湖北黄梅县第一中学2025-2026学年高二下学期数学周测卷6.16

**基本信息** 以新能源汽车消费、疾病诊断等现实情境为载体，融合正态分布、线性回归等概率统计核心知识，考查数学建模与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|正态分布、独立性检验、回归方程|结合等高堆积条形图考查关联分析，注重基础计算| |多选题|3|线性回归性质、正态分布应用|辨析相关系数与回归直线关系，强化概念理解| |填空题|3|二项分布、马尔科夫链|引入概率模型考查数学抽象，体现跨学科思维| |解答题|5|独立性检验、超几何分布、非线性回归|设计水果分类、摸球游戏等探究问题，呼应高考对数学应用能力的考查趋势|

黄梅一中高二数学周测卷 考试时间：6月16日 一、单选题 1．如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.2101 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 2．设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到.下列说法正确的是（    ） 0.005 0.001 7.879 10.828 A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 4．已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 5．为了研究某班学生的脚长（单位厘米）和身高（单位厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为，据此估计其身高为 A． B． C． D． 6．设，随机变量的分布列为 当随机变量的方差取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 7．现有10个样本数据，，，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 8．随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（   ） A．回归直线至少经过点、、、、中的一个点 B．若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位 C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于 D．对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 10．“世界杂交水稻之父”袁隆平发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植研究所调查某地杂交水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其分布密度函数，，则（    ） A．该地杂交水稻的平均株高为100cm B．该地杂交水稻株高的方差为10 C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多 D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在和在的概率一样大 11．已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．的最小值为 三、填空题 12．已知随机变量，，则 __________． 13．今天是星期二，则天后是星期______． 14．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是________；的数学期望是________. 四、解答题 15．为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．某超市购进一批同种类水果，按照果径大小分为四类：不达标果､标准果､精品果､礼品果.质检技术人员从该批水果中随机选取100个，按果径大小分成5组进行统计：（单位：）.统计后制成如下的频率分布直方图，并规定果径低于为不达标果，在到之间为标准果，在到之间为精品果，达到及以上的为礼品果. (1)现采用分层随机抽样的方法从选取的100个水果中抽取10个，再从这10个水果中随机抽取2个，记礼品果的个数为，求的分布列与数学期望； (2)以频率估计概率，从这批水果中随机抽取个，设其中恰有2个精品果的概率为.当最大时，求的值. 17．已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 18．设某幼苗从观察之日起，第天的高度为，测得的一些数据如下表所示： 第天 1 4 9 16 25 36 49 高度 0 4 7 9 11 12 13 作出这组数据的散点图发现：（）与（天）之间近似满足关系式，其中，均为常数． (1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，用最小二乘法对，作出估计，并求出关于的经验回归方程； (2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于的点的个数为，其中为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量的分布列和数学期望． 参考数据：令，，，，． 参考公式：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，． 19．有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2) 若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 《黄梅一中高二数学周测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C B C B D B BD AC BC 12． 13．三 14． 14【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得； 记取0，1，2，3的概率分别为，，，， 推导的分布列： ，，， 则 ， 则，故 给合，可知. 15．(1)(2)有关 16．(1)的分布列为 0 1 2 .(2)或 （2）由频率分布直方图知，从该批水果中随机抽取1个，是精品果的概率为， 则，所以， 要使最大，则且， 解得，因为， 所以，所以当最大时，或. 17．(1)；(2) 【详解】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 18．(1)，，； (2) 0 1 2 3 【详解】（1）令，则，因为，所以， 因为，所以，   ，， 通过上表计算可得：，    因为回归直线过点，所以， 则 关于的回归方程，又，故关于的回归方程； （2）（2）7天中幼苗高度大于的有4天，小于等于8的有3天， 从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天， 所以这3个点中幼苗的高度大于的点的个数的取值为0，1，2，3， ；；；.     所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 随机变量的期望值. 19．(1)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ），.(2) 【详解】（1）（ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4， ，；；；；； 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下， 设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则；； ；故， 由（ⅰ）可知，因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得 又，，故，，由题得方程有两个不相等的正实根，两边取对数得有两个不相等的正实根， 构造函数，求导得，令，解得； 当时，；当时，； 易知在单调递增，在单调递减，且， 可知的图象如下图所示： 由数形结合得，，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $