专题5 平行四边形中最值问题的十五种解题思路-2025-2026学年八年级数学人教版下册专题提优训练及压轴题易错题专项训练

专题5 平行四边形中最值问题的十五种解题思路（原卷版） 思路一 代换思想结合垂线段最短求一条线段的最小值 思路二 利用将军饮马模型解决型最小值问题 思路三 将军饮马问题的拓展（作两个点的对称点） 思路四 取直角三角形斜边中点构造三角形求一条线段的最大值 思路五 遇逆等线段构造全等三角形把线段接起来求最值 思路六 先确定动点轨迹，再运用将军饮马模型 思路七 先确定动点轨迹，再运用“一箭穿心”确定最小值 思路八 利用中位线定理，结合三角形三边关系求最值 思路九 先确定动点轨迹，再运用垂线段最短确定最小值 思路十 “一箭穿心”结合将军饮马模型求最值 思路十一 运用代数法（配方法）求最值 思路十二 先构造全等三角形，再运用垂线段最短确定最小值 思路十三 费马点求最值（构造等边三角形及构造全等三角形把线段接起来） 思路十四 利用平移（构造平行四边形）把线段接起来求两条线段和的最小值 思路十五 胡不归问题解题思路 思路一 代换思想结合垂线段最短求一条线段的最小值 1．（2025春•大祥区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝4，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为　 ． 2．（2024•南宁一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025春•安陆市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝3，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是 　 　 ． 4．（2025秋•埇桥区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为8，E为的对角线AC上一动点，△DEP中，∠EDP＝90°，DE＝DP，当点E从点A运动到点C的过程中，△EPC的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 思路二 利用将军饮马模型解决型最小值问题 5．（2024•灞桥区模拟）如图所示，四边形OABC是正方形，边长为4，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（1，0），P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为　 ． 6．（2025•腾冲市校级模拟）如图所示，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．4.5 B．9 C．2.5 D．3 7．（2025春•沙坪坝区期末）如图，在▱ABCD中，AB＝1，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值　 ． 思路三 将军饮马问题的拓展（作两个点的对称点） 8．（2024秋•太平区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E，F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE+EF+FM的最小值是　 　 ． 9．（2025•泰安模拟）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（　　） A． B． C．2 D．2 10．（2024秋•渭滨区校级月考）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是　 ． 思路四 取直角三角形斜边中点构造三角形求一条线段的最大值 11．（2024秋•江阴市校级期中）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，则运动过程中，点C到点O的最大距离为 　 ． 12．（2022春•泰州月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4，O为边AB的中点，P为矩形ABCD外一动点，且∠APC＝90°，则线段OP的最大值为 　 ． 思路五 遇逆等线段构造全等三角形把线段接起来求最值 13．（2025秋•新吴区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为　 ． 14．（2025•商河县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ． 思路六 先确定动点轨迹，再运用将军饮马模型 15．（2024•肇源县开学）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转600得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 　 ． 思路七 先确定动点轨迹，再运用“一箭穿心”确定最小值 16．（2025•双流区）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 17．（2025•东莞市校级二模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝4，∠B＝135°，M是AD的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，则线段A'C长度的最小值是 　 ． 思路八 利用中位线定理，结合三角形三边关系求最值 18．（2025秋•昌黎县期末）在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，M、N分别为CE、CB的中点，点E运动过程中线段MN长度的最小值是　 ． 19．（2025春•郫都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为 　 ． 思路九 先确定动点轨迹，再运用垂线段最短确定最小值 20．（2025春•含山县校级期中）如图，线段AB的长为12，点D在AB上，△ACD是边长为5的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．5 B．7 C．6 D．5 思路十 “一箭穿心”结合将军饮马模型求最值 21．（2025•龙圩区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，且AE＝2．点G、P分别为边AB、BC上的动点，将△AEG沿直线GE翻折得到△EFG，则PF+PD的最小值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 思路十一 运用代数法（配方法）求最值 22．（2024•市北区二模）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　 （结果保留根号）． 思路十二 先构造全等三角形，再运用垂线段最短确定最小值 23．（2025春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E在BC边上，以AE为直角边向上作正方形AEFG，连接DF，则E在运动过程中DF最小值为 　 ． 24．（2025春•玄武区校级期中）如图．在矩形ABCD中，AB＝3，．点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为　 ． 思路十三 费马点求最值（构造等边三角形及构造全等三角形把线段接起来） 25．（2024秋•肥城市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． 思路十四 利用平移（构造平行四边形）把线段接起来求两条线段和的最小值 26．（2024秋•榕城区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 　 ． 27．（2024•兖州区一模）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足ABMN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为 　 ． 28．（2025•琼山区校级二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且，连接CE，CF，则BD的长为 　 ，△CEF周长的最小值为 　 ． 29．（2024春•银州区校级月考）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝5，M，N分别为边CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为 　 ． 思路十四 胡不归问题（转化为将军饮马问题） 30．（2025•广安区校级三模）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于 　 ． 31．（2025春•台江区期中）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC的值最小时，线段PD长是 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 平行四边形中最值问题的十五种解题思路（解析版） 思路一 代换思想结合垂线段最短求一条线段的最小值 思路二 利用将军饮马模型解决型最小值问题 思路三 将军饮马问题的拓展（作两个点的对称点） 思路四 取直角三角形斜边中点构造三角形求一条线段的最大值 思路五 遇逆等线段构造全等三角形把线段接起来求最值 思路六 先确定动点轨迹，再运用将军饮马模型 思路七 先确定动点轨迹，再运用“一箭穿心”确定最小值 思路八 利用中位线定理，结合三角形三边关系求最值 思路九 先确定动点轨迹，再运用垂线段最短确定最小值 思路十 “一箭穿心”结合将军饮马模型求最值 思路十一 运用代数法（配方法）求最值 思路十二 先构造全等三角形，再运用垂线段最短确定最小值 思路十三 费马点求最值（构造等边三角形及构造全等三角形把线段接起来） 思路十四 利用平移（构造平行四边形）把线段接起来求两条线段和的最小值 思路十五 胡不归问题解题思路 思路一 等量代换思想结合垂线段最短求一条线段的最小值 1．（2025春•大祥区校级期中）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，BC＝4，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH，则GH的最小值为　　 ． 【分析】连接AF，由菱形的性质得AB＝BC＝4，再利用三角形中位线定理得GHAF，然后求出AF的最小值，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接AF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝4， ∵G，H分别为AE，EF的中点， ∴GH是△AEF的中位线， ∴GHAF， 当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值， 则∠AFB＝90°， ∵∠B＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴AFAB42， ∴GH， 即GH的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 2．（2024•南宁一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接CP，先求出AB的长，再证明四边形CDPE是矩形，得DE＝CP，然后由垂线段最短，得出当CP⊥AB时，线段DE的值最小，进而由等腰直角三角形的性质求出CP的长，即可得出结果． 【解答】解：如图，连接CP， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， ∴ABAC＝4， ∵PD⊥BC，PE⊥AC， ∴∠PDC＝∠PEC＝90°， ∴四边形CDPE是矩形， ∴DE＝CP， 由垂线段最短可得，当CP⊥AB时，线段DE的值最小， 此时，AP＝BP， ∴CPAB42， ∴DE的最小值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（2025春•安陆市期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝3，点D在BC上，以AC为对角线的平行四边形ADCE中，DE的最小值是 　3　 ． 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，DE长度取最小值． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴BC⊥AB． ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴OD＝OE，OA＝OC， ∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC， ∴OD是△ABC的中位线， ∴， ∴ED＝2OD＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质． 4．（2025秋•埇桥区校级期中）如图，正方形ABCD的边长为8，E为的对角线AC上一动点，△DEP中，∠EDP＝90°，DE＝DP，当点E从点A运动到点C的过程中，△EPC的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先证得△ADE≌△CDP（SAS），得出AE＝CP，E为的对角线AC上一动点，点E从点A运动到点C的过程中，当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小值，由等腰直角三角形性质可得DE的最小值为4，即可求得答案． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为8， ∴AD＝CD＝8，∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴AC8， ∵△DEP中，∠EDP＝∠CDP+∠EDC＝90°，DE＝DP， ∴∠ADE＝∠CDP， 在△ADE和△CDP中， ， ∴△ADE≌△CDP（SAS）， ∴AE＝CP， ∴CE+CP＝CE+AE＝AC ∵E为的对角线AC上一动点，点E从点A运动到点C的过程中，当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小值， 又∵AD＝CD＝8，∠ADC＝90°， ∴DEAC＝4AE＝CP， 又∵△DEP中，∠EDP＝90°，DE＝DP， ∴EP8， ∴△EPC的周长的最小值＝EP+CE+CP＝EP+AE+CE＝8+AC＝8+8． 故选：A． 【点睛】此题考查正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角以及正方形的对称性质，还考查了勾股定理的计算．依据点到直线的距离垂线段最短，可得当DE⊥AC时，DE最小，即△CEP的周长最小，这是解题的关键． 思路二 利用将军饮马模型解决型最小值问题 5．（2024•灞桥区模拟）如图所示，四边形OABC是正方形，边长为4，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA上，且D点的坐标为（1，0），P是OB上一动点，则PA+PD的最小值为　　 ． 【分析】作出点D关于OB的对称点D′，则D′的坐标是（0，1）．则PD+PA的最小值就是AD′的长，利用勾股定理即可求解． 【解答】解：作出点D关于OB的对称点D′， 则D′的坐标是（0，1）． 则PD+PA的最小值就是AD′的长． 则OD′＝1， 因而AD′． 则PD+PA和的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出P的位置是关键． 6．（2025•腾冲市校级模拟）如图所示，正方形ABCD的面积为9，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　） A．4.5 B．9 C．2.5 D．3 【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABEE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为9，可求出AB的长，从而得出结果． 【解答】解：设BE与AC交于点P'，连接BD，PB，DP′， ∵点B与D关于AC对称， ∴PD＝PB， ∴PD+PE＝PB+PE， ∴当点B，P，E三点共线时，取得最小值，即点P'， ∴P'D+P'E＝P'B+P'E＝BE最小． ∵正方形ABCD的面积为9， ∴AB2＝9， ∴AB＝3， ∵△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝3． 故选：D． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，找到对称点，添加辅助线是关键． 7．（2025春•沙坪坝区期末）如图，在▱ABCD中，AB＝1，AB⊥AC，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值　　 ． 【分析】作点B关于AC的对称点F，连接CF，作BE⊥CF于E，则BE的长即为PB+PQ的最小值． 【解答】解：作点B关于AC的对称点F，过F作FQ⊥BC于Q交AC于P，则FQ的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∵AB⊥AC， ∴∠FAC＝∠BAC＝90°， ∴B，A，F三点共线， ∴BF＝2AB＝2， ∵∠FQB＝90°， ∴FQBF， ∴BP+PQ的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称，根据垂线段最短解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 思路三 将军饮马问题的拓展（作两个点的对称点） 8．（2024秋•太平区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝8，E，F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE+EF+FM的最小值是　25　 ． 【分析】作点D的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'，D'E，FM'，则所求的最小值即为D'M'，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：作点D的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'，D'E，FM'， 则DE+EF+FM＝D'E+EF+FM'， ∴当D'，E，F，M'在同一条直线上时，所求的DE+EF+FM最小，最小值即为D'M'的长． 过点M'作AD的垂线，交AD的延长线于点H， ∴HM'＝AB＝8， ∵M为BC的中点，AD＝BC＝8， ∴MC＝CM'＝DH＝4，AD'＝AD＝8， ∴HD'＝20， ∴D′M′25， ∴DE+EF+FM的最小值是25． 故答案为：25． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、矩形的性质，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 9．（2025•泰安模拟）如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（　　） A． B． C．2 D．2 【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值；证出△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，得出∠N′OM′＝90°，由勾股定理求出M′N′即可． 【解答】解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示： 连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值． 根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°， ∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形， ∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5， 在Rt△M′ON′中， M′N′． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到等边三角形是解题的关键． 10．（2024秋•渭滨区校级月考）如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE＝1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），则四边形AEPQ的周长的最小值是　2+2　 ． 【分析】根据最短路径的求法，先确定点E关于BC的对称点E′，再确定点A关于DC的对称点A′，连接A′E′即可得出P，Q的位置； 【解答】解：如图所示： 作E关于BC的对称点E′，点A关于DC的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小， ∵AD＝A′D＝3，BE＝BE′＝1， ∴AA′＝6，AE′＝4． ∴A′E′2， ∴四边形AEPQ的周长最小值＝2+2． 【点睛】本题考查了轴对称，利用轴对称确定A′、E′，连接A′E′得出P、Q的位置是解题关键． 思路四 取直角三角形斜边中点构造三角形求一条线段的最大值 11．（2024秋•江阴市校级期中）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，则运动过程中，点C到点O的最大距离为 　　 ． 【分析】取AB的中点E，连接OE、CE、OC，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、C、E三点共线时，点C到点O的距离最大，再根据勾股定理列式求出DE的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，两者相加即可得解． 【解答】解：如图，取AB的中点E，连接OE、CE、OC， ∵OC⩽OE+CE， ∴当O、C．E三点共线时，点C到点O的距离最大， 此时，点C到点O的距离最大， ∵AB＝2，BC＝1， ∴OE＝AEAB＝1， CE， ∴OC的最大值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题关键在于作辅助线． 12．（2022春•泰州月考）如图，在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4，O为边AB的中点，P为矩形ABCD外一动点，且∠APC＝90°，则线段OP的最大值为 　3　 ． 【分析】连接AC，取AC的中点E，连接OE，PE，根据矩形的性质可得AC的长，根据三角形中位线定理可得OE的长，再根据直角三角形的性质可得PE的长，根据三角形三边关系即可确定OP的最大值． 【解答】解：连接AC，取AC的中点E，连接OE，PE，如图所示： 在矩形ABCD中，BC＝2，AB＝4， 根据勾股定理，得AC＝6， ∵O为边AB的中点，E是AC的中点， ∴OEBC， ∵∠APC＝90°， ∴PEAC＝3， 当O、E、P三点共线时，OP最大， OP的最大值为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，三角形的三边关系等，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 思路五 遇逆等线段构造全等三角形把线段接起来求最值 13．（2025秋•新吴区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为　　 ． 【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AC，再利用全等三角形及矩形可得AE+BF＝AN，再利用直角三角形性质即可得最大值． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC，过点C作CK⊥1，过点C作CN⊥AE，垂足分别为H，K，N， 得四边形CKEN是矩形， ∴EN＝CK， ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵∠BDF＝∠CDK，∠BFD＝∠CKD＝90， ∴△BDF≌△CDK（AAS）， ∴BF＝CK， ∴EN＝BF， 在直角△ABH中，AB＝3，∠ABC＝60°， ∴BHAB， ∴AHBH， 在直角△AHC中，∠ACB＝45°， ∴△ACH是等腰直角三角形， ∴ACAH， ∴AE+BF＝AE+EN＝AN≤AC， 当l⊥AC时等号成立， 即AE+BF的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握两个线段和最大值的求法． 14．（2025•商河县一模）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，E，F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 　　 ． 【分析】如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT．证明△ADF≌△TBE（SAS），推出AF＝ET，AE+AF＝AE+ET，根据AE+ET≥AT求解即可． 【解答】解：如图，BC的下方作∠CBT＝30°，截取BT，使得BT＝AD，连接ET，AT． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ADC＝∠ABC＝60°，∠ADF∠ADC＝30°， ∵AD＝BT，∠ADF＝∠TBE＝30°，DF＝BE， ∴△ADF≌△TBE（SAS）， ∴AF＝ET， ∵∠ABT＝∠ABC+∠CBT＝60°+30°＝90°，AB＝AD＝BT＝2， ∴AT， ∴AE+AF＝AE+ET， ∵AE+ET≥AT， ∴AE+AF， ∴AE+AF的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 思路六 先确定动点轨迹，再运用将军饮马模型 15．（2024•肇源县开学）如图，△ABC是边长为8的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转600得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是 　4+4　 ． 【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF＝∠CBE＝30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF＝30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC＝8，∠ABC＝∠BCA＝60°， ∵∠ECF＝60°， ∴∠BCE＝60°﹣∠ECA＝∠ACF， ∵CE＝CF， ∴△BCE≌△ACF（SAS）， ∴∠CAF＝∠CBE， ∵△ABC是等边三角形，BD是高， ∴∠CBE∠ABC＝30°，CDAC＝4， 过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH＝CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH， 则∠ACG＝60°，CG＝GHAC＝4， ∴CH＝AC＝8， ∴△ACH为等边三角形， ∴DH＝CD•tan60°， ∵AG垂直平分CH， ∴CI＝HI，CF＝FH， ∴CI+DI＝HI+DI＝DH＝4， ∵CF+DF＝HF+DF≥DH， ∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF＝DH＝4， ∴△CDF的周长的最小值为4+4． 故答案为：4+4． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，将军饮马的应用，关键在于证明三角形全等确定E点运动轨迹． 思路七 先确定动点轨迹，再运用“一箭穿心”确定最小值 16．（2025•双流区）如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是BC边上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【分析】当A，M，C三点共线时，线段CM的长度最小，求出此时CM的长度即可． 【解答】解：连接AM， ∵点B和M关于AP对称， ∴AB＝AM＝3， ∴M在以A为圆心，3为半径的圆上， ∴当A，M，C三点共线时，CM最短， ∵AC，AM＝AB＝3， ∴CM＝5﹣3＝2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆的性质，关键是要考虑到点M在以A为圆心，3为半径的圆上． 17．（2025•东莞市校级二模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝4，∠B＝135°，M是AD的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，则线段A'C长度的最小值是 　22　 ． 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用勾股定理求出A′C的长即可． 【解答】解：如图所示：以M为圆心，AM的长为半径画弧．连接MC，交弧MC于点A'．此时A'C的值最小． 过点M，作ME⊥CD，交CD的延长线于点E． ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B＝135°， ∴∠ADC＝135°， ∴∠EMD＝∠EDM＝45°． ∵M是AD的中点，AD＝BC＝4， ∴AM＝MD＝A'M＝2． 在直角△MED中，由勾股定理得ME＝DE， ∴CE＝DE+CD＝DE+AB45， 在直角△MEC中，由勾股定理得CM2， ∴A'C＝CM﹣A'M＝22． 故答案为：22． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键． 思路八 利用中位线定理，结合三角形三边关系求最值 18．（2025秋•昌黎县期末）在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，M、N分别为CE、CB的中点，点E运动过程中线段MN长度的最小值是　　 ． 【分析】利用三角形中位线定理得到MN与BE的关系，再根据点E的运动轨迹，结合点与圆的位置关系求出BE的最小值，进而得到MN的最小值． 【解答】解：如图，M、N分别为CE、CB的中点，连接BE，BD， ∴MN是△BCE的中位线， ∴， ∵DE＝2，点D为定点， ∴点E的运动轨迹是以点D为圆心，2为半径的圆， ∴当B、E、D三点共线，且点E在线段BD上时，BE取得最小值，此时BE＝BD﹣DE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， 在直角三角形ABD中，AD＝3，AB＝4， 根据勾股定理得：， ∴BE＝5﹣2＝3， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握三角形中位线定理． 19．（2025春•郫都区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E是BC边上一动点，作点B关于AE的对称点F，连接CF，点P为CF中点，则DP的最小值为 　22　 ． 【分析】根据勾股定理和三角形中位线，可以得到OP的长和OD的长，然后再根据图形可知当点P在线段OD上时，DP取得最小值，然后计算即可． 【解答】解：连接AC、BD交于点O，连接AF，OP， ∵四边形ABCD是矩形，∠BAD＝90°，AB＝4，AD＝8， ∴点O为AC的中点，BD4， 又∵点P是CF的中点， ∴OP是△CAF的中位线， ∵点B关于AE的对称点F，AB＝4， ∴AF＝4， ∴OP＝2， ∵BD＝4， ∴OD＝2， ∵OP+DP＞OD，OP＝2，OD＝2， ∴当点P在OD上时，DP取得最小值，此时DP＝OD﹣OP＝22， 故答案为：22． 【点睛】本题考查矩形的性质、轴对称、最值问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 思路九 先确定动点轨迹，再运用垂线段最短确定最小值 20．（2025春•含山县校级期中）如图，线段AB的长为12，点D在AB上，△ACD是边长为5的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（　　） A．5 B．7 C．6 D．5 【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论． 【解答】解：连接AO， ∵四边形CDGH是矩形， ∴CG＝DH，OCCG，ODDH， ∴OC＝OD， ∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠CAD＝60°， 在△ACO和△ADO中， ， ∴△ACO≌△ADO（SSS）， ∴∠OAB＝∠CAO＝30°， ∴点O一定在∠CAB的平分线上运动， ∴当OB⊥AO时，OB的长度最小， ∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°， ∴OBAB12＝6， 即OB的最小值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，利用了矩形对角线相等且平分的性质得对角线的一半相等，为三角形全等用铺垫；另外还利用了垂线段最短解决了求最值问题． 思路十 “一箭穿心”结合将军饮马模型求最值 21．（2025•龙圩区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，且AE＝2．点G、P分别为边AB、BC上的动点，将△AEG沿直线GE翻折得到△EFG，则PF+PD的最小值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．由DP＝PD′，推出PD+PF＝PD′+PF，又EF＝EA＝2是定值，即可推出当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝ED′﹣EF． 【解答】解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′． ∵AB＝4，AD＝8，点E在边AD上，且AE＝2． ∴DE＝6，DD′＝8， ∴ED′10， ∵DP＝PD′， ∴PD+PF＝PD′+PF， ∵EF＝EA＝2是定值， ∴当E、F、P、D′共线时， PF+PD′定值最小， 最小值＝ED'﹣EF＝10﹣2＝8， ∴PF+PD的最小值为8， 故选：C． 【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 思路十一 运用代数法（配方法）求最值 22．（2024•市北区二模）如图，已知，为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，．、分别是对角线，的中点，当点在线段上移动时，点，之间的距离最短为　　（结果保留根号）． 【思路引领】连接、．首先证明，设，则，，．构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】连接、． 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设，则，，． ． 当时，点，之间的距离最短，最短距离是． 解法二：连接、、，构造中位线解决，当与或垂直时，取最值． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、配方法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，运用勾股定理，再运用配方法解决最值问题． 思路十二 先构造全等三角形，再运用垂线段最短确定最小值 23．（2025春•鼓楼区校级期中）如图，正方形ABCD中，AB＝4，动点E在BC边上，以AE为直角边向上作正方形AEFG，连接DF，则E在运动过程中DF最小值为 　　 ． 【分析】如图，过F作FH⊥BC的延长线于H，连接CF，由正方形的性质可得∠AEF＝90°，∠ABE＝90°，AB＝BC，AE＝EF，则∠BAE＝∠HEF，证明△ABE≌△EHF（AAS），则BE＝FH，EH＝AB＝BC，BE＝CH，CH＝FH，可得△CFH是等腰直角三角形，∠FCH＝45°，即F在∠DCH的平分线上运动，当DF⊥CF，即△DCF是等腰直角三角形时，DF最小，由勾股定理得，DF2+CF2＝CD2，即2DF2＝42，计算求解满足要求的解即可． 【解答】解：如图，过F作FH⊥BC的延长线于H，连接CF， 由正方形ABCD，正方形AEFG，可得∠AEF＝90°，∠ABE＝90°，AB＝BC，AE＝EF， ∵∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠HEF＝90°， ∴∠BAE＝∠HEF， ∵∠BAE＝∠HEF，∠ABE＝∠EHF＝90°，AE＝EF， ∴△ABE≌△EHF（AAS）， ∴BE＝FH，EH＝AB＝BC， ∴BC﹣EC＝EH﹣EC，即BE＝CH， ∴CH＝FH， ∴△CFH是等腰直角三角形， ∴∠FCH＝45°， ∴F在∠DCH的平分线上运动， ∴当DF⊥CF，即△DCF是等腰直角三角形时，DF最小， 由勾股定理得，DF2+CF2＝CD2，即2DF2＝42， 解得，（舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确点F的运动轨迹． 24．（2025春•玄武区校级期中）如图．在矩形ABCD中，AB＝3，．点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为　3　 ． 【分析】取AD的中点F，在BC上取一点E，连接AE，使∠FAE＝60°，作射线EF，由矩形的性质得∠BAD＝∠D＝90°，AD＝BC＝4，则AF＝DF＝2，∠EAB＝30°，所以BEAE，推导出AE＝AF＝2，则△AEF是等边三角形，连接PQ、FQ，作DH⊥EF于点H，求得∠FDH＝30°，则FHDF，所以DH3，由旋转得AQ＝AP，∠QAP＝60°，可证明△AFQ≌△AEP，得∠AFQ＝∠AEP＝60°，说明点Q在射线EF上运动，由DQ≥3，求得线段DQ的最小值为3，于是得到问题的答案． 【解答】解：取AD的中点F，在BC上取一点E，连接AE，使∠FAE＝60°，作射线EF， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4， ∴∠BAD＝∠D＝90°，AD＝BC＝4， ∴AF＝DFAD＝2，∠EAB＝∠BAD﹣∠FAE＝30°， ∴BEAE，∠AEB＝90°﹣∠EAB＝60°， ∵ABAE＝3， ∴AE＝2， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等边三角形， 连接PQ、FQ，作DH⊥EF于点H，则∠FHD＝90°， ∵∠DFH＝∠AFE＝60°， ∴∠FDH＝90°﹣∠DFH＝30°， ∴FHDF， ∴DH3， ∵将线段AP逆时针旋转60°到AQ， ∴AQ＝AP，∠QAP＝60°， ∴∠FAQ＝∠EAP＝60°﹣∠EAQ， 在△AFQ和△AEP中， ， ∴△AFQ≌△AEP（SAS）， ∴∠AFQ＝∠AEP＝60°， ∴∠AFQ＝∠AFE， ∴点Q在射线EF上运动， ∵DQ≥DH， ∴DQ≥3， ∴线段DQ的最小值为3， 故答案为：3． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 思路十三 费马点求最值（构造等边三角形及构造全等三角形把线段接起来） 25．（2024秋•肥城市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2．若点P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值． 【分析】根据题意，首先以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC，再根据两点之间线段最短，可以得到PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，然后根据勾股定理可以求得CB′的值，从而可以解答本题． 【解答】解：以点A为旋转中心，顺时针旋转△APB到△AP′B′，旋转角是60°，连接BB′、PP′，如图所示， 则∠PAP′＝60°，AP＝AP′，PB＝P′B′， ∴△APP′是等边三角形， ∴AP＝PP′， ∴PA+PB+PC＝PP′+P′B′+PC， ∵PP′+P′B′+PC≥CB′， ∴PP′+P′B′+PC的最小值就是CB′的值， 即PA+PB+PC的最小值就是CB′的值， ∵∠BAC＝30°，∠BAB′＝60°，AB＝2， ∴∠CAB′＝90°，AB′＝2，AC＝AB•cos∠BAC＝2×cos30°＝2， ∴CB′， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题的关键是作出合适的辅助线，得出PA+PB+PC的最小值就是CB′的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想． 思路十四 利用平移（构造平行四边形）把线段接起来求两条线段和的最小值 26．（2024秋•榕城区期末）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，过点E作CD的垂线，与边CD交于点G，连接DF．若AC＝8，BD＝6，则EG+DF的最小值为 　4.8　 ． 【分析】连接BE，结合菱形的性质证明△DAF≌△DCE可得DF＝BE，当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长，由菱形的性质及勾股定理可求解菱形的边长，再利用勾股定理可求解CG的长，进而可求解． 【解答】解：连接BE， ∵四边形ABCD为菱形． ∴AD＝CD，AC垂直平分BD， ∴∠DAF＝∠DCE，DE＝BE， 在△DAF和△DCE中， ， ∴△DAF≌△DCE（SAS）， ∴DF＝DE， ∴DF＝BE， 当点B、E、G三点共线时，EG+BE有最小值，即EG+DF有最小值，最小值为BG的长， ∵四边形ABCD为菱形．AC＝8，BD＝6， ∴∠BOC＝90°，CO＝4，BO＝3， ∴CD＝BC， ∵BG2＝BC2﹣CG2＝BD2﹣DG2， ∴52﹣CG2＝62﹣（5﹣CG）2， 解得CG＝1.4， ∴BG， ∴EG+DF的最小值为4.8． 解法二：求BG时，利用面积法：CD•BG•AC•BD， ∴BG4.8， ∴EG+DF的最小值为4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明DF＝BE是解题的关键． 27．（2024•兖州区一模）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足ABMN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为 　2　 ． 【分析】过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N'，过P作PM'∥AE交BD于M'，当M、N分别与M'、N'重合时，此时AN+PM＝AE的值最小，根据勾股定理得到AE3，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N'，过P作PM'∥AE交BD于M'，当M、N分别与M'、N'重合时，此时AN+PM＝A'+EN'＝AEN'+PM'＝AE的值最小， ∵P是BC的中点， ∴E为CD的中点， ∴PEBD， ∵ABBD，ABPE， ∴PE∥BD，PM'∥AE， ∴四边形PEN'M'是平行四边形， ∴PE＝M'N'， ∴ABM'N'MN，满足题中条件， ∵AE3， ∵AB∥CD， ∴△ABN'∽△EDN'， ∴2， ∴AN'＝2，即AN＝2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短距离问题，平行三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，相似三角形的，正确的作出M，N的位置是解题的关键． 28．（2025•琼山区二模）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F是对角线BD上的两个动点，且，连接CE，CF，则BD的长为 　3　 ，△CEF周长的最小值为 　　 ． 【分析】连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，依据平行四边形的性质以及勾股定理，即可得到CF+FG的最小值等于2，再根据EF，即可得到△CEF周长的最小值． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3， ∴BD3， 连接AE，AC，以AE，EF为邻边作平行四边形AEFG，则AE＝FG，EF＝AG，∠GAD＝∠ADF＝45°＝∠DAC， ∴∠GAC＝90°， ∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴CE＝AE＝GF， ∴CE+CF＝GF+CF， ∴当G，F，C在同一直线上时，CF+FG的最小值等于CG的长， 此时，Rt△ACG中，CG2， ∴CF+FG的最小值等于2， 又∵EF， ∴△CEF周长的最小值为， 故答案为：3，． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 29．（2024春•银州区校级月考）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝12，BE＝5，M，N分别为边CD，AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为 　　 ． 【解答】解：如图，过点D作DH∥MN交AB于H，过M作MG∥NE，过作EG∥MN交MG于G，连接AG， ∴四边形NEGM是平行四边形，DH∥MN∥EG， ∴MG＝NE，EG＝MN， ∴AM+NE＝AM+MG≥AG． ∴当A、M、G共线时取等号，即最小值为AG的长． ∵四边形ABCD是正方形，AB＝12， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB∥CD，AB＝AD＝12， ∴． ∵MN⊥AE，DH∥MN∥EG， ∴∠AEG＝90°，∠BAE＝∠ADH＝90°﹣∠EAD． 在Rt△ABE和Rt△DAH中，， ∴△ABE≌△DAH（ASA）， ∴DH＝AE＝13． ∵DH∥MN，HN∥DM， ∴四边形DHNM是平行四边形， ∴EG＝MN＝DH＝13， ∴在Rt△AEG中，，即AM+EN的最小值为． 故答案为：． 思路十五 胡不归问题（转化为将军饮马问题） 30．（2025•广安区校级三模）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PBPD的最小值等于 　3　 ． 【分析】过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，由锐角三角函数可得EPPD，即PBPD＝PB+PE，则当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE． 【解答】解：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵AB∥CD， ∴∠EDP＝∠DAB＝60°， ∴sin∠EDP， ∴EPPD， ∴PBPD＝PB+PE， ∴当点B，点P，点E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE， ∵sinA， ∴BE＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 31．（2025春•台江区期中）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P是直线BD上一动点，连接PC，当PC的值最小时，线段PD长是 　　 ． 【分析】先过P作PE⊥BC于E，连接AP，根据△ABP≌△CBP可得AP＝CP，当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短，此时，PC的值最小，再根据含30°角的直角三角形的性质进行计算，即可得到线段PD的长 【解答】解：如图，过P作PE⊥BC于E，连接AP， 由菱形ABCD，可得AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝∠ADP＝30°， ∴△ABP≌△CBP，BP＝2PE， ∴AP＝CP， ∴PCAP+PE， ∵当点A，P，E在同一直线上时，AP+PE最短， ∴此时，PC的值最小，AP⊥AD， ∵Rt△ABE中，AB＝2， ∴BE＝1，AE， ∴Rt△BEP中，PE， ∴AP， ∵∠ADP＝30°， ∴Rt△ADP中，PD＝2AP， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点 1 学科网（北京）股份有限公司 $