专题02 圆与扇形（4知识点+8核心考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

专题02 圆与扇形（4知识点+8核心考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 圆的周长公式：用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 半圆的周长公式： 知识点02 弧长 1.弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． 2、弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 知识点03 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 圆的面积公式：设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积公式： 知识点04 扇形的面积 1.扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． 2.扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： 3.同圆中的之间的关系： 考点一：圆的周长 例1．（24-25六年级下·上海虹口·期中）一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是 厘米（取3.14）． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查了求圆的周长，根据圆周长的公式求解即可． 【详解】解：圆的周长为：（厘米）， 故答案为： 【变式1-1】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆形花坛，周长是米，在离开花坛边米的外面围上一圈栏杆，栏杆的长至少是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长公式，掌握圆的周长公式是解题的关键．先求花坛的半径，再计算栏杆的长． 【详解】解：米 故选：B． 【变式1-2】（24-25六年级下·上海虹口·期中）下列关于圆周率的说法中错误的是（    ） A．圆周率是3.14 B．圆周率是个无限不循环小数 C．圆周率是圆的周长与圆的直径的比值 D．圆周率是个固定的数值 【答案】A 【知识点】 圆的周长 【分析】本题主要考查了圆周率的定义以及数值的大小，逐项进行判断即可． 【详解】解：．圆周率是，3.14是的近似值，则原说法错误，故该选项符合题意； ．圆周率是个无限不循环小数，说法正确，故该选项不符合题意； ．圆周率是圆的周长与圆的直径的比值，说法正确，故该选项不符合题意； ．圆周率是个固定的数值，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-3】（24-25六年级下·上海青浦·期中）一个圆的半径从3厘米增加到7厘米，则周长增加了（   ）厘米 A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长的计算，掌握圆的周长的计算是解题的关键．先计算半径为和的圆的周长，再求解它们的差即可． 【详解】解：当半径为时，周长为：， 当半径为时，周长为： 所以：周长增加了． 故答案为：D． 【变式1-4】（24-25六年级下·上海·期中）A和B两个圆的周长分别是和，则A圆半径与B圆半径之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 求比值、 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长公式，求比值，根据圆的周长公式分别求出，的半径，再求二者之比，即可求解．，掌握公式是解题的关键． 【详解】解：圆的半径为：， 圆的半径为：， 所以，A圆半径与B圆半径之比是， 故选：C． 【变式1-5】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是圆周长与半径的比值 B．是圆周长与直径的比值 C．是圆面积与半径的比值 D．是圆面积与直径的比值 【答案】B 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆周率，圆周长的计算公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫作圆周率，用字母“”表示，它是一个无限不循环小数；进而解答即可． 【详解】解：圆的周长和它直径的比值，叫作圆周率，用字母“”表示， 故选：B． 【变式1-6】（2025六年级下·上海·专题练习）如图，厘米，则点到的四个半圆的弧长之和的实线部分和是 厘米（结果保留． 【答案】/ 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长，设四个半圆的直径分别为，，，，则，根据圆的周长公式求解即可得到答案，读懂题意，数形结合，分段求解是解题的关键． 【详解】解：设四个半圆的直径分别为，，，，则（厘米）， ∴（厘米）， 所以，点到的四个半圆的弧长之和的实线部分和是厘米， 故答案为：． 【变式1-7】（24-25六年级下·上海·期中）在长16厘米，宽10厘米的长方形上剪半径为2厘米的小圆，最多可以剪 个圆． 【答案】8 【知识点】有理数除法的应用、 圆的周长 【分析】本题考查了有理数的乘除法的实际应用，圆的周长问题，理解题意是解题的关键． 算出每行和每列最多可剪几个圆，即可得到长方形上可以最多剪几个圆． 【详解】解：由题意得，直径为4厘米， 那么每一行最多剪个圆，每列最多剪个圆， 则最多剪个圆， 故答案为：8． 【变式1-8】（24-25六年级下·上海青浦·期中）小华要用圆规画一个周长是25.12厘米的圆，则圆规两脚尖的距离应取 厘米．（取3.14） 【答案】4 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查求圆的半径．根据圆规两脚尖的距离为圆的半径，根据周长公式进行求解即可． 【详解】解：（厘米）； 故答案为：4． 【变式1-9】（24-25六年级下·上海·期中）已知圆的半径为，等边三角形的边长为．如图，圆按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． （1）当圆第三次回到原来位置时，圆心走过的路程是 （用含的代数式表示，保留） （2）假设圆从中点位置开始滚动，当圆心走过的路程为2023时停止，问：圆绕圆心滚动了 圈． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】（1）求出圆O的周长和等边三角形的周长，当圆O第三次回到原来位置时，走了，即可作答． （2）先算周……，可知圆O最终滚至A处时，圆O走过的路程为，故圆绕圆心滚动的圈数：圈，即可解得． 此题考查了圆的周长，列代数式，解题的关键是熟悉圆的周长公式． 【详解】解：（1）根据题意可得圆O的周长， ∵等边三角形的边长为， ∴等边三角形的周长为 当圆O第三次回到原来位置时， 圆心O走过的路程是， （2）依题意，周……， ∵圆从中点位置开始滚动，， 可知圆O最终滚至A处时，圆O走过的路程为 ∴圆绕圆心滚动的圈数：（圈） 故答案为：， 【变式1-10】（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，左边是个美术体的逗号，请你完成以下任务： (1)用圆规在右边的空格中画出同样的美术体逗号； (2)求这个逗号的周长．（小正方形边长为） 【答案】(1)图见解析 (2) 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查求圆的周长，熟练掌握圆的周长公式，是解题的关键： （1）根据左边的图，分别以一个小正方形的边长为半径画4段弧，再以四个小正方形组成的大正方形的边长为半径画1段弧，即可； （2）由图可知，逗号的周长为一个半径为的圆的周长加上一个半径为的圆的周长的，计算即可． 【详解】（1）解：由题意，画图如下： （2）． 答：这个逗号的周长为． 【变式1-11】（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图所示，三角形的边长都为，分别以、、三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长．（取3.14） 【答案】阴影部分的周长是 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查求不规则图形的周长，解题的关键是观察出图形中阴影部分的周长是以3为半径的圆的周长的一半．因为三角形的边长都为，所以三角形为等边三角形，根据图中阴影部分的位置知道，以3为半径的圆的周长的一半就是阴影部分的周长． 【详解】解：由题意知：圆的半径是3， 通过观察图形可知：阴影部分的周长是以3为半径的圆的周长的一半， ， 答：阴影部分的周长是． 【变式1-12】（24-25六年级下·上海嘉定·期中）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为7厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？（取3.14，结果精确到1厘米）． 【答案】199.92厘米 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长，根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长求解即可．熟练掌握圆的周长公式是关键． 【详解】解：根据一圈的绳子长为正方形的周长加上圆的周长可得： 厘米， 答：捆4圈至少用绳子199.92厘米． 【变式1-13】（24-25六年级下·上海闵行·期中）上海大悦城摩天轮是国内首个屋顶悬臂式摩天轮，拥有俯瞰黄浦江、苏州河的超赞视野，是著名的旅游打卡地．如图1，摩天轮的主体是圆形，其周长为126米．（取3） (1)求摩天轮的半径是多少米？ (2)摩天轮的主体圆周外设置了若干个不同主题的载人轿厢，每个轿厢与主体圆周相连，距离是4米，如图2所示，当摩天轮缓缓转动，所有轿厢也随着转动，形成了更大的圆的轮廓．已知每隔5米安装一个轿厢，求大悦城摩天轮上共有多少个轿厢？ (3)在（2）的条件下，大悦城摩天轮在开放时间内不间断匀速转动（每天转动的总圈数固定不变），转动一圈所需时长为20分钟．在某天的某一时刻，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比为，经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了．每个轿舱最多可乘坐6名乘客，每人乘坐摩天轮的票价为60元．这一天大悦城摩天轮的门票收入最高能达到多少元？ 【答案】(1)摩天轮的半径是米 (2)大悦城摩天轮上共有个轿厢 (3)元 【知识点】比的应用、 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长公式、比例关系的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据圆的周长公式计算即可得解； （2）求出轿厢形成的圆的半径为米，从而可得周长为（米），结合每隔5米安装一个轿厢，列式计算即可得解； （3）设总圈数为，初始时刻已经转了圈，未转圈，则，结合题意得出经过小时后，转动的圈数为圈，列出方程，求得，从而得出总载客量为人，即可得解． 【详解】（1）解：∵摩天轮的主体是圆形，其周长为126米，取3， ∴摩天轮的半径是米， 故摩天轮的半径是米； （2）解：轿厢形成的圆的半径为米， 周长为（米）， ∵每隔5米安装一个轿厢， ∴大悦城摩天轮上轿厢的个数为（个）， 即大悦城摩天轮上共有个轿厢； （3）解：设总圈数为，初始时刻已经转了圈，未转圈，则， ∵转动一圈所需时长为20分钟， ∴经过小时后，转动的圈数为圈， ∵经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了． ∴， 解得：， 检验，当时，且符合题意， ∴， ∴总载客量为（人）， ∴总收入为：（元）． 【变式1-14】（24-25六年级下·上海杨浦·期中）综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 顺时针 慢 小齿轮B ___①___ 快 【计算思考】 （1）通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮___②___（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； （2）我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动___③___圈． （3）探究三个齿轮啮合的效果： 在（2）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，那么齿轮C的齿数是___④___，齿轮C的方向是___⑤___． 【拓展应用】如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48，后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动___⑥___圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进___⑦___m，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了． 【答案】[操作观察] 逆时针；[计算思考]（1）加速；（2）350；（3）36，顺时针；[拓展应用] ，5.024 【知识点】 圆的周长、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，圆的周长的计算，正确理解题意是解题的关键． [操作观察]根据大齿轮A顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮B转动方向； [计算思考]（1）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，即可确定加速； （2）根据齿数与转速的关系求解； （3）根据齿数与转速的关系求解； [拓展应用]根据圆的周长公式即可求解 【详解】[操作观察] 解：大齿轮A顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，故小齿轮B按逆时针方向旋转， 故答案为：逆时针； [计算思考] 解：（1）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，故属于加速， 故答案为：加速； （2）小齿轮B每分钟转动（圈）， 故答案为：350； （3）齿轮C的齿数：（圈），齿轮C的方向与齿轮B的方向相反，因此C的方向为顺时针， 故答案为：36，顺时针； [拓展应用] 解：后齿轮相应的转动：（圈）， 后轮前进路程为：， 故答案为：5.024． 考点二： 弧、圆心角、扇形的认识 例2.（24-25六年级下·上海闵行·期中）上课时，老师将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形．计算出了圆的周长，小明课下进行了新的拼接，得到一个近似的三角形，则三角形的底边长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、 圆的周长 【分析】本题主要考查了圆的周长计算，根据将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，求出每一份的弧长为，再根据三角形的底边有4段弧长，求出三角形的底边长即可． 【详解】解：将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，每一份的弧长为， 则三角形的底边长是． 故选：C． 【变式2-1】（24-25六年级下·上海青浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．圆周长与该圆半径的比值是定值 C．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 D．圆周率的值与圆的大小无关 【答案】C 【知识点】 圆的概念及特点、 圆的周长、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查圆的相关概念，圆的周长，根据圆的周长，弧，圆心角，圆周率的概念和公式逐一进行判断即可． 【详解】解：A、周长相等的两个圆半径一定相等，说法正确，不符合题意； B、圆周长与该圆半径的比值是定值，说法正确，不符合题意； C、同圆或等圆中，弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等，原说法错误，不符合题意； D、圆周率的值与圆的大小无关，说法正确，不符合题意； 故选C． 【变式2-2】（24-25六年级下·上海·期中）若一弧长为厘米，所对圆心角为，则这弧所在圆的半径是 厘米． 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题主要考查弧长计算，熟练掌握弧长计算公式是解题的关键．根据弧长计算公式可进行求解． 【详解】解：设该弧所在圆的半径为，由弧长公式，得 解得：； ∴该弧所在圆的半径为． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25六年级下·上海青浦·期中）一条弧长12厘米，且这条弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的圆周长是 厘米． 【答案】40 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查求圆的周长，根据弧长和圆周长之间的关系，用12除以弧所对的圆心角所占周角的比例，计算即可． 【详解】解：； 故答案为：40． 【变式2-4】（24-25六年级下·上海·期中）如图，某曲线由线段、，线段、及线段依次相连而成，点为对应圆心，点为对应圆心．扇形在曲线上进行滚动，运动全过程无滑动．扇形首先从图①绕着点旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴运动到图③（），再绕着线段的中点旋转到图④的位置，再绕着点旋转到图⑤（）的位置，再由图⑤紧贴运动到图⑥（）的位置．已知：，，，，那么点由图①到图⑥，所运动的路径长为 ． 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了弧长的计算，根据题意可得点的路径长为半径为的圆的加上半径为的圆的，再加上半径为的圆的，最后结果再乘以2，即可求解． 【详解】解：依题意，点由图①到图⑥，所运动的路径长为 故答案为：． 【变式2-5】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过分钟，分针的顶端所走的路程是多少？(结果精确到)(取) 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了圆周长的计算，根据题意得出分针的顶端所走的路程是，即可求解． 【详解】解：分针分钟转动，即每分钟转动， 分针分钟转动的角度为， 分针的顶端所走的路程是 【变式2-6】（24-25六年级下·上海·阶段练习）小明同学把一面小旗帜放置在一个平面上，如图1所示，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边厘米，厘米，旗帜把手厘米． (1)如图2，把它绕着点B沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点A经过的路程；（结果保留） (2)如图4，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点C经过的路程是a厘米，那么点D经过的路程是 厘米．（结果用含有a的式子表示） 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． （1）根据弧长公式计算即可得解； （2）根据弧长公式计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：如图3，点所经过的路线是以点为圆心，以为半径，圆心角为的弧长， 故点A经过的路程为（厘米）； （2）解：设旋转角的度数为，则点经过的路程为厘米， 故， 故点经过的路程为厘米． 考点三：求弧长 例3. （24-25六年级下·上海虹口·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为 （取3.14）． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了求弧长公式，根据弧长代入求解即可． 【详解】解：弧的长为：， 故答案为： 【变式3-1】（24-25六年级下·上海·期中）若圆的半径不变，圆心角扩大到原来的三倍，那么所对的弧长是原弧长的（   ） A． B． C．4倍 D．3倍 【答案】D 【知识点】求弧长、 比例的基本性质 【分析】本题主要考查了弧长的公式，比例的性质，根据的圆心角所对的弧长就等于圆周长，则可得出圆心角所对的弧长为，最后再根据比例的性质即可得出答案． 【详解】解∶在半径是R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就等于圆周长， 所以圆心角所对的弧长为， n扩大3倍，半径一定，弧长当然也随之扩大3倍． 故选：D 【变式3-2】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为 厘米．（保留） 【答案】/ 【知识点】求弧长、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了求弧长，画出图形，结合弧长公式计算即可得解，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， 由弧长公式可得． ∴三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25六年级下·上海·阶段练习）钟表的轴心到分针针端的长为6厘米，那么经过20分钟，分针针端转过的弧长是 ．（取3.14） 【答案】/12.56厘米 【知识点】钟面角、求弧长 【分析】本题考查了求弧长，正确记忆弧长公式，掌握钟面角是解题的关键． 钟表的分针经过20分钟转过的角度是，即圆心角是，半径是，弧长公式是，代入就可以求出弧长． 【详解】解：圆心角的度数是：， 弧长是． 故答案为： ． 【变式3-4】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知扇形的圆心角是，半径是，将它沿着所在直线向右作顺时针方向的滚动，当它到达图中最右侧扇形的位置时，点经过的路程的长是 ．（取）    【答案】 【知识点】求弧长、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】本题考查了弧长公式、旋转的性质和圆的性质；理解点所经过的路径长分三段，熟记弧长公式是解题的关键．点所经过的路径长分三段，先以为圆心，为半径，圆心角为度的弧长，再平移了弧的长，最后以为圆心，为半径，圆心角为度的弧长．根据弧长公式计算即可． 【详解】解：点所经过的路径的长 故答案为：． 【变式3-5】（24-25六年级下·上海杨浦·期中）如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式是解题的关键． （1）根据弧长公式即可求解； （2）先求出，再由弧长公式求出，最后计算周长即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：， 则， ∴扇面的周长为：． 【变式3-6】（24-25六年级下·上海虹口·期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． (1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） (2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示） 【答案】(1) (2) 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长的计算公式，读懂勒洛三角形和勒洛五角形的定义是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得出，，进而可知弧弧弧，进而根据弧长公式可求出每段的弧长，最后乘以3即可得出答案． （2）设与交于点P，与相交于点Q，设，，，，，由三角形内角和定理和平角的定理等量代换可得出，再由弧长公式分别求出每段的弧长，最后相加即可得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∴弧弧弧 由弧长公式得：弧的长 ∴勒洛三角形的周长为： （2）解：设与交于点P，与相交于点Q，如图所示： 设，，，，， ∵，， ∴， 同理可得出：， ∴， 在中，， ∴， 即．， 由弧长公式得∶弧长长为∶ ， 弧长长为∶ ， 弧长长为∶ ， 弧长长为∶ 弧长长为∶ ∴勒洛五边形的周长是∶ 考点四：圆的面积 例4.（24-25六年级下·上海闵行·期中）一块圆形草坪的周长是米，则这块草坪的占地面积是 平方米． 【答案】 【知识点】 圆的面积、 圆的周长 【分析】本题考查圆的周长和面积公式的应用，熟练掌握圆的周长与面积公式是解题的关键，利用已知周长，代入周长公式可求得圆的半径，再利用圆的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵圆形草坪的周长是米， ∴， ∴， ∴这块草坪的占地面积为：， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，将一个半径为的圆形纸片平均分成16份，按图示方式拼合在一起．对比变化前后的两个图形，下列说法中正确的是（    ） A．变化前后，图形的面积和周长都不变 B．变化前后，图形的面积和周长都增加了 C．变化前后，图形的面积不变，周长增加了 D．变化前后，图形的面积不变，周长增加了 【答案】D 【知识点】 圆的周长、 圆的面积 【分析】此题考查了圆的面积和周长等知识，根据题意得到变化前后，图形的面积不变，周长增加了，即可得到答案． 【详解】解：将一个半径为的圆形纸片平均分成16份，按图示方式拼合在一起．变化前后，图形的面积不变，周长增加了， 故选：D 【变式4-2】（24-25六年级下·上海·期中）一个花坛原来的半径长为4米，为了更好的美化环境，将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么新花坛的半径长是 米．（取3.14） 【答案】5 【知识点】 圆的面积 【分析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用．牢记圆的面积公式是解决问题的关键，先利用圆的面积公式求得原来花坛的面积，再求得扩大后花坛的总面积，再结合面积公式即可求解． 【详解】解：原来花坛的面积平方米， 扩大后花坛的总面积平方米， 而，， 则新花坛的半径为5米， 故答案为：5． 【变式4-3】（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，三个圆的直径分别为10、8、6．若用表示最大圆中阴影部分的面积，用表示两个小圆中阴影部分的面积和，那么与的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查了圆的面积，掌握圆的面积公式是解题关键．先求出大圆的面积和两个小圆的面积和，再表示出和即可得到答案． 【详解】解：因为三个圆的直径分别为10、8、6， 所以，大圆的面积为，两个小圆的面积和为， 若用表示最大圆中阴影部分的面积，用表示两个小圆中阴影部分的面积和， 则，， 则， 故答案为：． 【变式4-4】（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为厘米，一个半径为厘米的圆沿着正方形的四边外侧滚动一周．求该圆滚动过程中所覆盖的面积（结果保留） 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查圆中面积、长方形的面积，熟练掌握该圆滚动过程中的运动轨迹是解题的关键．先确定该圆滚动过程中的运动轨迹，可得当该圆在正方形的四个顶点处滚动时，都会形成个圆周，圆周的半径（厘米），再利用组合图形的面积计算即可． 【详解】解：如图，当该圆在正方形的四个顶点处滚动时，都会形成个圆周，圆周的半径（厘米）， 则由图可得该圆滚动过程中所覆盖的面积为（平方厘米）． 考点五：圆环的面积 例5. （24-25六年级下·上海黄浦·期中）一个圆环形花坛的外圆直径是，花坛宽，求这个花坛的面积．（结果精确到）（取） 【答案】这个花坛的面积为 【知识点】 圆环的面积 【分析】本题考查了圆的面积的计算，根据大圆的面积减去小圆的面积，即可求解． 【详解】解： 答：这个花坛的面积为． 【变式5-1】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是 平方厘米．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆环面积的计算，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式．用大圆的面积减去小圆的面积即可得出圆环的面积． 【详解】解：圆环的面积为：（平方厘米）， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米．（保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】此题主要考查了圆环的面积的计算方法，先根据环宽和“平等圆环”的定义求出内圆的半径，再求出外圆的半径，再根据圆环的面积公式，求出答案即可． 【详解】解：设圆环的内圆的半径为r厘米，则内圆的直径为厘米， 所以圆环的外圆的半径为厘米， ∵环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米， ∴， 解得：， ∴圆环的内圆的半径为5厘米，外圆的半径为10厘米， ∴这个“平等圆环”面积为（平方厘米）， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是 ．（取3.14） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题考查了圆环的面积，掌握圆环的面积公式是解题关键．设大圆半径为，小圆的半径为，先利用三角形面积公式阴影的面积，得到，再根据圆环的面积公式计算即可． 【详解】解：设大圆半径为，小圆的半径为， 因为阴影部分的面积是， 所以，即， 所以圆环的面积是， 故答案为：． 【变式5-4】（24-25六年级下·上海普陀·期中）学校要在周长为米的圆形花坛外围修一条宽2米的环形塑胶跑道．那么这个圆形花坛的半径是多少米？环形塑胶跑道的面积是多少平方米？（取） 【答案】这个圆形花坛的半径是米，环形塑胶跑道的面积是平方米． 【知识点】 圆的周长、 圆的面积、圆环的面积 【分析】此题考查了圆的面积和周长，根据题意正确列式是关键．根据圆的周长和面积公式列式计算即可． 【详解】解：， 即这个圆形花坛的半径是米， （平方米） 即环形塑胶跑道的面积是平方米． 考点六：扇形的周长和面积 例6. （24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动，到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了6周之后，点经过的路程长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了求扇形的周长，先求出到的位置叫做“滚动了一周” 点经过的路程长，再乘以即可得解． 【详解】解：由题意可得：到的位置叫做“滚动了一周” 点经过的路程长为， ∴这个三角形在滚动了6周之后，点经过的路程长为， 故选：D． 【变式6-1】（24-25六年级下·上海青浦·期中）如果一个扇形的圆心角缩小为原来的，半径扩大到原来的4倍，那么新的扇形面积与原扇形面积的比值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查扇形的面积，设原来的圆心角的度数为，半径为，根据扇形的面积公式，进行判断即可． 【详解】解：设原来的圆心角的度数为，半径为， 由题意，得：新的扇形面积为：； 故新的扇形面积与原扇形面积的比值为8； 故选D． 【变式6-2】（24-25六年级下·上海虹口·期中）圆心角为的扇形面积为，该扇形所在圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查求扇形的半径，根据扇形的面积公式进行求解即可．熟练掌握扇形的面积公式，是解题的关键． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为，由题意，得： ， ∴（负值舍去）； ∴圆的半径为． 故选B． 【变式6-3】（24-25六年级下·上海崇明·期中）一个扇形面积是它所在圆面积的，则这个扇形的圆心角是 ． 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为扇形面积是它所在圆面积的， 所以扇形的圆心角度数是的， 则， 所以这个扇形的圆心角是． 故答案为：． 【变式6-4】（24-25六年级下·上海·期中）扇形所对圆心角是60度，所在圆半径是，则扇形的面积是 ．（结果保留π） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了求扇形的面积，根据扇形面积等于求解即可． 【详解】解：扇形的面积是：（）， 故答案为： 【变式6-5】（24-25六年级下·上海崇明·期中）如图，三堵墙之间是一片足够大的草地，墙成，成，其中墙长为．一只羊被一根长为的绳栓着，绳的一端固定在墙角，那么这只羊能够吃到草的草地部分面积是多少平方米？（墙大于绳长）（取） 【答案】40. 82平方米． 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键． 根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：（平方米）， （平方米）， （平方米）， 答：这只羊能够到达草地部分的面积是40. 82平方米． 考点七：含圆的组合图形的计算（周长和面积） 例7. （24-25六年级下·上海·期中）如图，长方形的长厘米，宽厘米． (1)如图1，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； (2)如图2，、分别为、上的点，且，，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，求圆滚过的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】扇形的周长和面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了圆的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图所示，圆滚过的面积长方形的面积中间白色长方形的面积四个直角处的面积和；四个直角处的面积和边长为厘米的正方形的面积半径为的圆的面积，据此解答即可； （2）如图把圆滚过的面积分为部分，个长方形，起点、终点分别为两个半圆，两个角处分别为半径为厘米的圆；起点、终点加起来正好是一个半径长为厘米圆的面积；两个角面积之和是半径为厘米的半圆的面积；据此解答即可． 【详解】（1）解：如图中， 空白部分的长（），宽（）， ∴阴影部分的面积= （2）如图2中， 由题意，， ∴圆滚过的面积为． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海金山·期中）如图两个边长相同的正方形和，都是半圆，现有一个点要沿图中的实线从点A运动到点B，有以下几个方案： 方案1：沿从点A运动到点B； 方案2：先沿从点A运动到点F，再沿从点F运动到点B； 方案3：分别沿线段、、从点A运动到点B； 方案4：先分别沿线段、从点A运动到点E，再沿从点E运动到点B． 以上四种方案中，这个点运动路线最长的是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【答案】C 【知识点】 圆的面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题主要考查了圆的周长，理解每个方案的线路是解题关键．根据四个方案分别求出点运动路线长度，即可得到答案． 【详解】解：设正方形和的边长为， 方案1：点运动路线长度为； 方案2：点运动路线长度为； 方案3：点运动路线长度为； 方案4：点运动路线长度为， 因为， 所以点运动路线最长的是方案3， 故选：C． 【变式7-2】（24-25六年级下·上海宝山·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【答案】(1)100 (2)这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积）、 圆的周长 【分析】本题考查了圆的周长和面积的应用，关键注意数据的单位换算． （1）先计算后轮滚动一圈向前行驶了厘米，据此计算即可求得答案； （2）画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈， （2）解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分，   ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【变式7-3】（24-25六年级下·上海·期中）圆的滚动问题探索（本大题结果保留）： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为____cm 如图2，将圆固定，让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，则圆心经过的距离为_______cm． (2)如图3，已知等边三角形的边长为，将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，圆滚过的区域面积为______cm²． (3)如图4，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点，圆滚过的区域面积为_______． (4)如果小明用根长度的木条做一个正边形（条边相等，个内角相等的图形）的框架，再用半径为的圆沿着这个架子的外围滚一圈，圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成．现标记这个正边形的内角大小为，请用含的代数式表示：______，圆滚过的区域面积是_____． 【答案】(1)厘米；厘米， (2)平方厘米 (3)平方厘米 (4)， 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查圆的周长和面积问题，将圆的运动轨迹转化为规则的圆或者扇形即可解答； （1）图1中，圆心O经过的距离为半径为1厘米的圆的周长；图2中圆心O经过的距离为以为半径的圆的周长； （2）圆O滚过区域的面积为三个半径为，圆心角等于的扇形的面积加上三个长方形的面积； （3）圆O滚过区域的面积为两个半径为，圆心角等于的扇形的面积加上三个长方形面积、两个半径为圆心角等于的扇形的面之和； （4）根据旋转滚一圈可知，圆旋转了次，每次旋转，由此即可求出，圆滚过的区域面积是个长方形和一个半径半径为的圆面积之和． 【详解】（1）解：半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为：（厘米） 让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，（厘米），则圆心经过的距离为：（厘米） （2）解： 如图： 将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时， （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米； （3）长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且， 解：如图，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点， ，， ，， （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） 圆O滚过区域的面积为平方厘米 （4）由图可知：， 旋转一周后，返回到起点，故旋转 圆滚过的区域面积是 考点8：阴影部分的周长和面积、 例8. （24-25六年级下·上海·期中）如图，已知点B、C在线段上，四边形、四边形都是边长为4的正方形，其中，以A为圆心，正方形的边长4为半径画弧，再以B为圆心，正方形的边长4为半径画弧，形成右下图． (1)求此阴影部分的周长：（取3.14） (2)求图中阴影部分面积与长方形面积的比． 【答案】(1) (2) 【知识点】扇形的周长和面积、比的应用 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积公式，比的应用，正确理解图形是解题的关键． （1）阴影部分周长为，以及弧和弧的长度和； （2）先由长方形面积公式求出长方形面积，阴影部分面积为长方形的面积加上扇形的面积，再减去扇形的面积，根据扇形面积公式求解扇形面积，再求比． 【详解】（1）解：阴影部分的周长为：， 答：阴影部分的周长为； （2）解：长方形的面积， 阴影部分的面积为：， ∴阴影部分面积与长方形面积的比为：， 答：阴影部分面积与长方形面积的比为． 【变式8-1】（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，是圆的直径，点O是圆心，右边阴影部分是以为直径的半圆，那么图中阴影部分面积占圆面积的百分比是（    ） A．12.5% B．25% C．37.5% D．50% 【答案】C 【知识点】求一个数是另一个数的百分之几（百分率问题）、扇形的周长和面积 【分析】本题考查了扇形面积，求一个数是另一个数的百分之几等知识；设，求出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：设，阴影部分面积为：， ； 故选：C． 【变式8-2】（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【答案】D 【知识点】 阴影部分的周长和面积、不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积，解答本题的关键是把不规则的图形转化成规则的图形．如图把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形，大正方形的对角线的长度正好等于两条直径的和，然后根据正方形的面积=对角线的长度×对角线的长度解答即可． 【详解】解：如图，把大正方形外边的八部分补到中间空白部分，拼成一个完整的大正方形， ∴圆的直径是：(厘米)， (平方厘米)， 故选：D． 【变式8-3】（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，以为直径的半圆和以为半径的扇形，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么 ． 【答案】45 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了扇形面积与圆面积，由题意知，以为直径的半圆面积等于以为半径的扇形的面积；设，度，即可求解． 【详解】解：设，度， 由图知：以为直径的半圆面积等于以为半径的扇形的面积； 即，得； 故答案为：45． 【变式8-4】（24-25六年级下·上海·期中）图中两块阴影部分的面积之和为 平方厘米（结果保留，单位：厘米）． 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题主要考查了求阴影部分面积，观察图形可知阴影部分的面积等于四分之一圆的面积减去直角边长为10厘米的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可． 【详解】解： 平方厘米， 故答案为：． 【变式8-5】（24-25六年级下·上海青浦·期中）如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是 平方厘米（结果保留） 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查求阴影部分的面积，用各自阴影部分所在的扇形面积减去直角三角形的面积，再相加即可得出结果． 【详解】解：∵正方形的边长是1厘米， ∴， 由题意，得：， ∴阴影部分面积之和为： （平方厘米）； 故答案为：． 【变式8-6】（24-25六年级下·上海崇明·期中）如图，求图中阴影部分的面积（结果保留） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及直角梯形，能将阴影部分的面积转化为整个梯形的面积减去扇形和等腰直角三角形的面积是解题的关键． 根据所给图形，用整个梯形的面积减去扇形和等腰直角三角形的面积即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ． 【变式8-7】（24-25六年级下·上海·期中）（本题π取3.14）如图，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长？ 【答案】阴影部分的面积是平方厘米，周长是厘米． 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查不规则图形的周长和面积，掌握扇形的周长和面积求解方法是解题的关键． 根据题意，阴影部分的面积等于以8厘米为半径的圆的面积减去以为半径的圆的面积再加上小正方形的面积减去以6为半径的圆的面积即可；阴影部分的周长等于以8厘米为半径的圆的周长加上以为半径的圆的周长再加上以6厘米为半径的圆的周长再加上两条6厘米的边即可得到答案． 【详解】解：阴影部分的面积为： ， ， （平方厘米）， 阴影部分的周长为： ， ， （厘米）， 答：阴影部分的面积是平方厘米，周长是厘米． 【变式8-8】（24-25六年级下·上海嘉定·期中）如图，正方形的边长是，求阴影部分的周长和面积（取3.14）． 【答案】阴影部分的周长为，面积为 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】本题考查了圆的面积公式和周长公式，利用阴影部分的周长为正方形的边长加半径为的圆的周长的四分之一加上直径为的圆的二分之一周长，利用阴影部分的面积等于半径为的圆的四分之一减去直径为的圆的二分之一，熟练运用圆的面积公式和周长公式是解题的关键． 【详解】解：阴影部分的周长为正方形的边长加半径为的圆的周长的四分之一加上直径为的圆的二分之一周长， 即； 阴影部分的面积等于半径为四分之一圆减去直径为的二分之一圆， 即， 答：阴影部分的周长为，面积为． 【变式8-9】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 【答案】(1) (2)， 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积，扇形面积，解本题的关键是数形结合． （1）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的一半，进而可知阴影部分面积； （2）用半径是的圆的面积减去直角边长是的等腰直角三角形的面积可得阴影部分面积的四分之一，进而可得，即可得到和的数量关系；最后根据，即可求出． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2），， ， 故答案为：； ， 故答案为：，． 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）已知一个圆的半径为，圆周长为，圆面积为，一个半圆的半径为，半圆弧长为，半圆面积为，那么下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的周长和面积公式，解题的关键是掌握相关知识．分别表示出圆的周长和面积，半圆的弧长和面积，即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，， 故选：A． 2．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图，小海将边长为的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），那么所得扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积。掌握扇形面积（l为弧长，r为半径）是解题关键．根据题意求出扇形的弧长和半径，即可求出面积． 【详解】解：因为正方形边长为， 所以， 所以弧长为， 因为扇形以为圆心，为半径， 所以扇形的面积是， 故选：B． 3．（24-25六年级下·上海闵行·期中）如果两个扇形的半径之比是，圆心角之比也是，则它们的面积之比是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求比值，根据扇形面积公式求比值即可． 【详解】解：∵两个扇形的半径之比是，圆心角之比也是， ∴它们的面积之比是： ， 即它们的面积之比是． 故选：A． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期中）下列说法正确的是（　　） A．圆的周长是直径的3.14倍 B．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴． C．圆的半径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2倍 D．半圆形铁片的直径为16，则它的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了圆的相关知识点，根据圆的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握圆的周长、面积公式是解此题的关键． 【详解】解：A、圆的周长是直径的倍，故原说法错误，不符合题意； B、圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，故原说法错误，不符合题意； C、圆的周长公式，圆的面积公式，故圆的半径扩大到原来的2倍，周长扩大到原来的2倍，面积扩大到原来的倍，故原说法错误，不符合题意； D、半圆形铁片的直径为16，则它的周长为，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 5．（24-25六年级下·上海·期中）下列结论中正确的是（   ） A．两条孤的长度相等，那么所在圆半径相等 B．两条弧能够重合，那么所在圆半径相等 C．半径相等的两个扇形的面积相等 D．两个扇形的圆心角相等，那么它们的面积相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长计算公式，扇形面积计算公式，等弧的定义，根据弧长计算公式可判断A，根据等弧的定义可判断B，根据扇形面积计算公式可判断C、D． 【详解】解：A、两条孤的长度相等，那么所在圆半径不一定相等，原说法错误，不符合题意； B、两条弧能够重合，那么所在圆半径相等，原说法正确，符合题意； C、半径相等的两个扇形的面积不一定相等，还与圆心角度数有关，原说法错误，不符合题意； D、两个扇形的圆心角相等，那么它们的面积不一定相等，还有半径有关，原说法错误，不符合题意； 故选；B． 6．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列各正方形的边长相同，其中图中各扇形的半径都是正方形边长的一半，那么下面4个图形中阴影部分面积与图中阴影部分面积不同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积，正方形的面积，掌握扇形的面积公式是解本题的关键．设正方形的边长为，根据正方形的面积-扇形的面积即可作判断． 【详解】解：设正方形的边长为，则图中阴影部分面积， A、图中阴影部分面积， B、图中阴影部分面积， C、图中阴影部分面积 D、图中阴影部分面积（r为右下角扇形半径）， 故选：D． 二、填空题 7．（2025六年级下·上海·专题练习）一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆环面积，熟练运用圆的面积公式是解题的关键． 先根据内直径是，圆环的宽度，求出外半径，然后利用圆环面积公式计算． 【详解】解：圆环的内直径是， 圆环的内半径， 圆环的宽度是， 圆环的外半径， 圆环的面积为： ． 故答案为：． 8．（24-25六年级下·上海普陀·期中）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形弧长的计算、比例关系的计算，由题意可得较大扇形圆心角为，再结合弧长公式计算即可得解． 【详解】解：∵把一个圆剪成两个扇形，其中较小扇形的圆心角为120度， ∴较大扇形圆心角为， ∵弧长公式为（为圆心角度数）， ∴较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为， 故答案为：． 9．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆的半径增加1厘米，那么它的周长增加 厘米(结果保留)． 【答案】 【分析】此题主要考查圆的周长公式的灵活运用，关键是熟记公式；根据圆的周长公式：，因为圆周率一定，所以圆的周长和半径成正比例．由此可知，如果一个圆的半径增加厘米，那么它的周长就增加厘米．据此解答． 【详解】解：厘米 答：它的周长增加厘米． 故选：． 10．（24-25六年级下·上海青浦·期中）小丽家闹钟的时针长6厘米，那么经过5小时的时间，时针扫过的面积为 平方厘米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，求出时针走5个小时转过的圆心角的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：平方厘米； 故答案为：． 11．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）如图，一只老鼠从点沿圆形管道逃跑，一只花猫同时从点沿着圆形管道朝另一方向去捉老鼠，结果在距点米的点处捉住了老鼠．已知是圆的直径，老鼠与花猫的速度比是，则圆形管道的直径是 米．(取 【答案】 【分析】本题考查了圆的周长，以及比的应用，根据老鼠与花猫的速度比是，时间相同时，则老鼠所跑路程与花猫所跑路程的比是，则花猫所跑路程比老鼠所跑路程多，列出方程可得答案． 【详解】解：设圆形管道的直径为米， 根据题意得：， 解得：， 圆形管道的直径是米； 故答案为：． 12．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了求圆的半径，周长，弧长，长方形的周长等知识，先求出圆的半径，长方形为的长，最后根据阴影部分的周长计算即可． 【详解】解：根据题意， 则圆的半径为：， 圆的面积为：， 长方形的面积为，则长方形的长为： ， 则阴影部分的周长为：， 故答案为：5 13．（24-25六年级下·上海·期中）现在很多家庭都使用折叠型桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面．如图1为餐桌的未翻开的形状，直径、相交于圆心，，小华用皮尺量出圆桌的直径为分米．如果桌面翻成圆桌（如图2）后，那么桌子面积会增加 平方分米（结果保留）． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据，进而即可求解． 【详解】由题意可得出：， ∴是的直径，直径为分米． ∴ ∴ ∴桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方分米 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，一把折扇的骨架长是，扇面宽为，完全展开时圆心角为，求扇面的面积． 【答案】 【分析】本题考查求扇形的面积，用大扇形的面积减去小扇形的面积，进行求解即可．熟练掌握扇形的面积公式，是解题的关键． 【详解】解：； 答：扇面的面积为． 15．（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长（结果保留，单位：厘米）． 【答案】厘米 【分析】本题考查了求阴影部分的周长，圆的周长公式，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据题意列出算式即可求解． 【详解】解：阴影部分的周长为， （厘米） 16．（24-25六年级下·上海闵行·期中）如图，请计算阴影部分的周长和面积．（取） 【答案】阴影部分的周长是，面积是 【分析】本题主要考查了弧长计算，扇形面积计算，阴影部分面积计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式和扇形面积公式，先根据图形求出，，再求出阴影部分周长即可；先求出，，然后求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， ． 所以，阴影部分的周长是，面积是． 17．（24-25六年级下·上海·期中）某运动场正在建设中，运动场的环形跑道由两个直道和两个半圆形塑胶跑道组成，直道长米，半圆形最内圏直径长米，每条跑道宽米，共有条跑道（取）． (1)最内圈跑道的长度是多少米？ (2)塑胶跑道的面积是多少平方米？ (3)为了铺设塑胶跑道，采购人员先后到甲、乙两个销售点询问价格，这两个销售点所用材料产品质量相同，购买所产生的费用如下表，请问采购人员在哪个销售点购买最优惠？求出这个最优惠的价格是多少元． 甲销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买面积不超过平方米不优惠，超过平方米的部分优惠． 乙销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买每满元减元． 【答案】(1)最内圈跑道的长度是米； (2)塑胶跑道的面积是平方米； (3)乙销售点更优惠，这个最优惠的价格是元． 【分析】本题考查了圆的周长，圆环面积，长方形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意可知直道总长最内圈圆的周长即为最内圈跑道的长度，然后列式计算即可； （）用两个长方形面积加上圆环面积即可； （）分别求出甲销售点和乙销售点得费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：最内圈跑道的长度： 直道总长：（米）， 圆的周长：（米）， 所以最内圈跑道的长度是（米）， 答：最内圈跑道的长度是米； （2）解：塑胶跑道的面积是 （平方米）， 答：塑胶跑道的面积是平方米； （3）解：甲销售点： （元）； 乙销售点：原价（元） 减免次数为： 所以总费用： （元） 由于， 答：乙销售点更优惠，这个最优惠的价格是元． 18．（24-25六年级下·上海青浦·期中）你还记得圆的面积公式推导过程吗？我们把圆等分成若干份，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积也就越接近于圆的面积，故就由长方形的面积公式推导出圆的面积公式． (1)如图，近似长方形的一边的长度相当于圆的_______________；另一边的长度相当于圆的_______________； (2)当时，则这个圆的周长为_____________，面积为_______________．（结果保留） (3)若将一个圆等分成12份，其中一个扇形的周长是，求这个圆的面积是多少平方厘米？（结果保留） 【答案】(1)半径长，周长的一半 (2)， (3) 【分析】本题考查圆的周长和面积，解题的关键是得到长方形的长为圆的周长的一半，宽为圆的半径长． （1）根据图形易得长方形的长为圆的周长的一半，宽为圆的半径长，进行作答即可； （2）根据圆的周长和面积公式进行计算即可； （3）根据扇形的周长等于2条半径的长加上弧长，求出半径，再根据面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题可知：的长度相当于圆的半径长，的长度相当于圆的周长的一半； 故答案为：半径长，周长的一半； （2）解：当时，即圆的半径为， ∴圆的周长为：，圆的面积为：， 故答案为：，； （3）解：设圆的半径为，由题意，得：， ∴， ∴圆的面积是． 19．（24-25六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】（1）扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积； （2）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （3）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积； （4）该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是． 【详解】解：（1）由图得，扫过的面积即为一个长为，宽为圆的直径的长方形面积和一个半径长为的圆的面积， 扫过的面积是． 故答案为：． （2）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积 （3）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于边长为的正方形面积减去个圆的面积， 扫过的面积． （4）该圆滚动过程如下图： 即该圆滚动过程中所扫过的面积为矩形的面积加上矩形的面积，加上一个圆的面积，再加上扇形的面积，而扇形的面积是半径是、圆心角是， 扫过的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是含圆的组合图形的面积计算、扇形的面积公式，解题关键是理清楚圆的滚动过程． 20．（24-25六年级下·上海·期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘 请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、，后轮直径厘米． (1)①计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿_____． ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈． ②小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 【答案】(1)①；②前齿轮齿，后齿轮齿；前齿轮齿后齿轮齿 (2)①，，；②自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是千米和千米； (3)小明需每分钟蹬圈圈 【分析】本题主要考查了圆的周长和面积的有关计算，分数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算公式，准确计算即可． （1）①根据题意化简比，即可求解； ②根据比的性质求出组合，根据比例式验证，即可求解； （2）①根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，进而根据前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数，即可求解； ②分别求得最小传动比和最大传动比，计算后轮的周长，进而求得最大距离和最小距离，注意单位的换算； （3）先转化单位，进而求得后轮要转的圈数，根据传动比，即可求解． 【详解】（1）解：①前齿轮齿后齿轮齿 故答案为：． ②前齿轮齿，后齿轮齿；前齿轮齿后齿轮齿 ∵ ∴ （2）①明想在上坡时更省力，根据传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快， ∴应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为 ∵前齿轮齿数×前齿轮转数=后齿轮齿数×后齿轮转数 ∴此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈 故答案为：，，． ②小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、， ∴最小传动比为： 最大传动比为： 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚， ∵后轮直径厘米 ∴每分钟，后车轮前进的最少距离为：米，最大距离为：米 ∴自行车每小时行驶的最小距离为：千米，自行车每小时行驶的最大距离为：千米 （3）解：千米/小时 ∵后轮直径厘米 ∴后轮要转圈 ∵传动比， ∴小明需每分钟蹬圈圈 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 圆与扇形（4知识点+8核心考点+复习提升） 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 圆的周长 通过操作和计算，我们发现圆的周长都是直径的固定的倍数，我们把这个倍数叫做圆周率，用字母表示，读作“pai”；圆周率是个无限不循环小数，． 圆的周长直径 = 圆周率． 圆的周长公式：用字母C表示圆的周长，d表示直径，r表示半径，那么： 半圆的周长公式： 知识点02 弧长 1.弧和圆心角的概念 如图，圆上A、B两点之间的部分就是弧，记作：，读作：弧AB；称为圆心角． 2、弧长公式 设圆的半径长为r，n°圆心角所对的弧长是l，那么：． 知识点03 圆的面积 圆所占平面的大小叫做圆的面积． 圆的面积公式：设圆的半径长为r，面积为S，那么：圆的面积． 圆环的面积公式： 知识点04 扇形的面积 1.扇形的概念 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形． 如图，空白部分记作扇形AOB． 2.扇形的面积 设组成扇形的半径为r，圆心角为n°，弧长为l，那么： 3.同圆中的之间的关系： 考点一：圆的周长 例1．（24-25六年级下·上海虹口·期中）一个圆的半径为5厘米，那么它的周长是 厘米（取3.14）． 【变式1-1】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆形花坛，周长是米，在离开花坛边米的外面围上一圈栏杆，栏杆的长至少是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式1-2】（24-25六年级下·上海虹口·期中）下列关于圆周率的说法中错误的是（    ） A．圆周率是3.14 B．圆周率是个无限不循环小数 C．圆周率是圆的周长与圆的直径的比值 D．圆周率是个固定的数值 【变式1-3】（24-25六年级下·上海青浦·期中）一个圆的半径从3厘米增加到7厘米，则周长增加了（   ）厘米 A．4 B． C．8 D． 【变式1-4】（24-25六年级下·上海·期中）A和B两个圆的周长分别是和，则A圆半径与B圆半径之比是（   ） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列说法中正确的是（   ） A．是圆周长与半径的比值 B．是圆周长与直径的比值 C．是圆面积与半径的比值 D．是圆面积与直径的比值 【变式1-6】（2025六年级下·上海·专题练习）如图，厘米，则点到的四个半圆的弧长之和的实线部分和是 厘米（结果保留． 【变式1-7】（24-25六年级下·上海·期中）在长16厘米，宽10厘米的长方形上剪半径为2厘米的小圆，最多可以剪 个圆． 【变式1-8】（24-25六年级下·上海青浦·期中）小华要用圆规画一个周长是25.12厘米的圆，则圆规两脚尖的距离应取 厘米．（取3.14） 【变式1-9】（24-25六年级下·上海·期中）已知圆的半径为，等边三角形的边长为．如图，圆按箭头方向从某一位置沿三角形的三边做无滑动的滚动． （1）当圆第三次回到原来位置时，圆心走过的路程是 （用含的代数式表示，保留） （2）假设圆从中点位置开始滚动，当圆心走过的路程为2023时停止，问：圆绕圆心滚动了 圈． 【变式1-10】（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，左边是个美术体的逗号，请你完成以下任务： (1)用圆规在右边的空格中画出同样的美术体逗号； (2)求这个逗号的周长．（小正方形边长为） 【变式1-11】（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图所示，三角形的边长都为，分别以、、三点为圆心，边长的一半为半径作弧，求阴影部分的周长．（取3.14） 【变式1-12】（24-25六年级下·上海嘉定·期中）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买4罐易拉罐饮料，营业员将4罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为7厘米，那么捆4圈至少用绳子多少厘米？（取3.14，结果精确到1厘米）． 【变式1-13】（24-25六年级下·上海闵行·期中）上海大悦城摩天轮是国内首个屋顶悬臂式摩天轮，拥有俯瞰黄浦江、苏州河的超赞视野，是著名的旅游打卡地．如图1，摩天轮的主体是圆形，其周长为126米．（取3） (1)求摩天轮的半径是多少米？ (2)摩天轮的主体圆周外设置了若干个不同主题的载人轿厢，每个轿厢与主体圆周相连，距离是4米，如图2所示，当摩天轮缓缓转动，所有轿厢也随着转动，形成了更大的圆的轮廓．已知每隔5米安装一个轿厢，求大悦城摩天轮上共有多少个轿厢？ (3)在（2）的条件下，大悦城摩天轮在开放时间内不间断匀速转动（每天转动的总圈数固定不变），转动一圈所需时长为20分钟．在某天的某一时刻，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比为，经过4小时后，摩天轮已经转动的圈数与还未转动的圈数之比变为了．每个轿舱最多可乘坐6名乘客，每人乘坐摩天轮的票价为60元．这一天大悦城摩天轮的门票收入最高能达到多少元？ 【变式1-14】（24-25六年级下·上海杨浦·期中）综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 顺时针 慢 小齿轮B ___①___ 快 【计算思考】 （1）通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮___②___（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； （2）我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动___③___圈． （3）探究三个齿轮啮合的效果： 在（2）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，那么齿轮C的齿数是___④___，齿轮C的方向是___⑤___． 【拓展应用】如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48，后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动___⑥___圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进___⑦___m，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了． 考点二： 弧、圆心角、扇形的认识 例2.（24-25六年级下·上海闵行·期中）上课时，老师将一个半径为2的圆形纸片平均分成16份，然后拼成一个近似的平行四边形．计算出了圆的周长，小明课下进行了新的拼接，得到一个近似的三角形，则三角形的底边长是（  ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25六年级下·上海青浦·期中）下列说法错误的是（   ） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．圆周长与该圆半径的比值是定值 C．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 D．圆周率的值与圆的大小无关 【变式2-2】（24-25六年级下·上海·期中）若一弧长为厘米，所对圆心角为，则这弧所在圆的半径是 厘米． 【变式2-3】（24-25六年级下·上海青浦·期中）一条弧长12厘米，且这条弧所对的圆心角是，那么这条弧所在圆的圆周长是 厘米． 【变式2-4】（24-25六年级下·上海·期中）如图，某曲线由线段、，线段、及线段依次相连而成，点为对应圆心，点为对应圆心．扇形在曲线上进行滚动，运动全过程无滑动．扇形首先从图①绕着点旋转到图②（）的位置，再由图②紧贴运动到图③（），再绕着线段的中点旋转到图④的位置，再绕着点旋转到图⑤（）的位置，再由图⑤紧贴运动到图⑥（）的位置．已知：，，，，那么点由图①到图⑥，所运动的路径长为 ． 【变式2-5】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）已知一个时钟的分针针尖到中心的距离为，经过分钟，分针的顶端所走的路程是多少？(结果精确到)(取) 【变式2-6】（24-25六年级下·上海·阶段练习）小明同学把一面小旗帜放置在一个平面上，如图1所示，其中三角形是一个直角三角形，角等于，边厘米，厘米，旗帜把手厘米． (1)如图2，把它绕着点B沿着直线翻动，落到了右侧小旗帜的位置处．求点A经过的路程；（结果保留） (2)如图4，当小旗帜翻动后的位置如图所示时，如果点C经过的路程是a厘米，那么点D经过的路程是 厘米．（结果用含有a的式子表示） 考点三：求弧长 例3. （24-25六年级下·上海虹口·期中）如图所示为一弯形管道，其中心线是一段圆弧，已知半径，则管道的长度（即弧的长）为 （取3.14）． 【变式3-1】（24-25六年级下·上海·期中）若圆的半径不变，圆心角扩大到原来的三倍，那么所对的弧长是原弧长的（   ） A． B． C．4倍 D．3倍 【变式3-2】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如图，长方形的长是6厘米，宽是4厘米，在这个长方形内有一个边长为2厘米的等边三角形（等边三角形的三个内角都是），三角形沿长方形的边在长方形内部向左滚动一周，顶点所经过的路程为 厘米．（保留） 【变式3-3】（24-25六年级下·上海·阶段练习）钟表的轴心到分针针端的长为6厘米，那么经过20分钟，分针针端转过的弧长是 ．（取3.14） 【变式3-4】（24-25六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知扇形的圆心角是，半径是，将它沿着所在直线向右作顺时针方向的滚动，当它到达图中最右侧扇形的位置时，点经过的路程的长是 ．（取）    【变式3-5】（24-25六年级下·上海杨浦·期中）如图所示，一把展开的扇子的圆心角是，扇面的外弧的长是94.2厘米，扇面宽的长是16厘米． 求： (1)的长度； (2)扇面的周长． 【变式3-6】（24-25六年级下·上海虹口·期中）生活中有很多神奇的事情，车轮可以不是圆的，是不是很诧异，我们一起来认识一下“勒洛三角形”．它是一种特殊图形，指分别以等边三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为勒洛三角形（如图1）． (1)若图1中给定的等边三角形的边长为，请你求出这个勒洛三角形的周长．（结果保留π） (2)乐乐受到“勒洛三角形”的启发，发现了“勒洛五边形”．如图2，这个图形的内部五角星的五条线段长都为a（即），连接每两个相邻顶点的曲线都是弧，例如弧就是以点A为圆心，a为半径所画成的弧．于是他想算一算这个图形周长，在尝试用量角器分别测量了五角星的五个角后，他得到了又一个重要的发现，于是得到了这个图形的周长，那么这个勒洛五边形的周长是_______（结果保留π，用含a的式子表示） 考点四：圆的面积 例4.（24-25六年级下·上海闵行·期中）一块圆形草坪的周长是米，则这块草坪的占地面积是 平方米． 【变式4-1】（24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，将一个半径为的圆形纸片平均分成16份，按图示方式拼合在一起．对比变化前后的两个图形，下列说法中正确的是（    ） A．变化前后，图形的面积和周长都不变 B．变化前后，图形的面积和周长都增加了 C．变化前后，图形的面积不变，周长增加了 D．变化前后，图形的面积不变，周长增加了 【变式4-2】（24-25六年级下·上海·期中）一个花坛原来的半径长为4米，为了更好的美化环境，将花坛的面积再扩大28.26平方米，那么新花坛的半径长是 米．（取3.14） 【变式4-3】（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，三个圆的直径分别为10、8、6．若用表示最大圆中阴影部分的面积，用表示两个小圆中阴影部分的面积和，那么与的数量关系为 ． 【变式4-4】（24-25六年级下·上海·阶段练习）如图，正方形的边长为厘米，一个半径为厘米的圆沿着正方形的四边外侧滚动一周．求该圆滚动过程中所覆盖的面积（结果保留） 考点五：圆环的面积 例5. （24-25六年级下·上海黄浦·期中）一个圆环形花坛的外圆直径是，花坛宽，求这个花坛的面积．（结果精确到）（取） 【变式5-1】（24-25六年级下·上海·期中）一个圆环形纸片，外环的半径是8厘米，内环的半径是6厘米，这个圆环的面积是 平方厘米．（结果保留） 【变式5-2】（24-25六年级下·上海闵行·期中）如果一个圆环的外圆半径等于它内圆的直径，那么此圆环称为“平等圆环”，环宽（环宽等于两圆的半径之差）是5厘米的“平等圆环”面积为 平方厘米．（保留） 【变式5-3】（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，阴影部分的面积是，则圆环的面积是 ．（取3.14） 【变式5-4】（24-25六年级下·上海普陀·期中）学校要在周长为米的圆形花坛外围修一条宽2米的环形塑胶跑道．那么这个圆形花坛的半径是多少米？环形塑胶跑道的面积是多少平方米？（取） 考点六：扇形的周长和面积 例6. （24-25六年级下·上海普陀·期中）如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动，到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了6周之后，点经过的路程长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25六年级下·上海青浦·期中）如果一个扇形的圆心角缩小为原来的，半径扩大到原来的4倍，那么新的扇形面积与原扇形面积的比值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式6-2】（24-25六年级下·上海虹口·期中）圆心角为的扇形面积为，该扇形所在圆的半径是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25六年级下·上海崇明·期中）一个扇形面积是它所在圆面积的，则这个扇形的圆心角是 ． 【变式6-4】（24-25六年级下·上海·期中）扇形所对圆心角是60度，所在圆半径是，则扇形的面积是 ．（结果保留π） 【变式6-5】（24-25六年级下·上海崇明·期中）如图，三堵墙之间是一片足够大的草地，墙成，成，其中墙长为．一只羊被一根长为的绳栓着，绳的一端固定在墙角，那么这只羊能够吃到草的草地部分面积是多少平方米？（墙大于绳长）（取） 考点七：含圆的组合图形的计算（周长和面积） 例7. （24-25六年级下·上海·期中）如图，长方形的长厘米，宽厘米． (1)如图1，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的四边内侧滚动一周，求圆滚过的面积； (2)如图2，、分别为、上的点，且，，一个半径为1厘米的圆，沿着长方形的外侧从点经过点滚动到点，求圆滚过的面积． 【变式7-1】（24-25六年级下·上海金山·期中）如图两个边长相同的正方形和，都是半圆，现有一个点要沿图中的实线从点A运动到点B，有以下几个方案： 方案1：沿从点A运动到点B； 方案2：先沿从点A运动到点F，再沿从点F运动到点B； 方案3：分别沿线段、、从点A运动到点B； 方案4：先分别沿线段、从点A运动到点E，再沿从点E运动到点B． 以上四种方案中，这个点运动路线最长的是（    ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案4 【变式7-2】（24-25六年级下·上海宝山·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【变式7-3】（24-25六年级下·上海·期中）圆的滚动问题探索（本大题结果保留）： (1)如图1，已知半径为1厘米的圆沿直线无滑动滚动一周，圆心经过的距离为____cm 如图2，将圆固定，让圆绕着圆外侧边缘作无滑动滚动一周，已知圆、圆的半径都为1厘米，则圆心经过的距离为_______cm． (2)如图3，已知等边三角形的边长为，将半径为的圆从某一位置沿等边三角形的三边作无滑动滚动，当第一次回到原出发位置时，圆滚过的区域面积为______cm²． (3)如图4，长方形的长，宽，点、分别在边、上的点，且，半径为的圆．在长方形外侧从点经过点、无滑动滚动到点，圆滚过的区域面积为_______． (4)如果小明用根长度的木条做一个正边形（条边相等，个内角相等的图形）的框架，再用半径为的圆沿着这个架子的外围滚一圈，圆扫过的图形都是由扇形和长方形组成．现标记这个正边形的内角大小为，请用含的代数式表示：______，圆滚过的区域面积是_____． 考点8：阴影部分的周长和面积、 例8. （24-25六年级下·上海·期中）如图，已知点B、C在线段上，四边形、四边形都是边长为4的正方形，其中，以A为圆心，正方形的边长4为半径画弧，再以B为圆心，正方形的边长4为半径画弧，形成右下图． (1)求此阴影部分的周长：（取3.14） (2)求图中阴影部分面积与长方形面积的比． 【变式8-1】（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，是圆的直径，点O是圆心，右边阴影部分是以为直径的半圆，那么图中阴影部分面积占圆面积的百分比是（    ） A．12.5% B．25% C．37.5% D．50% 【变式8-2】（24-25六年级下·上海虹口·期中）如图，以正方形的4个顶点为圆心的4个圆都经过该正方形的中心．如果每个圆的半径都是，那么阴影部分的总面积是（　　）平方厘米 A．8 B． C．24 D．32 【变式8-3】（24-25六年级下·上海金山·期中）如图，以为直径的半圆和以为半径的扇形，如果图中两个阴影部分的面积相等，那么 ． 【变式8-4】（24-25六年级下·上海·期中）图中两块阴影部分的面积之和为 平方厘米（结果保留，单位：厘米）． 【变式8-5】（24-25六年级下·上海青浦·期中）如图，正方形的边长是1厘米，分别以正方形的四个顶点为圆心画扇形（如图所示），则阴影部分面积之和是 平方厘米（结果保留） 【变式8-6】（24-25六年级下·上海崇明·期中）如图，求图中阴影部分的面积（结果保留） 【变式8-7】（24-25六年级下·上海·期中）（本题π取3.14）如图，两个相邻的正方形边长分别是、，求图中阴影部分的面积和周长？ 【变式8-8】（24-25六年级下·上海嘉定·期中）如图，正方形的边长是，求阴影部分的周长和面积（取3.14）． 【变式8-9】（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图所示，已知甲、乙、丙三种图案的地砖，它们都是边长为的正方形． ①甲地砖以正方形的边长为半径作弧得到甲图所示的阴影部分； ②乙地砖以正方形的边长为直径作弧得到乙图所示的阴影部分； ③丙地砖以正方形边长的一半为直径作弧得到丙图所示的阴影部分； 设三种地砖的阴影部分面积分别为、、． (1)请你直接写出____．（结果保留） (2)请你直接将和的数量关系填在横线上：_______．（由题（2）中面积的数量关系，可直接求得______．（结果保留．） 一、单选题 1．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）已知一个圆的半径为，圆周长为，圆面积为，一个半圆的半径为，半圆弧长为，半圆面积为，那么下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·上海浦东新·期中）如图，小海将边长为的正方形铁丝框变形为以为圆心，为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），那么所得扇形的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·上海闵行·期中）如果两个扇形的半径之比是，圆心角之比也是，则它们的面积之比是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级下·上海闵行·期中）下列说法正确的是（　　） A．圆的周长是直径的3.14倍 B．圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴． C．圆的半径扩大到原来的2倍，周长和面积也扩大到原来的2倍 D．半圆形铁片的直径为16，则它的周长为 5．（24-25六年级下·上海·期中）下列结论中正确的是（   ） A．两条孤的长度相等，那么所在圆半径相等 B．两条弧能够重合，那么所在圆半径相等 C．半径相等的两个扇形的面积相等 D．两个扇形的圆心角相等，那么它们的面积相等 6．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）下列各正方形的边长相同，其中图中各扇形的半径都是正方形边长的一半，那么下面4个图形中阴影部分面积与图中阴影部分面积不同的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2025六年级下·上海·专题练习）一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是 ． 8．（24-25六年级下·上海普陀·期中）把一个圆剪成两个扇形，如果其中较小扇形的圆心角为120度，那么较小扇形的弧长与较大扇形的弧长的比为 ． 9．（24-25六年级下·上海·期中）一个圆的半径增加1厘米，那么它的周长增加 厘米(结果保留)． 10．（24-25六年级下·上海青浦·期中）小丽家闹钟的时针长6厘米，那么经过5小时的时间，时针扫过的面积为 平方厘米．（结果保留） 11．（24-25六年级下·上海黄浦·期中）如图，一只老鼠从点沿圆形管道逃跑，一只花猫同时从点沿着圆形管道朝另一方向去捉老鼠，结果在距点米的点处捉住了老鼠．已知是圆的直径，老鼠与花猫的速度比是，则圆形管道的直径是 米．(取 12．（24-25六年级下·上海·期中）如图所示，圆的周长是，圆的面积与长方形的面积正好相等，则图中的阴影部分的周长为 ． 13．（24-25六年级下·上海·期中）现在很多家庭都使用折叠型桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面．如图1为餐桌的未翻开的形状，直径、相交于圆心，，小华用皮尺量出圆桌的直径为分米．如果桌面翻成圆桌（如图2）后，那么桌子面积会增加 平方分米（结果保留）． 三、解答题 14．（24-25六年级下·上海松江·期中）如图，一把折扇的骨架长是，扇面宽为，完全展开时圆心角为，求扇面的面积． 15．（24-25六年级下·上海·期中）求图中阴影部分的周长（结果保留，单位：厘米）． 16．（24-25六年级下·上海闵行·期中）如图，请计算阴影部分的周长和面积．（取） 17．（24-25六年级下·上海·期中）某运动场正在建设中，运动场的环形跑道由两个直道和两个半圆形塑胶跑道组成，直道长米，半圆形最内圏直径长米，每条跑道宽米，共有条跑道（取）． (1)最内圈跑道的长度是多少米？ (2)塑胶跑道的面积是多少平方米？ (3)为了铺设塑胶跑道，采购人员先后到甲、乙两个销售点询问价格，这两个销售点所用材料产品质量相同，购买所产生的费用如下表，请问采购人员在哪个销售点购买最优惠？求出这个最优惠的价格是多少元． 甲销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买面积不超过平方米不优惠，超过平方米的部分优惠． 乙销售点： ．每平方米塑胶跑道价格为元； ．购买每满元减元． 18．（24-25六年级下·上海青浦·期中）你还记得圆的面积公式推导过程吗？我们把圆等分成若干份，可以发现把圆等分的份数越多，拼成的图形就越接近于一个长方形，这个长方形的面积也就越接近于圆的面积，故就由长方形的面积公式推导出圆的面积公式． (1)如图，近似长方形的一边的长度相当于圆的_______________；另一边的长度相当于圆的_______________； (2)当时，则这个圆的周长为_____________，面积为_______________．（结果保留） (3)若将一个圆等分成12份，其中一个扇形的周长是，求这个圆的面积是多少平方厘米？（结果保留） 19．（24-25六年级下·上海闵行·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） （1）已知线段，一个半径长为的圆，沿着滚动，则扫过的面积是___________ 组内同学讨论，画出圆运动过程的图形如图所示． 请你根据以上信息，完成下列各题（本题最终结果保留） （2）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （3）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． （4）如图，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的外侧滚动，则该圆滚动过程中所扫过的面积是___________． 20．（24-25六年级下·上海·期中）综合实践题：变速自行车中的数学奥秘 请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮．前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进．变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比值（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬1圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为、，后齿轮齿数为、、、、，后轮直径厘米． (1)①计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿_____． ②若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)①小明想在上坡时更省力，应选择前齿轮齿数为，后齿轮齿数为；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动圈． ②小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离和最小距离分别是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明需每分钟蹬多少圈？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$