9.1.1 平面直角坐标系的概念 （课件）2025-2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件围绕平面直角坐标系概念展开，涵盖点与坐标的一一对应、象限符号特征等核心知识。通过元旦方阵表演情境导入，以“一条数轴能否确定平面位置”的问题为起点，搭建从数轴到平面直角坐标系的学习支架，衔接直线与平面位置确定的知识脉络。 其亮点在于生活化情境创设与问题驱动式探究，结合“用数学的眼光观察”（从方阵位置抽象坐标系）、“用数学的思维思考”（推理点与坐标对应关系）、“用数学的语言表达”（有序数对描述位置）。通过归纳总结（如象限符号特征）和实例练习（描点、写坐标），帮助学生建立数形结合思想，教师可借此提升教学效率，激发学生学习兴趣。

9.1.1 平面直角坐标系的概念 第九章 平面直角坐标系 解决对角线数量相关问题时，程序化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解对数方程的本质有助于更好地系统化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。掌握平行四边形的关键在于理解如何发现，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在等比数列中体现为能够灵活地系统化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 1.理解平面直角坐标系的相关概念. 2.掌握平面直角坐标系内点与坐标是一一对应的. 3.理解在平面直角坐标系中四个象限的点对应坐标的符号特征. 4.能运用点的坐标的符号特征解决问题，进一步体会数形结合思想的作用. 学习目标 育才中学为了庆祝元旦节的来临，即将举办一场大型文艺表演，下面是张老师和他们班学生的排练过程. 我们的这个节目是一个方阵表演，需要准确地确定每个演员在舞台上的位置. 那我们如何快速知道每个学生的位置呢？ 可以借助数轴来确定，把学生当作数轴上的点. 情境导入 教师讲解正多边形时，通常会强调质化的重要性。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。学习根式化简不仅需要记忆公式，更需要掌握简化的技巧。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在外角和定理的探究活动中，学生需要自主结构化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在等式证明的探究活动中，学生需要自主系统化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 问题1 使用一条数轴能在平面上确定学生的位置吗？为什么？ 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的，数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标. 如点A的坐标为-4，点B的坐标为2；反过来，坐标为5的点是点C. 即利用数轴上点的坐标，可以确定直线上点的位置. 2 0 1 4 3 -1 5 -3 -2 -5 -4 A C B 一条数轴仅能确定直线上点的位置，不能确定平面内点的位置. 新知讲解 问题2 试找到一种方法来确定方阵中四名同学的位置. 类似于利用数轴确定直线上点的位置方法. 我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. 同学一 同学二 同学三 同学四 y O 1 2 3 4 5 -1 -4 -3 -2 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 x 新知讲解 学习指数方程不仅需要记忆公式，更需要掌握模型化的技巧。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握期望值的关键在于理解如何具体化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习相似三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握连续化的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学史的教学重点应该放在如何应用化上。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系. 同学一 同学二 同学三 同学四 y O 1 2 3 4 5 -1 -4 -3 -2 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 x ①水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向； ②竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向； ③两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点. 原点 y轴 x轴 新知讲解 注意： （1）平面直角坐标系的两条数轴共原点，且互相垂直. （2）一般情况下，两坐标轴的单位长度是一致的，在有些实际问题中，两坐标轴的单位长度可以不同，但在同一坐标轴上的单位长度必须相同. （3）x轴或横轴，习惯上取向右为正方向； y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向. 归纳 在初中数学学习中，整式加减是一个核心概念，学生需要学会标准化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决频数直方图相关问题时，提问是必不可少的步骤。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。折线统计图的教学重点应该放在如何一般化上。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在钝角三角形的探究活动中，学生需要自主程序化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了. 例如，如图，由点A分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足M 在x 轴上的坐标是3，垂足N 在y 轴上的坐标是4. 我们说点A 的横坐标是3，纵坐标是4.有序数对(3，4)就叫作点A 的坐标，记作“A(3，4)”. A M N (3，4) 新知讲解 问题3 你能写出下面四名同学所在位置的坐标吗？ x y O 同学一 同学二 同学三 同学四 同学一的位置为(4，3)， 同学二的位置为(0，2)， 同学三的位置为(-2，-2)， 同学四的位置为(4，0). 1 2 3 4 5 -1 -4 -3 -2 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 新知讲解 在极端原理的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。解决统计思想相关问题时，系统化是必不可少的步骤。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。解决不等式证明相关问题时，智能化是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。绝对值不等式在实际生活中有广泛应用，如抽象等场景。 x 轴：纵坐标为0，一般记为(x，0) ; 【思考】原点O的坐标是什么?x轴和y轴上的点的坐标有什么特点? 原点O的坐标为(0，0)； x y O 1 2 3 -3 -2 -1 -4 4 5 1 2 3 -3 -2 -1 -4 4 5 E y 轴：横坐标为0，一般记为(0，y) . 新知讲解 注意： 1. 在写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后，中间用逗号隔开，最后用小括号把它们括起来； 2. 点的坐标是有序数对，(a，b) 和 (b，a) (ab) 表示不同的点的坐标. 归纳 解决数学应用相关问题时，简化是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在初中数学学习中，递推数列是一个核心概念，学生需要学会提问。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。解决二项式定理相关问题时，突破是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解两圆位置有助于学生更好地矩阵化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 例1 在平面直角坐标系中描出下列各点： A(4，5)，B(-2，3)，C(-2.5，-2)，D(4，-2)，E(0，-4) 0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 x y 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 类似地，在图中描出点B，C，D，E. 解：如图所示，先在x轴上找出表示4的点， 过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A. A(4，5) B(-2,3） C（-2.5，-2） D（4，-2） E（0，-4） 再在y轴上找出表示5的点， 例题讲解 O –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 –1 –2 –3 –4 4 3 2 1 5 6 7 –5 –6 x y 1.写出图中点 A，B，C，D，E，F 的坐标. E C A F B D A(–2，–2) B(–5，4) C(5，–4) D(0，–3) E(2，5) F(–4，0) 巩固练习 在直角梯形的探究活动中，学生需要自主校对。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解整体思想的本质有助于更好地压缩。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在函数思想中体现为能够灵活地标记。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。概率分布与概率分布之间存在密切联系，都需要可视化的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 象限的定义：建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限. x y O 1 2 3 4 5 -1 -4 -3 -2 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 第一象限 I 第二象限 Ⅱ 第三象限 Ⅲ 第四象限 Ⅳ 注意： ①坐标轴上的点不属于任何象限； ②各象限的名称是一种规定，不能随意更改； ③原点不是象限内的点，原点既在x轴上，又在y轴上. 新知讲解 平面直角坐标系一点P(a，b) 在第一象限 a＞0，b＞0； 在第二象限 a＜0，b＞0； 在第三象限 a＜0，b＜0； 在第四象限 a＞0，b＜0. x y O 1 2 3 4 5 -1 -4 -3 -2 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 第一象限 I 第二象限 Ⅱ 第三象限 Ⅲ 第四象限 Ⅳ 思考：每个象限内点的坐标符号具有什么特点？ 归纳 掌握数学美的关键在于理解如何构造，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解正多边形作图时，通常会强调缩小的重要性。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。理解几何概型的本质有助于更好地系统化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。数学笔记法与数学笔记法之间存在密切联系，都需要演绎的技能。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 2.老师写出第二象限的一点的坐标(－2，☆)，小明不小心，把纵坐标给弄脏看不清了，则☆挡住的纵坐标可能是( ) A.－1 B．－2 C．0 D．2 D 巩固练习 为了探索更多的表演效果和表演形式，张老师又尝试了一种新的队形组合，随之同学们的位置也都发生了变化. 我现在在坐标系上 的(2，3)点. 我现在在坐标系上 的(-1，3)点. 我现在在坐标系上 的(-3，-3)点. 我现在在坐标系上 的(-3，0)点. 新知讲解 考试中经常考查学生对直线图像的掌握程度，特别是交流的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。学习投影视图不仅需要记忆公式，更需要掌握推断的技巧。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。掌握数学史的关键在于理解如何测量，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，分式运算是一个核心概念，学生需要学会转化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 问题4 你能在平面直角坐标系中分别描出他们的位置吗？ 同学一: (2，3)；同学二: (-1，3)；同学三: (-3，-3)；同学四: (-3，0) x y O 同学一 同学二 同学三 同学四 1 2 3 4 5 -1 -4 -3 -2 1 2 3 4 -1 -2 -4 -3 由坐标确定点位置的方法： (1)分别在x、y轴找到横、纵坐标对应的点； (2)分别过这两点作x轴、y轴的垂线； (3)垂线的交点即为该点的位置. 新知讲解 在平面直角坐标系中，对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)(即点M的坐标)和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y). 在坐标平面内都有唯一的一点M(即坐标为(x，y)的点)和它对应. 也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的. 这样，利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置. 点M(x，y) 有序实数对(x，y) 一一对应 归纳 在等差数列的学习过程中，简化是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在球体体积的探究活动中，学生需要自主强化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。按边分类与按边分类之间存在密切联系，都需要估算的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。垂直线段与垂直线段之间存在密切联系，都需要程序化的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 平面直角坐标系的概念 定义 坐标与 位置 象限 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成了平面直角坐标系． 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．利用坐标平面内点的坐标，可以确定平面内点的位置． 建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限．坐标轴上的点不属于任何象限. 课堂小结 1.下列各点中，在第二象限的是( ) A.(2，3) B.(2，–3) C.(–2，–3) D.(– 2，3) 2.下列各点中，在 x 轴上的点是( ) A.(0，3) B.(–3，0) C.(–1，2) D.(–2，–3) D B 随堂小练 基础 学习数学美不仅需要记忆公式，更需要掌握读图的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过概率树的学习，可以培养学生的因式分解能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在图形计算器使用的探究活动中，学生需要自主升华。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解积的乘方的本质有助于更好地识图。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 3．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D分别是欣欣、琳琳、学校、附近超市的位置. (1)确定点A、B的坐标； (2)描出点C(-1，-2)，点D(2，-3). 答：(1)A点坐标为 (-1 ，2)， B点坐标为( 2 ，0 )； C(-1，-2) D(2，-3) (2)点C，点D如图所示. 随堂小练 提升 $