精品解析：2024年湖南省湘潭市湘钢第十二中学创新班选拔考试数学试题

湘钢一中创新班选拔考试数学科试题卷 本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、既是中心对称图又是轴对称图形，故本选项正确； 故选：D． 2. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解，即化为整式方程后，整式方程无解，或者整式方程的解是分式方程的增根，分情况讨论即可．注意考虑整式方程的解是分式方程增根的情况，属于易错题． 【详解】解：方程的增根为， 当时，化为整式方程，等号两边同时乘， 得：， 若原分式方程无解，则： ①无解， ，解得， 时，方程无解； ②的解是增根， 把代入， 得：， 时，方程无解； 的值为1或． 故选：C． 3. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点问题．二次函数与x轴有交点等价于判别式，且二次项系数，据此求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， ∴且， 解得且， 故选：A． 4. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有8个，黄色玻璃球有12个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式的应用．设袋子中蓝色玻璃球有x个，根据概率公式，可得，据此求出蓝色玻璃球的数量；然后用红色玻璃球的数量除以玻璃球的总量，即可解答． 【详解】解：设袋子中蓝色玻璃球有x个， 则， 解得， 经检验：是原方程的解， ∴随机摸出一个为红色玻璃球的概率为：． 故选：C 5. 现规定对正整数进行一种运算：，则的结果为（ ） A. 19 B. 40 C. 43 D. 以上都不正确 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可计算出的结果，进而可计算出，据此计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913－1996）曾提出：在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，求出是解题关键． 先证明，得出，，然后求出正五边形每个角的度数为，从而可得，，可计算出，根据等边对等角即可解答． 【详解】解：∵这个五边形由正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成， ∴根据正五边形的性质可得，， ∴， ∴，， ∵正五边形每个角的度数为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 7. 已知凸四边形的对角线相交于点O，且的面积分别为，．则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F，可证明得到，再证明，则可得到，即，则． 【详解】解：如图所示，分别过点B和点D作的垂线，垂足分别为E、F， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 已知均为正数，且，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是构造图形，作于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，，根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，，根据两点之间线段最短，求出结果即可． 【详解】解：构图如下，其中于点B，于点C，交延长线于点E，，，，，， 则四边形是矩形，，， 由勾股定理可知：， ， ∵， ∴的最小值为， 在中，， 由勾股定理，得， ∴的最小值是． 故选A． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知关于的方程组，其中，给出下列结论：其中正确的是（ ） A. 是方程组的解 B. 当时，的值互为相反数 C. 当时，方程组的解也是方程的解 D. 若，则． 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解二元一次方程组，得到方程组的解是解此题的关键． 解方程组得，A选项：求得，不符合；B选项：把代入求得，，即可判断；C选项：把代入求得，，即可判断；D选项：当时，求得，则，即即可判断． 【详解】解：解方程组得， A、当时，则，解得，不符合，故不合题意，故不是方程组的解，本选项错误； B、当时，，，，的值互为相反数，本选项正确； C、当时，方程组的解为，满足方程，本选项正确； D、当时，，解得， ∵， ∴， ∴， ，即，本选项正确。 故选：BCD 10. 如图，数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d，且O为原点．根据图中各点位置，判断|a－c|之值与下列选项中哪个不同（ ） A. |a|+|b|+|c| B. |a－b|+|c－b| C. |a－d|－|d－c| D. |a|+|d|－|c－d| 【答案】A 【解析】 【详解】可知|a－c|＝AC. ∵ |a|+|b|+|c|=AO+BO+CO≠AC，故A正确； ∵ |a－b|+|c－b|=AB+BC=AC，故B错误； ∵ |a－d|－|d－c|=AD－CD=AC，故C错误； ∵ |a|+|d|－|c－d|=AO+DO－CD=AC，故D错误.故选A． 11. 如图，在矩形中，，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，下列命题中正确命题的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义证明、是等腰直角三角形，求出即可判断A；设，计算即可判断B；求出，，根据等腰三角形的判定和线段的等量代换即可判断C；证明，，利用全等三角形的性质结合线段的和差代换即可判断D． 【详解】解：A．在矩形中，，． ∵平分， ∴． ∵， ∴、是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，所以A结论正确； B．设，则， ∴， ∴，所以B结论不正确； C．∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，所以C正确； D．由题意． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，所以D不正确． 故选：AC． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点． 12. 如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为、．若，取中的较小值记为；若，记．例如：当时，，此时．下列判断正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，值越大，值越小 C. 使得大于2的值不存在 D. 使得的值是或 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数和一次函数的图像与性质，解题的关键在于熟练掌握并灵活运用相关基础知识． 根据二次函数和一次函数的图像与性质逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A. 当时，由图知，判断正确，符合题意； B. 当时，值越大，值越大，判断错误，不符合题意； C. 当时，值最大，为， 使得大于2的值不存在，判断正确，符合题意； D. 使得， 第二象限图象中，，解得， 第一象限图象中，，解得或（不合题意，舍去）， 综上，使得的值是或，判断正确，符合题意； 故选：ACD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果. 【详解】解：根据题意可得： 点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度， 连接OA，与圆O交于点B， 可知：点A和圆O上点B之间的连线最短， ∵A（2，1）， ∴OA==， ∵圆O的半径为1， ∴AB=OA-OB=， ∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为， 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题. 14. 已知，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】设，则 可化为：， ∴， 两边同时平方得：，即：， ∴，解得：， ∴. 故答案为. 点睛：本题的解题要点是：设原式中的，从而使原式结构变得简单，这样应用二次根式的相关运算法则化简变形即可求得的值，使问题得到解决. 15. 如图所示，已知A点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿着轴的正方向运动，经过秒后，以、A为顶点作菱形，使、点都在第一象限内，且，又以为圆心，为半径的圆恰好与所在直线相切，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，根据四边形是菱形，得出，当与相切，即与x轴相切时，则切点为O，此时，过P作，得出 ，根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵A点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动， ∴经过t秒后， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 当与相切，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时，过P作， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，等腰三角形的性质，解直角三角形，切线的性质，解题的关键是数形结合，根据题意作出图形，熟练掌握基本性质． 16. 已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，则△BPE为等边三角形，得到PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，延长BP，作AF⊥BP于点F，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，即可得到∠APB的度数，在Rt△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在Rt△ABF中利用勾股定理求得AB的长，进而求得三角形ABC的面积． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA， 连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°， 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°+60°＝150°． ∴∠APF＝30°， ∴在直角△APF中，AF＝AP＝，PF＝AP＝． ∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+）2+（）2＝25+12． ∴△ABC的面积＝AB2＝（25+12）＝； 故答案为：． 【点睛】 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知是方程的两根 （1）求的值 （2）求的值． 【答案】（1）0 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值以及代数式求值，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先解方程得出m、n的值，进而判断出m、n均小于0，然后化简分式，最后整体代入求值即可； （2）先化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：是方程的两根， ， ， ∴原式， 是方程的两根， ， 原式； 【小问2详解】 解：， ， ， 原式． 18. 为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：元/吨） （1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值． 【答案】（1）200吨，300吨；（2），甲厂200吨全部运往B地，乙厂运往A地240吨，运往B地60吨；（3）10． 【解析】 【分析】（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可； （3）根据题意以及（2）的结论可得y=-4x+11000-500m，再根据一次函数的性质以及列不等式解答即可． 【详解】解：（1）设这批防疫物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨； 则 解得： 答：这批防疫物资甲厂生产了200吨，乙厂生产了300吨； （2）如图，甲、乙两厂调往两地的数量如下： 当x=240时运费最小 所以总运费的方案是：甲厂200吨全部运往B地；乙厂运往A地240吨，运往B地60吨． (3)由（2）知： 当x=240时， ， 所以m的最小值为10． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式求解． 19. 已知双曲线与直线相交于、两点．第一象限上的点（在点左侧）是双曲线点上的动点，过点作轴交轴于点．过作轴交双曲线于点，交于点． （1）若点坐标是，求、两点坐标及的值． （2）若是的中点，四边形的面积为4，求直线的解析式． 【答案】（1）；；k=16；（2） 【解析】 【分析】（1）根据D点的横坐标为-8，求出点B的横坐标代入中，得，得出B点的坐标，即可得出A点的坐标，再根据求出即可； （2）根据，即可得出k的值，进而得出B，C点的坐标，再求出解析式即可． 【详解】解：（1）∵， ∴点的横坐标为，代入中，得． ∴点坐标为． ∵、两点关于原点对称， ∴． ∴； （2）∵，是的中点，、、、四点均在双曲线上， ∴，，，． ，，， ∴． ∴． ∵在双曲线与直线上， ∴， 解得或（舍去） ∴，． 设直线的解析式是， 把和代入得：， 解得． ∴直线的解析式是． 【点睛】本题考查反比例函数解析式，一次函数解析式，掌握反比例函数解析式，一次函数解析式待定系数求法，关键是点B横纵坐标关系，以及构造方程组解决问题． 20. 如图：是以为直径的圆上任意一点，且不与点、重合，点是弧的中点，作，交或其延长线于，连接交与，，过作交延长线于点与相切，． （1）求的长， （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明四边形是平行四边形，易得，由点是弧的中点可知，然后利用勾股定理解的值即可； （2）首先证明，由相似三角形的性质解得的值，再证明四边形是菱形，易得，，，然后在和中，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接，如图， 与相切， ， ， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 点是弧的中点， ， 是的直径， ， ； 【小问2详解】 如下图，连接，交于点， ∵， ， ， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， 在中，可有， 在中，可有． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、圆弧与弦的关系、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 21. 如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC． （1）∠ABC的度数为 °； （2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）45，（2）（3）存在，当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的解析式，分别让x=0、y=0，可求出B、C的坐标，然后根据坐标可判断三角形为等腰直角三角形，求出∠ABC的度数； （2）如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，可求得对称轴，然后可设P的坐标为（，n），然后根据PA=PC，再根据勾股定理可列式，代入可求P的坐标； （3）存在，由P点的坐标，A（-1,0），可根据勾股定理的逆定理判断△APC是等腰直角三角形，然后可由相似判断出△QBC是等腰直角三角形，结合图①②，可分两种情况讨论,并且由二次函数的最值问题求出点的坐标. 【详解】解：（1）45． 理由如下：令x=0，则y=-m， C点坐标为（0，-m）． 令y=0，则， 解得，． ∵0＜m＜1，点A在点B的左侧， ∴B点坐标为（m，0）． ∴OB=OC=m． ∵∠BOC＝90°， ∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°． （2）解法一：如图①，作PD⊥y轴，垂足为D， 设l与x轴交于点E， 由题意得，抛物线的对称轴为． 设点P坐标为（，n）． ∵PA= PC， ∴PA2= PC2， 即AE2+ PE2=CD2+ PD2． ∴． 解得． ∴P点的坐标为． 解法二：连接PB． 由题意得，抛物线的对称轴为． ∵P在对称轴l上， ∴PA=PB． ∵PA=PC， ∴PB=PC． ∵△BOC是等腰直角三角形， 且OB=OC， ∴P在BC的垂直平分线上． ∴P点即为对称轴与直线的交点． ∴P点的坐标为． （3）存在点Q满足题意． ∵P点的坐标为， ∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2 =． ∵AC2=， ∴PA2+ PC2=AC2． ∴∠APC＝90°． ∴△PAC是等腰直角三角形． ∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似， ∴△QBC是等腰直角三角形． ∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）． ①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时， 若PQ与x轴垂直，则， 解得，PQ=． 若PQ与x轴不垂直， 则． ∵0＜m＜1， ∴当时，取得最小值，PQ取得最小值． ∵＜， ∴当，即Q点的坐标为（，0）时， PQ的长度最小． ②如图②，当Q点的坐标为（0，m）时， 若PQ与y轴垂直，则， 解得，PQ=． 若PQ与y轴不垂直， 则． ∵0＜m＜1， ∴当时，取得最小值，PQ取得最小值． ∵＜， ∴当，即Q点的坐标为（0，）时， PQ的长度最小． 综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小． 【点睛】考点：二次函数与几何综合 22. 阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． （1）如图1，已知，，则_____； （2）如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； （3）如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得出A，B，C，D四点共圆，则，即可得出结果； （2）在线段取一点，使得，推出， 得出，证出，则，再证出，由证得得出是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）作于，则是的中点，连接，，则，得出E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，则，，得出是等边三角形，，作，则M为的中点，得出，，由勾股定理求出即可得出结果． 【小问1详解】 解：， 四点共圆， ． 故答案为： 【小问2详解】 在线段取一点，使得，如图2所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， ， 是等腰直角三角形， ； 【小问3详解】 作于，则是的中点，连接，，如图3所示： ， 、、、和、、、分别四点共圆， ，， 是等边三角形， ， 作，则为的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆的判定、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘钢一中创新班选拔考试数学科试题卷 本试卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 无法确定 3. 二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 4. 一个不透明的袋子中有除颜色外其余都相同的红、黄、蓝色玻璃球若干个，其中红色玻璃球有8个，黄色玻璃球有12个，已知从袋子中随机摸出一个蓝色玻璃球的概率为，那么，随机摸出一个为红色玻璃球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 现规定对正整数进行一种运算：，则的结果为（ ） A. 19 B. 40 C. 43 D. 以上都不正确 6. 匈牙利著名数学家爱尔特希（P．Erdos，1913－1996）曾提出：在平面内有个点，其中每三个点都能构成等腰三角形，人们将具有这样性质的个点构成的点集称为爱尔特希点集．如图，是由五个点构成的爱尔特希点集（它们为正五边形的任意四个顶点及正五边形的中心构成），则的度数是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知凸四边形的对角线相交于点O，且的面积分别为，．则的面积为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知均为正数，且，则的最小值是（ ） A. B. 6 C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知关于的方程组，其中，给出下列结论：其中正确的是（ ） A. 是方程组的解 B. 当时，的值互为相反数 C. 当时，方程组的解也是方程的解 D. 若，则． 10. 如图，数轴上的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d，且O为原点．根据图中各点位置，判断|a－c|之值与下列选项中哪个不同（ ） A. |a|+|b|+|c| B. |a－b|+|c－b| C. |a－d|－|d－c| D. |a|+|d|－|c－d| 11. 如图，在矩形中，，的平分线交边于点，于点，连接并延长交边于点，连接交于点，下列命题中正确命题的有（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为、．若，取中的较小值记为；若，记．例如：当时，，此时．下列判断正确的有（ ） A. 当时， B. 当时，值越大，值越小 C. 使得大于2的值不存在 D. 使得的值是或 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____． 14. 已知，则________． 15. 如图所示，已知A点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿着轴的正方向运动，经过秒后，以、A为顶点作菱形，使、点都在第一象限内，且，又以为圆心，为半径的圆恰好与所在直线相切，则_________． 16. 已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝_____． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知是方程的两根 （1）求的值 （2）求的值． 18. 为了抗击新冠疫情，我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨，这批防疫物资将运往A地240吨，B地260吨，运费如下：（单位：元/吨） （1）求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨？ （2）设这批物资从乙厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案； （3）当每吨运费降低m元，（且m为整数），按（2）中设计的调运方案运输，总运费不超过5200元，求m的最小值． 19. 已知双曲线与直线相交于、两点．第一象限上的点（在点左侧）是双曲线点上的动点，过点作轴交轴于点．过作轴交双曲线于点，交于点． （1）若点坐标是，求、两点坐标及的值． （2）若是的中点，四边形的面积为4，求直线的解析式． 20. 如图：是以为直径的圆上任意一点，且不与点、重合，点是弧的中点，作，交或其延长线于，连接交与，，过作交延长线于点与相切，． （1）求的长， （2）求的长． 21. 如图，已知二次函数（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC． （1）∠ABC的度数为 °； （2）求P点坐标（用含m的代数式表示）； （3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 22. 阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． （1）如图1，已知，，则_____； （2）如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； （3）如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $