的系数是多少． （3）运用：若今天是星期六，那么再过天是星期几． 【答案】（1）六，15 （2）①；② （3）日 【解析】 【分析】（1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1， 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1， 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1， 故的第三项的系数是15； 【小问2详解】 解：①根据杨辉三角规律：的展开式系数为，    即：， 代入， ∴； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故的展开式中含项的系数是； 【小问3详解】 解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期六往后数天是星期日． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年湖南省湘潭市第一中学创新班选拔考试数学试题 满分：120分 时间：120分钟 一、单选题（每小题4分，共48分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如果不等式组无解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 某校为了解初三学生每周参与垃圾分类的次数情况，倡导环保意识，随机抽测了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下统计表： 垃圾分类次数（次） 0 1 2 3 4 5 人数（人） 1 2 9 12 10 6 那么关于这次垃圾分类情况的调查和数据分析，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3次 B. 中位数是3次 C. 平均数是3.5次 D. 样本容量是40 4. 如图，五边形是正五边形，是的中点，连接，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是李明在学校数学推理社团课的部分笔记，请根据笔记推理过程计算：（ ） 求的值 解：令， 则 故， 因此 A. B. C. D. 6. 某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在等边中，，点从出发，沿路线以每秒1个单位的速度运动，同时点从出发，沿路线以相同速度运动，当P、Q两点相遇同时停止运动．设两点运动时间为秒的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，抛物线的顶点为，与轴的交点在点和之间，以下结论中正确的有（ ） ①； ② ； ③ ；④ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 如图，已知四边形， ， ，连接，，以A为圆心， 为半径画弧，以B为圆心，为半径画弧交于点E，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 2 D. 4 10. 观察下面的变形规律：，，，，…回答问题：若，则的值为（ ） A. 100 B. 98 C. 1 D. 11. 将正整数按如图所示的规律排列，若有序数对表示第排，从左到右第个数，如表示9，则表示123的有序数对是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 可因式分解为__________． 14. 若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有_______个． 15. 如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为_____． 16. 赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给x赋不同的值，可得的值为____． 17. 马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九只路灯，现要关掉其中的3盏，但不能关掉相邻的2盏或3盏，也不能关掉两端的2盏，则满足条件的关灯方法有________种． 18. 关于的方程给出下列四个命题： ①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有3个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ④存在实数，使得方程恰有5个不同的实根； ⑤存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中正确命题的序号是______________. 三、解答题（本大题共4小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 如图1，在中，，以为直径作交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）如图2，在上取一点，连接，，．若，． ①求的长； ②求的面积． 20. 已知二次函数． （1）求该二次函数图象的顶点坐标． （2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点 ，求该二次函数的表达式． （3）已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对， ，都满足，求证：． 21. 一般地，个相同的因数相乘，记为， 如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 (即) ．一般地，若且， 则叫做以为底的对数， 记为 (即) ．如 ， 则4叫做以3为底81的对数， 记为 (即) ． （1）计算下列各对数的值： ； ； ． （2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? （4） 根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论． 22. 阅读材料并解答下列问题：下面是关于杨辉三角的介绍． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． （1）判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； （2）结合杨辉三角解决以下问题： ①计算（结果用乘方表示）：； ②猜想：的展开式中含项的系数是多少． （3）运用：若今天是星期六，那么再过天是星期几． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $