专题02 圆与扇形（暑假复习讲义，10重难题型+综合通关）新七年级数学新教材沪教版五四制

专题02 圆与扇形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1圆的基本概念辨析（选择/填空/判断·基础送分） 题型2 圆的基础正向计算（已知半径/直径求周长、面积） 题型3逆向计算（已知周长/面积，反求半径、直径·中档高频） 题型4 半径扩大倍数规律题（填空必考） 题型5半圆弧与半圆周长区分计算（全章头号易错） 题型6 圆环面积计算（基础大题标配） 题型7 弧长、扇形基础计算（必考二合一题型） 题型8扇形封闭周长计算（超高易错） 题型9 组合图形阴影面积计算（期末压轴） 题型10圆与扇形实际应用题（解答大题核心） 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1 圆的认识 2 圆的周长 3 圆的面积、圆环 4 弧、扇形 综合拓展 结合近两年上海各区统考及名校真题命题规律，本章命题趋势清晰，摒弃机械公式套用，侧重能力考查，具体特点如下： 1.重概念本质，弱化机械套公式：选择、判断题高频设置概念陷阱，重点考查直径与半径的前提关系、圆周率π的定义、扇形的判定、周长与面积的可比性等核心概念，杜绝死记硬背，侧重文字辨析能力。 2.场景化、生活化命题成主流：题干贴合生活场景，钟表指针转动、圆形花坛、环形跑道、车轮滚动、羊吃草、圆形餐桌、喷泉洒水、皮带传动等题型高频出现，要求学生快速提取题干中半径、直径、圆心角等有效解题条件。 3.题型综合化，组合图形成必考：圆、扇形常与长方形、正方形、三角形结合考查，外方内圆、外圆内方、半圆与矩形拼接、圆环与平面图形叠加等组合图形的阴影周长、面积计算，是期末核心大题考点。 4.动态几何加重区分度：图形旋转扫过面积、圆形滚动路程、扇形旋转轨迹等动态题型逐年增多，侧重考查学生空间想象能力，是本章主要难题、拉分题型。 5.固定易错点持续设坑：两大高频易错模块常年命题挖坑，一是周长类易错（半圆周长、扇形周长漏加直径、两条半径）；二是比例变化易错（半径扩大倍数，周长、面积变化规律混淆）。 公式双向逆向考查：不再单一考查“已知半径求周长、面积”，高频出现逆向题型，已知周长反求半径、已知扇形面积/弧长反求圆心角、半径等核心量。 考情解码：选择、填空题：，以概念辨析、基础计算、半径倍数变化为主，基础必考； 计算题：考查圆、扇形、圆环的基础运算，侧重公式熟练度； 解答大题：以组合阴影图形、生活实际应用题为主，是期末拉分压轴题型。 知识点一 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 圆的周长公式：用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 半圆的周长公式： 知识点二 弧长 1.弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． 2、弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 知识点三 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 圆的面积公式：设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积公式： 知识点四 扇形的面积 1.扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． 2.扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： 3.同圆中的之间的关系： 题型1 圆的基本概念辨析（选择/填空/判断·基础送分） 例1．（25-26六年级下·上海虹口·期中）下列说法错误的是（） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 C．圆周长与该圆半径的比值是定值 D．圆周率π的值与圆的大小无关 【答案】B 【知识点】 圆的周长、 圆的概念及特点 【详解】解：A.圆的周长公式为，周长相等时，半径一定相等，说法正确，不符合题意； B.弧长由圆的半径和圆心角共同决定，只有在同圆或等圆中，弧长相等的两条弧所对的圆心角才相等，原说法没有限定条件，说法错误，符合题意； C.圆周长与半径的比值为，是定值，说法正确，不符合题意； D.圆周率是固定常数，其值与圆的大小无关，说法正确，不符合题意． 【解题技巧】所有圆的概念判断题，优先查找“同圆、等圆、同圆心角”关键词，无对应前提直接判错。 【变式训练1-1】．（2025六年级下·上海·专题练习）在下边的图形中，点O是( )，线段是( )，线段是( )． 【答案】 圆心 半径 直径 【知识点】 圆的概念及特点 【分析】本题考查了圆的概念，圆心决定圆的位置，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，通过圆心并且两端都在圆上的线段都叫做直径． 【详解】解：点O是（圆心），线段是（半径），线段是（直径）． 故答案为：圆心，半径，直径． 【变式训练1-2】．（2025六年级下·上海·专题练习）车轮平面轮廓采用圆形，把车轴装在车轮的圆心上，是利用了同一圆的________的特征． 【答案】半径都相等 【知识点】 圆的概念及特点 【分析】本题考查了圆的概念及特点，根据圆到圆心的距离相等，即同一圆内所有的半径都相等，那么车身与地面的距离就相等，就不会颠簸，据此分析． 【详解】解：车轮平面轮廓采用圆形，把车轴装在车轮的圆心上，根据分析，是利用了同一圆的半径都相等的特征． 故答案为：半径都相等． 题型2圆的基础正向计算（已知半径/直径求周长、面积） 例2．（25-26六年级下·上海崇明·期中）已知两个圆的直径长的比是，那么这两个圆的周长比是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 圆的周长 【详解】解：设两个圆的直径分别为 ∵已知两圆直径比为 又∵圆的周长公式为 ∴两圆的周长比为． 【解题模板】已知半径直接套用公式；已知直径先换算半径r=d÷2，再计算周长、面积。 【变式训练2-1】．（22-23六年级上·上海徐汇·期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可． 【详解】解： ； . 答：阴影部分的周长为，阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键． 【变式训练2-2】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 题型3逆向计算（已知周长/面积，反求半径、直径·中档高频） 例3．（23-24六年级上·上海青浦·期末）如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是______． 【答案】 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】根据题意得阴影部分的面积：，即可得大圆的面积，再根据圆面积的计算公式即可得． 【详解】解：∵阴影面积是小圆面积的，小圆的半径是10， ∴阴影部分的面积：， ∵阴影面积是大面积的， ∴大圆的面积：， 则大圆半径的平方：， ∴大圆的半径：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的面积，解题的关键是掌握圆的面积公式． 【易错警示】禁止直接用直径计算面积，所有面积计算必须先求出半径。 【变式训练3-1】．（25-26六年级下·上海松江·期中）一个圆的周长是，则它的半径是______． 【答案】5 【知识点】 圆的周长 【分析】根据圆的周长计算公式，变形可得半径的计算式，将已知周长代入公式即可计算出结果． 【详解】解： ． 【变式训练3-2】．（25-26六年级下·上海金山·期中）用一根长20厘米的细铁丝为材料，制作2个同样大小的圆环（不计接口处损耗），结果还余下1.16厘米的铁丝．那么制成的圆环的半径是_________厘米（取3.14）． 【答案】// 【知识点】 圆的周长 【分析】先根据铁丝总长度与剩余长度求出2个圆环的总周长，再计算单个圆环的周长，最后利用圆的周长公式求解圆环半径． 【详解】首先计算制作2个圆环所用铁丝的长度：（厘米） 计算单个圆环的周长：（厘米） 设圆环的半径为，根据圆的周长公式，代入数据得：（厘米）． 题型4半径扩大倍数规律题（填空必考） 例4．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）一个圆的半径扩大到原来的倍，它的周长扩大到原来的（   ）倍 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查圆的周长公式，掌握变量之间的倍数关系推导是解题关键． 根据圆的周长公式对扩大前后的周长进行表示，然后相除得出结果． 【详解】解：设原半径为，则新半径为， 则原周长，新周长， 可得，即周长扩大到原来的倍． 故选：． 例5．（25-26六年级下·上海静安·期中）若扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么所对的弧长是原弧长的_______． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长，设出原扇形的半径与圆心角，利用弧长公式分别得到原弧长和变化后弧长的表达式，计算变化后弧长与原弧长的比值，即可得到结果． 【详解】解：设原扇形的半径为，圆心角为， 由题意得，变化后扇形的半径为，圆心角为， 则变化后的弧长：， ． 【万能口诀】半径、直径、周长，扩大倍数与半径扩大倍数一致；面积扩大倍数为半径扩大倍数的平方。 【变式训练4-1】．（25-26六年级下·上海·期中）将一个圆的半径改变为原来的，则圆的周长会变为原来的（    ） A．不变 B． C． D． 【答案】D 【知识点】 圆的周长 【分析】本通过计算变化前后周长的倍数关系即可得到结果． 【详解】解：设原来圆的半径为， ∵圆的周长公式为 ， ∴原圆周长 ， 半径改变后新半径为， ∴新圆周长 ， ∴圆的周长变为原来的 【变式训练4-2】．（24-25六年级下·上海·期中） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的____________． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式并能运用它来求解． 根据扇形弧长公式，分析圆心角和半径变化后的新弧长与原来弧长的比值． 【详解】解∶设原来扇形的圆心角为，半径为， 则弧长． 变化后，圆心角扩大为原来的2倍， 即， 半径缩短为原来的， 即． 新弧长． 因此，新弧长是原来弧长的． 故答案为：． 题型5 半圆弧与半圆周长区分计算（全章头号易错） 例6. 如图，从A地到B地，小明沿直径AB上方的半圆走到B地，小丽先沿直径AC下方半圆走到AB上的C地，再沿直径CB下方半圆走到B地，他们走过的路程相比较（    ） A．小明的路程长 B．小丽的路程长 C．两人路程一样 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：小明所走的路程长， 小丽所走的路程长：， 故他们走过的路程相比较两人路程一样． 故选：C． 例7．（23-24六年级·上海徐汇·期末）一个半圆面，半径是r，它的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】 组合图形的周长 【分析】根据题意：一个半圆面，半径是r，可先求出这个半圆面所在的整个圆的周长，再除以2加上它的直径即可． 【详解】解：已知半径是r， 半圆面的周长 ； 答：它的周长是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是已知半圆的半径求半圆的周长的知识． 【核心区分】半圆弧（仅曲线长度）：πr 半圆周长（封闭图形总长）：πr+2r 【变式训练5-1】．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）将一个周长为厘米的圆形纸片对折，沿着折痕将它剪成两个半圆形，每个半圆形的周长是_______厘米． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】根据圆的周长公式求出这个圆形纸片的直径，再根据半圆形的周长为圆周长的一半加圆的直径列式求解即可． 【详解】解：厘米， 厘米， 故每个半圆形的周长是厘米． 【变式训练5-2】．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，点、点在线段上， 米， 米，是圆心．从到有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短． 【答案】距离一样长 【详解】解：根据题意可得： 路线距离为：米， 路线距离为：米， 路线距离为：米， 故三条路距离一样长． 题型6圆环面积计算（基础大题标配） 例8．（25-26六年级下·上海闵行·期中）在研究圆环面积时，可以借助研究圆面积公式时所用的方法，将圆环无限等分，拼成一个平行四边形，若圆环的外圆半径为，小圆半径为，则如图所示平行四边形的底边可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆环的面积、 圆的周长 【分析】求出外圆和内圆的周长之和，而平行四边形的上下底边相等且等于两个圆周长的一半，据此可得答案． 【详解】解：， 故该平行四边形的底边可以表示为． 例9．（25-26六年级下·上海宝山·期中）如图是一个圆环，外圆半径，内圆半径，求这个圆环的面积． 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据圆的面积公式求出外圆和内圆的面积，利用圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积进行计算即可． 【详解】解：外圆的面积为， 内圆的面积为， 则圆环的面积为：． 【避坑要点】严禁误用公式π(R−r)2，必须先分别平方再相减。 【变式训练6-1】．（25-26六年级下·上海·期中）如图所示，一个环形铁片的外圆半径是，内圆半径是．则它的面积是______ ．（π取） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，结合圆的面积公式求解即可． 【详解】解：圆环的面积 ． 【变式训练6-2】．（2026六年级下·上海·专题练习）三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分面积与空白部分面积的比值为_______． 【答案】 【知识点】 圆的周长、圆环的面积、 求比值 【分析】根据圆的周长比，可以设三个圆的半径为，，，再根据图形和圆的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，设三个圆的半径为，，， 则阴影部分面积为， 空白部分面积为， 所以阴影部分面积与空白部分面积的比值为． 【变式训练6-3】．（25-26六年级下·上海·阶段检测）演出团的李经理前年在银行存了90000元，年利率为，今年满两年时将利息取出． (1)李经理能取出多少元利息？ (2)演出团的演出人员每人需要一顶如图所示的帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是一个圆环，用红布做．黑布300元每平方米，红布400元每平方米．做这样一顶帽子需要布料费多少元？（取3）． 【答案】(1)元 (2)元 【知识点】 圆的面积、圆环的面积、利率问题 【分析】（1）根据利息的公式进行列式计算，即可作答． （2）先算出黑布总面积，再结合黑布300元每平方米，得出黑布费用，根据圆环面积大圆面积小圆面积，得出，又因为红布400元每平方米，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（元） ∴利息是元； （2）解：依题意，1平方米平方厘米， 帽子圆柱的直径，帽子圆柱的高， 帽子圆柱只需算侧面积个顶面积， 侧面积：， 顶面积：， ∴黑布总面积， ∴黑布费用（元）， 依题意，帽檐宽为， 圆环外半径， 圆环面积大圆面积小圆面积， 即， ∴红布费用（元）， ∴（元）， 即做这样一顶帽子需要布料费元． 题型7 弧长、扇形基础计算（必考二合一题型） 例10．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知甲、乙两个扇形的弧长比为2∶5，圆心角之比为1∶3，如果将扇形甲所在圆的半径扩大为原来的三倍，那么现在甲、乙两个扇形的面积之比等于（   ）． A．12∶25 B．5∶6 C．108∶25 D．9∶25 【答案】C 【知识点】求扇形面积、求弧长 【分析】本题考查了比及扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 设甲扇形的圆心角为y则甲扇形的圆心角为，利用甲、乙两个扇形的弧长比为2：5，可求出甲、乙两个扇形的半径之比，根据扇形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：设圆心角分别为，则 ，即 ∴． 故选C． 例11．（24-25六年级下·上海·单元测试）若一个扇形的半径为 厘米，比它的弧长大 ，则此扇形的面积为____平方厘米． 【答案】 【知识点】求扇形面积、求弧长 【分析】本题考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式． 根据题意，扇形的弧长，再根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式可知，依此进行计算． 【详解】解： （平方厘米）， 故答案为：15． 例12．（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图，已知折扇的骨柄的长度为，扇面部分宽度为，折扇展开的角度是，求这把扇子完全展开后扇面部分（阴影部分）的周长（取3．14）． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】根据弧长的计算方法进行计算即可． 【详解】解：阴影部分的周长为 答：阴影部分的周长为 ． 【逆向拓展】已知扇形面积、半径，求圆心角：n=360S扇πr2 【变式训练7-1】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径是3厘米，那么扇形的周长是______厘米．（取） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、求弧长 【分析】本题考查了扇形的周长计算，解题的关键是明确扇形周长的组成（弧长加两条半径的长度）并准确计算弧长． 先根据扇形弧长公式计算出扇形的弧长，再加上两条半径的长度，得到扇形的周长． 【详解】解：已知扇形的圆心角，半径厘米， 根据扇形弧长公式，可得弧长为：（厘米）， ∴扇形的周长为弧长加上两条半径的长度，即：（厘米）． 故答案为：． 【变式训练7-2】．（24-25六年级下·上海崇明·期末）已知扇形的圆心角是，半径是，那么扇形的周长是___________． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、求弧长 【分析】本题考查了求扇形的周长，扇形的周长应该包括两个半径和弧长的总和．弧长的计算公式是圆心角占整个圆的比例乘以圆的周长．先求出扇形弧长，根据弧长加上两条半径等于总周长即可解答． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【变式训练7-3】．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如果一个扇形的周长是该扇形的弧长的倍，那么称这个扇形为“倍半扇形”．已知某个“倍半扇形”的半径为，则该扇形的面积为_____． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】结合扇形周长的组成，求出扇形的弧长，再代入扇形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：设该“倍半扇形”的弧长为，半径为，圆心角为， 则半径，扇形周长为， 根据题意可得， 即， 将代入，得， 得圆的周长为， 所以可得该弧长所占圆的周长比为， 所以该弧长所在的扇形面积就为所在圆的面积的倍， 故扇形面积为． 【变式训练7-4】．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，已知大圆半径，小圆半径．（取3.14） (1)求图中阴影部分的面积； (2)求图中阴影部分的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求扇形面积、求弧长 【分析】（1）图中阴影部分的面积是大扇形的面积减去小扇形的面积，根据扇形面积公式求解即可； （2）图中阴影部分的周长由优弧、优弧、线段、线段组成，由此求解即可． 【详解】（1）解：扇形的圆心角为， 则大扇形的面积， 小扇形的面积 ， 则阴影部分的面积为； （2）解：其中， 因为扇形的圆心角为，，， 优弧的长度为， 优弧的长度， 则阴影部分的周长为． 题型8扇形封闭周长计算（超高易错） 例13．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知正方形边长为2，求阴影部分周长及面积．（取3.14） 【答案】阴影部分周长，阴影部分面积. 【知识点】 阴影部分的周长和面积、求弧长 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴阴影部分周长， 阴影部分面积. 例14．（25-26六年级下·上海金山·期中）用圆可以设计漂亮的图案，下面的图形用圆规和直尺一步一步画出来． 如果，求最后画出图形阴影部分的周长和面积（取）． 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分的面积为 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】根据周长等于2个直径为4的圆的周长，面积等于4个半圆的面积减去正方形的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分的周长为； 阴影部分的面积为． 【核心公式】：扇形周长=弧长+两条半径。考试中仅计算弧长会直接丢失一半分值，务必牢记补齐两条直线半径。 【变式训练8-1】．（25-26六年级下·上海静安·期中）如图，小方格都是边长为1的正方形，图中的“嫩芽”形状均由以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成，求它的周长． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】分别计算4个半径为1的弧长之和，2个半径为2的弧长之和再相加即可． 【详解】解：4个半径为1的弧长之和为； 2个半径为2的弧长之和为， ∴该图形的周长为． 【变式训练8-2】．（24-25六年级下·上海普陀·期中）在大自然中，藏着一组神奇又和谐的数字规律，从花朵的花瓣排布，贝壳的纹路，蕨类植物的生长，到建筑物，艺术作品的大小设计，都能找到它的身影．如图，以中间最小的边长为1的两个正方形为起点，依次按图中规律画出另外5个正方形，以O为圆心，1为半径画出两段长度相同的弧，，再分别以点A、B、C、D、E为圆心依次画出弧，、、、，按此规律继续画下去，就能得到著名的“黄金螺旋”． (1)请求出图中已画出的黄金螺旋线的长度（结果保留）； (2)如图，将此图形裁切下来，剪掉阴影部分，请求出剪出的“贝壳”图形的面积（结果保留）； (3)为什么将此曲线称为“黄金螺旋”？请按要求填空并完成猜想： ，，，，，，______（填分数）=______（填小数，小数点后保留三位，，信息自己推导），以此类推，我们猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于______（保留2位小数），此数接近于著名的黄金分割数，它广泛应用于建筑、艺术等领域，可以使作品达到最和谐的视觉效果． 【答案】(1) (2) (3)，， 【知识点】探索规律、扇形的周长和面积 【分析】（1）分别求出弧，，，、、、的半径，再根据各弧长等于对应圆周长的求出各弧长，求和即可解答； （2）剪出的“贝壳”图形可看作由5部分组成，分别求出各部分的面积，再求和即可； （3）分析弧，，，、、、的半径的规律，得到弧，的半径，求出弧长，即可解答． 【详解】（1）解：弧的半径为1，弧长为， 弧的半径为1，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 弧的半径为，弧长为， 所以画出的黄金螺旋线的长度为． （2）解：弧，，所在的正方形组成的长方形的面积为， 弧所在的扇形（即①部分）的面积为， 弧所在的扇形（即②部分）的面积为， 弧所在的扇形（即③部分）的面积为， ④部分的面积为， 所以剪出的“贝壳”图形的面积为 （3）解：由（1）有： 弧的半径为1， 弧的半径为1， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 弧的半径为，即弧与弧的半径之和， 以此类推， 弧的半径是弧与弧的半径之和，即为， 弧的半径是弧与弧的半径之和，即为， 所以弧的长为，弧的长为， ， 以此类推，猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于． 题型9组合图形阴影面积计算（期末压轴） 例15．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，圆的面积的被阴影覆盖，三角形面积的被阴影覆盖，且它们被阴影覆盖的面积相等，圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的．已知正方形面积的被阴影覆盖，那么S是圆面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】 组合图形的面积 【分析】本题考查图形面积的计算．设正方形面积为，圆面积为，三角形面积为，且圆与三角形的重叠部分面积为，根据题意列式求解即可． 【详解】解：设正方形面积为，圆面积为，三角形面积为，且圆与三角形的重叠部分面积为： 由题意知： 圆被盖住的面积， 三角形被盖住的面积， 这两部分阴影面积相等，故有； 重叠部分面积， 正方形有的面积被阴影覆盖；由于重叠区全部在阴影中，阴影面积即， 将代入上式，得， ， ； 由题知，代入可得， ， ， ∴． 故选：A． 例16．（22-23六年级·上海·暑假作业）如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是，和为厘米．图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？    【答案】平方厘米 【知识点】不规则图形的面积、 组合图形的面积 【分析】甲+丙=半圆，乙+丙=梯形-大圆，求出半圆面积与乙+丙（不规则图形）面积之差，也就是求出了甲与乙的面积之差． 【详解】解：由题意可得，梯形上底：（厘米） 梯形下底：（厘米） 梯形高：（厘米） 梯形面积：（平方厘米） 扇形面积：（平方厘米） 半圆面积：（平方厘米） 阴影乙-阴影甲：（平方厘米） 【点睛】本题考查组合图形的面积，准确识图，掌握重叠图形间面积关系是解题关键． 【两大万能解题方法】 整体减空白法（最常用）：整体图形（长方形、正方形）面积 − 内部圆/扇形空白面积； 割补平移法：将零散、不规则的弧形阴影拼接为完整圆、半圆、扇形，简化计算。 【变式训练9-1】．（23-24六年级上·上海闵行·期末）如图：长方形长为10厘米，宽为6厘米，一个直径为2厘米的圆在长方形内部沿长方形四条边滚动一周，它所扫过的面积为___________平方厘米． 【答案】/ 【知识点】 组合图形的面积、 圆的面积 【详解】解：如图，长方形长为10厘米，宽为6厘米，圆的直径为2厘米， 而一个直径为2厘米的圆在长方形内部沿长方形四条边滚动一周， 它所扫过的面积为： （长方形的面积+长方形的面积）-阴影部分的面积， 而阴影部分的面积 ， 所以扫过的面积为： 答：扫过的面积为：平分厘米. 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆的面积的计算，长方形的面积的基础，理解题意，列运算式表示扫过的面积是解本题的关键. 【变式训练9-2】．（22-23六年级·上海·暑假作业）如图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？ 【答案】 【知识点】 组合图形的面积 【分析】通过观察可知，所给图形阴影的面积正好是大圆面积的四分之一加上中圆和小圆组成的圆环面积的四分之一，圆的半径已知，利用圆和圆环的面积公式可求得阴影的面积，然后在求出大圆的面积，用图中阴影部分的面积除以大圆的面积即可． 【详解】解： = ， 答：图中阴影部分面积占大圆面积的． 【点睛】本题主要考查了圆及圆环的面积，关键是将阴影部分重组，利用规则图形的面积公式求解． 题型10 圆与扇形实际应用题（解答大题核心） 例17．（25-26六年级下·上海青浦·期中）要在周长为的圆形花坛外围一条宽的环形大理石道路．如果每平方米大理石需要200元，那么至少要准备多少资金？（取） 【答案】元 【知识点】 圆的周长、圆环的面积、 圆的面积 【分析】先根据圆周长公式，求出花坛的半径，再求出圆环的面积，计算即可求解． 【详解】解：（），（），（）， （元）， 答：至少要准备元资金． 例18．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形．，分米，分米，旗帜把手分米． (1)如图1，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处，那么点经过的路程为________；（结果保留） (2)如图2，边扫过的阴影面积为________；（结果保留） (3)如图3，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是分米，那么点经过的路程是________（结果用含有的式子表示） 【答案】(1)分米 (2)平方分米 (3)分米 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、 阴影部分的周长和面积 【分析】（1）求出弧的长即可； （2）将阴影部分的面积转化为扇形的面积减去扇形，进行求解即可； （3）根据点经过的路程是分米，求出旋转角的度数，再根据弧长公式求出点经过的路程即可． 【详解】（1）解：因为， 所以，即旋转角为， 所以点经过的路程为（分米）； （2）解：由旋转可得，， 所以， 所以                   （平方分米）； （3）解：因为点经过的路程是分米， 所以， 因为分米，分米 所以分米， 所以点经过的路程是（分米）． 【变式训练10-1】．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，某中学的操场由一个长方形和两个半圆区域组成，其中长方形的长为直道，长度为100米．若，则绕操场跑一圈约为多少米？（取3.14，） 【答案】388.4 【知识点】 圆的周长、比的应用 【分析】根据题意可知操场两头的半圆可以组成一个圆来进行计算，那么这个跑道就可以看作是一个以为直径的圆和、组成，列式解答即可． 【详解】解：，， ． ∴绕操场跑一圈约为（米）． 答：绕操场跑一圈约为388.4米． 【变式训练10-2】．（25-26六年级下·上海虹口·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是________米．（取） (2)如果按照方案B修，修的花坛的周长是________米．（取） (3)按照方案B修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取） 【答案】(1) (2) (3)元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、 圆的周长 【分析】（1）利用圆的周长公式求解； （2）利用圆的周长公式求解； （3）列方程求出甲的工作效率，然后列出算式求出钱数． 【详解】（1）解：（米）； （2）解：（米）； （3）解：设甲原来每小时完成米，则乙每小时完成米，根据题意得， ， 解得， ∴（元） 答：甲可以得到元钱． 【变式训练10-3】．（25-26六年级下·上海闵行·期中）钟面上的数学 【基本概念】钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角（时针用表示，分针用表示），时针长度为，分针长度为．一般地，钟面角（）的时针和分针绕点一直沿着顺时针方向旋转． 由此可知： (1)时针每分钟转动________，分针每分钟转动________；八点时，时针和分针形成的钟面角为________． (2)【深入探究】 如果钟面显示时间为，那么在之前，经过了多少分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多？ (3)【实际应用】 为了研究钟面角，小明观察教室墙上的钟面．但由于电池电量较低，教室里的时钟的时针和分针比正常的钟走得要慢（但仍保持匀速转动）．小明发现第一节课的上课时间应该为，但上课铃响时，钟面显示时间为；第一节课的下课铃响时，钟面显示时间为．（已知一节课实际时长为分钟） 求该慢钟的转动速度与正常钟的速度之比． (4)从慢钟显示时间为开始，经过一段时间后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大，求实际经过的时间（结果精确到分钟）． 【答案】(1)，， (2)经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多 (3) (4)实际经过的时间约为分钟 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、几何问题(一元一次方程的应用)、扇形的周长和面积、钟面角 【分析】（1）先求出时针每小时转动的角度是，分针每小时转动的角度为，再结合小时等于分钟即可求解；八点时，时针与分针间隔个大格，即可求出此时钟面角； （2）设经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多，利用弧长公式列出方程求解即可； （3）先求出慢钟在实际时间分钟内，走了分钟，即可求解； （4）设慢钟经过分钟后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大，利用扇形面积公式列出方程求解，再结合（3）中结论即可求解． 【详解】（1）解：时针每小时转动的角度是，分针每小时转动的角度为， 时针每分钟转动，分针每分钟转动； 八点时，时针与分针间隔个大格， 此时钟面角为； （2）解：设经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多， 则， 解得； 答：经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多； （3）解：慢钟在实际时间分钟内，从走到，走了分钟， 则慢钟速度为正常的， 故慢钟的转动速度与正常钟的速度之比为； （4）解：慢钟的转动速度与正常钟的速度之比为， 慢钟时针每分钟转动，慢钟分针每分钟转动； 设慢钟经过分钟后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大， 则， 解得； 答：实际经过的时间约为分钟． 一、单选题 1．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求圆心角、求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算方法是解题的关键． 根据弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）得到，由此即可求解． 【详解】解：扇形的半径为，弧长为，弧长公式（是弧长，是圆心角度数，是扇形半径）， ∴， 故选：D ． 2．（24-25六年级下·上海普陀·期中）如果两个面积相等的扇形的半径之比为，那么这两个扇形的圆心角之比等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比的应用、扇形的周长和面积 【分析】利用扇形面积公式，得到两个面积相等的扇形的圆心角的度数之比等于半径的平方的反比，求解即可. 【详解】解：因为扇形的面积， 所以两个面积相等的扇形的圆心角的度数之比等于半径的平方的反比， 因为两个面积相等的扇形的半径之比为， 所以这两个扇形的圆心角之比等于. 3．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如果小圆周长比大圆周长少它的，那么大圆面积比小圆面积多几分之几？（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比的应用、 圆的面积、 圆的周长 【分析】设大圆周长为，把小圆周长以及大圆的半径和小圆的半径表示，求出大圆面积比小圆面积多多少即可． 【详解】解：设大圆周长为，则小圆周长为， ∴大圆的半径为：，小圆的半径为：， ∴大圆的面积为：,小圆的面积为：, ∴大圆面积与小圆面积的面积差为：, ∴ ∴大圆面积比小圆面积多． 二、填空题 4．（25-26六年级下·上海·期中）如果一个扇形的半径是2，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为_____． 【答案】/30度 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】将已知的半径和弧长代入弧长公式，即可求出圆心角的度数． 【详解】解：设此扇形的圆心角的度数为n度， ∵，， ∴ 解得， ∴此扇形的圆心角的度数为． 5．（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，甲、乙两同学在环形跑道从A点出发绕圆形轨道向相反方向行走，在B点第一次相遇，甲乙两位同学的速度之比为______． 【答案】 【知识点】比的应用、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】根据相同时间内的速度之比等于路程比，以及同圆中的弧长比等于圆心角的度数之比，得到甲乙两位同学的速度之比为两段弧对应的圆心角的度数之比，即可得出结果. 【详解】解：由题意，可知甲乙两位同学的速度之比为. 6．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知五边形的内角和为，若以五边形的每个顶点为圆心、以为半径画圆．则这些圆与五边形重合部分（阴影部分）的面积为__________．（取） 【答案】 【知识点】 圆的面积、扇形的周长和面积 【详解】解：∵五边形的内角和为，且， ∴阴影部分的面积之和是个圆，即， ∴这些圆与五边形重合部分（阴影部分）的面积为． 7．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，一只老鼠从点沿圆形管道顺时针方向逃跑，一只花猫同时从点沿着圆形管道朝逆时针方向去捉老鼠，结果在圆形管道距点9.42米的点处捉住了老鼠．已知是圆形管道的直径，老鼠与花猫的速度比是，则圆形管道的直径是_____米（π取3.14）． 【答案】27 【知识点】比的应用、 圆的周长、行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据老鼠与花猫的速度比是，时间相同时，则老鼠所跑路程与花猫所跑路程的比是，则花猫所跑路程比老鼠所跑路程多，列出方程可得答案． 【详解】解：设圆形管道的直径为米， 根据题意得：， 解得：， 圆形管道的直径是米． 8．（25-26六年级下·上海·期中）如图，以三角形中角的顶点为圆心画圆，如果三角形与圆重叠部分的面积相当于三角形面积的，那么三角形与圆的面积之比是_____． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、含百分数的运算、 求比值 【分析】设三角形的面积为，圆的面积为，重叠部分（扇形）的面积为．根据题意可知是的，同时根据圆心角为可知是的，通过建立等量关系即可求出与的比值 ； 【详解】解：设三角形的面积为，圆的面积为，重叠部分的面积为， 由题意得，重叠部分是一个圆心角为的扇形， ， 又三角形与圆重叠部分的面积相当于三角形面积的， ， ， ， 即三角形与圆的面积之比是． 9．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，草原上有一个长方形的建筑物，长是2米，宽是1米，一只羊被拴在这个长方形建筑物的长边中点上，已知拴羊的绳子长为3米，这只羊能吃到草的总面积是___________平方米．（结果保留） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】画出示意图，然后根据圆的面积公式可进行求解． 【详解】解：小羊在如图所示的图形中吃草， 由图可知：这只羊能吃到草的总面积是（平方米）． 10．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在一个边长为9厘米的正方形内有一个边长为3厘米的等边三角形（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于）、三角形沿着正方形的边作顺时针方向的滚动．当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为_____厘米．（取） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】画出图形，得出等边三角形在正方形的一条边上滚动三次，以及点经过的路程即可． 【详解】解：由题意得：如图，等边三角形在正方形的一条边上滚动三次， 其中，点经过的路程有两部分：一部分是以等边三角形的边长为半径、圆心角等于的圆弧的长； 另一部分是以等边三角形的边长为半径、圆心角等于的圆弧的长． 则当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为（厘米）． 11．（25-26六年级下·上海静安·期中）长为，宽为的长方形与边长为的正三角形如图放置．让正三角形沿着长方形的外周，顺时针方向无滑动滚动一圈，回到初始位置，则顶点经过的路程长为______．（结果保留．注意：正三角形的面积看作，且顶点不一定返回到原来的位置） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积、图形与变换 【分析】首先判断出正三角形绕长方形外周滚动的过程分解为六段运动，分别计算顶点在每一段运动中经过的弧长，最后求和即可．第一段：在长方形上边滚动，第二段：绕右上角转动，第三段：绕右下角转动（点不动），第四段：在长方形下边滚动，第五段：绕左下角转动，第六段：绕左上角转动．其中第五段转动半径利用题目给出的面积求得. 【详解】解：由题意可知，正三角形边长为，面积为 ．设正三角形的高为，则，解得 ．运动过程如下： 正三角形在长方形上边向右滚动，绕右下角顶点旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形右上角顶点顺时针旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形右下角顶点旋转，此时点为旋转中心，路程； 正三角形在长方形下边向左滚动，绕左下角方向的前一个顶点旋转，此时点运动半径为，路程； 正三角形绕长方形左下角顶点顺时针旋转，此时点运动半径为正三角形的高，路程； 正三角形绕长方形左上角顶点顺时针旋转，使边贴合上边，旋转角度为，此时点运动半径为，路程； ∴顶点经过的总路程为： ． 12．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，边长为的正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，的圆心依次为，“正六边形的渐开线”与所围图形面积与正六边形面积的差为______．（结果保留）（正六边形的每个内角均为） 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】根据正六边形的性质得出各扇形的圆心角均为，依次求出各段弧所在扇形的半径，利用扇形面积公式求出六个扇形的面积之和，即为所求的面积差． 【详解】解：∵正六边形的边长为， ∴，正六边形的每个外角为， ∴各扇形的圆心角均为， 根据题意得，弧的半径为，弧的半径为，弧的半径为，弧的半径为，弧的半径为，弧的半径为， ∴“正六边形的渐开线”与所围图形面积与正六边形面积的差为六个扇形的面积之和， 即 ． 三、解答题 13．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在三角形中，，将三角形绕着点顺时针旋转（即）得到三角形．求阴影部分的周长和面积．（π取） 【答案】阴影部分的周长为，阴影部分面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积、扇形的周长和面积 【分析】根据弧长公式求出的长，再根据阴影部分周长为三条直角三角形的长加弧长，即可得出答案；用扇形面积减去三角形面积，得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：的长为：， 阴影部分的周长为：； 阴影部分的面积为： ． 14．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买罐易拉罐饮料，营业员将罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为厘米，那么捆圈至少用绳子多少厘米？ 【答案】捆圈至少用绳子厘米． 【知识点】 圆的周长 【分析】由图可知，一圈长度可以看作个直径为厘米的圆的周长和正方形的周长之和，计算出单圈的长度再乘以即可． 【详解】解：单圈的长度为（厘米）， ∴捆圈至少用绳子（厘米）． 15．（25-26六年级下·上海·期中）已知中国空间站沿着地球同步卫星轨道飞行，同步轨道近似为圆形、中国空间站在绕地球飞行一圈的时间、飞行速度和轨道高度等方面都与国际空间站相同，绕地球一圈的时间为90分钟，飞行速度每小时27000千米． (1)地球的半径长约为6371千米，空间站距离地球表面多少千米？（取3，结果保留整数） (2)有人说空间站运行一天（24小时）相当于从地球往返月球一次，你觉得这种说法正确吗？请说明理由．（地球到月球的距离约为38.4万千米） 【答案】(1)空间站距离地球表面379千米 (2)这种说法不正确．因为空间站运行一天的路程小于从地球往返月球一次的路程 【知识点】单位的认识和换算、 圆的周长、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）先求出空间站的周长，再求出空间站的半径，然后减去地球的半径即可求出空间站距离地球的距离． （2）分别求出空间站运行一天的距离和从地球往返月球一次的距离，相比即可求出答案． 【详解】（1）解：(小时) (千米) (千米) (千米) 答∶空间站距离地球表面379千米． （2）解：(千米) 万千米(千米) (千米) 答∶这种说法不正确．因为空间站运行一天的路程小于从地球往返月球一次的路程． 16．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）定义：分别以等边三角形（等边三角形的三边都相等，三个内角都是）的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“莱洛三角形”． (1)如图1，若等边的“莱洛三角形”的周长为，求这个等边的周长（取3.14）； (2)如图2，在第（1）题的条件下，在上有一个直径为的圆保持不动，圆紧贴的外侧边滚动一周，求圆心经过的路径长（结果保留）； (3)如图3，在第（1）题的条件下，“莱洛三角形”上有一个半径为的圆．“莱洛三角形”保持不动，圆紧贴“莱洛三角形”的外侧滚动一周，画出图形并求圆所扫过区域的面积（结果保留）． 【答案】(1)60厘米 (2) (3)，图形见解析 【知识点】圆环的面积、扇形的周长和面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】（1）根据圆的周长及弧长公式可进行求解； （2）由题意易得圆心D的路径是原三角形的“等距线”（距离为圆半径），由三条线段和三个圆弧组成，然后问题可求解； （3）由题意易知该图形是由三个圆环的部分（合在一起刚好是半个圆环，大半径R是25，小半径r是20）以及三个扇形（每个扇形的圆心角都是，半径为5）构成，然后问题可求解． 【详解】（1）解：步骤1：设等边三角形的边长为r， “莱洛三角形”的周长由三段相同的圆弧组成，每段圆弧半径为r，圆心角为． 步骤2：每段弧长为， 步骤3：总周长， 步骤4：边长，周长为； 答：这个等边三角形的周长是60厘米． （2）解：步骤1：圆心D的路径是原三角形的“等距线”（距离为圆半径），由三条线段和三个圆弧组成． 步骤2：计算线段部分长度．每条线段长， 步骤3：计算圆弧部分长度．每个圆弧半径，圆心角，合在一起是一个圆的周长， 步骤4：总路径长． 答：圆心D经过的路径长为． （3）解：如图所示，是由三个圆环的部分（合在一起刚好是半个圆环，大半径R是，小半径r是20）以及三个扇形（每个扇形的圆心角都是，半径为5）构成； 扫过的区域的面积． 17．（24-25六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【知识点】扇形的周长和面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】（1）扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积； （2）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （3）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （4）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是． 【详解】解：（1）由图得，扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积， 扫过的面积是． 故答案为：． （2）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积 （3）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上转弯处一个圆心角为直角，半径为2的扇形的面积， 扫过的面积． （4）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是， 扫过的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是含圆的组合图形的面积计算、扇形的面积公式，解题关键是理清楚圆的滚动过程． 1.混淆半圆周长与半圆弧长，计算半圆周长时漏加直径（2r）； 2.扇形周长计算只算弧长，遗漏两条半径线段； 3.圆环面积公式记忆错误，误将π(R²-r²)写为π(R-r)²； 4.半径扩大倍数题型中，面积忘记平方倍变化，直接照搬周长倍数； 5.判断题忽略“同圆、等圆”前提，默认所有圆直径都是半径的2倍； 6.概念认知错误，认为圆的任意一部分都是扇形（无圆心角则不是）； 7.混淆周长与面积维度，判定周长和面积数值、大小相等； 8.阴影周长计算漏算直线边界，只统计圆弧长度； 9.混淆圆周长一半与半圆周长的定义与计算方式； 10.计算失误，混淆r²与2r，将半径平方算成半径×2。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆与扇形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1圆的基本概念辨析（选择/填空/判断·基础送分） 题型2 圆的基础正向计算（已知半径/直径求周长、面积） 题型3逆向计算（已知周长/面积，反求半径、直径·中档高频） 题型4 半径扩大倍数规律题（填空必考） 题型5半圆弧与半圆周长区分计算（全章头号易错） 题型6 圆环面积计算（基础大题标配） 题型7 弧长、扇形基础计算（必考二合一题型） 题型8扇形封闭周长计算（超高易错） 题型9 组合图形阴影面积计算（期末压轴） 题型10圆与扇形实际应用题（解答大题核心） 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1 圆的认识 2 圆的周长 3 圆的面积、圆环 4 弧、扇形 综合拓展 结合近两年上海各区统考及名校真题命题规律，本章命题趋势清晰，摒弃机械公式套用，侧重能力考查，具体特点如下： 1.重概念本质，弱化机械套公式：选择、判断题高频设置概念陷阱，重点考查直径与半径的前提关系、圆周率π的定义、扇形的判定、周长与面积的可比性等核心概念，杜绝死记硬背，侧重文字辨析能力。 2.场景化、生活化命题成主流：题干贴合生活场景，钟表指针转动、圆形花坛、环形跑道、车轮滚动、羊吃草、圆形餐桌、喷泉洒水、皮带传动等题型高频出现，要求学生快速提取题干中半径、直径、圆心角等有效解题条件。 3.题型综合化，组合图形成必考：圆、扇形常与长方形、正方形、三角形结合考查，外方内圆、外圆内方、半圆与矩形拼接、圆环与平面图形叠加等组合图形的阴影周长、面积计算，是期末核心大题考点。 4.动态几何加重区分度：图形旋转扫过面积、圆形滚动路程、扇形旋转轨迹等动态题型逐年增多，侧重考查学生空间想象能力，是本章主要难题、拉分题型。 5.固定易错点持续设坑：两大高频易错模块常年命题挖坑，一是周长类易错（半圆周长、扇形周长漏加直径、两条半径）；二是比例变化易错（半径扩大倍数，周长、面积变化规律混淆）。 公式双向逆向考查：不再单一考查“已知半径求周长、面积”，高频出现逆向题型，已知周长反求半径、已知扇形面积/弧长反求圆心角、半径等核心量。 考情解码：选择、填空题：，以概念辨析、基础计算、半径倍数变化为主，基础必考； 计算题：考查圆、扇形、圆环的基础运算，侧重公式熟练度； 解答大题：以组合阴影图形、生活实际应用题为主，是期末拉分压轴题型。 知识点一 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 圆的周长公式：用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 半圆的周长公式： 知识点二 弧长 1.弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． 2、弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 知识点三 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 圆的面积公式：设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积公式： 知识点四 扇形的面积 1.扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． 2.扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： 3.同圆中的之间的关系： 题型1 圆的基本概念辨析（选择/填空/判断·基础送分） 例1．（25-26六年级下·上海虹口·期中）下列说法错误的是（） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 C．圆周长与该圆半径的比值是定值 D．圆周率π的值与圆的大小无关 【解题技巧】所有圆的概念判断题，优先查找“同圆、等圆、同圆心角”关键词，无对应前提直接判错。 【变式训练1-1】．（2025六年级下·上海·专题练习）在下边的图形中，点O是( )，线段是( )，线段是( )． 【变式训练1-2】．（2025六年级下·上海·专题练习）车轮平面轮廓采用圆形，把车轴装在车轮的圆心上，是利用了同一圆的________的特征． 题型2圆的基础正向计算（已知半径/直径求周长、面积） 例2．（25-26六年级下·上海崇明·期中）已知两个圆的直径长的比是，那么这两个圆的周长比是（     ）． A． B． C． D． 【解题模板】已知半径直接套用公式；已知直径先换算半径r=d÷2，再计算周长、面积。 【变式训练2-1】．（22-23六年级上·上海徐汇·期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积． 【变式训练2-2】．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 题型3逆向计算（已知周长/面积，反求半径、直径·中档高频） 例3．（23-24六年级上·上海青浦·期末）如图，阴影面积是大圆面积的，是小圆面积的，小圆的半径是10，则大圆的半径是______． 【易错警示】禁止直接用直径计算面积，所有面积计算必须先求出半径。 【变式训练3-1】．（25-26六年级下·上海松江·期中）一个圆的周长是，则它的半径是______． 【变式训练3-2】．（25-26六年级下·上海金山·期中）用一根长20厘米的细铁丝为材料，制作2个同样大小的圆环（不计接口处损耗），结果还余下1.16厘米的铁丝．那么制成的圆环的半径是_________厘米（取3.14）． 题型4半径扩大倍数规律题（填空必考） 例4．（25-26六年级上·上海浦东新·期末）一个圆的半径扩大到原来的倍，它的周长扩大到原来的（   ）倍 A． B． C． D． 例5．（25-26六年级下·上海静安·期中）若扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么所对的弧长是原弧长的_______． 【万能口诀】半径、直径、周长，扩大倍数与半径扩大倍数一致；面积扩大倍数为半径扩大倍数的平方。 【变式训练4-1】．（25-26六年级下·上海·期中）将一个圆的半径改变为原来的，则圆的周长会变为原来的（    ） A．不变 B． C． D． 【变式训练4-2】．（24-25六年级下·上海·期中） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的____________． 题型5 半圆弧与半圆周长区分计算（全章头号易错） 例6. 如图，从A地到B地，小明沿直径AB上方的半圆走到B地，小丽先沿直径AC下方半圆走到AB上的C地，再沿直径CB下方半圆走到B地，他们走过的路程相比较（    ） A．小明的路程长 B．小丽的路程长 C．两人路程一样 D．无法确定 例7．（23-24六年级·上海徐汇·期末）一个半圆面，半径是r，它的周长是（    ） A． B． C． D． 【核心区分】半圆弧（仅曲线长度）：πr 半圆周长（封闭图形总长）：πr+2r 【变式训练5-1】．（25-26六年级下·上海杨浦·期中）将一个周长为厘米的圆形纸片对折，沿着折痕将它剪成两个半圆形，每个半圆形的周长是_______厘米． 【变式训练5-2】．（2024六年级上·上海·专题练习）如图，点、点在线段上， 米， 米，是圆心．从到有3条不同的半圆弧线路可走，请你判断走哪一条半圆弧线路的距离最短． 题型6圆环面积计算（基础大题标配） 例8．（25-26六年级下·上海闵行·期中）在研究圆环面积时，可以借助研究圆面积公式时所用的方法，将圆环无限等分，拼成一个平行四边形，若圆环的外圆半径为，小圆半径为，则如图所示平行四边形的底边可以表示为（    ） A． B． C． D． 例9．（25-26六年级下·上海宝山·期中）如图是一个圆环，外圆半径，内圆半径，求这个圆环的面积． 【避坑要点】严禁误用公式π(R−r)2，必须先分别平方再相减。 【变式训练6-1】．（25-26六年级下·上海·期中）如图所示，一个环形铁片的外圆半径是，内圆半径是．则它的面积是______ ．（π取） 【变式训练6-2】．（2026六年级下·上海·专题练习）三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分面积与空白部分面积的比值为_______． 【变式训练6-3】．（25-26六年级下·上海·阶段检测）演出团的李经理前年在银行存了90000元，年利率为，今年满两年时将利息取出． (1)李经理能取出多少元利息？ (2)演出团的演出人员每人需要一顶如图所示的帽子，上面是圆柱形，用黑布做；帽檐部分是一个圆环，用红布做．黑布300元每平方米，红布400元每平方米．做这样一顶帽子需要布料费多少元？（取3）． 题型7 弧长、扇形基础计算（必考二合一题型） 例10．（24-25六年级下·上海闵行·期末）已知甲、乙两个扇形的弧长比为2∶5，圆心角之比为1∶3，如果将扇形甲所在圆的半径扩大为原来的三倍，那么现在甲、乙两个扇形的面积之比等于（   ）． A．12∶25 B．5∶6 C．108∶25 D．9∶25 例11．（24-25六年级下·上海·单元测试）若一个扇形的半径为 厘米，比它的弧长大 ，则此扇形的面积为____平方厘米． 例12．（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图，已知折扇的骨柄的长度为，扇面部分宽度为，折扇展开的角度是，求这把扇子完全展开后扇面部分（阴影部分）的周长（取3．14）． 【逆向拓展】已知扇形面积、半径，求圆心角：n=360S扇πr2 【变式训练7-1】．（24-25六年级下·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径是3厘米，那么扇形的周长是______厘米．（取） 【变式训练7-2】．（24-25六年级下·上海崇明·期末）已知扇形的圆心角是，半径是，那么扇形的周长是___________． 【变式训练7-3】．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如果一个扇形的周长是该扇形的弧长的倍，那么称这个扇形为“倍半扇形”．已知某个“倍半扇形”的半径为，则该扇形的面积为_____． 【变式训练7-4】．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，已知大圆半径，小圆半径．（取3.14） (1)求图中阴影部分的面积； (2)求图中阴影部分的周长． 题型8扇形封闭周长计算（超高易错） 例13．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知正方形边长为2，求阴影部分周长及面积．（取3.14） 例14．（25-26六年级下·上海金山·期中）用圆可以设计漂亮的图案，下面的图形用圆规和直尺一步一步画出来． 如果，求最后画出图形阴影部分的周长和面积（取）． 【核心公式】：扇形周长=弧长+两条半径。考试中仅计算弧长会直接丢失一半分值，务必牢记补齐两条直线半径。 【变式训练8-1】．（25-26六年级下·上海静安·期中）如图，小方格都是边长为1的正方形，图中的“嫩芽”形状均由以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成，求它的周长． 【变式训练8-2】．（24-25六年级下·上海普陀·期中）在大自然中，藏着一组神奇又和谐的数字规律，从花朵的花瓣排布，贝壳的纹路，蕨类植物的生长，到建筑物，艺术作品的大小设计，都能找到它的身影．如图，以中间最小的边长为1的两个正方形为起点，依次按图中规律画出另外5个正方形，以O为圆心，1为半径画出两段长度相同的弧，，再分别以点A、B、C、D、E为圆心依次画出弧，、、、，按此规律继续画下去，就能得到著名的“黄金螺旋”． (1)请求出图中已画出的黄金螺旋线的长度（结果保留）； (2)如图，将此图形裁切下来，剪掉阴影部分，请求出剪出的“贝壳”图形的面积（结果保留）； (3)为什么将此曲线称为“黄金螺旋”？请按要求填空并完成猜想： ，，，，，，______（填分数）=______（填小数，小数点后保留三位，，信息自己推导），以此类推，我们猜测第n条弧长与第条弧长的比值逐渐接近于______（保留2位小数），此数接近于著名的黄金分割数，它广泛应用于建筑、艺术等领域，可以使作品达到最和谐的视觉效果． 题型9组合图形阴影面积计算（期末压轴） 例15．（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，圆的面积的被阴影覆盖，三角形面积的被阴影覆盖，且它们被阴影覆盖的面积相等，圆与三角形重叠部分的面积S是正方形面积的．已知正方形面积的被阴影覆盖，那么S是圆面积的（    ） A． B． C． D． 例16．（22-23六年级·上海·暑假作业）如图，已知直角梯形的上底、下底与高之比是，和为厘米．图中阴影甲的面积比阴影乙的面积少多少？    【两大万能解题方法】 整体减空白法（最常用）：整体图形（长方形、正方形）面积 − 内部圆/扇形空白面积； 割补平移法：将零散、不规则的弧形阴影拼接为完整圆、半圆、扇形，简化计算。 【变式训练9-1】．（23-24六年级上·上海闵行·期末）如图：长方形长为10厘米，宽为6厘米，一个直径为2厘米的圆在长方形内部沿长方形四条边滚动一周，它所扫过的面积为___________平方厘米． 【变式训练9-2】．（22-23六年级·上海·暑假作业）如图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分面积占大圆面积的百分之几？ 题型10 圆与扇形实际应用题（解答大题核心） 例17．（25-26六年级下·上海青浦·期中）要在周长为的圆形花坛外围一条宽的环形大理石道路．如果每平方米大理石需要200元，那么至少要准备多少资金？（取） 例18．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）小杰同学把一面小旗帜放置在一个平面上，其中三角形是一个直角三角形．，分米，分米，旗帜把手分米． (1)如图1，把它绕着点沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处，那么点经过的路程为________；（结果保留） (2)如图2，边扫过的阴影面积为________；（结果保留） (3)如图3，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点经过的路程是分米，那么点经过的路程是________（结果用含有的式子表示） 【变式训练10-1】．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，某中学的操场由一个长方形和两个半圆区域组成，其中长方形的长为直道，长度为100米．若，则绕操场跑一圈约为多少米？（取3.14，） 【变式训练10-2】．（25-26六年级下·上海虹口·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是________米．（取） (2)如果按照方案B修，修的花坛的周长是________米．（取） (3)按照方案B修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取） 【变式训练10-3】．（25-26六年级下·上海闵行·期中）钟面上的数学 【基本概念】钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角（时针用表示，分针用表示），时针长度为，分针长度为．一般地，钟面角（）的时针和分针绕点一直沿着顺时针方向旋转． 由此可知： (1)时针每分钟转动________，分针每分钟转动________；八点时，时针和分针形成的钟面角为________． (2)【深入探究】 如果钟面显示时间为，那么在之前，经过了多少分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多？ (3)【实际应用】 为了研究钟面角，小明观察教室墙上的钟面．但由于电池电量较低，教室里的时钟的时针和分针比正常的钟走得要慢（但仍保持匀速转动）．小明发现第一节课的上课时间应该为，但上课铃响时，钟面显示时间为；第一节课的下课铃响时，钟面显示时间为．（已知一节课实际时长为分钟） 求该慢钟的转动速度与正常钟的速度之比． (4)从慢钟显示时间为开始，经过一段时间后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大，求实际经过的时间（结果精确到分钟）． 一、单选题 1．将一把折扇展开，可抽象成一个扇形，若该扇形的半径为，弧长为，则扇形的圆心角大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海普陀·期中）如果两个面积相等的扇形的半径之比为，那么这两个扇形的圆心角之比等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如果小圆周长比大圆周长少它的，那么大圆面积比小圆面积多几分之几？（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26六年级下·上海·期中）如果一个扇形的半径是2，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为_____． 5．（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，甲、乙两同学在环形跑道从A点出发绕圆形轨道向相反方向行走，在B点第一次相遇，甲乙两位同学的速度之比为______． 6．（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知五边形的内角和为，若以五边形的每个顶点为圆心、以为半径画圆．则这些圆与五边形重合部分（阴影部分）的面积为__________．（取） 7．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，一只老鼠从点沿圆形管道顺时针方向逃跑，一只花猫同时从点沿着圆形管道朝逆时针方向去捉老鼠，结果在圆形管道距点9.42米的点处捉住了老鼠．已知是圆形管道的直径，老鼠与花猫的速度比是，则圆形管道的直径是_____米（π取3.14）． 8．（25-26六年级下·上海·期中）如图，以三角形中角的顶点为圆心画圆，如果三角形与圆重叠部分的面积相当于三角形面积的，那么三角形与圆的面积之比是_____． 9．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，草原上有一个长方形的建筑物，长是2米，宽是1米，一只羊被拴在这个长方形建筑物的长边中点上，已知拴羊的绳子长为3米，这只羊能吃到草的总面积是___________平方米．（结果保留） 10．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在一个边长为9厘米的正方形内有一个边长为3厘米的等边三角形（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于）、三角形沿着正方形的边作顺时针方向的滚动．当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为_____厘米．（取） 11．（25-26六年级下·上海静安·期中）长为，宽为的长方形与边长为的正三角形如图放置．让正三角形沿着长方形的外周，顺时针方向无滑动滚动一圈，回到初始位置，则顶点经过的路程长为______．（结果保留．注意：正三角形的面积看作，且顶点不一定返回到原来的位置） 12．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，边长为的正六边形，曲线叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，的圆心依次为，“正六边形的渐开线”与所围图形面积与正六边形面积的差为______．（结果保留）（正六边形的每个内角均为） 三、解答题 13．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在三角形中，，将三角形绕着点顺时针旋转（即）得到三角形．求阴影部分的周长和面积．（π取） 14．（25-26六年级下·上海金山·阶段检测）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买罐易拉罐饮料，营业员将罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为厘米，那么捆圈至少用绳子多少厘米？ 15．（25-26六年级下·上海·期中）已知中国空间站沿着地球同步卫星轨道飞行，同步轨道近似为圆形、中国空间站在绕地球飞行一圈的时间、飞行速度和轨道高度等方面都与国际空间站相同，绕地球一圈的时间为90分钟，飞行速度每小时27000千米． (1)地球的半径长约为6371千米，空间站距离地球表面多少千米？（取3，结果保留整数） (2)有人说空间站运行一天（24小时）相当于从地球往返月球一次，你觉得这种说法正确吗？请说明理由．（地球到月球的距离约为38.4万千米） 16．（25-26六年级下·上海浦东新·期中）定义：分别以等边三角形（等边三角形的三边都相等，三个内角都是）的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“莱洛三角形”． (1)如图1，若等边的“莱洛三角形”的周长为，求这个等边的周长（取3.14）； (2)如图2，在第（1）题的条件下，在上有一个直径为的圆保持不动，圆紧贴的外侧边滚动一周，求圆心经过的路径长（结果保留）； (3)如图3，在第（1）题的条件下，“莱洛三角形”上有一个半径为的圆．“莱洛三角形”保持不动，圆紧贴“莱洛三角形”的外侧滚动一周，画出图形并求圆所扫过区域的面积（结果保留）． 17．（24-25六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 1.混淆半圆周长与半圆弧长，计算半圆周长时漏加直径（2r）； 2.扇形周长计算只算弧长，遗漏两条半径线段； 3.圆环面积公式记忆错误，误将π(R²-r²)写为π(R-r)²； 4.半径扩大倍数题型中，面积忘记平方倍变化，直接照搬周长倍数； 5.判断题忽略“同圆、等圆”前提，默认所有圆直径都是半径的2倍； 6.概念认知错误，认为圆的任意一部分都是扇形（无圆心角则不是）； 7.混淆周长与面积维度，判定周长和面积数值、大小相等； 8.阴影周长计算漏算直线边界，只统计圆弧长度； 9.混淆圆周长一半与半圆周长的定义与计算方式； 10.计算失误，混淆r²与2r，将半径平方算成半径×2。 / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $