专题训练4 利用勾股定理解决折叠问題&专题训练5 勾股定理中的思想方法-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

专题训练四 利用勾股定理解决折叠问题 (限时：30分钟) 类型〈1在直角三角形中折叠 4.如下图，四边形ABCD是边长为16的正方 1.（2025东莞模拟)如图，有一块 形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD 直角三角形纸片，两直角边 边上的点B'处，点A的对应点为点A',且 AC=6cm,BC=8cm,将纸片C. B'C=3.求AM的长. D 沿AD折叠，直角边AC恰好 第1题图 落在斜边上，且与AE重合，则△BDE的面 积为 cm2. 2.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E,F 在边AB上，将边AC沿CE折叠，使点A 落在AB上的点D处，再将边BC沿CF折 叠，使点B落在CD的延长线上的点B处. (1)∠ECF的度数为 (2)若CE=4,B'F=1,求线段BC的长和 △ABC的面积. DB' .…fB 类型(3在长方形中折叠 5.如下图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C 与点A重合，点B落在点B'处，折痕EF分 别与AB,DC交于点E,F. (1)求证：△ADF≌△AB'E. (2)若AD=12,DC=18,则△AEF的面积 为 类型(2在正方形中折叠 3.如图，正方形纸片ABCD的边长 为12，F是AD上一点，将 △CDF沿CF折叠，点D落在点 B G处，连接DG并延长交AB于第3题图 点E.若AE=5,则GE的长为 c 下册专题训练 89 专题训练五 勾股定理中的思想方法 (限时：30分钟) 类型1方程思想 类型(4分类讨论思想 1.如图，在Rt△ABC中，∠C 4.(2025吉安青原区模拟)在Rt△ABC中， =90°，AD,BE是中线.若 ∠ACB=90°，AC=25,BC=2,D为AC的 AD=5,BE=√35，那么斜 中点，E为边AB上一动点.当构成的四边形 边AB的长为 ( D BCDE有一组邻边相等时，求AE的长. 第1题图 A.27 B.3√5 C.4√3 n 类型2转化思想 2.(2025瑞金月考)如图所示的是 一株美丽的“勾股树”，其作法为 从正方形①开始，以它的一边为 ① 第2题图 斜边，向外作等腰直角三角形， 然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方 形，记为②；….以此类推，若正方形①的面积 为16，则正方形③的边长是 ) A.2 B.4 C.6 D.8 类型3数形结合思想 3.如下图，长方体的底面相邻两边的长分别是 1cm和3cm,高是6cm.如果用一根细线从 点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达点B, 那么所用细线最短需要多长？如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么 所用细线最短时，其长度的平方是多少？ 6 3 cm 90 数学八年级RJ版∴.A'B=√AE2+BE=√800+600=1000(m), ∴.PA十PB的最小值为1000m. 专题训练四利用勾股定理解决折叠问题 1.6 2.解：(1)45 (2)由折叠的性质，可知∠DEC=∠AEC=90°，BF= B'F=1, ∴.∠EFC=180°-∠DEC-∠ECF=45°=∠ECF, ..EF=CE=4,..BE=EF+BF=4+1=5. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC=√BE+CE?= 52+4=√4红. 设AE=x,则AB=x十5. :在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE,在Rt△ABC 中，AC2=AB2-BC2, ..AE2+CE2=AB2-BC2, 即x2+4=(x+5)2-41,解得x=5 16 AE=16 16. 41 ，AB=AE+BE=写+5=5， Se=名AB.CE=×号×4=号 1 1、41、 3.C【解析】设CF与DE交于点O,如图. D 将△CDF沿CF折叠，点D落在点 G处， ∴.GO=DO,CF⊥DG,∴.∠FOD=90°. ,四边形ABCD是正方形， .AD=CD=12,∠A=∠ADC=90°， ∴.∠CFD+∠FCD=∠CFD+∠ADE=9O°， .∠ADE=∠DCF. ∠A=∠FDC, 在△ADE和△DCF中，AD=DC, ∠ADE=∠DCF, ∴.△ADE≌△DCF(ASA),.AE=DF=5,CF=DE =VAD+AE=√12+5=13. :Sae=2DF·CD=2CF·OD,2X5X12= 2X13·0D, .D0= 60 =G0,∴.GE=13-2×13-i3 6049 13 4.解：设AM=x, 连接MB,MB',如图所示 :四边形ABCD是正方形， .∠A=∠D=90°，AB=AD=CD =16. B'C=3,.DB=13. 在Rt△ABM中，AB+AM=BM. 在Rt△MDB'中，MD2+DB2=B'M. 由折叠的性质，得MB=MB', ..AB2+AM=MD2+DB'2, 即162+x2=(16-x)2+132, 解得x=即AM=2 169 5.解：(1)四边形ABCD是长方形， ∴∠D=∠C=∠B=∠DAB=90°，AD=BC, ∴∠DAF+∠EAF=90°. 由折叠的性质，得∠FAB'=∠C=90°，∠B'=∠B= 90°，AB'=CB. AD=AB',∠D=∠B,∠B'AE+∠EAF=90°， ∴∠DAF=∠B'AE. 在△ADF和△AB'E中， ∠D=∠B', AD=AB', ∠DAF=∠B'AE, ∴.△ADF≌△AB'E(ASA). (2)78【解析】(2)由折叠的性质，得AF=CF.设AF =CF=x,DF=DC-CF=18-x. 在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2, .122+(18-x)2=x2, 解得x=13. .△ADF≌△AB'E, .AF=AE=13, 1 六S△=2AE·AD=2X13X12=78. 专题训练五勾股定理中的思想方法 1.C【解析】设CD=x,CE=y. .AD,BE是△ABC的中线 ∴.BC=2CD=2x,AC=2y. 在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2, .4x2+y2=35.① 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2, .4y2+x2=25.② ①+②，得5y2+5.x2=60, ∴y2+x2=12, .4y2+4x2=48. 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC?=√4x+4y2= 43. 2.A 3.解：将长方体的侧面展开，如图所示. :AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B' B =6cm, ,.AB'=√AA+AB=10cm, ∴用一根细线从点A开始经过4个 侧面缠绕1圈到达点B,所用细线最短需要10cm.如 果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么 所用细线最短时，其长度的平方是(8n)2+62=64n +36. 4.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2√3，BC=2, .由勾股定理，得AB=√(2√3)2十22=4. 下册参考答案 D为AC的中点，∴.AD=CD=√3 当构成的四边形BCDE有一组邻边相等时，有以下三 种情况： ①如图①，当BC=BE时，：BC=2,∴.BE=2, .AE=AB-BE=4-2=2: 图① 图② 图③ ②如图②，当CD=DE时，作DF⊥AE,垂足为F,连 接CE.:AD=CD=DE,∴.∠DCE=∠DEC,∠ADF =∠EDF.,∠ADE=∠DCE+∠DEC,∴.∠FDE= ∠DEC,∴.CE∥DF,∴.CE⊥AE,即∠AEC=∠BEC =90°. 设AE=x,则BE=4-x.在Rt△AEC中，CE2=AC2 -AE2.在Rt△CEB中，CE2=CB2-BE2,∴AC2 AE2=CB2-BE2,.(2√5)2-x2=22-(4-x)2,解 得x=3,即AE=3; ③如图③，当BE=DE时，作DF⊥AE,垂足为F.由 ②可知AF=2×3=2BF=AB-AF=4-号 Γ21 设EF=x,则BE=BF-EF=2-x. 5 在Rt△ADF中，由勾股定理，得DF= √-(- 2 5 在Rt△DEF中，DE=BE= -x,EF=x, EF+DF*=DE,即x2+()'=(-)。 解得品即EF-品 11 AE=A+EF=2+- 综上所述，AE的长为2或3或号 专题训练六平行四边形的证明思路 1.证明：：四边形ABCD是平行四边形， ,∴.AD∥BC,AD=BC. E,F分别是AD,BC的中点， AE-TAD.FC-TBC.AE-FC. .四边形AECF是平行四边形， ..GF∥EH. 同理可证GE∥FH, ,∴.四边形EGFH是平行四边形. 数学八年级RJ版 2.证明：：△ABE,△BCF为等边三角形， ∴.AB=EB=AE,BC=CF=BF,∠ABE=∠CBF =60°， ∴∠FBE=∠CBA. (BF=BC. 在△FBE和△CBA中，∠FBE=∠CBA, EB=AB. ∴.△FBE≌△CBA(SAS),∴.EF=AC 又△ACD为等边三角形，∴.CD=AD=AC, ∴.EF=AD. 同理可得AE=DF, ∴.四边形ADFE是平行四边形. 3.解：(1)四点出发前，EF与MN互相平分.理由如下： 如图①，设对角线AC与BD相交于点O. ,四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC.OB=OD. 即EF与MN互相平分. A(E) D(M) 0 B(N) C(F) 图① 图② (2)(1)中的结论还成立.理由如下： 如图②，连接EM,EN,FN,FM ,四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C,∠B=∠D,AD=BC,AB=CD 由题意，得AE=CF,DM=BN, ∴.AM=CN,BE=DF. (AE=CF. 在△AEM和△CFN中，3∠A=∠C, AM=CN, ∴.△AEM≌△CFN(SAS),.EM=FN. BE=DF. 在△BEN和△DFM中，∠B=∠D, BN=DM, ∴.△BEN≌△DFM(SAS),∴.EN=FM, ∴.四边形ENFM是平行四边形， .EF与MN互相平分 4.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD .BE=FD,..OB-BE=OD-FD..'.OE=OF. ,.四边形AECF是平行四边形. (2):S△ABE=2,BE=EF, .SAAEF=S△ABE=2. ,四边形AECF是平行四边形， 1 1 1 SACHO=2SACEF=2SAAEF=2X2-1. 5.解：(1)∠D+∠2+∠1=180°，∠1=85°，∠2=40°， ∴.∠D=180°-∠2-∠1=55°. (2)证明：，AB∥DC,∴.∠2=∠CAB=40°， .∠DAB=∠1+∠CAB=125°.