精品解析：甘肃白银市育才学校2023—2024学年度第二学期第二次模拟考试试卷九年级数学

2023－2024学年度第二学期第二次模拟考试试卷 科目：数学 年级：九年级 （考生注意：本卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，即可直接求解． 【详解】解：的相反数是． 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式逐项分析即可. 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、，故选项C符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 4. 如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出． 【详解】解：延长，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键． 5. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】当数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，比较四个方差的大小即可得到结果． 【详解】解：由题意得 ， ∵四名同学成绩的平均数相同，方差越小成绩越稳定， ∴丁的成绩最稳定． 6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 7. 学过一次函数的知识后，某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸点，经过几次测量，得到如下数据： 时间（单位：） 液体温度（单位：） 当加热时，该液体沸腾，则其沸点温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据表中随的变化而变化的趋势知与成一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将代入解析式求出的值即可得． 【详解】解：设， 根据题意，得：， 解得， ， 当时，， 即当加热时，油沸腾了，小明估计这种油的沸点温度是． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用表格中数据求出函数表达式是解题的关键． 8. 如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解：是等边三角形， ， ∵四边形是的内接四边形， ． 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴点E为中点， ∵F是的中点，若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长， 故选：D． 【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤． 10. 如图1，在中，，，的长为，动点在边上从点向点运动，过点作，，垂足分别为、．设的长为，矩形的面积为，随变化的关系图象如图2所示，其中点为图象的最高点，且纵坐标为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，得到，，勾股定理，得到，求出的长，利用矩形的面积公式得到二次函数关系式，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，的长为x，的长为a， ∴在中，，在中，， ∴，， ∴， ∴， 由图象可知：， ∴（负值已舍去）． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕‘文化大餐’．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长，”将数据142亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：亿． 13. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为株，则可列分式方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设这批椽的数量为株，则一株椽的价钱为文， 少拿一株椽后，剩下椽的数量为株，每株运费文， 因此剩下椽的总运费为文， 由“剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”这一等量关系， 可得方程． 14. 已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么______．(填“”或“”或“”)． 【答案】 【解析】 【分析】因为抛物线的对称轴为直线，根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：抛物线的图象的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中， ∴， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 16. 数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；根据以上信息，北纬纬线的长度约为______千米．（结果保留整数．参考数据：，，，） 【答案】33792 【解析】 【分析】作于点，根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，然后根据周长公式求出周长即可． 【详解】解：作于点，则， ，， ， 在中，千米， 千米， 北纬的纬线长度 （千米）． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 解不等式组，并写出它的正整数解． 【答案】不等式组的解集为，正整数解为 【解析】 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为，正整数解为． 19. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先对可因式分解的多项式分解因式，通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，约分得到最简结果，最后代入的值计算出最终结果． 【详解】 解： 原式 ， 将代入得，原式． 20. 中国清朝末期的几何作图教科书中记载了大量几何作图题，如图，四边形是矩形． ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交、于点、； ②分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线； ④分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、（在的上方），作直线，交于点，交射线于点． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）依据尺规作图的痕迹，的度数为______．（直接写出答案） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依各步完成作图即可； （2）由矩形的性质可求得的度数，再由作图求得的度数，进而求得的度数，再由作图及互余关系即可求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∴， 由作图知，垂直平分线段， ∴， ∴． 21. 今年年初，“一碗麻辣烫”火遍了全网，吸引了大量游客到天水旅游，伏羲文化、大地湾文化、秦早期文化、三国文化、石窟文化天水五大特色文化增强游客爱国主义情感的同时也带动了全省的旅游业及当地的经济，全省各地特色文化纷纷打卡天水，助力甘肃旅游，展现陇原风采．临近五一小长假，小颖一家计划去天水，计划去以下景点：A.伏羲庙；B.麦积山石窟；C.南郭寺；D.李广墓；E.仙人崖．由于临近中考综合考虑，每人只能选择一条线路．小颖和弟弟两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了5张不透明的卡片，正面分别写上字母A、B、C、D、E，卡片除正面字母不同外其余均相同，将5张卡片正面向下洗匀，小颖先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后弟弟再从中随机抽取一张卡片． （1）求小颖从中随机抽到去麦积山石窟的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到去伏羲庙的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）先用列表法或树状图法列举出所有可能的情况，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：小颖先从中随机抽取一张卡片，共有种情况， 小颖从中随机抽到去麦积山石窟的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 两人都抽到A的情况有种， 则两人都抽到去伏羲庙的概率为． 22. 烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的处，测得烽燧的顶部处的俯角为，测得烽燧的底部处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（结果精确到0.1m） （参考数据：，，，，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点E，设，解直角三角形求得，利用这两线段相等建立方程即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点E， 设， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴； 在中，， ∴， ∴， 解得， 答：烽燧的高度为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 a 7 合格率 b 85% 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中a，b，c的值； （2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； （3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义． 【答案】（1），， （2）510人 （3）用中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势，表示了七，八年级学生成绩数据的中等水平． 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数的定义求解即可，根据合格率=合格人数÷总人数即可求得； （2）根据八年级抽取人数的合格率进行求解即可； （3）根据中位数和众数的特征进行说明即可． 【小问1详解】 根据八年级的成绩分布可得：5分的有3人，6分的有2人，7分的有5人，8分的有4人，9分的有3人，10分的有3人， 故中位数是， 根据扇形统计图可得：5分的有人，6分的有人，7分的有人，8分的有人，9分的有人，10分的有人， 故众数是8， 合格人数为：人， 故合格率为：， 故，，． 【小问2详解】 八年级学生成绩合格的人数为：人， 即若该校八年级有600名学生，该校八年级学生成绩合格的人数有510人． 【小问3详解】 根据中位数的特征可知七，八年级学生成绩的集中趋势和七，八年级学生成绩数据的中等水平． 【点睛】本题考查了中位数，众数，合格率，用样本估计总体等，熟练掌握中位数和众数的定义是解题关键． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入一次函数解析式，根据待定系数法求得一次函数解析式，再求得点A的坐标，最后得出反比例函数解析式； （2）求得的长，即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数（k≠0）的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点 ∴把代入，得，解得， 把代入，得； 把代入，得，解得； 【小问2详解】 解：过，点A作轴，垂足为H，如图所示： ， ， ∵一次函数的图像与y轴交于点B， 即当时，， ， ∴， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数，熟练求出函数解析式是解题的关键． 25. 如图，在中，，点是上一点，且，点在上，以点为圆心的圆经过、两点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图， 则， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，易得，即可证明，从而完成证明； （2）在中，由及半径可求得，从而求得；在中，由可用表示出，再利用勾股定理建立方程即可求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：∵，的半径为3，，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得（只取正值）． 26. 【概念呈现】 定义：在凸四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1，在四边形中，，，，则四边形为蝴蝶四边形． 【概念理解】 （1）如图2，正方形中，对角线与相交于．求证：正方形为蝴蝶四边形； 【性质探究】 （2）如图3，在蝴蝶四边形中，．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在蝴蝶四边形中，，，．当是以为底的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）证明：正方形中，对角线与相交于， ∴， ∴由蝴蝶四边形的含义知，正方形为蝴蝶四边形； （2）证明：∵四边形是蝴蝶四边形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质及蝴蝶四边形的含义即可证明； （2）证明即可； （3）延长交于点N，由线段垂直平分线的判定定理得，由此可求得的长，由勾股定理求得的长，由（2）即可得的长． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：如图3，延长交于点N， ∵， ∴是线段的垂直平分线， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 由（2）得． 27. 如图①，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、．点是轴上任意一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，若以点、、、为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点的坐标； （3）如图②，当点从点出发沿轴向点运动时（点与点、不重合），自点分别作，交于点，作，垂足为点．当为何值时，面积最大，并求出最大值． 【答案】（1） （2）或或 （3）时，面积最大，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）先求出点，再设；考虑平行四边形及平行四边形，利用平行四边形的性质及二次函数的性质即可求解； （3）过点E作于点F，利用三角函数关系可分别求得，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，令,得， ∴； 设， 当为平行四边形时，则， ∵点P、A均在x轴上， ∴轴， ∵点Q在抛物线上， ∴点Q的纵坐标为， ∴， 解得（舍去）或， ∴； 当为平行四边形时，则， 由平移性质得点的纵坐标为9， 代入中，得， 解得， 即或； 综上，点Q的坐标为或或． 【小问3详解】 解：过点E作于点F，如图②； ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023－2024学年度第二学期第二次模拟考试试卷 科目：数学 年级：九年级 （考生注意：本卷满分150分，考试时间为120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 学过一次函数的知识后，某数学兴趣小组通过实验估计某液体的沸点，经过几次测量，得到如下数据： 时间（单位：） 液体温度（单位：） 当加热时，该液体沸腾，则其沸点温度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，等边的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，，的长为，动点在边上从点向点运动，过点作，，垂足分别为、．设的长为，矩形的面积为，随变化的关系图象如图2所示，其中点为图象的最高点，且纵坐标为，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：______． 12. 据中国青年报报道：“中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》为海内外受众奉上了一道除夕‘文化大餐’．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，较去年增长，”将数据142亿用科学记数法表示为______． 13. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？若设这批椽的数量为株，则可列分式方程为______． 14. 已知抛物线的对称轴为直线，点、都在该抛物线上，那么______．(填“”或“”或“”)． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是________． 16. 数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度． 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图2，赤道半径约为6400千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；根据以上信息，北纬纬线的长度约为______千米．（结果保留整数．参考数据：，，，） 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组，并写出它的正整数解． 19. 先化简，再求代数式的值，其中． 20. 中国清朝末期的几何作图教科书中记载了大量几何作图题，如图，四边形是矩形． ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交、于点、； ②分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点； ③作射线； ④分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点、（在的上方），作直线，交于点，交射线于点． （1）根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）； （2）依据尺规作图的痕迹，的度数为______．（直接写出答案） 21. 今年年初，“一碗麻辣烫”火遍了全网，吸引了大量游客到天水旅游，伏羲文化、大地湾文化、秦早期文化、三国文化、石窟文化天水五大特色文化增强游客爱国主义情感的同时也带动了全省的旅游业及当地的经济，全省各地特色文化纷纷打卡天水，助力甘肃旅游，展现陇原风采．临近五一小长假，小颖一家计划去天水，计划去以下景点：A.伏羲庙；B.麦积山石窟；C.南郭寺；D.李广墓；E.仙人崖．由于临近中考综合考虑，每人只能选择一条线路．小颖和弟弟两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了5张不透明的卡片，正面分别写上字母A、B、C、D、E，卡片除正面字母不同外其余均相同，将5张卡片正面向下洗匀，小颖先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后弟弟再从中随机抽取一张卡片． （1）求小颖从中随机抽到去麦积山石窟的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到去伏羲庙的概率． 22. 烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的处，测得烽燧的顶部处的俯角为，测得烽燧的底部处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．（结果精确到0.1m） （参考数据：，，，，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 4月24日是中国航天日，为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，航阳中学开展了“航空航天”知识问答系列活动.为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取20名学生的成绩进行统计分析（6分及6分以上为合格），数据整理如下： 学生成绩统计表 七年级 八年级 平均数 7.55 7.55 中位数 8 c 众数 a 7 合格率 b 85% 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出统计表中a，b，c的值； （2）若该校八年级有600名学生，请估计该校八年级学生成绩合格的人数； （3）从中位数和众数中任选其一，说明其在本题中的实际意义． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点B，与x轴交于点． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若，求的面积． 25. 如图，在中，，点是上一点，且，点在上，以点为圆心的圆经过、两点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 26. 【概念呈现】 定义：在凸四边形内，如果有一点和一组对边组成的两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么这个四边形叫做蝴蝶四边形．例如图1，在四边形中，，，，则四边形为蝴蝶四边形． 【概念理解】 （1）如图2，正方形中，对角线与相交于．求证：正方形为蝴蝶四边形； 【性质探究】 （2）如图3，在蝴蝶四边形中，．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在蝴蝶四边形中，，，．当是以为底的等腰三角形时，求的长． 27. 如图①，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接、．点是轴上任意一点． （1）求抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，若以点、、、为顶点，为一边的四边形为平行四边形时，求点的坐标； （3）如图②，当点从点出发沿轴向点运动时（点与点、不重合），自点分别作，交于点，作，垂足为点．当为何值时，面积最大，并求出最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $