湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末数学专题训练8：三角形中的问题2

**基本信息** 聚焦三角形边角关系综合应用，通过多题型覆盖正弦定理、余弦定理及面积公式的推理与运算，强化几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多选题|2题|考查边、角、面积及外接/内切圆计算|以已知边角为起点，串联正弦定理（外接圆直径）、面积公式、内切圆半径公式的应用| |填空题|3题|含锐角三角形边范围、实际仰角问题及角平分线与高线关系|从抽象几何条件到实际情境，体现模型意识，需结合锐角三角形性质（推理能力）| |解答题|2题|综合求角、取值范围、中点问题及周长最大值|融合三角恒等变换与基本不等式，构建“边角互化—条件约束—最值求解”的逻辑链条，发展运算能力|

湖北曾都一中2025至2026学年数学期末复习专题复习8 三角形中的问题2（解析版） 高一（ ）班 姓名：___________ 考号：___________ 一．多选题 1．在中，，，，则（    ） A． B．的面积为8 C．的外接圆直径是 D．内切圆半径是 【答案】ABD 【分析】利用余弦二倍角公式得，即可得，再利用余弦定理求，正弦定理求的外接圆直径，利用三角形面积公式求面积和内切圆半径. 【详解】由二倍角公式，可得，因为，所以，由余弦定理有，解得，故A正确；三角形的面积，故B正确；的外接圆直径是，故C错误；设内切圆半径为，结合B选项，三角形面积，解得，故D正确.故选：ABD. 2.在中，设的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 【答案】ACD 【分析】A选项由正弦定理验证结果；B选项由余弦定理验证结果；C选项由三角形面积公式验证结果；D选项由多个三角形面积的关系得出结果. 【详解】A选项：因为，，，所以，所以A选项正确； B选项：由余弦定理得，，因为，所以，所以B选项错误； C选项：的面积为，所以C选项正确；D选项：因为的平分线交直线于，，所以，所以，即，解得，所以D选项正确．故选：ACD． 二．填空题 3．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________．【答案】 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， .故答案为：. 4．一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度__________   【分析】设该楼阁的高度米，根据题意得，，，，再结合，根据余弦定理求得即可得答案. 【详解】设该楼阁的高度米， 根据题意，，， 所以，，， 因为， 所以， 因为， ， 所以，即， 整理得，解得米，即该楼阁的高度米.    5.在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于________ 【分析】由可得的值，进而可求得、的值，结合余弦定理可得，由等面积法可求得. 【详解】由题意知，设，则，如图所示， 由可得， 整理得，即，又因为，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得，所以， 由可得，解得. 3． 解答题 6.在锐角中，分别为内角的对边，满足 (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由，得，即， 由正弦定理得， 即，而，则，又，所以. （2）由（1）得，由锐角，得，解得， 因此， 由，得，即，所以的范围是． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 【答案】(1) (2) (3)6 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 在中， ，所以， 即，因为，所以，因为，所以； （2）因为，所以， ， 又，所以，所以，又因为，所以． （3）由正弦定理得，可得， ， ， ， 因为是锐角三角形，且，则， 得，得，，， 故的周长最大值为6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末专题复习8 （三角形中的问题2） 高一（ ）班 姓名：___________ 考号：___________ 一．多选题 1．在中，，，，则（    ） A． B．的面积为8 C．的外接圆直径是 D．内切圆半径是 2.在中，设的对边分别为，为延长线上一点，的平分线交直线于，若，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D． 二．填空题 3．在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 4．一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度__________ 5.在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于________ 3． 解答题 6.在锐角中，分别为内角的对边，满足 (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 7．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求角A的大小； (2)若D为BC中点， ， ，求边a； (3)若为锐角三角形，且，求△ABC的周长最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $