第13章 三角形单元过关测试卷【提优专题+专项训练+测评试卷 】 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 第13章三角形单元过关测试卷，通过选择（10题30分）、填空（8题24分）、解答（7题44分）全面覆盖三角形分类、内角和、三边关系等核心知识，注重抽象能力与推理意识培养，适配初中数学单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形按边分类、直角三角形锐角计算、三边关系|结合图示考查分类逻辑（如第1题），基础与辨析并重| |填空题|8/24|等腰三角形周长、角平分线角度计算、平行线性质|设置易错点（如第17题腰上高夹角），强化几何直观| |解答题|7/44|内角和证明、面积法应用、动态折叠问题|注重推理与模型意识（如第23题证明推理，第25题面积关系探究）|

第13章三角形单元过关测试卷 （满分：100 时间：100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共100分） 1．（2026春•同步）可以用表示不同事物“大致关系”的图示来表示三角形按边分类的结果，如图所示，则图中A可以表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形） 2．（2024春•永寿县月考）在直角三角形ABC中，一个锐角为20°，则另一个锐角的度数是（　　） A．20° B．40° C．70° D．80° 3．（2025秋•蜀山区期末）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．10 B．8 C．6 D．2 4．（2026春•吴江区期中）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，把△ADE沿直线DE翻折后得△A′DE．如果∠DEC＝103°，那么∠A′EC的度数是（　　） A．24° B．26° C．28° D．30° 5．（2025•黔南州一模）将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 6．（2025秋•蔡甸区月考）一个等腰三角形的两边长分别是a和2a+1（a＞0），则它的周长为（　　） A．3a+1 B．4a+1 C．5a+2 D．4a+1或5a+2 7．（2024春•江阳区月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|＝（　　） A．2a B．﹣2c C．2c﹣2b D．2a+2b﹣2c 8．（2025秋•东莞市期中）在△ABC中，如果∠A＝∠B+∠C，那么△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 9．（2025秋•北京单元）等腰三角形的周长为26cm，一边长为6cm，那么腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．14cm 10．（2025秋•北京单元）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 二．填空题（共8小题,每小题3分，共24分） 11．（2024秋•兴化市期末）等腰三角形的两边长分别为1和3，则三角形的周长为 　 　 ． 12．（2024秋•平远县期末）如图，将一副三角板按图中所示的位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的大小为 　 　 ． 13．（2026春•呼图壁县期中）已知一个三角形的两边长分别为3和6，则第三边x的取值范围是 　 　 ． 14．（2026春•武侯区期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，当∠A＝58°时，∠BOC＝　 ． 15．（2025秋•汉滨区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是BC的中点，BD＝BE，连接DE，则∠AED的度数是　 　 ． 16．（2025秋•北京单元）如图，已知MN∥EF，点A在MN上，点B和D在EF上，点C在AB的延长线上，∠MAB＝76°，∠C＝36°，则∠BDC的度数是 　 　 ． 17．（2025秋•北京单元）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　 ． 18．（2025秋•北京单元）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是　 　 ． 三．解答题（共7小题，共44分） 19．（5分）（2026春•同步）在△ABC中，∠B比∠A大10°，∠C比∠B大10°．求△ABC各内角的度数． 20．（6分）（2025秋•北京单元）如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，且正方形的边长均为1，已知△ABC的三个顶点均在格点上． （1）画出△ABC中BC边上的中线AD； （2）画出△ABC中AB边上的高CE； （3）△ABC的面积为　 　 ． 21．（6分）（2025秋•北京单元）已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a﹣b （1）求第三条边长m的取值范围；（用含a，b的式子表示） （2）若a，b满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值 22．（6分）（2025秋•宜兴市月考）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　 ． （2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，求腰长AB． 23．（8分）（2024春•长乐区期中）阅读下列材料，回答问题． 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于180°． 证明过程如下： 已知：如图3，△ABC． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：如图3，过点A作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠B＝∠BAD（ 　 　 ） 同理∠C＝∠CAE ∵∠BAC+∠BAD+∠CAE＝180°（ 　 　 ） ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°（ 　 　 ） （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据； （2）由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于180°的另一种证法，请你完成． 24．（5分）（2025秋•北京单元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，当△A′EF的边A′F与△ABC的一边平行时，求∠AEF的度数． 25．（8分）（2025秋•北京单元）阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的高，P是BC边上一点，PM、PN分别与直线AB、AC垂直，垂足分别为点M、N． 求证：BD＝PM+PN． 阳阳发现，连接AP，有S△ABC＝S△ABP+S△ACP，即AC•BDAB•PMAC•PN．由AB＝AC，可得BD＝PM+PN． 他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD、PM、PN之间的数量关系是：BD＝PN﹣PM． 请回答： （1）请补全阳阳同学证明猜想的过程； 证明：连接AP． ∵S△ABC＝S△APC﹣ ． ∴AC•BDAC• AB• ． ∵AB＝AC，∴BD＝PN﹣PM． （2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在△ABC中，AB＝AC＝BC，BD是△ABC的高，P是△ABC所在平面上一点，PM、PN、PQ分别与直线AB、AC、BC垂直，垂足分别为点M、N、Q． ①如图3，若点P在△ABC的内部，猜想BD、PM、PN、PQ之间的数量关系并写出推理过程． ②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD、PM、PN、PQ之间的数量关系是： ．（直接写出结论即可） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章三角形单元过关测试卷 （满分：100 时间：100分钟） 一．选择题（共10小题，每小题3分，共100分） 1．（2024春•同步）可以用表示不同事物“大致关系”的图示来表示三角形按边分类的结果，如图所示，则图中A可以表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【解答】解：根据三角形的分类，图中小椭圆圈里的A表示等边三角形． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形） 2．（2024春•永寿县月考）在直角三角形ABC中，一个锐角为20°，则另一个锐角的度数是（　　） A．20° B．40° C．70° D．80° 【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【解答】解：∵直角三角形一个锐角为20°， ∴另一个锐角的度数＝90°﹣20°＝70°， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键． 3．（2025秋•蜀山区期末）若长度分别为a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（　　） A．10 B．8 C．6 D．2 【分析】根据三角形三边关系求出a的取值范围，选择再此范围内的选项即可． 【解答】解：由三角形三边关系可得：5﹣3＜a＜5+3， 即2＜a＜8， 因为2＜6＜8． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键． 4．（2026春•吴江区期中）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，把△ADE沿直线DE翻折后得△A′DE．如果∠DEC＝103°，那么∠A′EC的度数是（　　） A．24° B．26° C．28° D．30° 【分析】由∠DEC＝103°，求得∠AED＝180°﹣∠DEC＝77°，由翻折得∠A′ED＝∠AED＝77°，则∠A′EC＝180°﹣∠A′ED﹣∠AED＝26°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，∠DEC＝103°， ∴∠AED＝180°﹣∠DEC＝77°， ∵把△ADE沿直线DE翻折后得△A′DE， ∴∠A′ED＝∠AED＝77°， ∴∠A′EC＝180°﹣∠A′ED﹣∠AED＝26°， 故选：B． 【点睛】此题重点考查翻折变换的性质，推导出∠A′ED＝∠AED＝77°是解题的关键． 5．（2025•黔南州一模）将一个含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据题意，∠1＝∠BED＝40°，△BDE中，∠BDE＝90°﹣40°＝50°，根据对顶角相等即可求解． 【解答】解：如图所示，∠B＝90°， 根据题意，∠1＝∠BED＝40°（对顶角相等）， 在△BDE中，∠BDE＝90°﹣∠BED＝90°﹣40°＝50°， ∴∠2＝∠BDE＝50°， 所以∠2的度数是50°， 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，对顶角、邻补角，理解图示，掌握角的和差计算是解题的关键． 6．（2025秋•蔡甸区月考）一个等腰三角形的两边长分别是a和2a+1（a＞0），则它的周长为（　　） A．3a+1 B．4a+1 C．5a+2 D．4a+1或5a+2 【分析】已知等腰三角形的两边的长，但没有明确这两边哪边是腰，哪边是底，因此要分类讨论． 【解答】解：当三边长是a，a，2a+1时，a+a＝2a＜2a+1，不符合三角形的三边关系； 当三边长是2a+1，2a+1，a时，符合三角形的三边关系，此时周长是2a+1+2a+1+a＝5a+2． 因此等腰三角形的周长为5a+2． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 7．（2024春•江阳区月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，则|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|＝（　　） A．2a B．﹣2c C．2c﹣2b D．2a+2b﹣2c 【分析】由三角形三边关系定理得到a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，即可化简|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b|． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+c＞b，a+b＞c， ∴a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0， ∴|a+c﹣b|﹣|c﹣a﹣b| ＝a+c﹣b﹣[﹣（c﹣a﹣b）] ＝a+c﹣b+c﹣a﹣b ＝2c﹣2b． 故选：C． 【点睛】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 8．（2025秋•东莞市期中）在△ABC中，如果∠A＝∠B+∠C，那么△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【分析】根据三角形的内角和为180°，可以得出∠A+∠B+∠C＝180°，计算出∠A＝90°即可解答． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝∠B+∠C， ∴2∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 9．（2025秋•北京单元）等腰三角形的周长为26cm，一边长为6cm，那么腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．14cm 【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解． 【解答】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边＝26﹣6﹣6＝14（cm），因为14＞6+6，所以不能构成三角形； ②当6cm为底边时，则腰长＝（26﹣6）÷2＝10（cm），因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形； 故选：B． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验． 10．（2025秋•北京单元）已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F．若∠C＝35°，∠DEF＝15°，则∠B的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．85° 【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF＝15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论． 【解答】解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°， ∴∠ADB＝90°﹣15°＝75°． ∵∠C＝35°， ∴∠CAD＝75°﹣35°＝40°． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAC＝2∠CAD＝80°， ∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣35°＝65°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 二．填空题（共8小题,每小题3分，共24分） 11．（2024秋•兴化市期末）等腰三角形的两边长分别为1和3，则三角形的周长为 　7　 ． 【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为1，底边长为3时；当等腰三角形的腰长为3，底边长为1时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的腰长为1，底边长为3时， ∵1+1＝2＜3， ∴不能组成三角形； 当等腰三角形的腰长为3，底边长为1时， ∵3+1＝4＞3， ∴三角形的周长＝3+3+1＝7； 综上所述：三角形的周长为7， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 12．（2024秋•平远县期末）如图，将一副三角板按图中所示的位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的大小为 　75°　 ． 【分析】依题意得：∠C＝∠D＝45°，∠B＝30°，∠CED＝90°，AB∥CD，进而根据平行线的性质得∠3＝∠D＝45°，然后根据三角形外角性质得∠2＝∠3﹣∠B＝15°，由此可得∠1的度数． 【解答】解：如图所示： 依题意得：∠C＝∠D＝45°，∠B＝30°，∠CED＝90°，AB∥CD， ∴∠3＝∠D＝45°， ∵∠3＝∠2+∠B， ∴∠2＝∠3﹣∠B＝45°﹣30°＝15°， ∴∠1＝180°﹣∠CED﹣∠2＝180°﹣90°﹣15°＝75°． 故答案为：75°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． 13．（2026春•呼图壁县期中）已知一个三角形的两边长分别为3和6，则第三边x的取值范围是 　3＜x＜9　 ． 【分析】根据三角形的三边关系定理，求出第三边的取值范围即可． 【解答】解：由三角形的三边关系可知： 6﹣3＜x＜6+3， 则3＜x＜9， 第三边长x的取值范围：3＜x＜9． 故答案为：3＜x＜9． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即第三边大于两边之差，小于两边之和． 14．（2026春•武侯区期中）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于O点，当∠A＝58°时，∠BOC＝　119°　 ． 【分析】由∠A＝58°，根据三角形内角和定理求得∠ABC+∠ACB＝122°，因为∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，所以∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝61°，则∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝119°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝58°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝122°， ∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝61°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝119°， 故答案为：119°． 【点睛】此题重点考查角平分线的定义、三角形的内角和等于180°等知识，正确理解和应用三角形内角和定理是解题的关键． 15．（2025秋•汉滨区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，D是BC的中点，BD＝BE，连接DE，则∠AED的度数是　110°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质得∠B＝∠C＝40°，再根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝100°， ∴， ∵BD＝BE， ∴， ∴∠AED＝180°﹣∠BED＝180°﹣70°＝110°， 则∠AED的度数为110°． 故答案为：110°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理应用，熟练掌握等边对等角是解题的关键． 16．（2025秋•北京单元）如图，已知MN∥EF，点A在MN上，点B和D在EF上，点C在AB的延长线上，∠MAB＝76°，∠C＝36°，则∠BDC的度数是 　40°　 ． 【分析】由平行线的性质可得∠ABD＝∠MAB＝76°，再由三角形的外角性质即可求解． 【解答】解：∵MN∥EF，∠MAB＝76°， ∴∠ABD＝∠MAB＝76°， ∵∠C＝36°，∠ABD是△BCD的外角， ∴∠BDC＝∠ABD﹣∠C＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，三角形的外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 17．（2025秋•北京单元）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　45°或135°　 ． 【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为45°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数为135°． 【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝45°， ∴∠A＝45°， 即顶角的度数为45°． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝135°． 故答案为：45°或135°． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，关键在于正确的画出图形，认真的进行计算． 18．（2025秋•北京单元）一个三角形3条边长分别为xcm、（x+1）cm、（x+2）cm，它的周长不超过39cm，则x的取值范围是　1＜x≤12　 ． 【分析】根据三角形的三边关系以及周长列出不等式组，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵一个三角形的3边长分别是xcm，（x+1）cm，（x+2）cm，它的周长不超过39cm， ∴， 解得1＜x≤12． 故答案为：1＜x≤12． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，在解答此题时要注意三角形的三边关系． 三．解答题（共7小题，共44分） 19．（5分）（2026春•同步）在△ABC中，∠B比∠A大10°，∠C比∠B大10°．求△ABC各内角的度数． 【分析】由∠B比∠A大10°，∠C比∠B大10°，得∠B＝∠A+10°，∠C＝∠A+20°，根据三角形内角和定理得∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°，求得∠A＝50°，则∠B＝60°，∠C＝70°． 【解答】解：∵∠B比∠A大10°，∠C比∠B大10°， ∴∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°， ∴∠C＝∠A+10°+10°＝∠A+20°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°， ∴∠A＝50°， ∴∠B＝50°+10°＝60°，∠C＝50°+20°＝70°， ∴∠A、∠B、∠C的度数分别为50°、60°、70°． 【点睛】此题重点考查三角形内角和定理，推导出∠B＝∠A+10°，∠C＝∠A+20°，再根据三角形的内角和等于180°列出等式是解题的关键． 20．（6分）（2025秋•北京单元）如图为7×9的网格，每一小格均为正方形，且正方形的边长均为1，已知△ABC的三个顶点均在格点上． （1）画出△ABC中BC边上的中线AD； （2）画出△ABC中AB边上的高CE； （3）△ABC的面积为　6　 ． 【分析】（1）根据中线的定义及格点特征即可得解； （2）根据高线的定义及格点特征即可得解； （3）根据三角形的面积公式即可得解． 【解答】解：（1）如图，线段AD即为所求； （2）如图，线段CE即为所求； （3）由图可知BC＝4，AD＝3， ∴S△ABC4×3＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了三角形及格点作图等n内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 21．（6分）（2025秋•北京单元）已知一个三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a﹣b （1）求第三条边长m的取值范围；（用含a，b的式子表示） （2）若a，b满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，第三条边长m为整数，求这个三角形周长的最大值 【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论； （2）根据绝对值和平方的非负性可确定a，b的值，从而得出m的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵三角形的第一条边长为3a+b，第二条边长为2a﹣b， ∴第三条边长m的取值范围是3a+b﹣（2a﹣b）＜m＜3a+b+（2a﹣b）， 即a+2b＜m＜5a， ∴第三条边长m的取值范围是a+2b＜m＜5a； （2）∵a，b满足|a﹣5|+（b﹣2）2＝0，第三条边长m为整数， ∴， ∴， ∴5+2×2＜m＜5×5，即9＜m＜25， 则三角形的周长为：3a+b+（2a﹣b）+m＝5a+m＝25+m， ∵m为整数， ∴m可取最大值为24， 此时这个三角形周长的最大值为25+24＝49， ∴这个三角形周长的最大值为49． 【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 22．（6分）（2025秋•宜兴市月考）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． （1）化简代数式：|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝　2a ． （2）若AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为9和18两部分，求腰长AB． 【分析】（1）先根据三角形的三边关系定理可得a+b＞c，a+c＞b，从而可得a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，再化简绝对值，然后计算整式的加减法即可得； （2）先根据三角形中线的定义可得，再设元对周长分两种情况讨论，即或，分别求出x、y的值，从而可得三角形的三边长，然后看是否符合三角形的三边关系定理即可得出答案． 【解答】解：（1）在△ABC中， ∵∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c ∴a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0， ∴原式＝a+b﹣c+（﹣b+a+c） ＝a+b﹣c﹣b+a+c ＝2a， 故答案为2a． （2）如图，设AD＝CD＝x，BC＝y，则AB＝AC＝2x． ∵中线BD把三角形的周长分为9和18两部分， ∴或， 即或， 解得或． 当x＝3时，三边为6、6、15，6+6＜15，不符合三角形三边关系，舍去． 当x＝6时，三边为12、12、3，此时腰长为12，符合题意． 综上所述，等腰三角形的腰长AB为12． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，绝对值，解题关键是分两种情况讨论． 23．（8分）（2024春•长乐区期中）阅读下列材料，回答问题． 我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，我们是通过度量或剪拼得出这一结论的．但是，这种“验证”不是“数学证明”；所以，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和一定等于180°． 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．如图两种方法． 欣欣同学受到图1的启发，证明了三角形的内角和等于180°． 证明过程如下： 已知：如图3，△ABC． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：如图3，过点A作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠B＝∠BAD（ 　两直线平行，内错角相等　 ） 同理∠C＝∠CAE ∵∠BAC+∠BAD+∠CAE＝180°（ 　平角的定义　 ） ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°（ 　等量代换　 ） （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等，请你补全欣欣同学证明过程中所缺的根据； （2）由图2启发，可以得到证明三角形的内角和等于180°的另一种证法，请你完成． 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，再根据平角定义得∠BAC+∠BAD+∠CAE＝180°，然后根据等量代换可得出三角形内角和等于180°； （2）延长BC到M，过点C作CN∥AB，根据平行线的性质得∠A＝∠ACN，∠B＝∠MCN，再根据平角的定义得∠ACN+∠MCN+∠ACB＝180°，进而可得出三角形内角和等于180°． 【解答】解：（1）已知：如图3，△ABC． 求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 证明：如图3，过点A作DE∥BC， ∵DE∥BC， ∴∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， 同理∠C＝∠CAE， ∵∠BAC+∠BAD+∠CAE＝180°（平角的定义）， ∴∠BAC+∠B+∠C＝180°（等量代换）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平角的定义；等量代换． （2）延长BC到M，过点C作CN∥AB，如图4所示： ∴∠A＝∠ACN（两直线平行，内错角相等），∠B＝∠MCN（两直线平行，同位角相等）， ∵∠ACN+∠MCN+∠ACB＝180°（平角的定义）， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°（等量代换）． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理的证明，熟练掌握平行线的性质，正确地作出辅助线，把三角形的三个内角转化一个平角是解决问题的关键． 24．（5分）（2025秋•北京单元）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，E，F分别是边AC，AB上的点，连接EF，将△AEF沿EF折叠，得到△A′EF，当△A′EF的边A′F与△ABC的一边平行时，求∠AEF的度数． 【分析】分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质可求∠AEF的度数． 【解答】解：如图1，设A'F与AB交于点H， 若A'F∥BC时， ∴∠BCA＝∠FHA＝90°， ∴∠AFH＝180°﹣∠AHF﹣∠A＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∵将△AEF沿着者EF折叠， ∴∠AFE＝∠A'FE＝30°； ∴∠AEF＝180°﹣∠A﹣∠AFE＝120°； 如图2， 若A'E∥AF时， ∴∠A'EB＝∠A＝30°， ∴∠A'EA＝150°， ∵将△AEF沿着者EF折叠， ∴∠AEF＝∠A'EF＝75°； 如图3， 若A'F∥BC时， ∴∠A'FB＝∠B， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝∠A'FB＝60°， ∵将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF， ∴∠AFE＝∠A'FE， ∴∠BFE＝180°﹣∠AFE， ∴∠AFE﹣60°＝180°﹣∠AFE， ∴∠AFE＝120°， ∴∠AEF＝180°﹣120°﹣30°＝30°； 综上所述：30°或75°或120°． 【点睛】本题是翻折变换，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 25．（8分）（2025秋•北京单元）阅读下列材料： 阳阳同学遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的高，P是BC边上一点，PM、PN分别与直线AB、AC垂直，垂足分别为点M、N． 求证：BD＝PM+PN． 阳阳发现，连接AP，有S△ABC＝S△ABP+S△ACP，即AC•BDAB•PMAC•PN．由AB＝AC，可得BD＝PM+PN． 他又画出了当点P在CB的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD、PM、PN之间的数量关系是：BD＝PN﹣PM． 请回答： （1）请补全阳阳同学证明猜想的过程； 证明：连接AP． ∵S△ABC＝S△APC﹣S△APB ． ∴AC•BDAC•PN AB•PM ． ∵AB＝AC， ∴BD＝PN﹣PM． （2）参考阳阳同学思考问题的方法，解决下列问题： 在△ABC中，AB＝AC＝BC，BD是△ABC的高，P是△ABC所在平面上一点，PM、PN、PQ分别与直线AB、AC、BC垂直，垂足分别为点M、N、Q． ①如图3，若点P在△ABC的内部，猜想BD、PM、PN、PQ之间的数量关系并写出推理过程． ②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得此时BD、PM、PN、PQ之间的数量关系是：BD＝PM+PQ﹣PN ．（直接写出结论即可） 【分析】（1）根据图2，结合阅读材料填写即可； （2）①连接AP、BP、CP，根据S△ABC＝S△APC+S△APB+S△BPC得出AC•BDAC•PNAB•PMBC•PQ，可得结论； ②连接AP、BP、CP，根据S△ABC＝S△APB+S△BPC﹣S△APC，得出AC•BDAB•PMBC•PQAC•PN，同理可得结论． 【解答】（1）证明：连接AP， ∵S△ABC＝S△APC﹣S△APB， ∴AC•BDAC•PNAB•PM， ∵AB＝AC， ∴BD＝PN﹣PM； 故答案为：S△APB，PN，PM； （2）解：①BD＝PM+PN+PQ，理由如下： 如图3，连接AP、BP、CP， ∵S△ABC＝S△APC+S△APB+S△BPC ∴AC•BDAC•PNAB•PMBC•PQ， ∵AB＝AC＝BC， ∴BD＝PM+PN+PQ； ②BD＝PM+PQ﹣PN，理由如下： 如图4，连接AP、BP、CP， ∵S△ABC＝S△APB+S△BPC﹣S△APC． ∴AC•BDAB•PMBC•PQAC•PN， ∵AB＝AC＝BC， ∴BD＝PM+PQ﹣PN． 故答案为：BD＝PM+PQ﹣PN． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，三角形的面积等，作出辅助线运用类比的方法构建三个三角形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $