精品解析：2025年湖南湘潭大学附属实验学校创新人才实验班自主招生考试数学试题

湘潭大学附属实验学校2025年创新人才实验班自主招生考试 数学试题 亲爱的同学，欢迎你参加湘潭大学附属实验学校自主招生考试，为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分，满分为120分，考试时间为120分钟． 2、请在答题卡上写好姓名、初中毕业学校． 3、选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹． 4、非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效． 5、所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上． 6、请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．祝你成功！ 一、单选题（每个小题只有一个答案是正确的，每小题4分，共32 分．） 1. 根据尺规作图的痕迹判断点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理与无理数，利用基本作图得到，，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点表示的实数． 【详解】解：根据作图得，， ， ， ∴点表示的数为． 故选：C． 2. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： H O C N H O C N 共有种等可能出现的结果，所选小球含“”的有6种， 所选小球含“”的概率为， 故选：D． 3. 已知、、为的三边，且满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理的逆定理，将等式化为是解题的关键． 将等式化为，根据等式成立的条件进而判定三角形的形状即可． 【详解】解： ①当时，上式成立，此时为等腰三角形； ②当时，上式为，此时为直角三角形； 故选：D． 4. 设a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，利用根的定义将高阶项降次，根与系数的关系求出的值，进行变形代入计算是解决本题的关键． 先利用根的定义将高阶项降次，对原式变形化简，再结合根与系数的关系代入的值计算即可． 【详解】解：∵ a，b为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 原式 ． 故选：A． 5. 如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用矩形的性质，结合勾股定理求出的长，证明，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形，，，点E为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 6. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据总利润=每台利润×销售量，分别表示出每台利润和销售量即可列出方程． 【详解】解：设每台冰箱定价元， ∵每台进货价为2500元， ∴每台利润为元． ∵原销售价为2900元， ∴销售价降低了元， 又∵每降低50元，平均每天多售出4台， ∴多售出的台数为， ∴平均每天总销售量为台． ∵总利润平均每天为5000元， ∴可得方程． 7. 定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或， 故选C． 8. 一次技能比赛中（满分100分），A，B，C，D，E五人的成绩都大于90分，且互不相同（均为整数），A成绩第一名；E成绩96分，排第三名；A，B，C平均分为95分；B，C，D平均分为94分．则D成绩为（）分． A. 97 B. 95 C. 94 D. 93 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平均分求出A与D的分数差，再结合A是第一名、E第三名得96分、所有成绩为不同整数且大于90分不超过满分100分的条件，逐一排除A的不合理取值，即可得到D的成绩． 【详解】解：∵A，B，C平均分为95分， ∴， ∵B，C，D平均分为94分， ∴， 两式相减得，即． ∵A是第一名，E排第三名且分，满分100分， ∴，且A为整数， ∴A的可能取值为97，98，99，100，对应D的取值为94，95，96，97； ∵五人成绩互不相同，， ∴，排除的情况； 若，则此时最高分是97分，E成绩96分排第二名，与题干“E成绩96分，排第三名”矛盾，故排除； 若，则，此时D在第四名，那么B，C中有一个人在第二名，此时， 因为第二名的成绩在第一名（98分）和第三名（96分）之间，故第二名的成绩为97分， 所以B或C其中一个为97，另一个数为，不符合成绩大于90分的要求，排除； 若，则，此时，存在B和C均小于96，且为两个不同的大于90的整数和为185（如94和91），符合所有条件； ∴D的成绩为97分． 二、多选题（每个小题有2个或者3个答案是正确的，每小题 6分，共18分．每个小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B. 9月体育测试中学生的不及格率为 C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条形统计图和折线统计图分别判断即可，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 【详解】解：A、测试的学生人数为： (名)， 月测试成绩为“优秀”的学生达到： (人)，故选项不符合题意； B、9月体育测试中学生的不及格率为： ，故选项符合题意； C、由折线统计图可知，从月到月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，故选项符合题意； D、月增长的“优秀”人数比月增长的“优秀”人数多，故选项符合题意． 故选：BCD． 10. 冬季是呼吸道疾病多发的季节，为预防病毒的传播，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．空气中的含药量低于时对身体无害．则下列选项正确的是（ ） A. 药物释放过程中，y与t的函数表达式是 B. 药物的释放过程需要2h C. 从开始消毒，6h后空气中的含药量低于 D. 空气中含药量不低于的时长为6h 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意及图象先确定反比例函数解析式及正比例函数解析式，然后根据题意对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、药物释放完毕后，y与t成反比例， 设， 由图象可得经过点， ∴k=3×， ∴， 当y=1时， t=， ∴正比例函数经过点， 设正比例函数解析式为y=at， 将点代入求得：a=， ∴正比例函数解析式为y=t，故A正确； B、由A选项可得，当t=时，y达到最大为1，故B错误； C、当t=6时，代入反比例函数可得： ， ∴6h后空气中的含药量低于0.25mg/m3，故C正确； D、根据图象及C选项可得：空气中含药量不低于0.25mg/m3的时长小于6h，故D错误； 故选：AC． 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的综合应用，理解题意，确定出一次函数与反比例函数解析式是解题关键． 11. 如图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延长线于点E，交BF于点F，且CE：AC＝1：2．则下列结论正确的有（ ） A. △ABE≌△ADE； B. ∠CBE＝∠CDF； C. DE＝FE； D. S△BCE：S四边形ABFD＝1：9 【答案】ABC 【解析】 【分析】由四边形ABCD为菱形，AB=AD，∠BAC=∠DAC，可证可判定A；由，可得∠ABE=∠ADE，由四边形ABCD为菱形，可得∠ABC=∠ADC，利用等角之差∠CBE=∠CDE，可判定B；连结BD交AC于O，四边形ABCD为菱形，可得BD=2OD，可证△DOE∽△DBF，可证，可判定C；根据OE为△DBF的中位线，△DOE∽△DBF，可得，由CE：AC＝1：2．可得S△BOA=S△BOC=S△BCE=S△ADO，S△DOE=2S△BCE，可求可判定D． 【详解】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=AD，∠BAC=∠DAC， ∴在△ABE和△ADE中， ， ∴ 故选项A正确； ∵ ∴∠ABE=∠ADE， ∵四边形ABCD为菱形， ∴∠ABC=∠ADC， ∴∠CBE=∠ABE-∠ABC =∠ADE-∠ADC=∠CDE， 故选项B正确； 连结BD交AC于O， ∵四边形ABCD为菱形， ∴DO=BO，OE⊥BD， ∴BD=2OD， ∵BF∥AE， ∴∠DOE=∠DBF，∠DEO=∠F， ∴△DOE∽△DBF， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵DO=OB，DE=EF， ∴OE为△DBF的中位线， ∴BF=2OE， ∵△DOE∽△DBF， ∴ ∴ ∵CE：AC＝1：2． ∴AC=2CE， ∴AO=OC=CE， ∴S△BOA=S△BOC=S△BCE=S△ADO， ∴S△DOE=2S△BCE， ∴ 故选项D不正确． 故选择ABC． 【点睛】本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，三角形面积与四边形面积是解题关键． 三、填空题（每小题 4分，共12 分．） 12. 两个半径相等的半圆按如图所示放置，半圆的圆心落在半圆的圆弧上，半圆的一个直径端点与的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 连接，，过点作于点，先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，再根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 由题意可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点，作于点，得到，，设正六边形的边长为，则，求出，得到，继而得到，，求得，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，作于点， ，， 设正六边形的边长为，则， ， 正六边形的一个内角为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 14. 任意取一个正整数，如果它是奇数，就将该数乘3再加1；如果它是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过若干次计算后，得到的结果必然是1（结果为1时停止计算），每一次计算称为一次变换．根据上述运算法则，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】采用逆推法，从最终结果出发，根据变换规则反向推导每一步可能的正整数，结合变换停止规则排除不符合要求的结果，最终得到初始值的最小值． 【详解】设初始值，第次变换后结果为，由题意得，根据变换规则逆推： 1．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 2．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 3．若第次变换后的结果为，存在两种可能或，会提前停止变换，不符合要求，仅保留 4．若第次变换后的结果为，仅存在一种可能 5．若第次变换后的结果为，存在两种可能或 6．若第次变换后的结果为，仅得；若第次变换得，仅得，故可能为 7．若第次变换后的结果为，得或；若第次变换得，得或，故可能为 8．逆推初始值：得到所有可能值为，其中最小的正整数为． 四、解答题（每本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15. 图中正五边形内接于中，连接，，，交于点F． （1）求证：； （2）求证：F点为的黄金分割点． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质及黄金分割点的证明；解题的关键是利用正五边形的弧与角的关系，通过等腰三角形性质和相似三角形（正确的是）推导黄金分割关系． （1）利用正五边形内角和与等腰三角形性质，求出和的度数，证明两角相等，从而得到； （2）通过证明，得到比例式，结合，推导出，证明为的黄金分割点． 【小问1详解】 证明：∵ 五边形是正五边形， ∴ 每个内角为， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵的度数 ， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 证明：∵ 五边形是正五边形， ∴ ，， ∴ ，即， ∵的度数为度数与度数之和，为， ∴， 同理，， ∴ ，即， 又， ∴ ， ∴ ，即， ∵ ， ∴ ， ∴ 点为的黄金分割点． 16. [阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： （1）因式分解：； （2）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设 ，则原式可化为，利用完全平方公式因式分解为，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （2）先计算，再利用完全平方公式即可． 【小问1详解】 解：令， 则 ； 【小问2详解】 解： ， ∵n为正整数， ∴是正整数． ∴， 即代数式的值一定是某个整数的平方． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线解析式． （2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）抛物线存在点M，点M的坐标或或或 【解析】 【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）分两种情形分别求解即可解决问题； 【详解】解：（1）当x＝0时，y＝2，即C（0，2）， 当y＝0时，x+2＝0，解得x＝﹣4，即A（﹣4，0）. 由A、B关于对称轴对称，得 B（1，0）. 将A、B、C点坐标代入函数解析式，得 ， 解得， 抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2； （2）①当点M在x轴上方时，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，如图 ， 设M（m，﹣x2﹣x+2），N（m，0）. AN＝m+4，MN＝﹣m2﹣m+2， 由勾股定理，得AC＝，BC＝， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN，此时点M与点C重合，M（0，2）. 当△ANM∽△BCA时，∠MAN＝∠ABC，此时M与C关于抛物线的对称轴对称，M（﹣3，2）. ②当点M在x轴下方时， 当△ANM∽△ACB时，∠CAB＝∠MAN， 此时直线AM的解析式为y＝﹣x﹣2， 由，解得或， ∴M（2，﹣3）， 当△ANM′∽△BCA时，∠MAN＝∠ABC， 此时AM′∥BC， ∴直线AM′的解析式为y＝﹣2x﹣8， 由，解得或， ∴M（5，﹣18） 综上所述：抛物线存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似，点M的坐标（﹣3，2）或（0，2）或（2，﹣3）或（5，﹣18）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，准确计算是解题的关键． 18. [阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示 第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： （1）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） （2）如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 【答案】（1） （2）（i）；；（ii）见解析 【解析】 【分析】（1）首先明确是满七进一的七进制计数，从右到左对应七进制的位，所以先读取每根绳子上的结数，再根据七进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的7的幂次后求和． （2）（i）首先明确编码规则是黑色为1、白色为0，从左到右对应二进制的高位到低位，所以先读取图③第四行的颜色得到二进制数，再按二进制转十进制的规则，用每一位数字乘对应位的2的幂次后求和得到考场号．（ii）首先拆分准考证号，找到第三行和第五行对应的十进制数，然后将这两个十进制数分别转化为5位二进制数，再根据二进制数的0、1对应白色、黑色，确定需要涂黑的位置． 【小问1详解】 满七进一为七进制，从右到左的结点数依次为：右起第一位（最右）2个，第二位（中间）3个，第三位（最左）1个，转换为十进制： ，  答案：； 【小问2详解】 （i）根据规则，黑色为1，白色为0，图③第四行从左到右为：黑、白、黑、白、黑，即二进制数， 转换十进制： ，  答案：；； （ii）小芳准考证号为，按规则，第一到第五行依次对应两位十进制， 因此第三行对应，第五行对应． 设五位二进制从左到右为，对应十进制为：． ∵， ∴二进制为， 因此需要将第三行左数第3格、第5格涂黑． ∵， ∴ 二进制为， 因此需要将第五行左数第4格、第5格涂黑． 如图所示． 19. 问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； （2）自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 【答案】（1） 解：如图，连接， ，要使最小，即最小． 当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长． 在中，，，． 的最小值为． （2） （3）13 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）连接，得到当点A，P，D在同一条直线上时，最小，即的最小值为的长．求出的长即可； （2）连接，在上取点D，使，连接，，证明．得到．则．当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长，进一步求出的长即可； （3）延长到点E，使，连接，．证明．得到．．当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长．进一步求出的长即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 如图，连接，在上取点D，使，连接，，． ， ． ． ． ． 当点B，P，D在同一直线上时，的值最小，即的最小值为的长， 在中，． 的最小值为． 【小问3详解】 如图，延长到点E，使，连接，． ． ，， ． ， ． ． ． ． 当E，P，B三点共线时，取得最小值，即的最小值为的长． 在中，． 的最值为13． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘潭大学附属实验学校2025年创新人才实验班自主招生考试 数学试题 亲爱的同学，欢迎你参加湘潭大学附属实验学校自主招生考试，为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分，满分为120分，考试时间为120分钟． 2、请在答题卡上写好姓名、初中毕业学校． 3、选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹． 4、非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效． 5、所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上． 6、请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．祝你成功！ 一、单选题（每个小题只有一个答案是正确的，每小题4分，共32 分．） 1. 根据尺规作图的痕迹判断点C表示的数为（ ） A. B. C. D. 2. 一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号，，，的小球（除元素符号外无其他差别），从袋子中随机摸出两个小球，则所选小球含“”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、为的三边，且满足，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 4. 设a，b为一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知矩形中，，，点E为的中点，连接，交对角线于点F，则（ ） A. B. C. D. 6. 某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元?设每台冰箱定价x元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是( ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 一次技能比赛中（满分100分），A，B，C，D，E五人的成绩都大于90分，且互不相同（均为整数），A成绩第一名；E成绩96分，排第三名；A，B，C平均分为95分；B，C，D平均分为94分．则D成绩为（）分． A. 97 B. 95 C. 94 D. 93 二、多选题（每个小题有2个或者3个答案是正确的，每小题 6分，共18分．每个小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是（ ） A. 10月测试成绩为“优秀”的学生人数为40人 B. 9月体育测试中学生的不及格率为 C. 从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 D. 12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多 10. 冬季是呼吸道疾病多发的季节，为预防病毒的传播，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．空气中的含药量低于时对身体无害．则下列选项正确的是（ ） A. 药物释放过程中，y与t的函数表达式是 B. 药物的释放过程需要2h C. 从开始消毒，6h后空气中的含药量低于 D. 空气中含药量不低于的时长为6h 11. 如图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延长线于点E，交BF于点F，且CE：AC＝1：2．则下列结论正确的有（ ） A. △ABE≌△ADE； B. ∠CBE＝∠CDF； C. DE＝FE； D. S△BCE：S四边形ABFD＝1：9 三、填空题（每小题 4分，共12 分．） 12. 两个半径相等的半圆按如图所示放置，半圆的圆心落在半圆的圆弧上，半圆的一个直径端点与的圆心重合，若半圆的半径为，则阴影部分的面积是______． 13. 图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为______． 14. 任意取一个正整数，如果它是奇数，就将该数乘3再加1；如果它是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过若干次计算后，得到的结果必然是1（结果为1时停止计算），每一次计算称为一次变换．根据上述运算法则，若给定一个正整数a，经过8次变换后得1，则a的最小值为_________． 四、解答题（每本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．） 15. 图中正五边形内接于中，连接，，，交于点F． （1）求证：； （2）求证：F点为的黄金分割点． 16. [阅读材料]：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决]： （1）因式分解：； （2）证明：若n为正整数，则代数式的值一定是某个整数的平方． 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝且经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B． （1）求抛物线解析式． （2）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 18. [阅读材料]：所谓进位制，就是人们规定的一种进位方法．对于任何一种进制——X进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X进一位，例如十进制是逢十进一，二进制就是逢二进一，以此类推．为与十进制进行区分，我们常把用X进制表示的数a写成（a）x．类比于十进制我们可以知道：X进制表示的数（1111）x中，右起第一位上的1表示 第二位上的1表示 第三位上的1表示 第四位上的1表 故 即： 转化为了十进制表示的数 如： 即二进制的数1111等于十进制数15． [问题解决]： （1）中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图①所示是一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量为______个．（用十进制数表示） （2）如图②，是小明同学的准考证号的二维码的简易编码，（黑色代表1，白色代表0）．其中第一行代表二进制的数字(11000)₂，转换成十进制数为24；同理第二行至第五行代表二进制的数字分别转换成十进制的两位数，依次组合到一起就是小明同学的准考证号2410072013，其中第四行编码“20”表示考场号为20． （i）图③是小亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是______，转化成十进制后可知他的考场号是_______；（直接写出答案．） （ii）若本次考试中，“小芳”的准考证号是2417051311，图④是“小芳”自己绘制的二维码简易编码，但在第三、五两行少涂黑了几个小正方形．请你写出计算过程，并帮她在图④中补充完整． 19. 问题提出：如图1，在中，，，，的半径为2，P为圆上一动点，连接，，求的最小值． （1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接，在上取一点D，使，连接，则．又因为，所以，所以．所以．所以．请你完成余下的思考，并求出的最小值； （2）自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； （3）拓展延伸：如图2，已知在扇形中，，，，，P是上一点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $