预习12 函数的奇偶性（2知识点+8题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习12 函数的奇偶性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 知识点 2 ：奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 【题型1 奇偶性的判断】 1．已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 4．（多选）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【题型2 利用奇偶性求函数值】 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数是奇函数，且时，，则（    ） A．10 B．9 C． D． 9．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 10．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 12．已知，其中为常数，若，则 . 【题型3 奇偶函数图象的特征】 13．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 14．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 15．已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为 . 16．如图，已知函数是奇函数． (1)补充完整函数的图象； (2)写出函数的单调区间，并写出函数的值域． 【题型4 利用奇偶性求参数】 17．设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 18．函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 19．已知函数是奇函数，则实数 ． 20．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 21．已知为奇函数，则的单调递增区间为 ． 【题型5 利用奇偶性求对称区间的函数解析式】 22．设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 23．已知函数是奇函数，当时，，则 ． 24．偶函数在上满足，则当时， ． 25．函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)在坐标系里画出函数的图象，并写出函数的严格减区间； (2)求函数在R上的解析式． 【题型6 利用奇偶性及构造方程组求解析式】 26．设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式. 27．是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 28．已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 29．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式； (2)已知，对任意的，恒成立，求的最大值． 【题型7 奇偶性与单调性的结合】 30．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 31．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 32．已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 34．若函数是区间上的偶函数，，，，则m，n，p的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 35．已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增.设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 36．已知偶函数的定义域为，在上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型8 抽象函数的奇偶性】 37．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 38．若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 39．已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 40．（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为增函数 41．已知定义在上的奇函数满足，则 . 42．定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 一、单选题 1．已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 2．设函数是定义在上的偶函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 3．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．4 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 10．已知函数下列命题正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则 C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为 三、填空题 11．定义在上的一次函数满足，且，则 . 12．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是 ． 13．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 14．已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是 . 四、解答题 15．已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 16．已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 17．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 18．已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习12 函数的奇偶性 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 知识点 2 ：奇偶函数的性质 （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 【题型1 奇偶性的判断】 1．已知函数是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的定义域为R，又因为，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是偶函数，不符合题意； 令，则，所以是奇函数，符合题意． 故选：D． 2．下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当时，，而当时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令，无论x取何值都满足． 3．（多选）已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（    ） A．可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和 B．若是奇函数，则是偶函数 C．若是偶函数，则是偶函数 D．若是奇函数，则是奇函数 【答案】ABD 【详解】对于A，，令， 则，即是偶函数，是奇函数， 而，因此可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，A正确； 对于B，是奇函数，则，，是偶函数，B正确； 对于C，是偶函数，则，，是奇函数，C错误； 对于D，是奇函数，则，，是奇函数，D正确. 故选：ABD 4．（多选）下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】正比例函数是奇函数，在上单调递减，A错误. 反比例函数是奇函数，在上单调递增，B正确. 分段函数，，是奇函数，当时，单调递增，C正确. 对钩函数是奇函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC. 5．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)，； (3) 【答案】(1)不是奇函数也不是偶函数 (2)偶函数 (3)奇函数 【详解】（1）因为 所以，所以的定义域为，不关于原点对称， 所以不是奇函数也不是偶函数； （2）函数的定义域为，关于原点对称． 又∵，∴是偶函数． （3）当时，，则， 当时，，则． 综上，对，都有． ∴为奇函数. 【题型2 利用奇偶性求函数值】 6．设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 7．已知函数是偶函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是偶函数，且，则， 故. 故选：D. 8．已知函数是奇函数，且时，，则（    ） A．10 B．9 C． D． 【答案】D 【详解】由奇函数的定义得， 故选：D. 9．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】依题意，. 故答案为： 10．已知函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为 ． 【答案】 【详解】因， 设，则，可得函数为奇函数， 则在区间上的最大值与最小值的和为0，故， 于是，. 故答案为：. 11．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，且， 因为时，，所以， 则. 故答案为：. 12．已知，其中为常数，若，则 . 【答案】2 【详解】， . 故答案为：2. 【题型3 奇偶函数图象的特征】 13．已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在上的图象分别如图1、图2所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数为偶函数，函数为奇函数，补全这两个函数的图象如下图所示： 因为，则或， 由图可得，不等式组的解集为， 不等式组的解集为. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C. 14．如图，给出了偶函数的局部图象，则，，的大小关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，函数为偶函数，可得， 结合函数在上的图象，可得， 所以. 故选：A. 15．已知定义在区间上的一个偶函数，它在上的图象如图，则的解集为 . 【答案】 【详解】由图可知，当时，，. 又函数是定义在区间上的一个偶函数， 所以当时，，且； 当时，，且. 综上可知，的解集为：. 故答案为： 16．如图，已知函数是奇函数． (1)补充完整函数的图象； (2)写出函数的单调区间，并写出函数的值域． 【答案】(1)图象见解析； (2)单调区间见解析； 【详解】（1）结合已知函数图象和奇函数图象关于原点对称，补充函数图象如下： （2）根据图象可知单调增区间是：； 单调减区间是：； 函数值域为：. 【题型4 利用奇偶性求参数】 17．设是偶函数，且定义域为，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以， 显然，，所以． 故选：B． 18．函数为偶函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若为偶函数，则对任意的恒成立， 即， 所以对任意的恒成立，故； 若，则， 所以，故为偶函数， 所以为偶函数的充要条件为. 故选：B． 19．已知函数是奇函数，则实数 ． 【答案】 【详解】因为函数是奇函数，则满足， 不妨设，则，可得，即，所以. 故答案为：. 20．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为函数的定义域为，所以，得．因为，即，得，所以，所以． 21．已知为奇函数，则的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】令，解得可知函数的定义域为， 因为为奇函数，则，解得， 则，可得， 可知为奇函数，即符合题意， 则，该二次函数图象的开口向上，对称轴为直线， 所以的单调递增区间是． 故答案为：. 【题型5 利用奇偶性求对称区间的函数解析式】 22．设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为 ． 【答案】 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 23．已知函数是奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【详解】由函数是上的奇函数，得， 而当时，，所以有． 综上所述， 故答案为： 24．偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 25．函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)在坐标系里画出函数的图象，并写出函数的严格减区间； (2)求函数在R上的解析式． 【答案】(1)图象见解析，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）由题意可作出函数的图象为： 由图象可得，函数的单调递减区间为：． （2）因为函数是定义在R上的奇函数，则， 当时，， 则当时，有，即， 所以． 【题型6 利用奇偶性及构造方程组求解析式】 26．设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式. 【答案】， 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，. 由①， 用代替得， 所以②. （①+②）÷2，得. （①-②）÷2，得. 27．是奇函数，是偶函数，且，求，的解析式． 【答案】， 【详解】∵是奇函数，是偶函数， ∴，， 又，① 用代替上式中的，得， 即．② 联立①②得，． 28．已知函数为偶函数，为奇函数，且.求及的表达式. 【答案】， 【详解】因为函数为偶函数，为奇函数， 且①， 所以， 即②， ①②联立可得， 29．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数． (1)求的解析式； (2)已知，对任意的，恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）为奇函数，则， 即； 为偶函数，则，即； 两式相加得到，故. （2），即， 取，得到，故， ，即， 故且， ，故， ，即， 故且， 得到：，，，即，， ， 当时，有最大值为， 验证成立. 综上所述：有最大值为. 【题型7 奇偶性与单调性的结合】 30．设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 31．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或． 易错警示 解题中易忽视函数的定义域． 32．已知函数为定义在上的奇函数，当时，都有成立，且，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，在上为增函数， 又函数为奇函数，所以在上也为增函数， 又，所以， 所以当时，， 当时，， 若，则， 又，所以当时，． 故选：D 33．已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 34．若函数是区间上的偶函数，，，，则m，n，p的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【详解】由偶函数的区间对称性可知，解得或0， 当时，，满足，为偶函数， 当时，，此时，为奇函数，舍去， 则，，， 故 故选：B 35．已知函数的图象关于直线对称，且函数在上单调递增.设，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以. 所以，. 又因为函数在上单调递增， 且， 所以，即. 故选：D 36．已知偶函数的定义域为，在上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上是偶函数，，， ，且在区间上单调递增， ，. 故选：A. 【题型8 抽象函数的奇偶性】 37．已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 38．若定义在上的函数满足对任意均有，则称为“函数”.已知为“函数”，且，，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【详解】令，则，所以； 令，则， 所以的图象关于直线对称； 令，则， 因为不恒成立，所以恒成立，所以为奇函数， 所以，所以， 所以是周期为8的周期函数，令，则， 解得，又为奇函数，所以， 所以. 故选：A. 39．已知偶函数满足：，且，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，用代换，可得， 联立方程组，可得，即， 又由函数为偶函数，且，可得与同号， 所以，可得函数是周期为的函数， 因为，与同号，则， 令，可得，所以， 则. 故选：C. 40．（多选）已知函数的定义域为，对任意实数，满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．为奇函数 D．为增函数 【答案】ABC 【详解】对于选项A，令，得，故选项A正确； 对于选项B，令，，得，故选项B正确； 对于选项C，令，得，故，所以为奇函数，故选项C正确； 对于选项D，因为，所以不是增函数，故选项D错误； 故选：ABC． 41．已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026 【详解】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. 故答案为：. 42．定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 一、单选题 1．已知函数，与其相应的的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数是函数向左平移1个单位得到， 因函数的周期，则周期也为4， A选项：对应中的值，由图象知，错误； B选项：对应中的值，由图象知，错误； C选项：，则，又对应中的值， 由图象知，即，正确； D选项：，则，错误． 故选：C． 2．设函数是定义在上的偶函数，则“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， 若在上为严格增函数，则在上为严格减函数， 因此在上的最大值为； 若在上的最大值为，不能得到在上为严格减函数， 如函数是上的偶函数，在上的最大值为， 而在上不单调，因此不能得到在上为严格增函数， 所以“在上为严格增函数”是“在上的最大值为”的充分非必要条件. 故选：B 3．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【详解】为奇函数，， 函数的定义域为，令，得，， 令，得， 当时，，，即， . 故选：D. 4．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 故选：D． 6．已知是定义在上的函数，则“其图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若函数的图象关于点成中心对称图形，且函数的定义域为， 则，即， 设，则函数的定义域为， 则，即函数为奇函数， 因此，“的图象关于点成中心对称图形”是“函数为奇函数”的充要条件. 故选：C. 7．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当 时， ，所以令，得， 又因为，所以 在中，令，解得， 又因为函数 是定义在 上的奇函数， 故所求为. 故选：D. 8．已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当、且时，都有成立， 不妨设，则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B. 二、多选题 9．已知函数，则下列结论中正确的是（    ） A．最小值是2 B．是奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BCD 【详解】对于A，因，故A错误； 对于B，因函数的定义域为，关于原点对称， 且，故是奇函数，B正确； 对于C，任取，， 因，故，即在上单调递减，故C正确； 对于D，任取，， 因，故，即在上单调递增，故D正确. 故选：BCD. 10．已知函数下列命题正确的是（    ） A．若是奇函数，则 B．若是奇函数，则 C．若是减函数，则的取值范围为 D．若是减函数，则的取值范围为 【答案】AC 【详解】当时，. 若是奇函数，则，解得， 当时，时，， 也满足奇函数，故A正确. 若是减函数，则，解得，C正确. 故选：AC 三、填空题 11．定义在上的一次函数满足，且，则 . 【答案】4050 【详解】由题意可得为奇函数，可设，其中为常数，因为，故，解得，故，于是. 故答案为：4050. 12．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是 ． 【答案】 【详解】在中，用替换x，得．因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，所以，解得，于是，故． 13．已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以． 14．已知函数，若存在，使得有解，则实数x的取值范围是 . 【答案】 【详解】设，则，故为奇函数，由得，即.当时，，由在上单调递增，在上单调递增，则在上单调递增，又为奇函数，所以在上单调递增.故由得，即，由题意，存在使得有解，当时，，不符合题意；当，即时，，解得或，故；当，即时，，解得或，故.综上可得，实数x的取值范围是. 四、解答题 15．已知是定义在上的偶函数，当时，. (1)求，的值； (2)求的解析式； (3)画出的简图；写出的单调区间.（只需写出结果，不要解答过程） 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【详解】（1）由已知是定义在上的偶函数，当时，， 所以，； （2）因为偶函数在时有， 所以时，， 所以； （3）时，，抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，与轴交点为， 作出图象，再关于轴作对称图形即可得的图象，如下图， 由图象知增区间是和，减区间是和. 16．已知函数，. (1)判断函数的奇偶性； (2)判断并证明函数在区间上的单调性； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1)是定义在上的奇函数 (2)在上单调递增，证明见解析 (3) 【详解】（1）依题意，函数的定义域关于原点对称， 又， 是定义在上的奇函数. （2）在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， ，， ，且，， ， ，， 在上单调递增. （3）由（2）知，在上单调递增， 由可得，，解得： 故不等式的解集为. 17．已知二次函数的最小值为1，函数是偶函数，且． (1)求的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称， 又因为的最小值为1，可设， 且，解得， 所以． （2）由（1）可知：在内单调递减，在内单调递增， 因为在区间上单调， 则或，解得或， 所以实数的取值范围为． 18．已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$