湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末模拟测试数学试题5

**基本信息** 湖北随州曾都一中2026年春高一期末模拟数学卷，以分层抽样、立体几何证明、统计图表分析等为载体，融合数学眼光、思维与语言，梯度覆盖基础与能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分层抽样、纯虚数、线面关系、三角函数图像|基础概念辨析，如第1题分层抽样考查数据处理| |多选题|3/18|复数性质、三角函数图像性质、正方体线面角|多维度能力考查，如第11题正方体线面角结合空间观念| |填空题|3/15|棱台体积、斜二测画法、解三角形周长范围|空间想象与运算结合，如12题棱台体积考查空间几何体计算| |解答题|5/77|三角函数解析式与值域、立体几何证明与体积、统计图表分析、解三角形综合、四棱锥二面角|综合应用与逻辑推理，如17题统计图表分析数据意识，19题二面角计算体现数学思维|

湖北随州曾都一中2026年春高一期末模拟测试数学试题5 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为108的样本，如果样本按比例分配，则从高三年级抽取的学生人数为（ ） A. 36 B. 40 C. 45 D. 50 2. 若复数是纯虚数，则（ ） A. 3 B. 5 C. D. 3. 已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（ ） A. B. C. D. 4.为了得到函数的图像，只要把正弦函数上所有点（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 设，为单位向量，在上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则等于（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7.一艘海轮从处出发，以每小时50海里的速度沿南偏东的方向直线航行，2小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔．其方向是北偏东，那么两点间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8.如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. （第8题图） （第10题图） （第11题图） 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9.已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 若，则复平面内对应的点位于第二象限 C. 复数， D. 若复数满足，则的最大值为6 10.函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数在区间上单调递增 11. 在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，则 （    ） A. 直线与直线所成的角是 B. 直线与平面所成的角是 C. 二面角的平面角是 D. 平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 底面边长为8的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为4，高为5的正三棱锥，所得棱台的体积为______． 13. 由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是______． 14. 如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，其中为锐角三角形，，设，满足．则的周长的取值范围为_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，，若的最小正周期是． （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 16. 如图，正三棱柱中，是中点，． （1）求证：平面； （2）若三棱锥的体积为，求． 17. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）试估计样本成绩的众数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为63，方差是4，求两组成绩合并后的总平均数和总方差. 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求的值； （2）为边上一点，满足且， （i）求证：； （ii）若，，设，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，. （1）若平面.证明：； （2）若平面平面，， （i）证明：； （ii）求二面角的正弦值. 湖北随州曾都一中2026年春高一期末模拟测试数学试题5 参考答案 CCBC DDAC 9. AD 10. AD 11. ABD 12. 13. 14. 15. 解(1) 由的最小正周期，又，解得，所以. (2)， ，可得，， 16. 解:(1)连接，交于点，连接，因为四边形为矩形，所以为的中点， 又是的中点，故，因为平面，平面， 所以平面； (2)因为为等边三角形，是的中点， 所以⊥，又，故， 因为⊥平面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 设，则，， ，所以，解得，故. 17.解(1) 各组小矩形的面积之和为1，， . (2)由频率分布直方图可知：众数为75， 平均数为. 故估计样本成绩的众数为75，平均数为74. (3)由图可知，成绩在的人数为，成绩在的人数为， 故两组成绩合并后的总平均数为， 总方差为. 18. 解:(1)因为，结合正弦定理和余弦定理可得 ， ,，或． 所以或． (2)（i）因为，所以．又，，，． 又，则， ， ， ，， ， 又，，， 又，,所以 （ii），，，，，解得， ∴，∴，∴， ， ∴，， 19. 解:(1)在中， 由余弦定理得， 即，解得，，， 底面，平面，， 平面，平面， 平面，平面，平面平面， ，平面，平面，. (2)如图： 过点作于点，平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， 又平面，平面，， ，平面，平面， 平面，. （ii）由（i）知，， ，，. 如图： 过点作于点，再过点作于点，连接， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 平面，，为二面角的平面角， ，， 又，． 由（i）知平面，平面，， ，又， ，，在中，． 即二面角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $