精品解析：湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

高二年级5月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，又在点处的切线与直线垂直， ，解得． 2. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据分布列的性质求，再求，再代入期望公式求. 【详解】由条件可知，，得， ， 所以. 3. 展开式中含项的系数为（ ） A. 150 B. 160 C. 170 D. 180 【答案】B 【解析】 【详解】， 则展开式中含项为， 故展开式中含项的系数为． 4. 某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设任取一件甲产品为事件，任取一件乙产品为事件，任取一件丙产品为事件，设任取一件是合格品为事件， 则，，，，，， 故. 5. 如果随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 【答案】A 【解析】 【详解】由，则. 6. 高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（ ） A. 108 B. 120 C. 126 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】分只有一个班去区域甲以及有两个班去区域甲进行讨论，结合排列数与组合数性质计算即可得. 【详解】分为两类，第一类：只有一个班去区域甲，在3，4，5三个班级中任选一个去区域甲， 剩下的四个班级去其余的三个区域，且每个区域至少有一个班，则方法种数为：； 第二类：有两个班去区域甲，在3，4，5 三个班级中任选两个去区域甲， 剩下的三个班级去其余的三个区域，方法种数为：； 故共有种方法. 7. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论. 【详解】构造函数，， 当时，，所以，所以在上单调递减， 因为，函数是定义在区间上， 所以，即， 不等式化为，即， 所以，即， 所以不等式解集为. 8. 对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的零点，由定义确定函数零点所在的区间，再利用零点的意义分离参数并构造函数，利用导数参数的取值范围. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 函数在R上单调递增，而， 因此函数有唯一零点2026，即， 由，得，解得， 则函数在上存在零点，令，由，得， 由，得，则，依题意，在上有解， 令函数，求导得，当时，； 当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减， ，而 ， 则函数在的值域为，所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 是函数的极值点 【答案】AC 【解析】 【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】对于AC，根据导函数图像可知当时，； 当时，，当且仅当时，， 所以函数在上单调递减； 在上单调递增，故是极值点，故A、C正确； 对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误； 对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误； 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“数”不排在第一天的不同排法共有600种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D. 课程“御”和“书”相邻的不同排法共有240种 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，优先排课程“数”，从除第一天以外的5天中选1天排课程“数”，再排剩下的课程， 则课程“数”不排在第一天的不同排法共有种，故A正确； 对于B，由于“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等， 则课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有种，故B正确； 对于C，要使课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，产生4个空位，再将“御、书、数”插入空位中， 则课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有种，故C错误； 对于D，要使课程“御”和“书”相邻，先排课程“御”和“书”，将2个课程看作一个整体与另外4个课程排列即可， 则课程“御”和“书”相邻的不同排法共有种，故D正确. 11. 甲袋中有4个红球，6个白球，乙袋中有3个红球，7个白球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球.设表示“从甲袋取出的球是红球”，表示“从甲袋取出的球是白球”，B表示“从乙袋取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. ，为对立事件 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率的定义判断选项A；根据对立事件的定义计算判断B；根据条件概率的定义计算判断C；根据全概率公式计算判断D. 【详解】选项A，若发生（从甲袋取出红球放入乙袋），乙袋原有3红7白，加入1个红球后变为4红7白，共11个球，则，A正确. 选项B，从甲袋只取出1个球，取出的球只能是红球或白球，和互斥，且必有一个发生，满足对立事件的定义，B正确. 选项C，若发生（从甲袋取出白球放入乙袋），乙袋变为3红8白，共11个球， 因此，则，C错误. 选项D，根据全概率公式， 其中，，代入得，D正确. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为随机变量，且，解得， 所以，故. 13. 若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在区间内恒成立，整理可得，结合对勾函数单调性运算求解. 【详解】由题意可知：在区间内恒成立， 可得在区间内恒成立， 因为在区间内单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围为. 14. 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“”或“”，连续生成次，把次的数字相加，若和小于，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得次数字的和服从二项分布，进而得，再由全概率公式得，进而再构造等比数列可得. 【详解】因为连续生成次数字“”或“”，每次生成“”或“”的概率均为, 所以次数字的和服从二项分布, 所以, , 所以第天为智能检测的条件下第天为智能检测的概率：， 第天为人工检测的条件下第天为智能检测的概率：， 由全概率公式得 , 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，所以 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的二项展开式中. （1）若，求展开式中含项的系数； （2）若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】（1）60 （2）5 【解析】 【分析】（1）利用二项展开式的通项计算可得结果； （2）由通项得出含有常数项时，再结合其范围可得当时，取最小值5. 【小问1详解】 当时，展开式的通项为 令，解得 所以展开式中含项的系数为 【小问2详解】 展开式的通项， 由于展开式含有常数项，可得 即，又 即当时，取最小值5，此时展开式含有常数项， 因此最小的正整数的值为5. 16. 已知函数，且为的一个极值点. （1）求a的值； （2）求在上的最小值和最大值. 【答案】（1） （2）最小值是，最大值是 【解析】 【分析】（1）求导根据得到； （2）计算函数的单调区间，得到最值. 【小问1详解】 的定义域为，， 因为为的一个极值点， 则，即， 解得，经检验满足题意； 【小问2详解】 由（1）得，令， 即， 解得或， 1 3 4 0 极小值 故在上的最小值是，最大值是； 17. 老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的3篇，求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率； （3）若他抽到的3篇中至少有1篇会背诵，求他能及格的概率， 【答案】（1）分布列见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据超几何概率公式，求概率，再写出分布列； （2）根据分布列计算，即可求解. （3）根据条件概率计算即可. 【小问1详解】 设抽到该生能背诵的课文数量为随机变量，则服从超几何分布，可能取值为. 从10篇中抽3篇，则概率为. 因此分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】 他能及格的概率. 【小问3详解】 设事件：至少1篇会背诵，事件：能及格， 由条件概率公式. 事件至少会1篇且可以及格，故，， 因此. 18. 在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. （1）求； （2）记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）求:需分析的比赛过程，即前两球各得1分，后两球连胜，分别计算概率再相乘. （2）为甲胜，即两球甲全胜，为甲胜，因无法领先2分，概率为0， 先分析比赛过程，得到，然后求出即可. 【小问1详解】 由题可得：事件“”表示在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了4个球，且这4个球分为前两球是甲、乙各得1分，后两个球均由甲得分，或均由乙得分， 【小问2详解】 ①由题意可知， 事件“且甲获胜”为不可能事件，所以. ②由比赛规则可知： 当时，事件“且甲获胜”为不可能事件，则， 当时，事件“且甲获胜”，就是在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球， 且这个球的得分情况为：前个球是每两个球甲、乙各得1分，最后第个球均由甲得分；记“比赛2球结果为平局”为事件B，则. 则， 又，. 综上， . 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求出函数的定义域，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）参变量分离得，令，所以，构造函数，，利用导数求出该函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， ，则， 所以当时，曲线在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 则， 当时，对任意的，恒成立， 此时函数的增区间为，无减区间； 当时，对于函数，. 若时，即当时，对任意的，， 此时函数的增区间为，无减区间； 若时，即当时，由可得， 由可得或， 此时函数的减区间为， 增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. 【小问3详解】 因为不等式对任意恒成立，则， 因为，则，所以，则， 即， 令，所以， 令，，则， 令，其中， 则， 由（2）知，当时，函数在上为增函数， 因为，则， 所以， 即函数在上为增函数， 此时，则， 所以函数在上单调递增，则，所以， 故实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级5月月考数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量的分布列如下表所示，则（ ） 1 2 3 A. B. C. D. 3. 展开式中含项的系数为（ ） A. 150 B. 160 C. 170 D. 180 4. 某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格率分别为，，，则从所有产品中任取一件，是合格品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如果随机变量，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.6 6. 高三年级 1， 2， 3， 4， 5 五个班负责甲、乙、丙、丁四个区域的卫生，每个班负责一个区域， 每个区域至少有一个班级负责， 其中 1 班和 2 班都不去区域甲， 则不同的任务分配方法种数为（ ） A. 108 B. 120 C. 126 D. 144 7. 已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 对于函数，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数a的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 是函数的极值点 C. 在区间上单调递增 D. 是函数的极值点 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“数”不排在第一天的不同排法共有600种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 D. 课程“御”和“书”相邻的不同排法共有240种 11. 甲袋中有4个红球，6个白球，乙袋中有3个红球，7个白球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球.设表示“从甲袋取出的球是红球”，表示“从甲袋取出的球是白球”，B表示“从乙袋取出的球是红球”，则下列结论正确的是（ ） A. B. ，为对立事件 C. D. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则__________. 13. 若函数在区间单调递增，则实数a的取值范围为______. 14. 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近工艺之后面临的技术限制很多，某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“”或“”，连续生成次，把次的数字相加，若和小于，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在的二项展开式中. （1）若，求展开式中含项的系数； （2）若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值. 16. 已知函数，且为的一个极值点. （1）求a的值； （2）求在上的最小值和最大值. 17. 老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背诵其中的3篇，求： （1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列； （2）他能及格的概率； （3）若他抽到的3篇中至少有1篇会背诵，求他能及格的概率， 18. 在11分制乒乓球比赛中，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.某局在双方10:10平后，甲先发球，两人又打了个球该局比赛结束. （1）求； （2）记事件“且甲获胜”的概率为. ①求； ②求. 19. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $