专题1 第13章三角形单元复习练习 【提优专题+专项训练+测评试卷】2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习以三角形单元核心知识点为纲，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一概念到复杂问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三角形概念、三线、稳定性等单一知识点|选择/填空题为主，如三角形形状判断、高的作法，强化概念理解| |进阶层|内角和、外角性质、等腰/等边三角形性质|结合简单情境的计算与辨析，如折叠凳边长计算、三角板摆放角度，发展运算能力| |拓展层|重心应用、多知识点综合证明、探究性问题|含“钻石三角形”定义探究、多问证明题，如角平分线与垂线综合推理，培养创新意识与逻辑思维|

专题1 第13章三角形单元复习教学案 知识点1 三角形 1．（2026春•盐城月考）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 2．（2026春•扶绥县月考）如图，以AB为边的三角形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（2025秋•霍邱县期末）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（　　） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角45° D．两条直角边相等 知识点2 三角形的角平分线、中线和高 4．（2025秋•黄岩区期末）作△ABC的AB边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•包河区期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（　　） A．AG是△ABE的角平分线 B．CH为△ACD边AD上的高 C．BE是△ABD边AD上的中线 D．AH为△AFC的高线 知识点3 三角形的稳定性 6．（2026•前郭县二模）如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是　 　 ． 7．（2026•鞍山开学）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固 　 根木条． 知识点4 三角形的重心 8．（2026•鲤城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点D为AB中点，点G为△ABC的重心，则CG的长为（　　） A． B． C． D．4 9．（2026•静安区期末）如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（　　） A．线段FG上 B．线段DC上 C．线段EF上 D．线段DE上 10．（2025秋•望花区期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 11．（2026春•徐汇区期中）Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝6，G为重心，则CG＝　 　 ． 知识点5 三角形三边关系 12．（2026•雨花区二模）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 13．（2025秋•周口期末）如图1，这是外出钓鱼必带的折叠凳，其侧面上半部分的示意图如图2所示．若AB＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AC可能是（　　） A．25cm B．36cm C．39cm D．40cm 知识点6 三角形内角和定理 14．（2026•铜川二模）如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠EOD＝20°，则∠C的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 15．（2026春•闵行区月考）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝30°，则∠DFC＝　 　 ． 16．（2026春•铜梁区月考）如图，△ABC中，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E．若∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFB的度数　 　 ． 17．（2026春•南关区月考）【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A＝80°，则∠BEC＝　 　 ； 【探究】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．试猜想∠BEC和∠A有怎样的关系，并说明理由； 【应用】如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝n°，则∠BEC＝　 ． 18．（2026春•鼓楼区月考）如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB，求∠B的度数． 19．（2026春•万州区月考）如图，在三角形ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为点F，点G在AC上，从下列两个条件中选择一个作为条件：①∠1＝∠2，②∠2＝∠3，能使DG∥BC． （1）你的选择是_____（填序号），并说明理由； （2）在（1）的条件下，若∠B＝38°，∠ACD＝42°，求∠3的度数． 20．（2026春•盐城月考）如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）若∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°，求∠D的度数． 21．（2026春•盐城月考）在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三个内角的平分线交于点O． （1）填空：如图1，若∠ACB＝70°，则∠AOB的大小为　 　 度； （2）如图1，过点O作OD⊥OC，交AC于点D，证明：∠ADO＝∠AOB； （3）如图2，CO的延长线交AB于点E．点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE于点N，请直接写出∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系． 知识点7 三角形的外角性质 22．（2026•乐陵市二模）停车场经常看到如图1所示的地锁，图2为其示意图，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1＝（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 23．（2026•宁夏模拟）一副三角板拼成如图所示的图形，那么∠DAC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 24．（2026春•太原月考）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点．若∠A＝68°，则∠BOC的度数为　 　 ． 知识点8 等腰三角形的性质 25．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0的正整数解．则等腰三角形的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．4或5 26．（2026•泗阳县一模）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 27．（2026春•闵行区月考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为　 　 ． 28．（2026春•太原月考）如图，在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，将一块含36°角的直角三角形纸片PMN（∠M＝90°，∠MPN＝36°）按如图所示的方式放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A．B重合），△PMN的斜边PN始终经过点C，直角边PM交BC于点D，将PN与CA的夹角记为α（∠PCA＝α）．在点P滑动的过程中，当夹角α＝　 　 ，△PCD是等腰三角形． 29．（2025秋•江州区期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　 　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 B （填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 知识点9 等边三角形的性质 30．（2026•莲池区二模）如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝40°，则∠2是（　　） A．50° B．55° C．60° D．58° 31．（2026•深圳三模）自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识．如图，自行车的车把手AB与地面平行．后轮支撑结构为△EFG，∠EFG＝60°，EG＝FG，前轮支撑结构BD，EF互相平行．已知∠CDE＝60°，则∠DEG的度数为（　　） A．60° B．120° C．135° D．150° 32．（2026•浙江模拟）如图，在等边三角形网格中每个小等边三角形的面积都是1，图中以格点为顶点的△ABC面积为　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1 第13章三角形单元复习教学案 知识点1 三角形 1．（2026春•盐城月考）如图，一张三角形纸片被不小心撕掉一个角，则这个三角形形状是（　　） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不确定 【分析】根据三角形的内角和求出第三个角的度数，然后根据三角形的分类解题即可． 【解答】解：由题意可得，这个三角形的第三个内角的度数为180°﹣50°﹣80°＝50°， ∴这个三角形形状是锐角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形，熟记三角形内角和定理是解题的关键． 2．（2026春•扶绥县校级月考）如图，以AB为边的三角形共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】观察图形可知以AB为边的三角形有△ABD、△ABE、△ABC共3个． 【解答】解：观察图形可知以AB为边的三角形有：△ABD、△ABE、△ABC，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的概念，熟悉概念是解题关键． 3．（2025秋•霍邱县期末）小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（　　） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角45° D．两条直角边相等 【分析】由等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的定义，即可判断． 【解答】解：A、两边相等的三角形是等腰三角形，故A不符合题意； B、有一个角是直角的三角形是直角三角形，故B不符合题意； C、如果等腰三角形的顶角是45°，那么这样的等腰三角形不是直角三角形，故C符合题意； D、两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形，等腰三角形，等腰直角三角形，关键是掌握是等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的定义． 知识点2 三角形的角平分线、中线和高 4．（2025秋•黄岩区期末）作△ABC的AB边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、没有摆出△ABC的AB边上的高，不符合题意； B、没有摆出△ABC的AB边上的高，不符合题意； C、能够摆出△ABC的AB边上的高，符合题意； D、没有摆出△ABC的AB边上的高，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 5．（2025秋•包河区校级期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上的一点，CF⊥AD于点H．下列判断错误的有（　　） A．AG是△ABE的角平分线 B．CH为△ACD边AD上的高 C．BE是△ABD边AD上的中线 D．AH为△AFC的高线 【分析】根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【解答】解：A．∵∠1＝∠2， ∴AG是△ABE的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵CF⊥AD， ∴CH为△ACD边AD上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为AD的中点， ∴BG是△ABD边AD上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵CF⊥AD， ∴AH为△AFC的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键． 知识点3 三角形的稳定性 6．（2026•前郭县校级二模）如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是　三角形的稳定性　 ． 【分析】根据三角形的稳定性即可得出结论． 【解答】解：由题意可知，这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 【点睛】本题主要考查了三角形稳定性的知识，理解三角形的稳定性是解题关键． 7．（2026•鞍山校级开学）如图，小李家有一个已经变形的六边形置物架，需通过增加木条使其固定，工人师傅至少需要加固 　3　 根木条． 【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案． 【解答】解；依据三角形的稳定性，六边形置物架钉上木条后分成三角形即可，如图，工人师傅至少需要加固木条数量为3条． 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性． 知识点4 三角形的重心 8．（2026•鲤城区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点D为AB中点，点G为△ABC的重心，则CG的长为（　　） A． B． C． D．4 【分析】根据三角形重心的性质进行计算即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10且点D为AB中点， ∴CD． ∵点G为△ABC的重心， ∴CG． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的重心，熟知三角形重心的性质是解题的关键． 9．（2026春•静安区校级期末）如图，△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形，则其重心在（　　） A．线段FG上 B．线段DC上 C．线段EF上 D．线段DE上 【分析】根据正方形网格的特点得AM＝BM＝2，∠AMD＝∠BND＝90°，进而可依据“AAS”判定和△AMD和△BND全等得AD＝BD，则DC是△ABC的中线，然后根据三角形的重心的定义即可得出答案． 【解答】解：如图所示： ∵△ABC为边长为1个单位长度的正方形网格中的格点三角形， ∴AM＝BM＝2，∠AMD＝∠BND＝90°， 在△AMD和△BND中， ， ∴△AMD≌△BND（AAS）， ∴AD＝BD， ∴DC是△ABC的中线， ∵三角形三条中线的交点是三角形的重心， ∴△ABC的重心在线段DC上． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的定义，理解三角形重心的定义，熟练掌握正方形网格的特点，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 10．（2025秋•望花区期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A，B，C，D，E，F，G在小正方形的顶点上．三角形匀质薄板ABC放在如图所示的位置，则三角形匀质薄板ABC的重心是（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【分析】设AD所在的格线与BC交于点M，CD所在的格线交AB于点N，设正方形网格中的小正方形的边长为1，由勾股定理得BM＝CM，AN＝BE，由此得AM，CN是△ABC的中线，再根据三角形重心的定义即可得出答案． 【解答】解：设AD所在的格线与BC交于点M，CD所在的格线交AB于点N，如图所示： 设正方形网格中的小正方形的边长为1， 由勾股定理得：BM，CM，AN，BE， ∴BM＝CM，AN＝BE， ∴AM，CN是△ABC的中线， 又∵AM与CN的交点为D， ∴点D是△ABC的重心． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的重心，勾股定理，理解三角形的重心的定义，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 11．（2026春•徐汇区校级期中）Rt△ABC，∠ACB＝90°，AB＝6，G为重心，则CG＝　2　 ． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出CD，根据重心的性质求出CG的长即可． 【解答】解：如图，∵G为△ABC的重心， ∴CD是△ABC的中线，CG＝2DG， ∵∠ACB＝90°，AB＝6， ∴， ∴CG＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的重心，掌握三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解题的关键． 知识点5 三角形三边关系 12．（2026•雨花区校级二模）下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 【分析】用两条短边之和是否大于第三边即可判断． 【解答】解：A．∵3+2＞4，故能构成三角形，符合题意； B．∵5+6＜12，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵2+5＜9，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵5+2＝7，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是理解三角形两边之和大于第三边． 13．（2025秋•周口期末）如图1，这是外出钓鱼必带的折叠凳，其侧面上半部分的示意图如图2所示．若AB＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AC可能是（　　） A．25cm B．36cm C．39cm D．40cm 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，进行判断即可． 【解答】解：∵AB＝BC＝18cm， ∴根据三角形三边关系得，AC＜AB+BC， ∴AC＜36cm，结合选项，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，关键是三角形三边关系的熟练掌握． 知识点6 三角形内角和定理 14．（2026•铜川二模）如图，AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，且OE⊥BC于点E，∠BAC＝60°，∠EOD＝20°，则∠C的度数为（　　） A．80° B．75° C．70° D．65° 【分析】根据OE⊥BC可知∠OED＝90°，再由∠EOD＝20°可得出∠ODE的度数，再由AD是△ABC的角平分线，点O在AD上，∠BAC＝60°求出∠CAD的度数，进而得出结论． 【解答】解：∵OE⊥BC， ∴∠OED＝90°， ∵∠EOD＝20°， ∴∠ODE＝90°﹣20°＝70°， ∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°， ∴∠CAD∠BAC＝30°， ∴∠C＝180°﹣∠CAD﹣∠ODE＝180°﹣30°﹣70°＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 15．（2026春•闵行区校级月考）一副三角板按如图所示放置，点A在DE上，点F在BC上，若∠EAB＝30°，则∠DFC＝　105°　 ． 【分析】由三角板可得∠E＝90°，∠B＝90°，∠DFE＝45°，设EF与AB交于点O，在△AEO中利用三角形内角和定理求出∠AOE，利用对顶角相等求出∠BOF，再在△BOF中利用三角形内角和定理求出∠EFB，最后利用平角的定义即可求∠DFC． 【解答】解：如图，设EF与AB交于点O ∵图中是一副直角三角板， ∴∠E＝90°，∠B＝90°，∠DFE＝45°， ∵∠EAB＝30°， ∴∠AOE＝180°﹣∠E﹣∠EAB＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠BOF＝∠AOE＝60°， ∴∠OFB＝180°﹣∠B﹣∠BOF＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵点F在BC上， ∴∠DFC＝180°﹣∠DFE﹣∠OFB＝180°﹣45°﹣30°＝105°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 16．（2026春•铜梁区校级月考）如图，△ABC中，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E．若∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠CFB的度数　125°　 ． 【分析】根据三角形的内角和定理，求出∠ABC和∠ACD的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出∠BCF，∠CBF的度数，进而求出∠CFB的度数即可． 【解答】解：∵CD⊥AB，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，∠A＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠ADC＝90°，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝70°，， ∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝20°， ∴∠CFB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBF＝125°． 故答案为：125°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 17．（2026春•南关区校级月考）【问题】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．若∠A＝80°，则∠BEC＝　130°　 ； 【探究】如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB．试猜想∠BEC和∠A有怎样的关系，并说明理由； 【应用】如图2，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，若∠A＝n°，则∠BEC＝　　 ． 【分析】（1）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （2）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （3）根据三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，再由BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，得到，，于是，再根据三角形的内角和定理得到∠BEC的大小． 【解答】解：（1）在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB． ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝80°， ∴∠ABC+∠ACB＝100°， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴，， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ＝130°， 故答案为：130°； （2），理由如下， ∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，∠A＝n°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB， ∴，， ∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB） ； （3）在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， 由三角形的内角和定理得∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，正确进行计算是解题关键． 18．（2026春•鼓楼区校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝72°，∠BCD＝31°，CD平分∠ACB，求∠B的度数． 【分析】由角平分线的定义求出∠ACB的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【解答】解：∵CD平分∠ACB，∠BCD＝31°， ∴∠ACB＝2∠BCD＝62°， ∵∠A＝72°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣72°﹣62°＝46°． 【点睛】本题考查的三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键． 19．（2026春•万州区月考）如图，在三角形ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为点F，点G在AC上，从下列两个条件中选择一个作为条件：①∠1＝∠2，②∠2＝∠3，能使DG∥BC． （1）你的选择是_____（填序号），并说明理由； （2）在（1）的条件下，若∠B＝38°，∠ACD＝42°，求∠3的度数． 【分析】（1）由CD⊥AB，EF⊥AB，可得出CD∥EF，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出∠2＝∠BCD，结合∠1＝∠2，可得出∠1＝∠BCD，再利用“内错角相等，两直线平行”，即可得出DG∥BC； （2）由CD⊥AB，可得出∠BDC＝90°，在△BCD中，利用三角形内角和定理，可求出∠BCD的度数，结合∠ACB＝∠ACD+∠BCD，可求出∠ACB的度数，由DG∥BC，利用“两直线平行，同位角相等”，即可求出∠3的度数． 【解答】解：（1）①，理由如下： ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠2＝∠BCD， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD， ∴DG∥BC． 故答案为：①； （2）∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝90°． 在△BCD中，∠B＝38°，∠BDC＝90°， ∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠BDC＝180°﹣38°﹣90°＝52°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝42°+52°＝94°， 又∵DG∥BC， ∴∠3＝∠ACB＝94°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）根据各角之间的关系，找出∠1＝∠BCD；（2）通过角的计算，求出∠ACB的度数． 20．（2026春•盐城月考）如图，AD，BC相交于点O，连接AB，CD． （1）求证：∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）若∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°，求∠D的度数． 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD，再由对顶角相等，即可求证； （2）由（1）中的结论解答即可． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°（三角形内角和定理）， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， ∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D（等量代换）； （2）解：由（1）得：∠A+∠B＝∠C+∠D， ∵∠A＝57°，∠B＝35°，∠C＝60°， ∴57°+35°＝60°+∠D， ∴∠D＝32°， 则∠D的度数为32°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键是相关定理的熟练掌握． 21．（2026春•盐城月考）在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三个内角的平分线交于点O． （1）填空：如图1，若∠ACB＝70°，则∠AOB的大小为　125　 度； （2）如图1，过点O作OD⊥OC，交AC于点D，证明：∠ADO＝∠AOB； （3）如图2，CO的延长线交AB于点E．点M是AB边上的一动点（不与点E重合），过点M作MN⊥CE于点N，请直接写出∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系． 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠BAC+∠ABC＝110°，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠ABO）＝90°+∠ACO，再由OD⊥OC，可得∠ADO＝180°﹣∠ODC＝90°+∠ACO，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段BE上时；当点M在线段BE上时，画出图形，分别求解即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝70°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣70°＝110°， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴OA、OB分别是∠ABC、∠BAC的平分线， ∴，， ∴， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠ABO）＝180°﹣55°＝125°， 故答案为：125； （2）∵OA、OB、OC分别是∠ABC、∠BAC、∠ACB的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵OD⊥OC，即∠COD＝90°， ∴∠ODC＝180°﹣（∠COD+∠ACO）＝90°﹣∠ACO， ∴∠ADO＝180°﹣∠ODC＝180°﹣（90°﹣∠ACO）＝90°+∠ACO， ∴∠ADO＝∠AOB； （3）如图，当点M在线段AE上时， ∵∠AEN+∠BEC＝180°，∠ABC+∠BCO+∠BEC＝180°， ∴ ， ∵MN⊥CE，即∠MNE＝90°， ∵∠AEN+∠MNE+∠EMN＝180°，∠AMN+∠EMN＝180°， ∴， 即2∠AMN＝∠ABC﹣∠BAC+360°； 当点M在线段BE上时，如图， 同理， ∵MN⊥CE，即∠MNE＝90°， ∴ 即2∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC； 综上所述，∠AMN、∠ABC、∠BAC三者之间的数量关系为2∠AMN＝∠ABC﹣∠BAC+360°或2∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180°是解题的关键． 知识点7 三角形的外角性质 22．（2026•乐陵市二模）停车场经常看到如图1所示的地锁，图2为其示意图，若∠3＝100°，则∠2﹣∠1＝（　　） A．80° B．90° C．100° D．110° 【分析】由邻补角的性质求出∠4的度数，由三角形的外角性质即可得到答案． 【解答】解：∵∠4＝180°﹣∠3＝180°﹣100°＝80°， ∴∠1﹣∠2＝80°． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角的外角性质． 23．（2026•宁夏模拟）一副三角板拼成如图所示的图形，那么∠DAC的度数为（　　） A．60° B．75° C．90° D．105° 【分析】由题意可得∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，由三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：由题意得：∠ABC＝45°，∠ACB＝60°， ∵∠DAC是△ABC的外角， ∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝105°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和． 24．（2026春•太原校级月考）如图，点O是△ABC的两条角平分线的交点．若∠A＝68°，则∠BOC的度数为　124°　 ． 【分析】由题意易得，然后根据三角形内角和进行求解即可． 【解答】解：∵OB，OC分别平分∠ABC，∠ACB， ∴， ∵∠A＝68°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣68°＝112°， ∴， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣56°＝124°， 故答案为：124°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是相关性质和定理的熟练掌握． 知识点8 等腰三角形的性质 25．（2026•达州）若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式2x﹣5≤0的正整数解．则等腰三角形的周长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【分析】解不等式2x﹣5≤0，得x≤2.5，则该不等式2的正整数解为1，2，由于1+1＝2不满足两边之和大于第三边，因此1不能是等腰三角形的腰，只能是底边，此时该等腰三角形的三边长为2，2，1，据此可得等腰三角形的周长为5． 【解答】解：解不等式2x﹣5≤0，得：x≤2.5， ∴不等式2x﹣5≤0的正整数解为1，2， 依题意得：该等腰三角形的两边为1，2， 又∵1+1＝2不满足三角形两边之和大于第三边， ∴1不能是等腰三角形的腰，只能是底边， ∴该等腰三角形的腰长为2，底边长为1， 此时该等腰三角形的三边长为：2，2，1， ∴等腰三角形的周长为：2+2+1＝5． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，解一元一次不等式，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边之间的关系，解一元一次不等式是解决问题的关键． 26．（2026•泗阳县一模）一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（　　） A．40° B．70° C．100° D．100°或70° 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等及三角形内角和即可求解． 【解答】解：∵等腰三角形的装饰品的顶角为40°， ∴等腰三角形的装饰品的底角为：（180°﹣40°）＝70°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和等知识；掌握这两个知识是关键． 27．（2026春•闵行区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，若△ABD的周长为12，△ABC的周长为16，则AD的长为　4　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的周长可求解AB+BD＝8，再利用三角形的周长公式即可得到结论． 【解答】解：由题意可得：BD＝CD， ∵△ABC的周长为16， ∴AB+BDC△ABC＝8， ∵△ABD的周长为12， ∴AD＝12﹣8＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 28．（2026春•太原校级月考）如图，在等腰三角形纸片ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，将一块含36°角的直角三角形纸片PMN（∠M＝90°，∠MPN＝36°）按如图所示的方式放置，顶点P在线段AB上滑动（不与点A．B重合），△PMN的斜边PN始终经过点C，直角边PM交BC于点D，将PN与CA的夹角记为α（∠PCA＝α）．在点P滑动的过程中，当夹角α＝　36°或72°　 ，△PCD是等腰三角形． 【分析】分三种情况讨论：当PC＝PD时，得到∠PCD＝∠PDC＝72°，求出∠PCA＝36°；当DC＝DP时，得到∠DCP＝∠MPN＝36°，求出∠PCA＝72°；当CP＝CD时，此时P与B重合，因此CP≠CD，于是得到答案． 【解答】解：当PC＝PD时， ∵∠MPN＝36°， ∴， ∴∠PCA＝∠ACB﹣∠PCD＝36°； 当DC＝DP时， ∴∠DCP＝∠MPN＝36°， ∴∠PCA＝∠ACB﹣∠PCD＝72°﹣36°＝72°； 当CP＝CD时， ∴∠CDP＝∠MPN＝36°， ∴∠DCP＝180°﹣∠MPN﹣∠CDP＝180°﹣36°﹣36°＝108°， 此时P与B重合，因此CP≠CD， 综上所述，当夹角α＝36°或72°，△PCD是等腰三角形， 故答案为：36°或72°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 29．（2025秋•江州区期末）经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． （1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB，请说明△ABC是“钻石三角形”． （2）如图2，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝60°，则Rt△ABC　是　 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；若是，其“钻石分割线”必过顶点 B （填A或B或C）．若不是，请说明理由． （3）在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的“钻石分割线”，使△ABC是“钻石三角形”，请直接写出满足条件的∠B的度数． 【分析】（1）根据三角形外角性质求出∠BDC＝∠B＝72°，求出∠A＝∠ACD＝36°，根据等腰三角形的判定推出△ACD和△BDC都是等腰三角形； （2）取AC的中点D连接BD，根据直角三角形的性质得到BD＝CD＝AD，求得△BCD和△ABD是等腰三角形，于是得到结论； （3）分三种情况，当AD＝CD时，当AC＝AE，CE＝BE时，当AC＝CE，CE＝BE时，于是得到结论． 【解答】（1）证明：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠BCD＝∠ACD∠ACB＝36°． ∵∠A＝∠ACD＝36°， ∴△ACD是等腰三角形， ∵∠A＝∠ACD＝36°， ∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝72°， ∵∠B＝72°， ∴∠B＝∠BDC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴△ABC是“钻石三角形”． （2）解：是， 理由：如图，取AC的中点D连接BD， ∵∠ABC＝90°， ∴BD＝CD＝AD， ∴△BCD和△ABD是等腰三角形， ∴Rt△ABC“钻石三角形”，其“钻石分割线”必过顶点B． 故答案为：是，B； （3）解：如图a， 当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图b， 当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°， 如图c， 当AC＝CE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠AEC＝∠A＝20°， ∴∠B＝10°， 综上所述，∠B的度数为70°或40°或100°或10°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，理解“钻石分割线”的定义并分类讨论是解题的关键． 知识点9 等边三角形的性质 30．（2026•莲池区二模）如图，把等边△ABC纸片沿DE折叠，若∠1＝40°，则∠2是（　　） A．50° B．55° C．60° D．58° 【分析】根据折叠的性质可得∠BDE＝∠B'DE，结合平角的定义和图形中角的关系求出∠BDE的度数，再利用三角形的外角性质或内角和定理求出∠2的度数． 【解答】解：由折叠的性质可知∠BDE＝∠B'DE， ∵∠B′DE＝∠1+∠ADE，∠ADE＝180°﹣∠BDE， ∴∠BDE＝∠1+180°﹣∠BDE， ∴2∠BDE＝180°+∠1， ∵∠1＝40°， ∴， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝60°（等边三角形的性质）， ∵∠BDE是△ADE的外角， ∴∠BDE＝∠A+∠2（三角形外角的性质）， ∴110°＝60°+∠2， ∴∠2＝50°． 则∠2的度数是50°． 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，关键是等边三角形性质的熟练掌握． 31．（2026•深圳三模）自行车的车架设计蕴含丰富的几何知识．如图，自行车的车把手AB与地面平行．后轮支撑结构为△EFG，∠EFG＝60°，EG＝FG，前轮支撑结构BD，EF互相平行．已知∠CDE＝60°，则∠DEG的度数为（　　） A．60° B．120° C．135° D．150° 【分析】根据平行线的性质得出∠DEF＝∠CDE＝60°，进而利用等边三角形的判定与性质得出∠FEG＝60°，进而解答即可． 【解答】解：∵BD∥EF， ∴∠DEF＝∠CDE＝60°， ∵∠EFG＝60°，EG＝FG， ∴△EFG是等边三角形， ∴∠FEG＝60°， ∴∠DEG＝60°+60°＝120°， 故选：B． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，关键是利用等边三角形的判定与性质得出∠FEG＝60°解答． 32．（2026•浙江模拟）如图，在等边三角形网格中每个小等边三角形的面积都是1，图中以格点为顶点的△ABC面积为　10　 ． 【分析】本题可运用割补法，构造包含△ABC 的平行四边形（或规则多边形），通过计算该规则图形的面积，再减去周围多余三角形的面积来求解△ABC的面积．具体地，先确定能完全覆盖△ABC的最小平行四边形，数出其中小等边三角形的个数得到其面积；再分别分析△ABC周围三个直角三角形（在等边三角形网格中表现为以小三角形为单位的区域）包含的小等边三角形数量并计算面积；最后用平行四边形的面积减去这三个三角形的面积，即可得到△ABC的面积． 【解答】解：构造外接平行四边形：通过观察顶点位置，可确定一个恰好包围△ABC的平行四边形， 其内部共包含20个小等边三角形， 故面积为20． 计算外围三个小三角形面积：左侧三角形：4； 右下三角形：3； 右上三角形：3； 目标三角形面积：S△ABC＝20﹣（4+3+3）＝10． 故答案为：10． 【点睛】题目考查了等边三角形的性质，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $