第09讲 均值不等式及其应用（暑假预习讲义）新高一数学人教B版

第09讲 均值不等式及其应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：直接套用均值不等式求解简单最值问题 题型 2：运用配凑法（凑项 / 凑系数）构造均值不等式求最值 题型 3：分式型（二次 / 二次、二次 / 一次）代数式的最值求解 题型 4：利用 “1 的代换” 技巧构造均值不等式求最值 题型 5：通过消元法转化为单变量问题求最值 题型 6：和、积、平方和之间的相互转化与最值求解 题型 7：均值不等式背景下的恒成立问题求解 题型 8：均值不等式在实际最值问题中的建模与应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 均值不等式 均值不等式的证明 均值不等式的应用 1. 理解均值不等式的定义，掌握算术平均数与几何平均数的概念，能用作差法和几何法证明均值不等式，了解其几何意义。 2. 掌握均值不等式的成立条件（一正、二定、三相等），能准确判断使用均值不等式的前提是否满足。 3. 熟练掌握利用均值不等式求最值的方法，理解最值定理的内容，能运用凑项、凑系数、分离常数、1 的代换等常用技巧解决各类最值问题。 4. 能运用均值不等式证明简单的不等式，体会不等式证明的逻辑与思路。 5. 能从实际问题中抽象出均值不等式模型，解决与面积、周长、利润、用料最省等相关的实际最值问题。 学习重点：均值不等式的内容及成立条件、均值不等式的实际应用。 学习难点：“一正二定三相等” 条件的严格运用、均值不等式的变形技巧。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 即时即练若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 知识点02 均值不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 即时即练的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 题型 1：直接套用均值不等式求解简单最值问题 【典例1-1】（2026·高一·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为且，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 【典例1-2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【解析】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式1-1】（2026·高一·广西崇左·期末）若，且，则的最小值为（    ） A．36 B．12 C．9 D．18 【答案】D 【解析】因为，且，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为18. 故选：D 【变式1-2】已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：D． 【变式1-3】（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，此时取最小值为8. 故答案为：C. 题型 2：运用配凑法（凑项 / 凑系数）构造均值不等式求最值 【典例2-1】（2026·高一·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解析】因为，则， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【典例2-2】（2026·高一·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【答案】D 【解析】由题意得， 因为，所以，则， 由均值不等式可得， 当且仅当时取等，此时解得， 则有最小值4，故D正确. 【变式2-1】（2026·高一·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【解析】由正数满足，可得， 所以，同理，将条件变形为， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【变式2-2】（2026·高一·广东佛山·开学考试）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 题型 3：分式型（二次 / 二次、二次 / 一次）代数式的最值求解 【典例3-1】（2026·高一·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【解析】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 【典例3-2】（2026·高一·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【解析】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 【变式3-1】（2026·高一·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【解析】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 【变式3-2】（2026·高一·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 【变式3-3】（2026·高一·湖北·阶段检测）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 【答案】A 【解析】因为，所以.因为，所以，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故的最小值是6. 故选：A 题型 4：利用 “1 的代换” 技巧构造均值不等式求最值 【典例4-1】（2026·高一·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 【典例4-2】（2026·高一·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 【变式4-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】， 当且仅当，时取等． 【变式4-2】（2026·高一·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．72 B．57 C．50 D．64 【答案】D 【解析】， 当且仅当，即，时，等号成立，则的最小值为． 【变式4-3】（2026·高一·福建厦门·期末）若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 则 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值是. 故选：D 【变式4-4】（2026·高一·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立． 故选：A 【变式4-5】（2026·高一·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：D. 题型 5：通过消元法转化为单变量问题求最值 【典例5-1】（2026·高一·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 【典例5-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【答案】 【解析】已知，对已知等式变形得. 将上式代入中化简得. 由均值不等式得， 因此，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 【变式5-1】已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 【变式5-2】（2026·高一·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 题型 6：和、积、平方和之间的相互转化与最值求解 【典例6-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 【典例6-2】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】因为， 则可变形为， 即有，解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，故①错误，②正确； 可变形为， 整理得，当且仅当时，等号成立，故③正确； 当，时，，符合题意， 此时有，故④错误. 故正确的有②③. 【变式6-1】（2026·高一·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【解析】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 【变式6-2】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【解析】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 题型 7：均值不等式背景下的恒成立问题求解 【典例7-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由，得，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，则，解得， 则的取值范围是. 【典例7-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】由得，且 ， 故， 当且仅当即时等号成立. 故问题转化为，即， 解得，故实数m的取值范围为. 【变式7-1】（2026·高一·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】因为， 且由均值不等式得，当且仅当时等号成立， 所以， 即，得到，解得， 故的最小值为，要使恒成立， 即成立，解得.   故答案为：. 【变式7-2】（2026·高一·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【答案】 【解析】因为正实数x，y满足，即， 则 当且仅当，即时，等号成立， 若恒成立，则， 所以实数的范围是. 故答案为：. 【变式7-3】（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【答案】9 【解析】因为，，且， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 因为恒成立，所以， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 【变式7-4】设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 【答案】 【解析】因为，所以，，， 则恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为. 故答案为：. 题型 8：均值不等式在实际最值问题中的建模与应用 【典例8-1】（2026·高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【解析】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 【典例8-2】（2026·高一·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【答案】 10 8 【解析】设矩形铁片的面积为， 因为，所以，解得， 所以，则， 当且仅当时等号成立，即取得最大值时. 故答案为：， 【变式8-1】（2026·高三·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【答案】 【解析】设底面长方形的长和宽分别为和，则， 纸的面积， 当时等号成立， 所以小李所用纸的面积的最小值为. 故答案为： 【变式8-2】（2026·高一·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 【答案】60 【解析】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 1．（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 又因为，所以， 所以，当且仅当时，即时等号成立， 所以， 即y的最大值是. 故选：D. 2．（2026·高一·全国·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 3．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）设均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】D 【解析】因为，所以， 因为均为正实数，所以， 化简可得：， 利用均值不等式可得：，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以，所以的最小值为. 故选：D. 4．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为. 【答案】D 【解析】对于A：由均值不等式可知，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：由题可知，故，则. 当时，二次函数取得最小值，故B正确； 对于C：， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为，故D错误. 故选：D. 5．（2026·高二·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【解析】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 6．（2026·高一·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， ， ， ，， 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 7．（2026·高一·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 【答案】C 【解析】由题意设，仓库到车站的距离x＞0， 当x＝2，，由于，即， 所以两项费用之和为， 当且仅当，即x＝4时等号成立， 即要使这家公司的两项费用之和最小，则应该把仓库建在距离车站4km. 8．（2026·高一·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 9．（2026·高一·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 10．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【解析】设商品原价为， 对于甲：最终价格为； 对于乙：最终价格为； 所以甲、乙方案结果相同， 对于丙：最终价格为； 由均值不等式，，所以方案丙的最终价格高于甲、乙， 对于丁：最终价格为：，该式存在负项，所以明显小于其他方案的结果， 综上，提价最多的是方案丙. 11．（多选题）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABC 【解析】对于A，由均值不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由均值不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 12．（多选题）（2026·高一·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 【答案】ABD 【解析】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确； 当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 13．（多选题）（2026·高一·海南海口·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】A：由均值不等式：， 两边平方得，即，等号成立当且仅当， 即，符合条件，因此最大值为，A正确； B：， 得到的最小值为，无最大值，B错误； C：将代入得：， 这是开口向上的二次函数，对称轴， 代入得最小值为，C错误； D：， 等号成立当且仅当即，符合条件，因此最小值为，D正确. 14．已知，，，则的最小值为____． 【答案】 【解析】由可得 ， 当且仅当，即，也即，时等号成立， 即的最小值为． 15．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】－1 【解析】因为，所以， 因为均为正数，所以， 所以 , 当且仅当，即，即时，取得最小值， 故答案为：－1 16．（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由，x，y均为正实数，可得，解得， 因， 则，设，则，且， 则， 因，当且仅当时等号成立， 故，即当时，的最小值为. 故答案为：. 17．（2026·高一·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 【答案】8000 【解析】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故答案为：8000 18．（2026·高一·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】设，点翻折后的位置为点， 因为矩形周长为，所以，所以， 又因为，所以，解得，所以， 因为， 所以与全等，所以， 设，则， 在中，，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，满足， 所以， 故答案为：. 19．（2026·高一·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 【解析】（1）由题设， 化简得，且； （2）法一：由，得， 因为（当且仅当时取等号）， 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）， 所以仓库容积的最大值为，此时. 法二：由，则， 故， 因为（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故仓库容积的最大值为，此时． 20．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【解析】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 21．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【解析】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 22．（2026·高一·广东江门·阶段检测）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【解析】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由均值不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 23．（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 【解析】（1）， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为5； （2），故， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为18； （3）， ，当且仅当，即时，等号成立， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当时，等号成立， 的最小值为4． （4）由， 则， 当且仅当时，等号成立， 故最大值为1． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 均值不等式及其应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型 1：直接套用均值不等式求解简单最值问题 题型 2：运用配凑法（凑项 / 凑系数）构造均值不等式求最值 题型 3：分式型（二次 / 二次、二次 / 一次）代数式的最值求解 题型 4：利用 “1 的代换” 技巧构造均值不等式求最值 题型 5：通过消元法转化为单变量问题求最值 题型 6：和、积、平方和之间的相互转化与最值求解 题型 7：均值不等式背景下的恒成立问题求解 题型 8：均值不等式在实际最值问题中的建模与应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 均值不等式 均值不等式的证明 均值不等式的应用 1. 理解均值不等式的定义，掌握算术平均数与几何平均数的概念，能用作差法和几何法证明均值不等式，了解其几何意义。 2. 掌握均值不等式的成立条件（一正、二定、三相等），能准确判断使用均值不等式的前提是否满足。 3. 熟练掌握利用均值不等式求最值的方法，理解最值定理的内容，能运用凑项、凑系数、分离常数、1 的代换等常用技巧解决各类最值问题。 4. 能运用均值不等式证明简单的不等式，体会不等式证明的逻辑与思路。 5. 能从实际问题中抽象出均值不等式模型，解决与面积、周长、利润、用料最省等相关的实际最值问题。 学习重点：均值不等式的内容及成立条件、均值不等式的实际应用。 学习难点：“一正二定三相等” 条件的严格运用、均值不等式的变形技巧。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 即时即练若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 知识点02 均值不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 即时即练的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 题型 1：直接套用均值不等式求解简单最值问题 【典例1-1】（2026·高一·湖南益阳·期末）已知实数，，则的最大值是（   ） A．2 B．6 C．8 D．16 【典例1-2】（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【变式1-1】（2026·高一·广西崇左·期末）若，且，则的最小值为（    ） A．36 B．12 C．9 D．18 【变式1-2】已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式1-3】（2026·高一·陕西咸阳·阶段检测）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型 2：运用配凑法（凑项 / 凑系数）构造均值不等式求最值 【典例2-1】（2026·高一·云南普洱·期末）当时，的最小值为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【典例2-2】（2026·高一·上海·期末）若，则有（    ） A．最小值 B．最大值4 C．最小值 D．最小值4 【变式2-1】（2026·高一·河北衡水·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【变式2-2】（2026·高一·广东佛山·开学考试）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型 3：分式型（二次 / 二次、二次 / 一次）代数式的最值求解 【典例3-1】（2026·高一·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例3-2】（2026·高一·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【变式3-1】（2026·高一·上海·阶段检测）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【变式3-2】（2026·高一·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·高一·湖北·阶段检测）已知，且，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．14 D．16 题型 4：利用 “1 的代换” 技巧构造均值不等式求最值 【典例4-1】（2026·高一·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2026·高一·江西赣州·期中）已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）设正实数，满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式4-2】（2026·高一·新疆·期末）若正数a，b满足，则的最小值为（    ） A．72 B．57 C．50 D．64 【变式4-3】（2026·高一·福建厦门·期末）若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·高一·河北保定·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2026·高一·江西南昌·期末）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 题型 5：通过消元法转化为单变量问题求最值 【典例5-1】（2026·高一·湖南衡阳·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2026·高一·贵州贵阳·阶段检测）已知，均为正数，若，则最小值为________. 【变式5-1】已知实数，满足，则的最大值为_____. 【变式5-2】（2026·高一·黑龙江·开学考试）已知，且，则的最大值为__________. 【变式5-3】（2026·高一·上海·期末）已知，且，则的最小值为___________． 题型 6：和、积、平方和之间的相互转化与最值求解 【典例6-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【典例6-2】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）若x，y满足，则正确的有（   ） ①，②，③，④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式6-1】（2026·高一·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【变式6-2】（2026·高一·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 题型 7：均值不等式背景下的恒成立问题求解 【典例7-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正实数，满足，不等式恒成立，则的取值范围是__________． 【典例7-2】（2026·高一·浙江杭州·期中）若正数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________． 【变式7-1】（2026·高一·广东深圳·期末）若满足且恒成立，则的取值范围是____________. 【变式7-2】（2026·高一·上海浦东新·期末）已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数的范围是____________. 【变式7-3】（2026·高一·广东广州·阶段检测）已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________. 【变式7-4】设，，且恒成立，则n的最大值为___________. 题型 8：均值不等式在实际最值问题中的建模与应用 【典例8-1】（2026·高一·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【典例8-2】（2026·高一·广西桂林·期中）如图，某厂有许多形状为直角三角形的铁皮边角料，为了降低损耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片加以利用．已知，设，当截取的矩形铁片的面积最大时，___________，___________ 【变式8-1】（2026·高三·河南新乡·期中）小李要做一个长方体无盖纸盒，忽略纸盒的厚度，若纸盒的高为3cm，容积为48，则小李所用纸的面积的最小值为__________. 【变式8-2】（2026·高一·四川·期中）“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是___个∕时． 1．（2026·高一·辽宁沈阳·阶段检测）已知正实数x，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·高一·全国·阶段检测）若，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·高一·湖南邵阳·阶段检测）设均为正实数，且，则的最小值为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．（2026·高一·天津滨海新区·期中）已知正实数，满足，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为. 5．（2026·高二·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 6．（2026·高一·四川成都·期末）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高一·湖南邵阳·期中）某物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月货物运输费（单位：元）与x（单位：km）成正比.已知在距离车站2km处土地占地费是货物运输费的4倍.若要这家公司的两项费用之和最小，则仓库应建在距离车站（    ） A．2km B．3km C．4km D．5km 8．（2026·高一·贵州毕节·期中）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·高一·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·天津河东·二模）“明数理”数学兴趣小组在综合实践过程中为某公司的一款明星科技产品提供涨价方案，经过小组成员分析讨论形成如下四个方案： 方案甲：第一次提价，第二次提价；方案乙：第一次提价，第二次提价； 方案丙：第一次和第二次均提价； 方案丁：第一次提价，第二次降价； 其中，则四个方案中提价最多的方案为（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 11．（多选题）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 12．（多选题）（2026·高一·四川成都·期末）下列结论正确的是（ ）. A．当时， B．当时，的最大值是 C．当时，的最小值是 D．当时，的最大值是 13．（多选题）（2026·高一·海南海口·期中）已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为9 C．的最小值为 D．的最小值为 14．已知，，，则的最小值为____． 15．（2026·高一·安徽合肥·期末）已知正数a，b满足，则的最小值为______． 16．（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 17．（2026·高一·北京通州·阶段检测）据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元／件）满足关系式，其中．已知该商品的成本为10元／件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为______元． 18．（2026·高一·江苏南京·期中）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，则面积的最大值为___________． 19．（2026·高一·河北保定·阶段检测）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示.由于空间限制，仓库的宽度固定为3m.已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/.整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完.设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）. (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库的储物量（即容积V）的最大值. 20．（2026·高一·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 21．（2026·高一·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 22．（2026·高一·广东江门·阶段检测）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 23．（2026·高一·内蒙古包头·阶段检测）求下列代数式的最值： (1)已知，求的最小值； (2)已知，且满足，求的最小值； (3)已知，求的最小值． (4)若，求的最大值． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $