精品解析：山东省实验中学2025-2026学年第二学期高一第一次阶段性学情检测数学试题

山东省实验中学2025~2026学年第二学期 高一第一次阶段性学情检测数学试题 2026.04 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的概念判断即可. 【详解】由复数的概念可知，复数的虚部为． 故选：C． 2. 在平行四边形中，是对角线的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理和减法法则，即可求出结果. 【详解】根据题意，作出草图，如下： 根据平面向量的共线定理和减法法则，可得. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了平面向量的共线定理和减法法则，属于基础题. 3. 若中，角的对边分别为若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理直接求解. 【详解】在中，由及余弦定理，得. 故选：B 4. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算可得，进而利用向量的线性坐标运算求得的坐标，代入模的运算公式即可求解. 【详解】因为向量，，且，所以，解得， 所以，所以． 5. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 30m B. 20m C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中由正弦得出AM，再结合中由正弦定理得到CM，进而能求CD． 【详解】由题意知：，则， 在中，， 在中，由正弦定理得， 所以， 且 在中， (m)． 故选：C． 6. 在中，，，，为边上一点，且平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据三角形角平分线的性质确定的长度，再利用余弦定理求和的长. 【详解】如图： 因为平分，所以，又，所以. 在中，根据余弦定理，可得， 在中，根据余弦定理，， 所以. 7. 在梯形中，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】如图建立平面直角坐标系，设，据此可得各点坐标，然后由平面向量坐标运算可得答案. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设. 则，. 从而，设，其中， 则，又， 则，从而，因， 则. 8. 在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦定理、辅助角公式将转换成，由正弦函数性质即可求解. 【详解】已知，根据正弦定理​， 边化角得： ， 因为，所以， 代入上式： ， 整理得， 因为，，所以，得， 由正弦定理， ​， 因此： ， 又，， 代入得： 因为，所以， 则， 因此： 二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】AC 【解析】 【分析】由复数的乘法运算、模长公式、共轭复数概念及几何意义逐项判断即可. 【详解】选项A： ，A正确， 选项B：由模长公式，B错误， 选项C： ，；  ， 故，C正确， 选项D：，对应复平面内的点为， 实部为正、虚部为负，位于第四象限，不是第二象限，D错误. 10. 已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三角形有两解 C. 若面积为，则. D. 若，则一定为等腰直角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用正弦定理化简即可；对于B：利用余弦定理运算求解即可；对于C：利用面积公式和余弦定理化简即可；对于D：举反例即可. 【详解】对于选项A：因为，则，所以，故A正确； 对于选项B：由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 所以三角形有一解，故B错误； 对于选项C：因为，则，可得， 且，所以，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可得，符合题意， 但为等边三角形，故D错误； 故选：AC. 11. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】作，分别以，为轴，轴建系，写出各点的坐标，设，由可得，， 根据可判断A；利用向量数量积的坐标表示可判断B；转化为三角函数求值域可判断C；利用向量数量积的坐标表示转化为三角函数可判断D. 【详解】如图，作，分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 设，则， 由可得，， 对于A，若，则，解得（负值舍去），故，故A错误； 对于B，若，则，则，所以，故B正确； 对于C，， 由于，故，故，所以，故C错误； 对于D，由于，， ， 而，所以，所以，故D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则|z|的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由可得，然后由复数模长公式结合两点间距离公式可得答案. 【详解】设，， 即在以为圆心，半径为的圆上. 又表示到的距离， 则由图可知. 13. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 【答案】15 【解析】 【分析】利用余弦定理及三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 即，解得，， 而，则，又，因此， 所以的面积是. 14. 在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得，进而求得三角形内切圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 则 ， 整理得，而，即， 因此，，设该三角形内切圆半径为， 则，又，于是 ，由，得， 当且仅当时取等号，因此， 所以该三角形的内切圆面积的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题包括5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是虚数单位，复数． （1）若复数满足，求； （2）若关于的实系数一元二次方程有一个根是，求的值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，结合，得出，利用复数的运算法则，即可求解； （2）根据题意，代入方程得到，结合复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，可得，因为，可得， 所以． 【小问2详解】 解：因为为实系数方程的一根， 所以，整理得， 所以且，解得． 所以． 16. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 17. 在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． （1）试用，表示向量； （2）在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）设，利用，M，B三点共线和、M、A三点共线，分别用基底、表示向量得到关于的方程组即可求解； （2）由、M、E三点共线用基底、表示向量，结合即可分析计算求解. 【小问1详解】 设，、M、B三点共线， ∴存在非零实数k使得， ， ，解得①， 又、M、A三点共线，∴存在非零实数t使得． ． 又，，解得②． 由①②解得，， ； 【小问2详解】 由（1）知， 、M、E三点共线， ∴存在非零实数h使得， ，所以 消去h得，． 18. 某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域（古塔的底座忽略不计）做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形. （1）若在、处分别测得塔顶的仰角为、，求塔高； （2）求绿化区域面积的取值范围； （3）绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到.已知，求游客所走路程的最大值. 【答案】（1）米. （2） （3）米 【解析】 【分析】（1）设米，根据解直角三角形可得，，结合余弦定理可求塔高； （2）设，由正弦定理结合面积公式可得，根据锐角三角形求出的范围后可得的范围后得面积的范围； （3）根据余弦定理和基本不等式可求路程的最大值. 【小问1详解】 设米， 依题意可知，， 又在、处分别测得塔顶的仰角为、即，， 可知，，在中，， 据余弦定理得， 即，解得：或（舍去） 塔高为米. 【小问2详解】 设，则， 则在中，据正弦定理得，故， 又依题可知，为锐角三角形，则即， 故，则， 又，则. 【小问3详解】 在中，据余弦定理得， ， ，， 当且仅当时取等号，故所走路程的最大值为米. 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 【答案】（1） （2）①12；② 【解析】 【分析】（1）根据角的关系求得，在、中，分别由正弦定理可得，，由商数关系求的值； （2）由，可得，对于①在、、中由余弦定理结合代数运算可得，再根据面积可求的值；②由面积公式结合余弦定理可得，结合①可得，平方展开运算得解. 【小问1详解】 在中，， 所以，而为锐角，故，所以， 所以，而，故. 又，故， 在中，由正弦定理有，所以， 在中，由正弦定理有，所以， 所以，故. 【小问2详解】 因为，所以，即， ①，所以 在中，， 在中，， 在中，， 三式相加得 ， 整理得：. ②又 又由①知， 所以， 故， 整理得：， 即， 所以，即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2025~2026学年第二学期 高一第一次阶段性学情检测数学试题 2026.04 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、选择题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 若复数，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 在平行四边形中，是对角线的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 若中，角的对边分别为若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则|（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美.小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 30m B. 20m C. D. 6. 在中，，，，为边上一点，且平分，则（ ） A. B. C. D. 7. 在梯形中，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 8. 在中，分别为角所对的边，已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题包括3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第二象限 10. 已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则三角形有两解 C. 若面积为，则. D. 若，则一定为等腰直角三角形 11. 重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，荣昌折扇平面图为下图的扇形，其中，，动点在上（含端点），连结交扇形的弧于点Q，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题包括3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足，则|z|的最大值为______． 13. 如图，在平面四边形ABCD中，，，，，，则的面积是______. 14. 在中，内角的对边分别为，若，则该三角形内切圆面积的最大值为__________. 四、解答题（本题包括5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知是虚数单位，复数． （1）若复数满足，求； （2）若关于的实系数一元二次方程有一个根是，求的值． 16. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 17. 在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，． （1）试用，表示向量； （2）在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值． 18. 某市公园绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香.因为在处有一古塔，市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域（古塔的底座忽略不计）做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形. （1）若在、处分别测得塔顶的仰角为、，求塔高； （2）求绿化区域面积的取值范围； （3）绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到.已知，求游客所走路程的最大值. 19. 布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题： （1）若，求的大小及的值； （2）已知的条件下，解下列两个问题： ①若，求的值； ②若，求S. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $