专题3 三角形中蕴含的数学五种思想方法 专项训练 2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 以三角形为载体系统整合方程、分类讨论等五种数学思想，通过梯度题型构建“思想-方法-应用”逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程思想|8题|设未知数建立等量关系（内角和、角平分线）|三角形内角和→等腰三角形性质→多边形外角| |分类讨论思想|6题|按边/角/位置分类（等腰三角形边长、倍角）|三角形三边关系→等腰三角形不确定性→多解问题| |转化思想|6题|辅助线转化（规形图、折叠、平行线）|复杂图形→三角形内角和→角度计算| |整体思想|3题|面积/角度整体代换（三等分线、二环多边形）|面积比→角度和→多边形内角和公式| |从特殊到一般思想|1题|归纳推理（凹多边形内角关系）|特殊图形验证→一般规律推导|

专题3 三角形中蕴含的数学五种思想方法 类型一 方程思想 1．（2025秋•泸州期末）如图，根据图上标注的信息，则α的大小为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 2．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是△ACB的角平分线，CE是△ABC的高．若∠DCE＝48°，则∠ACB的度数为（　　） A．28° B．29° C．30° D．31° 3．（2025•阿拉尔二模）如果正多边形的一个外角为45°，那么它的边数是 　 　 ． 4．（2026春•同步）一个四边形四个内角的度数之比为1：2：3：3，求这四个内角的度数． 5．（2025秋•霍邱县期末）在△ABC中，AB＝AC． （1）若∠B＝2∠A，求∠C的度数； （2）若∠B＝60°，且BC＝8，求△ABC的周长． 6．（2026春•深圳期中）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC，AE平分∠BAC． （1）若∠B＝30°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　 ； （2）计算：若∠C﹣∠B＝50°，求∠DAE的度数； （3）猜想：∠DAE、∠B、∠C的关系 　 　 ． 7．（2025秋•巢湖市期末）如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C＝2∠B，∠BFC﹣∠BEC＝20°，求∠C的度数． 8．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数． 类型二 分类讨论思想 9．（2025•光山县二模）已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C．或 D．无法确定 10．（2026春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝4BD，AD＝3AE，F为CE中点，若△ABC的面积为36，则S△DEF＝　 　 ． 11．（2026•邯郸校级二模）已知三角形的三边长分别为3，5和2x﹣1，则整数x的最大值为 　 ． 12．如果三角形的一个内角是另一个内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形． （1）若2倍角三角形的一个内角为50°，则这个2倍角三角形中最大的内角的度数为　 　 ． （2）若一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，则该三角形中最小的内角的度数为　 ． 13．（2024•徐汇区三模）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为　 ． 14．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B，C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°． （1）如图①，已知AB∥ON，则∠ABO的度数是　 　 ．当∠BAD＝∠ABD时，x＝　 　 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝　 　 ． （2）如图②，若AB⊥OM于点A，是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 类型三 转化思想 15．（2025秋•辽阳校级期中）阅读与思考 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规，故把这样的图形叫作“规形图”．学习三角形之后发现，我们可以通过添加辅助线的方法将其转化为三角形问题，这一方法也常用来解决三角形中求角度的问题． 任务一：在上述阅读材料的思维过程，体现了数学中的C ． A．整体思想 B．方程思想 C．转化思想 D．分类讨论思想 任务二：观察“规形图”，试探究∠BDC与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由． 任务三：如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝48°，则∠ABD+∠ACD＝　 　 ． 16．（2025春•南海区校级月考）数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”． （1）阅读理解：如图1，已知三角形ABC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．阅读并补充下列推理过程： 解：过点A作DE∥BC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠CAE（　 ） ∵∠DAB+∠BAC+∠CAE＝　 　 ， ∴∠BAC+∠B+∠C＝ 　 ． （2）方法运用：如图2，已知AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝35°，求∠AEC的度数； （3）如图3，已知AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝125°，求∠AEC的度数； （4）拓展探索：如图4，已知AB∥CD，点E、F是AB、CD上的点，N是AB、CD之间的一点，分别作∠AEN、∠CFN的平分线，交于点M，若∠ENF＝55°，直接写出∠EMF的度数． 17．如图是一个五角星的多边形纸片，被小玉剪去了一个角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数． 18．（2026春•分宜县校级月考）如图，把一张三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为（　　） A．180° B．270° C．360° D．450° 19．（2024秋•平舆县期中）根据下列各图求值： （1）如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4； （2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6； （3）如图3，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8； （4）如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G． 类型四 整体思想 20．（2025秋•河东区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是 ． 21．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线分别交于点E，D，F，G，若∠BFC＝132°，∠BGC＝118°，求∠A的度数． 22．（2025•澧县三模）如图，把图（a）称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1；把图（b）称为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 　 　 度．（用含n的式子表示） 类型五 从特殊到一般的思想 23．（2025•普陀区模拟）发现 如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4…An中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An﹣（n﹣4）×180°． 验证 （1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D． （2）如图3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°． 延伸 （3）如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的n边形A1A2A3A4……An中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣　 　 ）×180°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 三角形中蕴含的数学五种思想方法 类型一 方程思想 1．（2025秋•泸州期末）如图，根据图上标注的信息，则α的大小为（　　） A．100° B．105° C．115° D．120° 【分析】根据邻补角的概念求出∠1，再根据三角形的外角性质计算，得到答案． 【解答】解：∠1＝180°﹣（α﹣15°）＝195°﹣α， 由三角形的外角性质可得：α＝195°﹣α+45°， 解得：α＝120°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、邻补角的概念，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠A＝∠ACB，CD是△ACB的角平分线，CE是△ABC的高．若∠DCE＝48°，则∠ACB的度数为（　　） A．28° B．29° C．30° D．31° 【分析】根据三角形的内角和定理及角平分线、中线和高的性质即可解答． 【解答】解：由题可得： 设∠A＝2x，则∠ACB＝2x，∠ACD＝x， ∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝3x， ∵∠DCE＝48°， ∴∠CDB＝90°﹣48°＝42°， ∴x＝14°， ∴∠ACB＝2x＝28°， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及角平分线、中线和高的性质，熟练掌握三角形的内角和定理及角平分线、中线和高的性质是解题的关键． 3．（2025•阿拉尔二模）如果正多边形的一个外角为45°，那么它的边数是 　8　 ． 【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的个数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数． 【解答】解：∵多边形的外角和为360°， ∴边数＝360°÷45°＝8， 那么它的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记． 4．（2026春•同步）一个四边形四个内角的度数之比为1：2：3：3，求这四个内角的度数． 【分析】根据四边形内角和为360°进行计算即可． 【解答】解：最小的内角为：360°， 较大的内角为：40°×2＝80°， 最大的两个内角为：40°×3＝120°． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）． 5．（2025秋•霍邱县期末）在△ABC中，AB＝AC． （1）若∠B＝2∠A，求∠C的度数； （2）若∠B＝60°，且BC＝8，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，从而可得∠C＝2∠A，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答； （2）根据已知易得：△ABC是等边三角形，从而可得AB＝BC＝AC＝8，然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠B＝2∠A， ∴∠C＝2∠A， ∵∠B+∠A+∠C＝180°， ∴2∠A+∠A+2∠A＝180°， 解得：∠A＝36°， ∴∠C＝2∠A＝72°； （2）∵AB＝AC，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝8， ∴△ABC的周长＝24． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2026春•深圳期中）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD⊥BC，AE平分∠BAC． （1）若∠B＝30°，∠C＝64°，则∠DAE＝　17°　 ； （2）计算：若∠C﹣∠B＝50°，求∠DAE的度数； （3）猜想：∠DAE、∠B、∠C的关系 　∠DAE（∠C﹣∠B）　 ． 【分析】（1）先求得∠BAC的度数，然后求得∠CAE和∠CAD的度数，最后求得∠DAE的度数； （2）先用含有∠B和∠C的式子表示∠BAC，然后表示出∠CAE和∠CAD，最后求得∠DAE的度数； （3）利用（2）中过程求得∠DAE、∠B和∠C的关系． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣64°＝86°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC∠BAC86°＝43°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°， ∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝43°﹣26°＝17°， 故答案为：17°． （2）∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）， ∵∠C﹣∠B＝50°， ∴∠DAE50°＝25°． （3）∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝90°﹣∠C， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE∠BAC（180°﹣∠B﹣∠C）， ∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）（∠C﹣∠B）， 故答案为：∠DAE（∠C﹣∠B）． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是能够熟练应用三角形内角和定理求得∠BAC和∠CAD的度数． 7．（2025秋•巢湖市期末）如图，点E在AC上，点F在AB上，BE，CF交于点O，且∠C＝2∠B，∠BFC﹣∠BEC＝20°，求∠C的度数． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式表示出∠BFC和∠BEC，然后列出方程求出∠C、∠B即可． 【解答】解：由三角形的外角性质，∠BFC＝∠A+∠C，∠BEC＝∠A+∠B， ∵∠BFC﹣∠BEC＝20°， ∴（∠A+∠C）﹣（∠A+∠B）＝20°， 即∠C﹣∠B＝20°， ∵∠C＝2∠B， ∴∠B＝20°，∠C＝40°． 【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 8．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数． 【分析】先设∠A＝x，根据三角形内角和定理列出方程，求得x的值，最后根据直角三角形求得∠CBD的 度数． 【解答】解：设∠A＝x，则∠C＝∠ABCx， ∵BD是边AC上的高 ∴∠ADB＝∠CDB＝90° ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣x ∠CBD＝90°﹣∠C＝90°x ∴90°﹣x+90°xx 解得x＝45° ∴∠CBD＝90°﹣∠C＝90°x＝22.5° 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：三角形内角和是180°．解题时注意方程思想的运用． 类型二 分类讨论思想 9．（2025•光山县二模）已知一等腰三角形的周长为，其中一边长，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【分析】由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解，然后对两种情况进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，分一边长为腰，一边长为底边两种情况求解； ①当一边长为腰时，则底边长为， ∵， ∴此时不能构成三角形，舍去； ②当一边长为底边时，则腰长为； 综上所述，腰长为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质．熟练掌握二次根式的加减运算，三角形的三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键． 10．（2026春•沙坪坝区校级期中）如图，在△ABC中，BC＝4BD，AD＝3AE，F为CE中点，若△ABC的面积为36，则S△DEF＝　9　 ． 【分析】根据线段比例，可得． 【解答】解：在△ABC中，BC＝4BD，AD＝3AE，F为CE中点， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查三角形的面积，三角形的中线，掌握以上知识点是解题的关键． 11．（2026•邯郸校级二模）已知三角形的三边长分别为3，5和2x﹣1，则整数x的最大值为 　4　 ． 【分析】根据“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”求解即可． 【解答】解：根据题意得：5﹣3＜2x﹣1＜5+3， 即2＜2x﹣1＜8， 解得：， ∴整数x的最大值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了三角形三边关系．根据“三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可求解． 12．如果三角形的一个内角是另一个内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形． （1）若2倍角三角形的一个内角为50°，则这个2倍角三角形中最大的内角的度数为　100°或105°或（）°　 ． （2）若一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，则该三角形中最小的内角的度数为　30°或20°或18°或（）°　 ． 【分析】（1）在△ABC中，先设定一个角∠B＝50°，再分类讨论∠A＝2∠B、∠C＝2∠A、∠B＝2∠C时的情况，根据三角形内角和180°求解各个角的度数，即可求出最大内角度数； （2）设最小内角度数为x°，再分类讨论2倍角为2x°、6x°、3x°，3倍角对应为3x°、6x°、3x°、3x°的情况，根据三角形内角和180°求解各个角的度数，即可求出最小内角度数． 【解答】解：（1）设在△ABC中，∠B＝50°，根据三角形n倍角三角形定义，有如下可能： ①若∠A＝2∠B＝100°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣50°＝30°， ∴△ABC中，最大的角为100°， ②若∠C＝2∠A， ∴由三角形内角和180°，得∠A＝（）°，∠C＝（）°， ∴△ABC中，最大的角为（）°， ③若∠B＝2∠C，则∠C＝25°， ∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝105°， ∴△ABC中，最大的角为105°， 故答案为：100°或（）°或105°； （2）①设最小内角度数为x°，2倍角为2x°，3倍角为3x°， ∴x°+2x°+3x°＝180°，解得：x°＝30°， ②设最小内角度数为x°，2倍角度数为2x°，3倍角度数为6x°， ∴x°+2x°+6x°＝180°，解得：x°＝20°， ③设最小内角度数为x°，2倍角度数为6x°，3倍角度数为3x°， ∴x°+6x°+3x°＝180°，解得：x°＝18°， ④设最小内角度数为x°，3倍角度数为3x°，当3倍角度数又是2倍角度数，另一个角为x°， ∴x°+3x°x°＝180°，解得：x°＝（）°， 故答案为：30°或20°或18°（）°． 【点睛】本题考查三角形内和定理以及三角形2倍角、3倍角的定义，懂得三角形内角2倍角、3倍角有多种可能性，懂得如何分类讨论是解题的关键． 13．（2024•徐汇区三模）在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n倍（n为整数），那么我们称这个三角形为n倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为　30°或20°或18°或　 ． 【分析】根据2倍角三角形、3倍角三角形的定义，这道题分两种情况去讨论解决． 【解答】解：①设最小内角度数为x°，2倍角为2x°，3倍角为3x°， ∴x+2x+3x＝180， ∴x＝30； ②设最小内角度数为x°，2倍角为2x°，3倍角为6x°， ∴x+2x+6x＝180， ∴x＝20． ③设最小内角度数为x°，3倍角为3x°，2倍角为6x°， ∴x+3x+6x＝180， ∴x＝18． ④设最小内角度数为2x°，其余两个角为3x°和6x°， ∴2x+3x+6x＝180， ∴x， ∴2x． 故答案为：30°或20°或18°或． 【点睛】本题考查了n倍角三角形的定义以及三角形的内角和等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 14．已知∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A，B，C分别是射线OM，OE，ON上的动点（点A，B，C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°． （1）如图①，已知AB∥ON，则∠ABO的度数是　20°　 ．当∠BAD＝∠ABD时，x＝　120°　 ；当∠BAD＝∠BDA时，x＝　60°　 ． （2）如图②，若AB⊥OM于点A，是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由． 【分析】（1）①根据角平分线的定义结合平行线的性质可求解； ②可分两种情况：当∠BAD＝∠ABD时，当∠BAD＝∠BDA时，根据三角形点的内角和定理分别计算可求解； （2）可分两种情况：当点D在线段OB上时；当点D在线段OB延长线上时，再分别从Ⅰ当∠ABD＝2∠DAB＝90°时，Ⅱ当∠ADB＝2∠DAB时，Ⅲ当∠DAB＝2∠ADB时，三个角度分别计算可求解． 【解答】解：（ 1 ）①∵∠MON＝40°，OE平分∠MON， ∴∠AOB＝∠BON＝20°， ∵AB∥ON， ∴∠ABO＝20°， 故答案为：20°； ②当∠BAD＝∠ABD时， ∴∠BAD＝20°， ∵∠AOB+∠ABO+∠OAB＝180°， ∴∠AOB+∠ABO+∠OAC+∠BAD＝180°， ∴∠OAC＝180°﹣∠AOB﹣∠ABO﹣∠BAD＝180°﹣20°﹣20°﹣20°＝120°， 当∠BAD＝∠BDA时， ∵∠ABO＝20°， ∴∠BAD＝80°， ∴∠ABO+∠AOB+∠OAB＝180°， ∴∠OAC＝60°， 故答案为：120°；60°； （2）存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角， ①当点D在线段OB上时， ∵OE是∠MON的角平分线， ∴∠AOBMON＝20°， ∵AB⊥OM， ∴∠AOB+∠ABO＝90°， ∴∠ABO＝70°， 若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20， 若∠BAD＝∠BDA（180°﹣70°）＝55°，则x＝35， 若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°， ∴x＝50， ②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°， 所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125． 综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角， 且x＝20、35、50、125． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，分类讨论的运用是解题的关键． 类型三 转化思想 15．（2025秋•辽阳校级期中）阅读与思考 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规，故把这样的图形叫作“规形图”．学习三角形之后发现，我们可以通过添加辅助线的方法将其转化为三角形问题，这一方法也常用来解决三角形中求角度的问题． 任务一：在上述阅读材料的思维过程，体现了数学中的C ． A．整体思想 B．方程思想 C．转化思想 D．分类讨论思想 任务二：观察“规形图”，试探究∠BDC与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由． 任务三：如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝48°，则∠ABD+∠ACD＝　42°　 ． 【分析】任务一：根据材料可得体现了数学中的转化思想 任务二：根据题意连接AD并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案． 任务三：由任务二可得，可知∠BDC＝∠A+∠B+∠C，因为∠A＝48°，∠D＝90°，所以∠ABD+∠ACD＝90°﹣48°＝42°； 【解答】解：任务一：在上述阅读材料的思维过程，体现了数学中的转化思想． 故选：C； 任务二：∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C， 理由：如图，连接AD并延长至点 F， ∵∠BDF是△ABD的外角，∠CDF是△ACD的外角， ∴∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD， 又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C； 任务三：由任务二可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A， 又∵∠A＝48°，∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣48°＝42°， 故答案为：42°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 16．（2025春•南海区校级月考）数学活动：探究利用平行线构造等角“转化”． （1）阅读理解：如图1，已知三角形ABC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．阅读并补充下列推理过程： 解：过点A作DE∥BC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠CAE（　两直线平行，内错角相等　 ） ∵∠DAB+∠BAC+∠CAE＝　180°　 ， ∴∠BAC+∠B+∠C＝　180°　 ． （2）方法运用：如图2，已知AB∥CD，∠A＝40°，∠C＝35°，求∠AEC的度数； （3）如图3，已知AB∥CD，∠A＝100°，∠C＝125°，求∠AEC的度数； （4）拓展探索：如图4，已知AB∥CD，点E、F是AB、CD上的点，N是AB、CD之间的一点，分别作∠AEN、∠CFN的平分线，交于点M，若∠ENF＝55°，直接写出∠EMF的度数． 【分析】（1）通过构造边BC的平行线，利用平行线的性质，根据转化思想，将三角形的三个内角凑成了一个平角，从而求出三角形三个内角度数为180°； （2）过点E构造AB的平行线EF，由平行线的传递性可知AB∥EF∥CD，利用平行线的性质将∠AEC转化为∠A+∠C； （3）过点E构造AB的平行线EG，由平行线的传递性可知AB∥EG∥CD，由两直线平行，同旁内角互补可得∠AEG+∠A＝180°，∠C+∠CEG＝180°，则有∠AEC＝∠AEG+∠CEG＝180°﹣∠A+180°﹣∠C＝135°； （4）由（2），（3）同理可得，∠EMF＝∠AEM+∠CFM，∠BEN+∠DFN＝∠ENF＝55°，利用平角的定义以及角平分线的定义可知，∠AEM90°，∠CFM90°，从而可得∠EMF＝∠AEM+∠CFM＝180°180°180°﹣27.5°＝152.5°． 【解答】解：（1）过点A作DE∥BC， ∴∠B＝∠DAB，∠C＝∠CAE（两直线平行，内错角相等）， ∵∠DAB+∠BAC+∠CAE＝180°， ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°． 故答案为：两直线平行，内错角相等，180°，180°； （2）如图2，过点E作EF∥AB， ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠AEF＝∠A＝40°，∠CEF＝∠C＝35°， ∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝75°， 即∠AEC的度数为75°； （3）如图3，过点E作EG∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EG∥CD， ∴∠AEG+∠A＝180°，∠C+∠CEG＝180°， ∴∠AEC＝∠AEG+∠CEG＝360°﹣∠A﹣∠C＝135°， 即∠AEC的度数为135°； （4）如图4，由（2）（3）可得：∠BEN+∠DFN＝∠ENF＝55°，∠EMF＝∠AEM+∠CFM， ∵EM、FM分别是∠AEN、∠CFN的平分线， ∴∠AEM∠AEN，∠CFM∠CFN， ∴∠EMF＝∠AEM+∠CFM （∠AEN+∠CFN） （180°﹣∠BEN+180°﹣∠DFN） [360°﹣（∠BEN+∠DFN）] （360°﹣∠ENF） （360°﹣55°） ＝152.5°． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的关键． 17．如图是一个五角星的多边形纸片，被小玉剪去了一个角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数． 【分析】∠1，∠3是三角形中与外角∠7不相邻的两个内角，两内角的和等于∠7． 【解答】解：由三角形外角的性质，可得∠7＝∠1+∠3，∠8＝∠2+∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝∠7+∠8+∠5+∠6， 由四边形内角和为360°可得∠7+∠8+∠5+∠6＝360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和四边形内角和．利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到四边形中，利用四边形的内角和定理解答． 18．（2026春•分宜县校级月考）如图，把一张三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠（3个顶点不重合），则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为（　　） A．180° B．270° C．360° D．450° 【分析】连接AA'，根据三角形外角性质得∠1＝∠EAA'+∠EA'A，∠6＝∠DAA'+∠DA'A，由此得∠1+∠6＝∠EAD+∠EA'D，再由折叠性质得∠EAD＝∠EA'D，进而得∠1+∠6＝2∠EAD，同理∠2+∠2＝2∠FBG，∠4+∠5＝2∠HCI，继而得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2（∠EAD+∠FBG+∠HCI），然后根据三角形内角和定理∠EAD+∠FBG+∠HCI＝180°，据此即可得出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数． 【解答】解：连接AA'，如图所示： ∵∠1是△EAA'的外角，∠6是△DAA'的外角， ∴∠1＝∠EAA'+∠EA'A，∠6＝∠DAA'+∠DA'A， ∴∠1+∠6＝∠EAD+∠EA'D， 由折叠性质得：∠EAD＝∠EA'D， ∴∠1+∠6＝2∠EAD， 同理：∠2+∠2＝2∠FBG，∠4+∠5＝2∠HCI， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2（∠EAD+∠FBG+∠HCI）， 在△ABC中，∠EAD+∠FBG+∠HCI＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝360°， 即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为360°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的翻折变换及其性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质是解决问题的关键． 19．（2024秋•平舆县期中）根据下列各图求值： （1）如图1，求∠1+∠2+∠3+∠4； （2）如图2，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6； （3）如图3，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8； （4）如图4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G． 【分析】（1）连接AC，利用三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形外角的性质表示出∠1+∠2＝∠BAD，∠3+∠4＝∠ABE，∠5+∠6＝∠ACF，再根据三角形外角和为360°即可解答； （3）根据三角形外角的性质表示出∠1+∠2＝∠DAE，∠3+∠4＝∠ABF，∠5+∠6＝∠DCG，∠7+∠8＝∠ADH，再根据四边形外角和为360°即可解答； （4）连接BF，由三角形内角和定理得到∠A+∠G＝∠OBF+∠OFB，即可得到∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G为五边形BCDEF的内角和，利用多边形内角和公式即可解答． 【解答】解：（1）连接AC， ∵∠1＝∠BAC+∠DAC，∠4＝∠ACB+∠ACD，∠2+∠BAC+∠ACB＝180°，∠DAC+∠3+∠ACD＝180°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4 ＝∠BAC+∠DAC+∠2+∠3+∠ACD+∠ACB ＝360°； （2） ∵∠1+∠2＝∠BAD，∠3+∠4＝∠ABE，∠5+∠6＝∠ACF， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 ＝∠BAD+∠ABE+∠ACF ＝360°； （3） ∵∠1+∠2＝∠DAE，∠3+∠4＝∠ABF，∠5+∠6＝∠DCG，∠7+∠8＝∠ADH， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8 ＝∠DAE+∠ABF+∠DCG+∠ADH ＝360°； （4）连接BF， ∵∠A+∠G+∠AOG＝180°，∠OBF+∠OFB+∠BOF＝180°，∠AOG＝∠BOF， ∴∠A+∠G＝∠OBF+∠OFB ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G ＝∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠OBF+∠OFB ＝540°． 【点睛】本题考查三角形的内角和、三角形外角的性质，多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． 类型四 整体思想 20．（2025秋•河东区期中）如图，△ABC的面积为18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是　　 ． 【分析】根据BD＝2DC，AE＝EC可设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为y，再列出关于x、y的方程，求出x+y的值即可． 【解答】解：连接CF， ∵BD＝2DC，AE＝EC， ∴设△DFC的面积为x，△EFC的面积为y，则△BFD的面积为2x，△AEF的面积为y， ∵△BEC的面积S△ABC＝9， ∴3x+y＝9 ①， ∵△ADC的面积S△ABC＝6， ∴x+2y＝6 ② ①+2×②，可得x+y． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的面积，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形面积的性质求解． 21．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的三等分线分别交于点E，D，F，G，若∠BFC＝132°，∠BGC＝118°，求∠A的度数． 【分析】根据三角形内角性质和定理解答即可． 【解答】解：由题可得： ∵∠ABC，∠ACB 的三等分线分别交于点E，D，F，G， ∴， ∠BCF＝∠ECF， 在△BCG 中，∠BGC＝118°， ∴∠CBG+∠BCE＝180°﹣∠BGC＝180°﹣118°＝62°， ∴∠CBG+2∠BCF＝62°①， 在△BCF 中，∠BFC＝132°， ∴∠BCF+∠CBF＝180°﹣∠BFC＝180°﹣132°＝48°， ∴∠BCF+2∠CBG＝48°②， ①+②得，3∠BCF+3∠CBG＝110°， 即∠ACB+∠ABC＝110°， ∴∠A＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣110°＝70°． 【点睛】本题考查了三角形的内角性质及定理，熟练掌握三角形的内角性质及定理是解题的关键． 22．（2025•澧县三模）如图，把图（a）称为二环三角形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1；把图（b）称为二环四边形，它的内角和∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1；依此规律，请你探究：二环n边形的内角和为 　360（n﹣2）　 度．（用含n的式子表示） 【分析】先求出图（a），图（b）中的内角和，找出规律求解． 【解答】解：如图： （a）中：∠A+∠B+∠C+∠A1+∠B1+∠C1＝1×360°； （b）中：∠A+∠B+∠C+∠D+∠A1+∠B1+∠C1+∠D1＝（5﹣2）×180°+180°＝2×360°； ……， ∴二环n边形的内角和为：360°（n﹣2）， 故答案为：360（n﹣2）． 【点睛】本题考查了图形的变化类，根据多边形的内角和找出规律是解题的关键． 类型五 从特殊到一般的思想 23．（2025•普陀区模拟）发现 如图1，在有一个“凹角∠A1A2A3”n边形A1A2A3A4…An中（n为大于3的整数），∠A1A2A3＝∠A1+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+…+∠An﹣（n﹣4）×180°． 验证 （1）如图2，在有一个“凹角∠ABC”的四边形ABCD中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D． （2）如图3，在有一个“凹角∠ABC”的六边形ABCDEF中，证明：∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°． 延伸 （3）如图4，在有两个连续“凹角A1A2A3和∠A2A3A4”的n边形A1A2A3A4……An中（n为大于4的整数），∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣　6　 ）×180°． 【分析】（1）如图2，延长AB交CD于E，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC+∠C，根据多边形的内角和和外角的性质即可得到结论； （3）如图4，延长A2A3交A5A4于点C，延长A3A2交A1An于点B，根据三角形的外角的性质得到∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4，根据多边形的内角和得到∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A6……+∠An），于是得到结论． 【解答】解：（1）如图2，延长AB交CD于E， 则∠ABC＝∠BEC+∠C，∠BEC＝∠A+∠D， ∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D； （2）如图3，延长AB交CD于G，则∠ABC＝∠BGC+∠C， ∵∠BGC＝180°﹣∠BGD，∠BGD＝3×180°﹣（∠A+∠D+∠E+∠F）， ∴∠ABC＝∠A+∠C+∠D+∠E+∠F﹣360°； （3）如图4，延长A2A3交A5A4于点C，延长A3A2交A1An于点B， 则∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠2+∠A4+∠4， ∵∠1+∠3＝（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A6……+∠An）， 而∠2+∠4＝360°﹣（∠1+∠3）＝360°﹣[（n﹣2﹣2）×180°﹣（∠A5+∠A6……+∠An）]， ∴∠A1A2A3+∠A2A3A4＝∠A1+∠A4+∠A5+∠A6……+∠An﹣（n﹣6）×180°． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角和等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的外角的性质，属于中考常考题型． 1 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